विरूपण (भौतिकी)

For usage in engineering, see Deformation (engineering).

एक बंद लूप में एक पतली सीधी छड़ की विरूपण।रॉड की लंबाई विरूपण के दौरान लगभग अपरिवर्तित रहती है, जो इंगित करती है कि तनाव छोटा है।झुकने के इस विशेष मामले में, कठोर अनुवादों से जुड़े विस्थापन और रॉड में भौतिक तत्वों के घुमाव से तनाव से जुड़े विस्थापन की तुलना में बहुत अधिक है।

भौतिकी में, विरूपण एक संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन से एक वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन में एक शरीर का निरंतर यांत्रिकी परिवर्तन है। एक कॉन्फ़िगरेशन एक सेट है जिसमें शरीर के सभी कणों की स्थिति होती है।

संरचनात्मक भार के कारण एक विरूपण हो सकता है, आंतरिक गतिविधि (जैसे मांसपेशियों का संकुचन), शरीर बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण या विद्युत चुम्बकीय बल), या तापमान, नमी सामग्री, या रासायनिक प्रतिक्रियाओं, आदि में परिवर्तन।

तनाव शरीर में कणों के सापेक्ष विस्थापन के संदर्भ में विरूपण से संबंधित है जो कठोर शरीर की गति को बाहर करता है। एक तनाव क्षेत्र की अभिव्यक्ति के लिए अलग -अलग समकक्ष विकल्प बनाए जा सकते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि यह शरीर के प्रारंभिक या अंतिम विन्यास के संबंध में परिभाषित किया गया है और इस पर कि क्या मीट्रिक टेंसर या उसके दोहरे पर विचार किया गया है।

एक निरंतर शरीर में, एक विरूपण क्षेत्र एक तनाव (भौतिकी) क्षेत्र से लागू बलों के कारण या शरीर के तापमान क्षेत्र में कुछ बदलावों के कारण होता है। तनाव और तनाव के बीच का संबंध संवैधानिक समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जाता है, उदाहरण के लिए, हुक का नियम रैखिक लोच सामग्री के लिए। तनाव क्षेत्र को हटा दिए जाने के बाद जो विकृति मौजूद है, उसे लोचदार विरूपण कहा जाता है। इस मामले में, कॉन्टिनम पूरी तरह से अपने मूल कॉन्फ़िगरेशन को ठीक करता है। दूसरी ओर, अपरिवर्तनीय विकृति बनी हुई है। तनाव हटा दिए जाने के बाद भी वे मौजूद हैं। एक प्रकार की अपरिवर्तनीय विरूपण प्लास्टिक विरूपण है, जो तनाव के बाद भौतिक निकायों में होता है, एक निश्चित सीमा मूल्य प्राप्त किया है जिसे लोचदार सीमा या उपज (इंजीनियरिंग) के रूप में जाना जाता है, और स्लिप (सामग्री विज्ञान), या अव्यवस्था का परिणाम है परमाणु स्तर पर तंत्र। एक अन्य प्रकार की अपरिवर्तनीय विरूपण चिपचिपा विरूपण है, जो विस्कोलेस्टिकिटी विरूपण का अपरिवर्तनीय हिस्सा है।

लोचदार विकृति के मामले में, विकृत तनाव से तनाव को जोड़ने वाला प्रतिक्रिया फ़ंक्शन सामग्री का हुक का कानून#टेंसर अभिव्यक्ति है।

तनाव

See also: Stress measures and Strain rate

तनाव एक संदर्भ लंबाई के सापेक्ष शरीर में कणों के बीच विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है।

एक शरीर की विरूपण को रूप में व्यक्त किया जाता है x = F(X) कहाँ पे X शरीर के भौतिक बिंदुओं की संदर्भ स्थिति है।इस तरह का उपाय कठोर शरीर की गति (अनुवाद और घुमाव) और शरीर के आकार (और आकार) में परिवर्तन के बीच अंतर नहीं करता है।एक विरूपण की लंबाई की इकाइयाँ होती हैं।

