परिमित तनाव सिद्धांत

सातत्यक यांत्रिकी में, परिमित तनाव सिद्धांत - जिसे बड़े तनाव सिद्धांत, या बड़े विरूपण सिद्धांत भी कहा जाता है - विरूपण (यांत्रिकी) के साथ डील करता है जिसमें उपभेदों और/या रोटेशन अमानवीय तनाव सिद्धांत में निहित मान्यताओं को अमान्य करने के लिए पर्याप्त बड़े होते हैं।इस मामले में, निरंतरता के अविकसित और विकृत विन्यास काफी भिन्न होते हैं, उनके बीच एक स्पष्ट अंतर की आवश्यकता होती है।यह आमतौर पर elastomer ्स, प्लास्टिसिटी (भौतिकी) के साथ मामला है। प्लास्टिक-डिफॉर्मिंग सामग्री और अन्य तरल पदार्थ और जीव विज्ञान नरम ऊतक।

विस्थापन

चित्रा 1. एक निरंतर शरीर की गति।

एक शरीर के विस्थापन में दो घटक होते हैं: एक कठोर शरीर | कठोर-शरीर विस्थापन और एक विरूपण।

• एक कठोर-शरीर विस्थापन में एक साथ अनुवाद (भौतिकी) और शरीर का रोटेशन होता है, इसके आकार या आकार को बदले बिना।
• विरूपण का तात्पर्य एक प्रारंभिक या अनिर्धारित कॉन्फ़िगरेशन से शरीर के आकार और/या आकार में परिवर्तन है $\kappa _{0}({\mathcal {B}})$ एक वर्तमान या विकृत कॉन्फ़िगरेशन के लिए $\kappa _{t}({\mathcal {B}})$ (आकृति 1)।

एक निरंतरता शरीर के कॉन्फ़िगरेशन में परिवर्तन को एक विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी) द्वारा वर्णित किया जा सकता है।एक विस्थापन क्षेत्र शरीर के सभी कणों के लिए सभी विस्थापन वैक्टर का एक वेक्टर क्षेत्र है, जो अवांछनीय कॉन्फ़िगरेशन के साथ विकृत कॉन्फ़िगरेशन से संबंधित है।किसी भी दो कणों के बीच की दूरी बदल जाती है यदि और केवल यदि विरूपण हुआ है।यदि विस्थापन विरूपण के बिना होता है, तो यह एक कठोर-शरीर विस्थापन है।

सामग्री निर्देशांक (लैग्रैन्जियन विवरण)

चर द्वारा अनुक्रमित कणों का विस्थापन i निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है।वेक्टर अनिर्धारित कॉन्फ़िगरेशन में एक कण की स्थिति में शामिल हो रहा है $P_{i}$ और विकृत विन्यास $p_{i}$ विस्थापन (वेक्टर) कहा जाता है।का उपयोग करते हुए $\mathbf {X}$ की जगह में $P_{i}$ तथा $\mathbf {x}$ की जगह में $p_{i}\,\!$, दोनों समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति से प्रत्येक संबंधित बिंदु तक वैक्टर हैं, हमारे पास विस्थापन वेक्टर का निरंतर यांत्रिकी#लैग्रैन्जियन विवरण है:

$$\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}$$

कहाँ पे $\mathbf {e} _{i}$ ऑर्थोनॉर्मल एकक वैक्टर हैं जो स्थानिक (लैब-फ्रेम) समन्वय प्रणाली के आधार (रैखिक बीजगणित) को परिभाषित करते हैं।

सामग्री निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किया गया, अर्थात् $\mathbf {u}$ के एक समारोह के रूप में $\mathbf {X}$, विस्थापन क्षेत्र है:

$$\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}$$

कहाँ पे $\mathbf {b} (t)$ विस्थापन वेक्टर कठोर-शरीर अनुवाद का प्रतिनिधित्व करता है।

