रेडहेफर आव्यूह

गणित में, एक रेडहेफ़र मैट्रिक्स, जिसे अक्सर एएन ए_{एन} के रूप में दर्शाया जाता है, जैसा कि रेडहेफ़र (1977) द्वारा अध्ययन किया गया है, एक वर्ग (0,1) मैट्रिक्स है जिसकी प्रविष्टियाँ एआई 1 हैं यदि मैं जे को विभाजित करता हूं या यदि जे = 1; अन्यथा, एआईजे = 0. यह कुछ संदर्भों में डिरिचलेट कनवल्शन, या संवलित विभाजक योगों को व्यक्त करने के लिए उपयोगी है, मैट्रिक्स उत्पादों के संदर्भ में $n^{th}$ रेडहेफर मैट्रिक्स का स्थानान्तरण सम्मिलित है।

वेरिएंट और कंपोनेंट मैट्रिसेस की परिभाषाएं

चूंकि रेडहेफ़र मैट्रिसेस की अयोग्यता मैट्रिक्स में लोगों के प्रारंभिक कॉलम द्वारा जटिल होती है, इसलिए अक्सर $A_{n}:=C_{n}+D_{n}$ इसे व्यक्त करना अक्सर सुविधाजनक होता है जहाँ $C_{n}:=[c_{ij}]$ को (0,1) मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसकी प्रविष्टियाँ एक हैं यदि और केवल यदि $j=1$ और $i\neq 1$. में शेष एक-मूल्यवान प्रविष्टियाँ $A_{n}$ फिर मैट्रिक्स द्वारा परिलक्षित विभाज्यता की स्थिति के अनुरूप $D_{n}$, जिसे मोबियस उलटा के एक एप्लिकेशन द्वारा स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है, हमेशा व्युत्क्रम के साथ उलटा होता है $D_{n}^{-1}=\left[\mu (j/i)M_{i}(j)\right]$. इसके बाद हमारे पास व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स का लक्षण वर्णन है $A_{n}$ द्वारा व्यक्त किया गया है। $\det \left(A_{n}\right)=\det \left(D_{n}^{-1}C_{n}+I_{n}\right).$

यदि हम फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं।

$M_{j}(i):={\begin{cases}1,&{\text{ if j divides i; }}\\0,&{\text{otherwise, }}\end{cases}},$

तब हम परिभाषित कर सकते हैं $n^{th}$ रेडहेफ़र (ट्रांसपोज़) मैट्रिक्स को एनएक्सएन वर्ग मैट्रिक्स होना $R_{n}=[M_{j}(i)]_{1\leq i,j\leq n}$ सामान्य मैट्रिक्स नोटेशन में। हम अगले अनुभागों में इस संकेतन का उपयोग करना जारी रखेंगे।

उदाहरण

नीचे दिया गया मैट्रिक्स 12 × 12 रेडहेफ़र मैट्रिक्स है। स्प्लिट सम-ऑफ़-मैट्रिसेस नोटेशन के लिए $A_{12}:=C_{12}+D_{12}$, नीचे दी गई प्रविष्टियाँ उनमें से प्रारंभिक कॉलम के अनुरूप हैं $C_{n}$ नीले रंग में चिह्नित हैं।

$\left({\begin{matrix}1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&1&0&0&1&0&0&1&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&1&0&0&0&1&0&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{matrix}}\right)$

मोबियस उलटा सूत्र का एक संगत अनुप्रयोग दर्शाता है कि $n^{th}$ रेडहेफ़र ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स हमेशा इनवर्टेबल मैट्रिक्स होता है, जिसमें व्युत्क्रम प्रविष्टियाँ दी जाती हैं।

$R_{n}^{-1}=\left[M_{j}(i)\cdot \mu \left({\frac {i}{j}}\right)\right]_{1\leq i,j\leq n},$

कहाँ $\mu (n)$ मोएबियस समारोह को दर्शाता है। इस मामले में, हमारे पास है कि $12\times 12$ उलटा रेडहेफर ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है।

$R_{12}^{-1}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\1&-1&-1&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\1&-1&0&0&-1&0&0&0&0&1&0&0\\-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\0&1&0&-1&0&-1&0&0&0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)$