उदाहरण के लिए, हम तनाव को परिभाषित कर सकते हैं

$${\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}'-{\boldsymbol {I}},$$

कहाँ पे I पहचान मैट्रिक्स है। इसलिए उपभेद आयाम रहित होते हैं और आमतौर पर दशमलव के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, एक प्रतिशत या भागों-प्रतिपोषण में।उपभेद मापते हैं कि एक दिया गया विरूपण एक कठोर-शरीर विरूपण से स्थानीय रूप से कितना भिन्न होता है। एक तनाव सामान्य रूप से एक टेंसर मात्रा में होता है।उपभेदों में शारीरिक अंतर्दृष्टि को यह देखकर प्राप्त किया जा सकता है कि किसी दिए गए तनाव को सामान्य और कतरनी घटकों में विघटित किया जा सकता है।सामग्री लाइन तत्वों या फाइबर के साथ खिंचाव या संपीड़न की मात्रा सामान्य तनाव है, और एक दूसरे पर विमान परतों की फिसलने से जुड़ी विरूपण की मात्रा एक विकृत शरीर के भीतर कतरनी तनाव है। यह बढ़ाव, छोटा या वॉल्यूम परिवर्तन, या कोणीय विरूपण द्वारा लागू किया जा सकता है। एक निरंतरता शरीर के एक निरंतरता यांत्रिकी में तनाव की स्थिति को भौतिक लाइनों या फाइबर की लंबाई में सभी परिवर्तनों की समग्रता के रूप में परिभाषित किया गया है, सामान्य तनाव, जो उस बिंदु से गुजरते हैं और साथ ही कोण में सभी परिवर्तनों की समग्रता भी हैं।शुरू में एक दूसरे के लिए लंबवत लाइनों के जोड़े, कतरनी तनाव, इस बिंदु से विकीर्ण।हालांकि, तीन पारस्परिक रूप से लंबवत दिशाओं के एक सेट पर तनाव के सामान्य और कतरनी घटकों को जानना पर्याप्त है।

यदि सामग्री लाइन की लंबाई में वृद्धि होती है, तो सामान्य तनाव को तन्यता तनाव कहा जाता है, अन्यथा, यदि सामग्री लाइन की लंबाई में कमी या संपीड़न होता है, तो इसे संपीड़ित तनाव कहा जाता है।

तनाव उपाय

तनाव की मात्रा, या स्थानीय विरूपण के आधार पर, विरूपण का विश्लेषण तीन विरूपण सिद्धांतों में विभाजित है:

• परिमित तनाव सिद्धांत, जिसे बड़े तनाव सिद्धांत, बड़े विरूपण सिद्धांत भी कहा जाता है, विकृति से संबंधित है जिसमें घुमाव और उपभेद दोनों मनमाने ढंग से बड़े हैं। इस मामले में, सातत्य यांत्रिकी के अपरिचित और विकृत विन्यास काफी अलग हैं और उनके बीच एक स्पष्ट अंतर किया जाना है। यह आमतौर पर इलास्टोमर्स, प्लास्टिसिटी (भौतिकी) के साथ मामला है। प्लास्टिक-डिफॉर्मिंग सामग्री और अन्य तरल पदार्थ और जैविक नरम ऊतक।
• इनफिनिटिमल स्ट्रेन थ्योरी, जिसे छोटे तनाव सिद्धांत, छोटे विरूपण सिद्धांत, छोटे विस्थापन सिद्धांत, या छोटे विस्थापन-ग्रेडिएंट सिद्धांत भी कहा जाता है, जहां उपभेद और घुमाव दोनों छोटे होते हैं। इस मामले में, शरीर के अपरिचित और विकृत कॉन्फ़िगरेशन को समान माना जा सकता है। इनफिनिटिमल स्ट्रेन थ्योरी का उपयोग विकृति (इंजीनियरिंग) #Elastic विरूपण व्यवहार को प्रदर्शित करने वाली सामग्रियों के विकृति के विश्लेषण में किया जाता है, जैसे कि यांत्रिक और सिविल इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में पाया गया सामग्री, उदा। कंक्रीट और स्टील।
• बड़े-विस्थापन या बड़े-रोटेशन सिद्धांत, जो छोटे उपभेदों को मानता है लेकिन बड़े घुमाव और विस्थापन।