सामग्री निर्देशांक के संबंध में विस्थापन वेक्टर का आंशिक व्युत्पन्न सामग्री विस्थापन ढाल टेंसर पैदा करता है $\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!$।इस प्रकार हमारे पास है,

$$\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {R} =\mathbf {F} -\mathbf {R} \qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\alpha _{iK}=F_{iK}-\alpha _{iK}$$

कहाँ पे $\mathbf {F}$ परिमित तनाव सिद्धांत#विरूपण ढाल टेंसर है।

स्थानिक निर्देशांक (यूलरियन विवरण)

कॉन्टिनम मैकेनिक्स#यूलरियन विवरण में, एक कण से विस्तारित वेक्टर $P$ विकृत कॉन्फ़िगरेशन में इसके स्थान पर अपरिचित कॉन्फ़िगरेशन में विस्थापन (वेक्टर) कहा जाता है:

$$\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}$$

कहाँ पे $\mathbf {E} _{i}$ यूनिट वैक्टर हैं जो सामग्री (बॉडी-फ्रेम) समन्वय प्रणाली के आधार को परिभाषित करते हैं।

स्थानिक निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किया गया, अर्थात् $\mathbf {U}$ के एक समारोह के रूप में $\mathbf {x}$, विस्थापन क्षेत्र है:

$$\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}$$

स्थानिक निर्देशांक के संबंध में विस्थापन वेक्टर का आंशिक व्युत्पन्न स्थानिक विस्थापन ढाल टेंसर पैदा करता है $\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!$।इस प्रकार हमारे पास है,

$$\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} =\mathbf {R} ^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {R} ^{T}-\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,.$$

सामग्री और स्थानिक समन्वय प्रणालियों के बीच संबंध

$\alpha _{Ji}$ यूनिट वैक्टर के साथ सामग्री और स्थानिक समन्वय प्रणालियों के बीच दिशा कोसाइन हैं $\mathbf {E} _{J}$ तथा $\mathbf {e} _{i}\,\!$, क्रमश।इस प्रकार

$$\mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}$$

बीच के रिश्ते $u_{i}$ तथा $U_{J}$ तब द्वारा दिया जाता है

$$u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}$$

जानते हुए भी

$$\mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}$$

फिर

$$\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)$$

विकृत और अवांछनीय विन्यास के समन्वय प्रणालियों का संयोजन

विकृत और अनिर्धारित कॉन्फ़िगरेशन के लिए समन्वय प्रणालियों को सुपरइम्पोज करने के लिए यह आम है, जिसके परिणामस्वरूप होता है $\mathbf {b} =0\,\!$, और दिशा कोसाइन क्रोनकर डेल्टा स बन जाती है, अर्थात्,

$$\mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}$$

इस प्रकार सामग्री (अविकसित) निर्देशांक में, विस्थापन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}$$

और स्थानिक (विकृत) निर्देशांक में, विस्थापन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}$$

विरूपण ढाल टेंसर

चित्रा 2. एक निरंतर शरीर की विरूपण।

विरूपण ढाल टेंसर $\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}$ संदर्भ और वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन दोनों से संबंधित है, जैसा कि यूनिट वैक्टर द्वारा देखा गया है $\mathbf {e} _{j}$ तथा $\mathbf {I} _{K}\,\!$, इसलिए यह एक दो-बिंदु टेंसर है।