मुख्य गुण

=== मेर्टेंस फ़ंक्शन और विशेष श्रृंखला === के लिए विलक्षणता और संबंध

निर्धारक

एनएक्सएन स्क्वायर मैट्रिक्स रेडहेफर मैट्रिक्स का निर्धारक मेर्टेंस कार्य करता है एम (एन) द्वारा दिया गया है। विशेष रूप से, मैट्रिक्स $A_{n}$ जब मेर्टेंस फ़ंक्शन शून्य होता है (या बदलते संकेतों के करीब होता है) ठीक उलटा नहीं होता है। इसका परिणाम एक दिलचस्प लक्षण वर्णन में होता है कि मेर्टेंस फ़ंक्शन रेडहेफर मैट्रिक्स होने पर केवल संकेतों को असीमित रूप से बदल सकता है $A_{n}$ अपरिमित रूप से अनेक प्राकृतिक संख्याओं पर एकवचन है, जो व्यापक रूप से के दोलन संबंधी व्यवहार के संबंध में मामला माना जाता है $M(x).$ रेडहेफ़र मेट्रिसेस के निर्धारक तुरंत मेर्टेंस फ़ंक्शन के साथ इस अंतरंग संबंध के माध्यम से रीमैन परिकल्पना (आरएच) से बंधे हैं क्योंकि आरएच यह दिखाने के बराबर है कि $M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)$ सभी के लिए (पर्याप्त रूप से छोटा) $\varepsilon >0$.

इन आव्यूहों द्वारा कूटबद्ध राशियों का गुणनखंड

इन मैट्रिसेस द्वारा एन्कोड किए गए रकम के कारक

कुछ हद तक अपरंपरागत निर्माण में जो अनुक्रमण सेट के कुछ बढ़ते अनुक्रम में शामिल करने के लिए ( 0,1 ) मैट्रिक्स प्रविष्टियों को फिर से व्याख्या करता है, हम देख सकते हैं कि ये मैट्रिस लैम्बर्ट श्रृंखला के कारकों से भी संबंधित हैं. यह अवलोकन एक निश्चित अंकगणितीय फ़ंक्शन f के लिए बहुत अधिक पेश किया जाता है, एफ पर अगली लैंबर्ट श्रृंखला विस्तार के गुणांक सूचकांकों के लिए एक तथाकथित समावेश मुखौटा प्रदान करते हैं, जिस पर हम इन विस्तारों की श्रृंखला गुणांक पर पहुंचने के लिए एफ योग करते हैं. विशेष रूप से, यह देखें

$\sum _{d|n}f(d)=\sum _{k=1}^{n}M_{k}(n)\cdot f(k)=[q^{n}]\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}\right).$

अब इन भाजक राशियों के विशेष मामले में, जिसे हम उपरोक्त विस्तार से देख सकते हैं, बूलियन (शून्य-एक) द्वारा संहिताबद्ध हैं, जो एक प्राकृतिक संख्या n के विभाजकों के सेट में शामिल हैं, लैम्बर्ट की फिर से व्याख्या करना संभव है श्रृंखला उत्पन्न करने वाले कार्य जो इन राशियों को एक और मैट्रिक्स-आधारित निर्माण के माध्यम से गणना करते हैं। अर्थात्, मर्का और श्मिट (2017-2018) ने इन जनरेटिंग फ़ंक्शंस का विस्तार करते हुए उलटा मैट्रिक्स गुणनखंड साबित किया

$\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}f(k)\right)q^{n},$

कहाँ $(q;q)_{\infty }$ अनंत क्यू-पोचहैमर प्रतीक को दर्शाता है और जहां निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स अनुक्रम वास्तव में गुणांक के रूप में उत्पन्न होता है $s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty }$, इन शर्तों के माध्यम से विशेष सम (विषम) अनुक्रमित विभाजन कार्यों के अंतर के रूप में भी व्याख्याएं हैं। मर्का और श्मिट (2017) ने भी एक सरल व्युत्क्रम सूत्र को सिद्ध किया है जो अंतर्निहित फ़ंक्शन f को दृढ़ गुणांकों के योग के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है। $\ell (n)=(f\ast 1)(n)$ के रूप में मूल लैम्बर्ट श्रृंखला जनरेटिंग फ़ंक्शन का

$f(n)=\sum _{d|n}\sum _{k=1}^{n}p(d-k)\mu (n/d)\left[\sum _{j\geq 0 \atop k-j\geq 0}\ell (k-j)[q^{j}](q;q)_{\infty }\right],$