इन सिद्धांतों में से प्रत्येक में तनाव को अलग तरह से परिभाषित किया जाता है। इंजीनियरिंग तनाव यांत्रिक और संरचनात्मक इंजीनियरिंग में उपयोग की जाने वाली सामग्रियों पर लागू सबसे आम परिभाषा है, जो बहुत छोटे विकृति के अधीन हैं। दूसरी ओर, कुछ सामग्रियों के लिए, जैसे, इलास्टोमर्स और पॉलिमर, बड़े विकृति के अधीन, तनाव की इंजीनियरिंग परिभाषा लागू नहीं है, उदा। ठेठ इंजीनियरिंग उपभेद 1%से अधिक, इस प्रकार तनाव की अन्य अधिक जटिल परिभाषाओं की आवश्यकता होती है, जैसे कि स्ट्रेच, लॉगरिदमिक स्ट्रेन, हरे तनाव और अल्मांसी स्ट्रेन।

इंजीनियरिंग तनाव

इंजीनियरिंग स्ट्रेन, जिसे कॉची स्ट्रेन के रूप में भी जाना जाता है, को भौतिक निकाय के प्रारंभिक आयाम के लिए कुल विरूपण के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिस पर बलों को लागू किया जाता है। इंजीनियरिंग नॉर्मल स्ट्रेन या इंजीनियरिंग एक्सटेंशनल स्ट्रेन या नाममात्र तनाव e एक सामग्री लाइन तत्व या फाइबर अक्षीय रूप से लोड किए गए को लंबाई में परिवर्तन के रूप में व्यक्त किया जाता है ΔL मूल लंबाई की प्रति इकाई L लाइन तत्व या फाइबर की।यदि वे संकुचित होते हैं तो सामान्य तनाव सकारात्मक होता है यदि सामग्री फाइबर बढ़े और नकारात्मक होते हैं।इस प्रकार, हमारे पास है

$$e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}$$

कहाँ पे e क्या इंजीनियरिंग सामान्य तनाव है, L फाइबर की मूल लंबाई है और l फाइबर की अंतिम लंबाई है।तनाव के उपाय अक्सर प्रति मिलियन या माइक्रोस्ट्रेंस के भागों में व्यक्त किए जाते हैं।

सच्चे कतरनी तनाव को दो सामग्री लाइन तत्वों के बीच कोण (रेडियन में) में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है, जो शुरू में एक दूसरे के लिए लंबवत या प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन में लंबवत है।इंजीनियरिंग शीयर स्ट्रेन को उस कोण के स्पर्शरेखा के रूप में परिभाषित किया गया है, और बल अनुप्रयोग के विमान में लंबवत लंबाई से विभाजित अधिकतम पर विरूपण की लंबाई के बराबर है जो कभी -कभी गणना करना आसान बनाता है।

खिंचाव अनुपात

खिंचाव अनुपात या एक्सटेंशन अनुपात एक अंतर लाइन तत्व के विस्तारक या सामान्य तनाव का एक माप है, जिसे या तो अवांछनीय कॉन्फ़िगरेशन या विकृत कॉन्फ़िगरेशन पर परिभाषित किया जा सकता है।इसे अंतिम लंबाई के बीच के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है l और प्रारंभिक लंबाई L सामग्री लाइन की।

$$\lambda ={\frac {l}{L}}$$

विस्तार अनुपात लगभग इंजीनियरिंग तनाव से संबंधित है

$$e={\frac {l-L}{L}}=\lambda -1$$

इस समीकरण का अर्थ है कि सामान्य तनाव शून्य है, ताकि खिंचाव एकता के बराबर होने पर कोई विरूपण न हो।