की निरंतरता की धारणा के कारण $\chi (\mathbf {X} ,t)\,\!$, $\mathbf {F}$ उलटा है $\mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!$, कहाँ पे $\mathbf {H}$ स्थानिक विरूपण ढाल टेंसर है।फिर, निहित फ़ंक्शन प्रमेय द्वारा, जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक निर्धारक $J(\mathbf {X} ,t)$ निरर्थक होना चाहिए, अर्थात् $J(\mathbf {X} ,t)=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0$ सामग्री विरूपण ढाल टेंसर $\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}$ एक टेंसर#टेंसर रैंक है। सेकंड-ऑर्डर टेंसर जो मैपिंग फ़ंक्शन या कार्यात्मक संबंध के ढाल का प्रतिनिधित्व करता है $\chi (\mathbf {X} ,t)\,\!$, जो निरंतर यांत्रिकी का वर्णन करता है।सामग्री विरूपण ढाल टेंसर स्थिति वेक्टर के साथ एक सामग्री बिंदु पर स्थानीय विरूपण की विशेषता है $\mathbf {X} \,\!$, यानी, पड़ोसी बिंदुओं पर विरूपण, परिवर्तन (रैखिक परिवर्तन ) द्वारा एक सामग्री लाइन तत्व को संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन से वर्तमान या विकृत कॉन्फ़िगरेशन में उस बिंदु से निकलता है, मैपिंग फ़ंक्शन में निरंतरता मानते हुए $\chi (\mathbf {X} ,t)\,\!$, यानी का अलग कार्य $\mathbf {X}$ और समय $t\,\!$, जिसका अर्थ है कि भंग और voids विरूपण के दौरान नहीं खुले या बंद नहीं होते हैं।इस प्रकार हमारे पास है,

$${\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}$$

सापेक्ष विस्थापन वेक्टर

एक निरंतर यांत्रिकी पर विचार करें $P$ स्थिति वेक्टर के साथ $\mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}$ अनिर्धारित कॉन्फ़िगरेशन (चित्रा 2) में।शरीर के विस्थापन के बाद, द्वारा इंगित कण की नई स्थिति $p$ नए कॉन्फ़िगरेशन में वेक्टर स्थिति द्वारा दिया गया है $\mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!$।अनिर्धारित और विकृत कॉन्फ़िगरेशन के लिए समन्वय प्रणाली को सुविधा के लिए सुपरिंपल किया जा सकता है।

अब एक सामग्री बिंदु पर विचार करें $Q$ पड़ोसी $P\,\!$, स्थिति वेक्टर के साथ $\mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!$।विकृत कॉन्फ़िगरेशन में इस कण की एक नई स्थिति है $q$ स्थिति वेक्टर द्वारा दिया गया $\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!$।यह मानते हुए कि लाइन सेगमेंट $\Delta X$ तथा $\Delta \mathbf {x}$ कणों में शामिल होना $P$ तथा $Q$ क्रमशः अविकसित और विकृत कॉन्फ़िगरेशन दोनों में, बहुत कम होने के लिए, फिर हम उन्हें व्यक्त कर सकते हैं $d\mathbf {X}$ तथा $d\mathbf {x} \,\!$।इस प्रकार चित्र 2 से हमारे पास है

$${\begin{aligned}\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}}$$

कहाँ पे $\mathbf {du}$ सापेक्ष विस्थापन वेक्टर है, जो सापेक्ष विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है $Q$ इसके संबंध में $P$ विकृत कॉन्फ़िगरेशन में।

टेलर सन्निकटन

एक असीम तत्व के लिए $d\mathbf {X} \,\!$, और विस्थापन क्षेत्र पर निरंतरता को मानते हुए, बिंदु के आसपास एक टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करना संभव है $P\,\!$, पड़ोसी कण के लिए सापेक्ष विस्थापन वेक्टर के घटकों को अनुमानित करने के लिए, उच्च-क्रम शब्दों की उपेक्षा करना, $Q$ जैसा

$${\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )&=\mathbf {u} (\mathbf {X} )+d\mathbf {u} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}=u_{i}+du_{i}\\&\approx \mathbf {u} (\mathbf {X} )+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}\approx u_{i}+{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{J}}}dX_{J}\,.\end{aligned}}$$

इस प्रकार, पिछले समीकरण $d\mathbf {x} =d\mathbf {X} +d\mathbf {u}$ के रूप में लिखा जा सकता है

$${\begin{aligned}d\mathbf {x} &=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\&=d\mathbf {X} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \\&=\left(\mathbf {I} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} d\mathbf {X} \end{aligned}}$$