जहाँ p(n) विभाजन फलन (संख्या सिद्धांत) को दर्शाता है, $\mu (n)$ मोएबियस फ़ंक्शन है, और के गुणांक $(q;q)_{\infty }$ पंचकोणीय संख्या प्रमेय के माध्यम से j पर द्विघात निर्भरता प्राप्त करें।

इस व्युत्क्रम सूत्र की तुलना रेडहेफ़र मैट्रिसेस के व्युत्क्रम (जब वे मौजूद हैं) से की जाती है $A_{n}$ यहाँ पूरा करने के लिए।

इसके अलावा अंतर्निहित तथाकथित मुखौटा मैट्रिक्स जो विभाजक रकम में सूचकांकों को शामिल करने को निर्दिष्ट करता है, उलटा होता है, इस प्रकार के निर्माण का उपयोग अन्य विशेष संख्या सैद्धांतिक रकम के लिए अन्य रेडहेफर-जैसे मैट्रिसेस का विस्तार करने के लिए उन रूपों तक सीमित नहीं होना चाहिए शास्त्रीय रूप से यहाँ अध्ययन किया। उदाहरण के लिए, 2018 में मौसवी और श्मिट ऐसे मैट्रिक्स आधारित गुणन लेम्मा को एंडरसन-अपोस्टोल विभाजक राशियों (जिनमें से रामनुजन शूम एक उल्लेखनीय विशेष मामला है) के मामले में विस्तारित करते हैं और उन पूर्णांकों पर अनुक्रमित योग हैं जो प्रत्येक n के लिए अपेक्षाकृत प्रमुख हैं (उदाहरण के लिए) , जैसा कि शास्त्रीय रूप से यूलर फाई समारोह द्वारा दर्शाए गए टैली को परिभाषित करता है)। इस बिंदु पर और अधिक, नीचे दिए गए अनुप्रयोग और सामान्यीकरण अनुभाग में विचार किए गए उदाहरण सामान्यीकृत रेडहेफर मैट्रिक्स माने जा सकने वाले गुणों के अध्ययन का सुझाव देते हैं जो अन्य विशेष संख्या सैद्धांतिक योगों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

स्पेक्ट्रल त्रिज्या और ईजेनस्पेस

• यदि हम वर्णक्रमीय त्रिज्या को निरूपित करते हैं $A_{n}$ द्वारा $\rho _{n}$, यानी, के स्पेक्ट्रम में प्रमुख अधिकतम मापांक आइगेन मान$A_{n}$, तब

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\rho _{n}}{\sqrt {n}}}=1,$

जो स्पेक्ट्रम के स्पर्शोन्मुख व्यवहार को सीमित करता है $A_{n}$ जब एन बड़ा होता है। यह भी दिखाया जा सकता है $1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)$, और एक सावधानीपूर्वक विश्लेषण द्वारा (नीचे विशेषता बहुपद विस्तार देखें) कि $\rho _{n}={\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+O(1)$.

• गणित का सवाल $A_{n}$ बहुलता के साथ आइगेन मानएक है $n-\left\lfloor \log _{2}(n)\right\rfloor -1$.
• आइगेनस्पेस का आयाम $E_{\lambda }(A_{n})$ आइगेनवैल्यू के अनुरूप $\lambda :=1$ जाना जाता है $\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1$. विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है $A_{n}$ कभी भी विकर्ण नहीं होता है $n\geq 5$.
• अन्य सभी आइगेनवैल्यूज़ ​​के लिए $\lambda \neq 1$ का $A_{n}$, फिर संबंधित आइगेनवैल्यूज़ का आयाम $E_{\lambda }(A_{n})$ एक हैं।

ईजेनवेक्टरों की विशेषता

हमारे पास वह है $[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]$ का आइजन्वेक्टर है $A_{n}^{T}$ कुछ आइगेन मानके अनुरूप $\lambda \in \sigma (A_{n})$ के स्पेक्ट्रम में $A_{n}$ अगर और केवल अगर के लिए $n\geq 2$ निम्नलिखित दो शर्तें रखती हैं:

$\lambda a_{n}=\sum _{d|n}a_{d}\quad {\text{ and }}\quad \lambda a_{1}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$

अगर हम खुद को तथाकथित गैर-तुच्छ मामलों तक सीमित रखते हैं $\lambda \neq 1$, फिर कोई प्रारंभिक आइगेनवेक्टर्स घटक दिया गया $a_{1}$ हम सूत्र के अनुसार शेष n-1 घटकों की पुनरावर्ती गणना कर सकते हैं