खिंचाव अनुपात का उपयोग उन सामग्रियों के विश्लेषण में किया जाता है जो बड़े विकृति को प्रदर्शित करते हैं, जैसे कि इलास्टोमर्स, जो असफल होने से पहले 3 या 4 के खिंचाव अनुपात को बनाए रख सकते हैं।दूसरी ओर, पारंपरिक इंजीनियरिंग सामग्री, जैसे कि कंक्रीट या स्टील, बहुत कम खिंचाव अनुपात में विफल हो जाती है।

सच्चा तनाव

लघुगणक तनाव ε, यह भी कहा जाता है, सच्चा तनाव या हेंकी तनाव। एक वृद्धिशील तनाव (लुडविक) को ध्यान में रखते हुए

$$\delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}$$

लॉगरिदमिक तनाव इस वृद्धिशील तनाव को एकीकृत करके प्राप्त किया जाता है:

$${\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \end{aligned}}$$

कहाँ पे e इंजीनियरिंग तनाव है।लॉगरिदमिक स्ट्रेन अंतिम तनाव का सही उपाय प्रदान करता है जब विरूपण वेतन वृद्धि की एक श्रृंखला में होता है, तनाव पथ के प्रभाव को ध्यान में रखते हुए।

हरा तनाव

Main article: Finite strain theory

हरे रंग के तनाव को परिभाषित किया गया है:

$$\varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)$$

= मानक

Main article: Finite strain theory

यूलर-अल्मांसी तनाव के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)$$

सामान्य और कतरनी तनाव

एक असीम सामग्री तत्व के द्वि-आयामी ज्यामितीय विरूपण।

उपभेदों को सामान्य या कतरनी के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।एक सामान्य तनाव एक तत्व के चेहरे के लिए लंबवत है, और एक कतरनी तनाव इसके समानांतर है।ये परिभाषाएँ सामान्य तनाव और कतरनी तनाव के अनुरूप हैं।

सामान्य तनाव

एक आइसोट्रोपिक सामग्री के लिए जो हुक के नियम का पालन करता है, एक सामान्य तनाव एक सामान्य तनाव का कारण होगा।सामान्य उपभेद फैलाव का उत्पादन करते हैं।

आयामों के साथ एक द्वि-आयामी, इनफिनिटिमल, आयताकार सामग्री तत्व पर विचार करें dx × dy, जो, विरूपण के बाद, एक rhombus का रूप लेता है।विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी) द्वारा विरूपण का वर्णन किया गया है u।आसन्न आकृति की ज्यामिति से हमारे पास है

$$\mathrm {length} (AB)=dx$$

तथा

$${\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\end{aligned}}$$

बहुत छोटे विस्थापन ग्रेडिएंट्स के व्युत्पन्न के वर्ग $u_{y}$ नगण्य हैं और हमारे पास है

$$\mathrm {length} (ab)\approx dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)=dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx$$

में सामान्य तनाव x-द्वारा आयताकार तत्व की संख्या को परिभाषित किया गया है

$$\varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}$$

इसी तरह, सामान्य तनाव में y- तथा z-डायरेक्शन बन जाता है

$$\varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}$$

कतरनी तनाव

Shear strain
सामान्य प्रतीक	γ or ε
Si   इकाई	1, or radian
अन्य मात्राओं से व्युत्पत्तियां	γ = τ/G

इंजीनियरिंग कतरनी तनाव (γ_xy) को लाइनों के बीच कोण में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है AC तथा AB।इसलिए,

$$\gamma _{xy}=\alpha +\beta$$

आकृति की ज्यामिति से, हमारे पास है

$${\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}$$

छोटे विस्थापन ग्रेडिएंट्स के लिए हमारे पास है

$${\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1$$

छोटे घुमाव के लिए, अर्थात् α तथा β ≪ 1 हमारे पास हैं tan α ≈ α, tan β ≈ β।इसलिए,

$$\alpha \approx {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}$$

इस प्रकार

$$\gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}$$

परस्पर क्रिया करके x तथा y तथा u_x तथा u_y, यह दिखाया जा सकता है γ_xy = γ_yx।

इसी तरह, के लिए yz- तथा xz-प्लेन, हमारे पास है

$$\gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}$$

इनफिनिटिमल स्ट्रेन टेंसर के टेंसोरियल कतरनी तनाव घटकों को तब इंजीनियरिंग स्ट्रेन परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, γ, जैसा

$${\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yx}&\varepsilon _{yy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}$$