विरूपण ढाल का समय-व्युत्पन्न

गणना जिसमें शरीर के समय-निर्भर विरूपण को शामिल किया जाता है, अक्सर गणना करने के लिए विरूपण ढाल के समय व्युत्पन्न की आवश्यकता होती है।इस तरह के व्युत्पन्न की एक ज्यामितीय रूप से सुसंगत परिभाषा के लिए अंतर ज्यामिति में एक भ्रमण की आवश्यकता होती है लेकिन हम इस लेख में उन मुद्दों से बचते हैं।

का समय व्युत्पन्न $\mathbf {F}$ है

$${\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]$$

कहाँ पे $\mathbf {V}$ (सामग्री) वेग है।दाहिने हाथ की तरफ व्युत्पन्न एक सामग्री वेग ढाल का प्रतिनिधित्व करता है।डेरिवेटिव के लिए चेन नियम को लागू करके एक स्थानिक ढाल में परिवर्तित करना आम है, अर्थात्, यानी,

$${\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F}$$

कहाँ पे ${\boldsymbol {l}}$ स्थानिक वेग ढाल है और जहां $\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)$ स्थानिक (यूलरियन) वेग है $\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)$।यदि स्थानिक वेग ढाल समय में स्थिर है, तो उपरोक्त समीकरण को देने के लिए बिल्कुल हल किया जा सकता है

$$\mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}$$

यह सोचते हैं $\mathbf {F} =\mathbf {1}$ पर $t=0$।उपरोक्त मैट्रिक्स घातीय की गणना के कई तरीके हैं।

निरंतरता यांत्रिकी में अक्सर उपयोग की जाने वाली संबंधित मात्रा क्रमशः विरूपण टेंसर और स्पिन टेंसर की दर होती है, क्रमशः: के रूप में:

$${\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.$$

विरूपण टेंसर की दर लाइन तत्वों के खिंचाव की दर देती है जबकि स्पिन टेंसर गति के रोटेशन या vorticity की दर को इंगित करता है।

विरूपण ढाल के व्युत्क्रम (संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन को तय करते हुए) के व्युत्क्रम के व्युत्पन्न का समय अक्सर विश्लेषण में आवश्यक होता है जिसमें परिमित उपभेद शामिल होते हैं।यह व्युत्पन्न है

$${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {F} ^{-1}\right)=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.$$

उपरोक्त संबंध को सामग्री समय व्युत्पन्न करके सत्यापित किया जा सकता है $\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X}$ और उस पर ध्यान देना ${\dot {\mathbf {X} }}=0$।

एक सतह और वॉल्यूम तत्व का परिवर्तन

एक संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन में क्षेत्रों के सापेक्ष एक विकृत कॉन्फ़िगरेशन में क्षेत्रों के संबंध में परिभाषित की गई मात्राओं को बदलने के लिए, और इसके विपरीत, हम नानसन के संबंध का उपयोग करते हैं, जैसा कि व्यक्त किया गया है।

$$da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N}$$

कहाँ पे $da$ विकृत कॉन्फ़िगरेशन में एक क्षेत्र का एक क्षेत्र है, $dA$ संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन में एक ही क्षेत्र है, और $\mathbf {n}$ जबकि वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन में क्षेत्र तत्व के लिए बाहरी सामान्य है $\mathbf {N}$ संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन में बाहरी सामान्य है, $\mathbf {F}$ विरूपण ढाल है, और $J=\det \mathbf {F} \,\!$।

वॉल्यूम तत्व के परिवर्तन के लिए संबंधित सूत्र है

$$dv=J~dV$$

Derivation of Nanson's relation (see also )

To see how this formula is derived, we start with the oriented area elements in the reference and current configurations:

$$d\mathbf {A} =dA~\mathbf {N} ~;~~d\mathbf {a} =da~\mathbf {n}$$

The reference and current volumes of an element are

$$dV=d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} ~;~~dv=d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l}$$

where $d\mathbf {l} =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} \,\!$.