$a_{j}={\frac {1}{\lambda -1}}\sum _{d|j \atop d<j}a_{d}.$

इसे ध्यान में रखते हुए, के लिए $\lambda \neq 1$ हम के अनुक्रम को परिभाषित कर सकते हैं

$v_{\lambda }(n):={\begin{cases}1,&n=1;\\{\frac {1}{\lambda -1}}\sum _{d|n \atop d\neq n}v_{\lambda }(d),&n\geq 2.\end{cases}}$

इन अनुक्रमों की परिभाषाओं से संबंधित कुछ जिज्ञासु निहितार्थ हैं। सबसे पहले, हमारे पास वह है $\lambda \in \sigma (A_{n})$ अगर और केवल अगर

$\sum _{k=1}^{n}v_{\lambda }(k)=\lambda .$

दूसरे, हमारे पास निश्चित के लिए इन अनुक्रमों पर डिरिचलेट श्रृंखला, या डिरिचलेट जनरेटिंग फंक्शन के लिए एक स्थापित सूत्र है $\lambda \neq 1$ जो सभी के लिए है $\Re (s)>1$ द्वारा दिए गए

$\sum _{n\geq 1}{\frac {v_{\lambda }(n)}{n^{s}}}={\frac {\lambda -1}{\lambda -\zeta (s)}},$

कहाँ $\zeta (s)$ बेशक हमेशा की तरह रीमैन जीटा फ़ंक्शन को दर्शाता है।

गैर-तुच्छ ईजेनवैल्यूज की सीमाएं और गुण

की विशेषता बहुपद के शून्यों का मूल्यांकन करने के लिए एक ग्राफ सिद्धांत व्याख्या $A_{n}$ और इसके गुणांकों की बाउंडिंग की धारा 5.1 में दी गई है। जॉर्डन के सामान्य रूप के आकार का अनुमान $A_{n}$ आइगेनवैल्यू के अनुरूप एक में दिया गया है। विशेषता बहुपद के गुणनखंड करने के लिए एक संशोधित दृष्टिकोण के गुणों का एक संक्षिप्त अवलोकन, $p_{A_{n}}(x)$इन मेट्रिसेस में से कुछ तकनीकी प्रमाणों के पूर्ण दायरे के बिना यहां परिभाषित किए गए हैं, जो ऊपर दिए गए संदर्भों से सीमा को सही ठहराते हैं। अर्थात्, आशुलिपि दें $s:=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor$ और सूत्र के अनुसार सहायक बहुपद विस्तारों के अनुक्रम को परिभाषित करें

$f_{n}(t):={\frac {p_{A_{n}}(t+1)}{t^{n-s-1}}}=t^{s+1}-\sum _{k=1}^{s}v_{nk}t^{s-k}.$

तब हम जानते हैं $f_{n}(t)$ द्वारा निरूपित दो वास्तविक जड़ें हैं $t_{n}^{\pm }$, जो संतुष्ट करता है

$t_{n}^{\pm }=\pm {\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+\gamma -{\frac {3}{2}}+O\left({\frac {\log ^{2}(n)}{\sqrt {n}}}\right),$

कहाँ $\gamma \approx 0.577216$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है|यूलर का शास्त्रीय गामा स्थिरांक, और जहां इन बहुपदों के शेष गुणांक द्वारा परिबद्ध हैं

$|v_{nk}|\leq {\frac {n\cdot \log ^{k-1}(n)}{(k-1)!}}.$

के आइगेनवैल्यूज़ ​​​​के बहुत अधिक आकार-विवश प्रकृति का एक प्लॉट $f_{n}(t)$ जो बहुपद के इन दो प्रमुख शून्यों की विशेषता नहीं है, वे उल्लेखनीय प्रतीत होते हैं, जैसा कि नीचे दिखाए गए केवल 20 शेष जटिल शून्यों द्वारा दर्शाया गया है। अगली छवि ऊपर उद्धृत मुक्त रूप से उपलब्ध लेख से पुन: प्रस्तुत की गई है $n\sim 10^{6}$ संदर्भ के लिए यहां उपलब्ध है।