मीट्रिक टेंसर

Main article: Finite strain theory § Deformation tensors in curvilinear coordinates

विस्थापन से जुड़े एक तनाव क्षेत्र को किसी भी बिंदु पर, स्पर्शरेखा वैक्टर की लंबाई में परिवर्तन द्वारा परिभाषित किया जाता है जो उस बिंदु से गुजरने वाले मनमाने ढंग से पैरामीट्राइज्ड वक्रों की गति का प्रतिनिधित्व करता है।मौरिस फ्रैचेट के कारण एक बुनियादी ज्यामितीय परिणाम। फ्रैचेट, जॉन वॉन न्यूमैन और पास्कुअल जॉर्डन, कहते हैं कि, यदि स्पर्शरेखा वैक्टर की लंबाई एक आदर्श (गणित) और समानांतर चांदी के कानून को पूरा करती है, तो एक वेक्टर की लंबाई एक वेक्टर की लंबाई है।ध्रुवीकरण के सूत्र द्वारा जुड़े द्विघात रूप के मूल्य का वर्गमूल, एक सकारात्मक निश्चित बिलिनियर मैप के साथ, जिसे मीट्रिक टेंसर कहा जाता है।

विरूपण का विवरण

विरूपण एक निरंतर शरीर के मीट्रिक गुणों में परिवर्तन है, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक शरीर के प्लेसमेंट में खींचा गया एक वक्र अंतिम प्लेसमेंट में एक वक्र में विस्थापित होने पर इसकी लंबाई बदल देता है।यदि कोई भी घटता लंबाई नहीं बदलता है, तो यह कहा जाता है कि एक कठोर शरीर विस्थापन हुआ।

यह एक संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन या निरंतरता निकाय के प्रारंभिक ज्यामितीय स्थिति की पहचान करने के लिए सुविधाजनक है, जिसे बाद के सभी कॉन्फ़िगरेशन से संदर्भित किया जाता है।संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन की आवश्यकता नहीं है एक शरीर वास्तव में कभी भी कब्जा कर लेगा।अक्सर, कॉन्फ़िगरेशन पर t = 0 संदर्भ विन्यास माना जाता है, κ₀(B)।वर्तमान समय पर कॉन्फ़िगरेशन t वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन है।

विरूपण विश्लेषण के लिए, संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन को अवांछनीय कॉन्फ़िगरेशन के रूप में पहचाना जाता है, और वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन विकृत कॉन्फ़िगरेशन के रूप में।इसके अतिरिक्त, समय पर विचार नहीं किया जाता है जब विरूपण का विश्लेषण किया जाता है, इस प्रकार अपरिचित और विकृत कॉन्फ़िगरेशन के बीच विन्यास का अनुक्रम कोई ब्याज नहीं है।

अवयव X_i स्थिति वेक्टर की X संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन में एक कण, संदर्भ समन्वय प्रणाली के संबंध में लिया गया, सामग्री या संदर्भ निर्देशांक कहा जाता है।दूसरी ओर, घटक x_i स्थिति वेक्टर की x विकृत कॉन्फ़िगरेशन में एक कण, संदर्भ के स्थानिक समन्वय प्रणाली के संबंध में लिया गया, स्थानिक निर्देशांक कहा जाता है

एक निरंतरता के विरूपण का विश्लेषण करने के लिए दो तरीके हैं।एक विवरण सामग्री या संदर्भ निर्देशांक के संदर्भ में किया जाता है, जिसे कॉन्टिनम यांत्रिकी कहा जाता है।विरूपण का एक दूसरा विवरण स्थानिक निर्देशांक के संदर्भ में किया जाता है इसे कॉन्टिनम यांत्रिकी कहा जाता है।