Therefore,

$$d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L}$$

or,

$$d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L}$$

so,

$$d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} =J~d\mathbf {A} ^{T}$$

So we get

$$d\mathbf {a} =J~\mathbf {F} ^{-T}\cdot d\mathbf {A}$$

or,

$$da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N}$$

Q.E.D.

विरूपण ग्रेडिएंट टेंसर का ध्रुवीय अपघटन

चित्रा 3. विरूपण ढाल के ध्रुवीय अपघटन का प्रतिनिधित्व

विरूपण ढाल $\mathbf {F} \,\!$, किसी भी उल्टे दूसरे क्रम के टेंसर की तरह, दो सेकंड-ऑर्डर टेन्सर (ट्रूसेडेल और नोल, 1965) के उत्पाद में ध्रुवीय अपघटन प्रमेय का उपयोग करते हुए, विघटित किया जा सकता है: एक ऑर्थोगोनल टेंसर और एक सकारात्मक निश्चित सममित टेंसर, यानी, यानी, यानी,

$$\mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R}$$

जहां टेंसर $\mathbf {R}$ एक उचित ऑर्थोगोनल टेंसर है, अर्थात्, $\mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}$ तथा $\det \mathbf {R} =+1\,\!$, एक रोटेशन का प्रतिनिधित्व करना;टेंसर $\mathbf {U}$ सही खिंचाव टेंसर है;तथा $\mathbf {V}$ बाएं खिंचाव टेंसर।दाएं और बाएं शब्द का अर्थ है कि वे रोटेशन टेंसर के दाएं और बाएं हैं $\mathbf {R} \,\!$, क्रमश। $\mathbf {U}$ तथा $\mathbf {V}$ दोनों सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स हैं, अर्थात् $\mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0$ तथा $\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0$ सभी गैर-शून्य के लिए $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$, और सममित टेन्सर, अर्थात् $\mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}$ तथा $\mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!$, दूसरे आदेश का।

इस अपघटन का अर्थ है कि एक लाइन तत्व की विरूपण $d\mathbf {X}$ अपरिचित कॉन्फ़िगरेशन में $d\mathbf {x}$ विकृत कॉन्फ़िगरेशन में, यानी, $d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!$, या तो पहले तत्व को खींचकर प्राप्त किया जा सकता है $\mathbf {U} \,\!$, अर्थात। $d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!$, एक रोटेशन के बाद $\mathbf {R} \,\!$, अर्थात, $d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {x} \,\!$;या समान रूप से, एक कठोर रोटेशन को लागू करके $\mathbf {R}$ सबसे पहले, यानी, $d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!$, बाद में एक स्ट्रेचिंग के बाद $\mathbf {V} \,\!$, अर्थात, $d\mathbf {x} '=\mathbf {V} \,d\mathbf {x}$ (चित्र 3 देखें)।

के orthogonality के कारण $\mathbf {R}$

$$\mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}$$

ताकि $\mathbf {U}$ तथा $\mathbf {V}$ एक ही eigenvalues या प्रिंसिपल स्ट्रेच हैं, लेकिन अलग -अलग eigenvectors या प्रिंसिपल दिशाएँ $\mathbf {N} _{i}$ तथा $\mathbf {n} _{i}\,\!$, क्रमश।प्रमुख निर्देशों से संबंधित हैं

$$\mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.$$

यह ध्रुवीय अपघटन, जो अद्वितीय है $\mathbf {F}$ एक सकारात्मक निर्धारक के साथ उल्टा है, एकवचन-मूल्य अपघटन का एक सहकर्मी है।

विरूपण तेनसर

Further information: Deformation tensor

यांत्रिकी में कई रोटेशन-स्वतंत्र विरूपण टेनर्स का उपयोग किया जाता है।ठोस यांत्रिकी में, इनमें से सबसे लोकप्रिय दाएं और बाएं कॉची -ग्रीन विरूपण टेनर्स हैं।