अनुप्रयोग और सामान्यीकरण

हम एक (0,1) मैट्रिक्स के रूप में व्याख्या किए गए रेडहेफ़र मैट्रिक्स की उपयोगिता के कुछ उदाहरण प्रदान करते हैं जिनकी समानता इंडेक्स सेट के बढ़ते क्रम में शामिल होने से मेल खाती है। इन उदाहरणों को इन मेट्रिसेस के समय-समय पर ऐतिहासिक परिप्रेक्ष्य में से कुछ को ताज़ा करने के लिए काम करना चाहिए, और एक अंतर्निहित, और गहरे, उनके निर्धारकों के मर्टेंस फ़ंक्शन और रीमैन हाइपोथीसिस के समकक्ष बयानों के आधार पर फुटनोट-योग्य होने के कारण। विशेष रेडहेफ़र मैट्रिक्स निर्धारकों के विशिष्ट उपचारों की तुलना में यह व्याख्या निर्माण में अधिक संयोजी है। बहरहाल, राशियों के विशेष अनुक्रमों की गणना करने पर इस संयुक्त मोड़ को हाल ही में कई पत्रों में खोजा गया है और प्री-प्रिंट अभिलेखागार में सक्रिय रुचि का विषय है। रेडहेफर मैट्रिक्स वेरिएंट पर इस स्पिन के पूर्ण निर्माण में गोता लगाने से पहले $R_{n}$ ऊपर परिभाषित किया गया है, निरीक्षण करें कि इस प्रकार का विस्तार अनिवार्य रूप से टोप्लिट्ज मैट्रिक्स के उपयोग की एक और भिन्नता है, जो ट्रंकेटेड पावर श्रृंखला अभिव्यक्तियों का प्रतिनिधित्व करने के लिए है जहां मैट्रिक्स प्रविष्टियां श्रृंखला में औपचारिक चर के गुणांक हैं। आइए एक (0,1) मैट्रिक्स के इस विशेष दृश्य के एक अनुप्रयोग का पता लगाएं, जो कुछ निश्चित फ़ंक्शन पर एक परिमित योग में सारांश सूचकांकों को शामिल करता है। संदर्भों के उद्धरण देखें और सामान्य अंकगणितीय फ़ंक्शन मामलों के संदर्भ में रेडहेफ़र मैट्रिक्स के मौजूदा सामान्यीकरण के लिए। व्युत्क्रम मैट्रिक्स शब्दों को इस प्रकार के योगों के संदर्भ में एक सामान्यीकृत मोबियस समारोह के रूप में संदर्भित किया जाता है।

मैट्रिक्स उत्पाद डिरिचलेट कनवल्शन का विस्तार कर रहे हैं और डाइरिचलेट व्युत्क्रम

सबसे पहले, किसी भी दो गैर-समान-शून्य अंकगणितीय कार्य f और g को देखते हुए, हम स्पष्ट मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व प्रदान कर सकते हैं जो प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित पंक्तियों में उनके डिरिचलेट कनवल्शन को एन्कोड करते हैं। $n\geq 1,1\leq n\leq x$:

$D_{f,g}(x):=\left[M_{d}(n)f(d)g(n/d)\right]_{1\leq d,n\leq x}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&g(x)\\0&0&\cdots &g(x-1)&g(x)\\\ldots &\ldots &\ddots &\ddots &\cdots \\g(1)&g(2)&\cdots &g(x-1)&g(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&f(1)\\0&0&\cdots &f(2)&f(1)\\\ldots &\ldots &\ddots &\ddots &\cdots \\f(x)&f(x-1)&\cdots &f(2)&f(1)\end{bmatrix}}R_{x}^{T}.$

फिर दे रहा है $e^{T}:=[1,1,\ldots ,1]$ सभी के वेक्टर को निरूपित करें, यह आसानी से देखा जाता है कि $n^{th}$ मैट्रिक्स-वेक्टर उत्पाद की पंक्ति $e^{T}\cdot D_{f,g}(x)$ दृढ़ डिरिचलेट रकम देता है

$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d),$

सभी के लिए $1\leq n\leq x$ जहां ऊपरी सूचकांक $x\geq 2$ मनमाना है।

एक कार्य जो विशेष रूप से एक मनमाना फ़ंक्शन एफ को देखते हुए कठिन है, इस फ़ंक्शन की एक मानक पुनरावर्ती परिभाषा का सहारा लिए बिना इसके डिरिचलेट व्युत्क्रम को सटीक रूप से निर्धारित करना है, एक और जटिल विभाजक योग के माध्यम से एक ही फ़ंक्शन एफ को शामिल करते हुए इसके अंडर-निर्दिष्ट व्युत्क्रम को निर्धारित करना है:

$f^{-1}(n)\ =\ {\frac {-1}{f(1)}}\mathop {\sum _{d\,\mid \,n}} _{d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)f^{-1}(d),\ n>1{\text{ where }}f^{-1}(1):=1/f(1).$

यह स्पष्ट है कि सामान्य तौर पर डिरिक्लेट उलटा है $f^{-1}(n)$ f के लिए, यानी विशिष्ट रूप से परिभाषित अंकगणितीय फ़ंक्शन जैसे कि $(f^{-1}\ast f)(n)=\delta _{n,1}$, एक से लेकर गहराई के नेस्टेड विभाजक योग शामिल हैं $\omega (n)$ जहां यह ऊपरी बाउंड प्राइम ओमेगा फ़ंक्शन है जो एन के अलग-अलग प्रमुख कारकों की संख्या की गणना करता है। जैसा कि इस उदाहरण से पता चलता है, हम अपने वैरिएंट रेडहेफ़र मैट्रिसेस के साथ मैट्रिक्स व्युत्क्रम के माध्यम से डिरिचलेट व्युत्क्रम फ़ंक्शन मान बनाने का एक वैकल्पिक तरीका तैयार कर सकते हैं, $R_{n}$.

रेडहेफर मैट्रिक्स रूपों का सामान्यीकरण: जीसीडी रकम और अन्य मैट्रिक्स जिनकी प्रविष्टियां विशेष सेटों में शामिल किए जाने को दर्शाती हैं

योग्य पत्रिकाओं से कई बार उद्धृत लेख हैं जो मैट्रिक्स अभ्यावेदन के माध्यम से संख्या सिद्धांत विभाजक रकम, दृढ़ संकल्प, और डिरिचलेट श्रृंखला (कुछ नामों के लिए) के विस्तार को स्थापित करने के लिए लड़ते हैं। इन प्रतिनिधित्वों के वास्तव में उल्लेखनीय और महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों से जुड़े संबंधित स्पेक्ट्रम और ईजेनस्पेस पर गैर-तुच्छ अनुमानों के अलावा- मैट्रिक्स उत्पादों द्वारा इन रूपों की रकम का प्रतिनिधित्व करने में अंतर्निहित मशीनरी एक तथाकथित मास्किंग मैट्रिक्स को प्रभावी ढंग से परिभाषित करना है जिसका शून्य या एक मूल्यवान प्रविष्टियाँ प्राकृतिक संख्याओं के सेट के बढ़ते क्रम में शामिल होने को दर्शाती हैं $\{1,2,\ldots ,n\}$. यह स्पष्ट करने के लिए कि विशेष योगों की एक विस्तृत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक मैट्रिक्स आधारित प्रणाली की स्थापना के लिए पिछले मुट्ठी भर शब्दजाल अच्छी समझ में आता है, निम्नलिखित निर्माण पर विचार करें: ${\mathcal {A}}_{n}\subseteq [1,n]\cap \mathbb {Z}$ इंडेक्स सेट का एक क्रम हो, और किसी निश्चित अंकगणितीय फ़ंक्शन के लिए $f:\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {C}$ राशियों को परिभाषित करें

$S_{{\mathcal {A}},f}(n)\mapsto S_{f}(n):=\sum _{k\in {\mathcal {A}}_{n}}f(k).$

मौसवी और श्मिट (2017) द्वारा मानी जाने वाली राशियों में से एक, अंतिम परिभाषा में इंडेक्स सेट सेट करके अपेक्षाकृत प्रधान विभाजक रकम को परिभाषित करता है

${\mathcal {A}}_{n}\mapsto {\mathcal {G}}_{n}:=\{1\leq d\leq n:\gcd(d,n)=1\}.$

संख्याओं के इस वर्ग का उपयोग यूलर के फाई फ़ंक्शन सहित संख्या सिद्धांत संबंधी रुचि के महत्वपूर्ण विशेष अंकगणितीय कार्यों को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है (जहां शास्त्रीय रूप से हम परिभाषित करते हैं $m:=0$) जैसा

$\varphi (n)=\sum _{d\in {\mathcal {G}}_{n}}d^{m},$

और यहां तक ​​कि मोबियस अपने प्रतिनिधित्व के माध्यम से असतत (परिमित) फूरियर रूपांतरण के रूप में कार्य करता है:

$\mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}.$

पूरे पेपर में उद्धरण इस वर्ग के योगों के अन्य उदाहरण प्रदान करते हैं जिनमें साइक्लोटोमिक बहुपद (और उनके लघुगणक) के अनुप्रयोग शामिल हैं। मौसवी और श्मिट (2017) द्वारा संदर्भित लेख इन राशियों का विस्तार करने के लिए एक गुणनखंड-प्रमेय जैसा उपचार विकसित करता है जो ऊपर पिछले खंड में दिए गए लैम्बर्ट श्रृंखला गुणनखंड परिणामों के अनुरूप है। इंडेक्स सेट की इस परिभाषा के लिए संबंधित मैट्रिसेस और उनके व्युत्क्रम ${\mathcal {A}}_{n}$ फिर हमें विभाजक योगों के लिए मोएबियस व्युत्क्रम के एनालॉग को निष्पादित करने की अनुमति दें, जिसका उपयोग व्युत्क्रम मैट्रिक्स प्रविष्टियों और बाएं हाथ के विशेष कार्यों, जैसे कि योग फलन f को एक अर्ध-संक्रमित योग के रूप में व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। $\varphi (n)$ या $\mu (n)$ उदाहरणों की अंतिम जोड़ी में बताया गया है। इन व्युत्क्रम मैट्रिसेस में कई जिज्ञासु गुण होते हैं (और उन सभी के सारांश को एक साथ खींचने वाले एक अच्छे संदर्भ की वर्तमान में कमी है) जो निरीक्षण द्वारा नए पाठकों को सबसे अच्छी तरह से सूचित और बताए गए हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, ऊपरी सूचकांक के मामले पर विचार करें $x:=21$ और इस मामले के लिए परिभाषित संबंधित मैट्रिसेस निम्नानुसार दिए गए हैं:

व्युत्क्रमणीय मैट्रिसेस के उदाहरण जो गैर-मानक के साथ अन्य विशेष राशियों को परिभाषित करते हैं, हालांकि, स्पष्ट अनुप्रयोगों को सूचीबद्ध किया जाना चाहिए और पूर्णता के लिए इस सामान्यीकरण अनुभाग में सूचीबद्ध किया जाना चाहिए। जनरेटिंग फंक्शन ट्रांसफॉर्मेशन # व्युत्क्रम संबंधों का एक मौजूदा सारांश, और विशेष रूप से, सटीक मानदंड जिसके तहत इन रूपों के योगों को उलटा और संबंधित किया जा सकता है, ऑर्थोगोनल बहुपद पर कई संदर्भों में पाया जाता है। पर्याप्त रूप से व्युत्क्रमणीय, या वजन गुणांकों के अच्छी तरह से व्यवहार किए गए त्रिकोणीय सेटों के बीच संबंधों को पलटने के लिए इस प्रकार के गुणनखंडन उपचार के अन्य अच्छे उदाहरणों में मोबियस उलटा सूत्र, द्विपद रूपांतरण और स्टर्लिंग रूपांतरण शामिल हैं।

यह भी देखें

• रेडहेफर स्टार उत्पाद

संदर्भ

• Redheffer, Ray (1977), "Eine explizit lösbare Optimierungsaufgabe", Numerische Methoden bei Optimierungsaufgaben, Band 3 (Tagung, Math. Forschungsinst., Oberwolfach, 1976), Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, pp. 213–216, MR 0468170
• W. Barrett and T. Jarvis (1992). "Spectral properties of a matrix of Redheffer". Linear Algebra and Its Applications: 673–683.
• Cardon, David A. (2010). "Matrices related to Dirichlet series" (PDF). Journal of Number Theory: 27–39. arXiv:0809.0076. Bibcode:2008arXiv0809.0076C. Retrieved 12 December 2018.

बाहरी लिंक और संबंधित कार्य के उद्धरण

• Weisstein, Eric W. "Redheffer matrix". MathWorld.
• Cardinal, Jean-Paul. "मेर्टेंस फ़ंक्शन से संबंधित सममित मैट्रिसेस". Retrieved 12 December 2018.
• Kline, Jeffery (2020). "अभाज्य संख्या प्रमेय से संबंधित विरल मैट्रिसेस की आइगेनस्ट्रक्चर पर". Linear Algebra and Its Applications. 584: 409–430. doi:10.1016/j.laa.2019.09.022.

श्रेणी:मैट्रिसेस श्रेणी:संख्या सिद्धांत