इस अर्थ में एक निरंतरता शरीर की विरूपण के दौरान निरंतरता है:

• किसी भी पल में एक बंद वक्र बनाने वाली सामग्री बिंदु हमेशा किसी भी समय में एक बंद वक्र बनाएंगे।
• किसी भी पल में एक बंद सतह बनाने वाली सामग्री बिंदु हमेशा किसी भी समय में एक बंद सतह बनाएगी और बंद सतह के भीतर का मामला हमेशा भीतर रहेगा।

affine विरूपण

एक विरूपण को एक affine विरूपण कहा जाता है यदि इसे एक affine परिवर्तन द्वारा वर्णित किया जा सकता है।इस तरह का परिवर्तन एक रैखिक परिवर्तन (जैसे रोटेशन, कतरनी, विस्तार और संपीड़न) और एक कठोर शरीर अनुवाद से बना है।Affine विकृति को सजातीय विकृति भी कहा जाता है। इसलिए, एक affine विरूपण का रूप है

$$\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {F}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)$$

कहाँ पे x विकृत कॉन्फ़िगरेशन में एक बिंदु की स्थिति है, X एक संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन में स्थिति है, t एक समय जैसा पैरामीटर है, F रैखिक ट्रांसफार्मर है और c अनुवाद है।मैट्रिक्स के रूप में, जहां घटक एक ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में हैं,

$${\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{11}(t)&F_{12}(t)&F_{13}(t)\\F_{21}(t)&F_{22}(t)&F_{23}(t)\\F_{31}(t)&F_{32}(t)&F_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}$$

उपरोक्त विरूपण गैर-अफाइन या अमानवीय हो जाता है F = F(X,t) या c = c(X,t)।

कठोर शरीर गति

एक कठोर शरीर गति एक विशेष एफाइन विरूपण है जिसमें कोई कतरनी, विस्तार या संपीड़न शामिल नहीं है।परिवर्तन मैट्रिक्स F रोटेशन की अनुमति देने के लिए ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है लेकिन कोई प्रतिबिंब (गणित) नहीं है।

एक कठोर शरीर की गति का वर्णन किया जा सकता है

$$\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {Q}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)$$

कहाँ पे

$${\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}={\boldsymbol {Q}}^{T}\cdot {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}$$

मैट्रिक्स के रूप में,

$${\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{11}(t)&Q_{12}(t)&Q_{13}(t)\\Q_{21}(t)&Q_{22}(t)&Q_{23}(t)\\Q_{31}(t)&Q_{32}(t)&Q_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}$$

विस्थापन

चित्रा 1. एक निरंतर शरीर की गति।

एक निरंतरता शरीर के कॉन्फ़िगरेशन में परिवर्तन एक विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी) में परिणाम होता है।एक शरीर के विस्थापन में दो घटक होते हैं: एक कठोर-शरीर विस्थापन और एक विरूपण।एक कठोर-शरीर विस्थापन में एक साथ अनुवाद और शरीर का रोटेशन होता है, इसके आकार या आकार को बदले बिना।विरूपण का तात्पर्य एक प्रारंभिक या अनिर्धारित कॉन्फ़िगरेशन से शरीर के आकार और/या आकार में परिवर्तन है κ₀(B) एक वर्तमान या विकृत कॉन्फ़िगरेशन के लिए κ_t(B) (आकृति 1)।

यदि निरंतरता के विस्थापन के बाद कणों के बीच एक सापेक्ष विस्थापन होता है, तो एक विरूपण हुआ है।दूसरी ओर, यदि निरंतरता के विस्थापन के बाद वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन में कणों के बीच सापेक्ष विस्थापन शून्य है, तो कोई विरूपण नहीं है और एक कठोर-शरीर विस्थापन कहा जाता है।

अनिर्धारित कॉन्फ़िगरेशन और विकृत कॉन्फ़िगरेशन में एक कण पी की स्थिति में शामिल होने वाले वेक्टर को विस्थापन (वेक्टर) कहा जाता है u(X,t) = u_ie_i लैग्रैन्जियन विवरण में, या U(x,t) = U_JE_J यूलरियन विवरण में।

एक विस्थापन क्षेत्र शरीर के सभी कणों के लिए सभी विस्थापन वैक्टर का एक वेक्टर क्षेत्र है, जो अपरिचित कॉन्फ़िगरेशन के साथ विकृत कॉन्फ़िगरेशन से संबंधित है।विस्थापन क्षेत्र के संदर्भ में एक निरंतर शरीर के विरूपण या गति का विश्लेषण करना सुविधाजनक है।सामान्य तौर पर, विस्थापन क्षेत्र को सामग्री निर्देशांक के रूप में व्यक्त किया जाता है

$$\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {X} ,t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}$$

या स्थानिक निर्देशांक के संदर्भ में

$$\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}$$

कहाँ पे α_Ji यूनिट वैक्टर के साथ सामग्री और स्थानिक समन्वय प्रणालियों के बीच दिशा कोसाइन हैं E_J तथा e_i, क्रमश।इस प्रकार

$$\mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}$$

और के बीच संबंध u_i तथा U_J तब द्वारा दिया जाता है

$$u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}$$

जानते हुए भी

$$\mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}$$

फिर

$$\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)$$

अवांछित और विकृत कॉन्फ़िगरेशन के लिए समन्वय प्रणालियों को सुपरइम्पोज करने के लिए यह आम है, जिसके परिणामस्वरूप होता है b = 0, और दिशा कोसाइन क्रोनकर डेल्टास बन जाती है:

$$\mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}$$

इस प्रकार, हमारे पास है

$$\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}$$

या स्थानिक निर्देशांक के संदर्भ में

$$\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}$$

विस्थापन ढाल टेंसर

सामग्री निर्देशांक के संबंध में विस्थापन वेक्टर का आंशिक भेदभाव सामग्री विस्थापन ढाल टेंसर की पैदावार देता है ∇_Xu।इस प्रकार हमारे पास है:

$${\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {I} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \end{aligned}}$$

या

$${\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}\\{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}&={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\delta _{iK}\end{aligned}}$$

कहाँ पे F विरूपण ढाल टेंसर है।

इसी तरह, स्थानिक निर्देशांक के संबंध में विस्थापन वेक्टर का आंशिक भेदभाव स्थानिक विस्थापन ढाल टेंसर पैदा करता है ∇_xU।इस प्रकार हमारे पास है,

$${\begin{aligned}\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)&=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\mathbf {F} ^{-1}\end{aligned}}$$

या

$${\begin{aligned}U_{J}&=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}\\{\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}&=\delta _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}\end{aligned}}$$

विकृति के उदाहरण

सजातीय (या एफाइन) विकृति सामग्री के व्यवहार को स्पष्ट करने में उपयोगी होती है।ब्याज के कुछ सजातीय विकृति हैं

• यूनिफ़ॉर्म एक्सटेंशन
• शुद्ध फैलाव
• इक्विबिआक्सियल टेंशन
• सरल कतरनी
• शुद्ध कतरनी

विमान विकृति भी रुचि के हैं, विशेष रूप से प्रयोगात्मक संदर्भ में।

विमान विरूपण

एक विमान विरूपण, जिसे विमान स्ट्रेन भी कहा जाता है, वह है जहां विरूपण संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन में विमानों में से एक तक सीमित है।यदि विरूपण आधार वैक्टर द्वारा वर्णित विमान तक सीमित है e₁, e₂, विरूपण ढाल का रूप है

$${\boldsymbol {F}}=F_{11}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{12}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+F_{21}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\otimes \mathbf {e} _{3}$$

मैट्रिक्स के रूप में,

$${\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}F_{11}&F_{12}&0\\F_{21}&F_{22}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$

ध्रुवीय अपघटन प्रमेय से, विरूपण ढाल, निर्देशांक के परिवर्तन तक, एक खिंचाव और एक रोटेशन में विघटित किया जा सकता है।चूंकि सभी विरूपण एक विमान में है, इसलिए हम लिख सकते हैं

$${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {U}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$

कहाँ पे θ रोटेशन का कोण है और λ₁, λ₂ परिमित तनाव सिद्धांत हैं।

आइसोचोरिक विमान विरूपण

यदि विरूपण आइसोचोरिक (वॉल्यूम प्रिजर्विंग) है तो det(F) = 1 और हमारे पास है

$$F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1$$

वैकल्पिक रूप से,

$$\lambda _{1}\lambda _{2}=1$$

सरल कतरनी

एक साधारण कतरनी विरूपण को एक आइसोचोरिक विमान विरूपण के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें किसी दिए गए संदर्भ अभिविन्यास के साथ लाइन तत्वों का एक सेट होता है जो विरूपण के दौरान लंबाई और अभिविन्यास को नहीं बदलता है।

यदि e₁ क्या निश्चित संदर्भ अभिविन्यास है जिसमें लाइन तत्व विरूपण के दौरान विकृत नहीं होते हैं λ₁ = 1 तथा F·e₁ = e₁। इसलिए,

$$F_{11}\mathbf {e} _{1}+F_{21}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}\quad \implies \quad F_{11}=1~;~~F_{21}=0$$

चूंकि विरूपण समस्थानिक है,

$$F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1\quad \implies \quad F_{22}=1$$

परिभाषित करना

$$\gamma :=F_{12}$$

फिर, सरल कतरनी में विरूपण ढाल को व्यक्त किया जा सकता है

$${\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$

अब,

$${\boldsymbol {F}}\cdot \mathbf {e} _{2}=F_{12}\mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}=\gamma \mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2}\quad \implies \quad {\boldsymbol {F}}\cdot (\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2})=\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}$$

तब से

$$\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {\mathit {1}}}$$

हम विरूपण ढाल के रूप में भी लिख सकते हैं

$${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}+\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}$$

यह भी देखें

• झुकने वाले बलों के कारण बीम (संरचना) या दीवार स्टड जैसे लंबे तत्वों की विरूपण को विक्षेपण (इंजीनियरिंग) के रूप में जाना जाता है।
• यूलर -बर्नौली बीम थ्योरी
• विरूपण (इंजीनियरिंग)
• परिमित तनाव सिद्धांत
• इनफिनिटिमल स्ट्रेन थ्योरी
• Moiré पैटर्न
• कतरनी मापांक
• अपरूपण तनाव
• कतरनी ताकत
• तनाव (यांत्रिकी)
• तनाव के उपाय

अग्रिम पठन

• Bazant, Zdenek P.; Cedolin, Luigi (2010). Three-Dimensional Continuum Instabilities and Effects of Finite Strain Tensor, chapter 11 in "Stability of Structures", 3rd ed. Singapore, New Jersey, London: World Scientific Publishing. ISBN 9814317039.
• Dill, Ellis Harold (2006). Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity. Germany: CRC Press. ISBN 0-8493-9779-0.
• Hutter, Kolumban; Jöhnk, Klaus (2004). Continuum Methods of Physical Modeling. Germany: Springer. ISBN 3-540-20619-1.
• Jirasek, M; Bazant, Z.P. (2002). Inelastic Analysis of Structures. London and New York: J. Wiley & Sons. ISBN 0471987166.
• Lubarda, Vlado A. (2001). Elastoplasticity Theory. CRC Press. ISBN 0-8493-1138-1.
• Macosko, C. W. (1994). Rheology: principles, measurement and applications. VCH Publishers. ISBN 1-56081-579-5.
• Mase, George E. (1970). Continuum Mechanics. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-040663-4.
• Mase, G. Thomas; Mase, George E. (1999). Continuum Mechanics for Engineers (2nd ed.). CRC Press. ISBN 0-8493-1855-6.
• Nemat-Nasser, Sia (2006). Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83979-3.
• Prager, William (1961). Introduction to Mechanics of Continua. Boston: Ginn and Co. ISBN 0486438090.