चूंकि एक शुद्ध रोटेशन एक विकृत शरीर में किसी भी उपभेद को प्रेरित नहीं करना चाहिए, इसलिए निरंतर यांत्रिकी में विरूपण के रोटेशन-स्वतंत्र उपायों का उपयोग करना अक्सर सुविधाजनक होता है।एक रोटेशन के बाद इसके उलटा रोटेशन के बाद कोई परिवर्तन नहीं होता है ($\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}=\mathbf {R} ^{T}\mathbf {R} =\mathbf {I} \,\!$) हम गुणा करके रोटेशन को बाहर कर सकते हैं $\mathbf {F}$ इसके पक्षांतरित द्वारा।

सही कॉची -ग्रीन विरूपण टेंसर

1839 में, जॉर्ज ग्रीन (गणितज्ञ) ने एक विरूपण टेंसर पेश किया, जिसे सही कॉची -ग्रीन विरूपण टेंसर या ग्रीन के विरूपण टेंसर के रूप में जाना जाता है, के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$\mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.$$

शारीरिक रूप से, कॉची -ग्रीन टेंसर हमें विरूपण के कारण दूरी में स्थानीय परिवर्तन का वर्ग देता है, अर्थात्। $d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X}$ के अविभाज्य $\mathbf {C}$ अक्सर तनाव ऊर्जा घनत्व कार्य ों के लिए अभिव्यक्तियों में उपयोग किया जाता है।दसियों के सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले आक्रमणकारी हैं

$${\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}$$

कहाँ पे $J:=\det \mathbf {F}$ विरूपण ढाल का निर्धारक है $\mathbf {F}$ तथा $\lambda _{i}$ यूनिट फाइबर के लिए खिंचाव अनुपात हैं जो शुरू में सही (संदर्भ) खिंचाव टेंसर के eigenvector दिशाओं के साथ उन्मुख होते हैं (ये आम तौर पर समन्वय प्रणालियों के तीन अक्ष के साथ संरेखित नहीं होते हैं)।

उंगली विरूपण tensor

IUPAC सिफारिश करता हैकि सही कॉची -ग्रीन विरूपण टेंसर का व्युत्क्रम (उस दस्तावेज़ में कॉची टेंसर कहा जाता है), i।इ।, $\mathbf {C} ^{-1}$, उंगली टेंसर कहा जाता है।हालांकि, उस नामकरण को लागू यांत्रिकी में सार्वभौमिक रूप से स्वीकार नहीं किया जाता है।

$$\mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}$$

बाएं कॉची -ग्रीन या उंगली विरूपण टेंसर

दाहिने हरे रंग -कूची विरूपण टेंसर के लिए सूत्र में गुणन के क्रम को उलटने से बाएं कॉची -ग्रीन विरूपण टेंसर होता है जिसे परिभाषित किया गया है:

$$\mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}$$

बाएं कॉची -ग्रीन विरूपण टेंसर को अक्सर उंगली विरूपण टेंसर कहा जाता है, जिसका नाम जोसेफ फिंगर (1894) के नाम पर रखा गया है। के अविभाज्य $\mathbf {B}$ तनाव ऊर्जा घनत्व कार्यों के लिए अभिव्यक्तियों में भी उपयोग किया जाता है।पारंपरिक आक्रमणकारियों को के रूप में परिभाषित किया गया है

$${\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}$$

कहाँ पे $J:=\det \mathbf {F}$ विरूपण ढाल का निर्धारक है।

संपीड़ित सामग्रियों के लिए, आक्रमणों का थोड़ा अलग सेट का उपयोग किया जाता है:

$$({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J\neq 1)~.$$

कॉची विरूपण टेंसर

इससे पहले 1828 में, ऑगस्टिन-लुइस कॉची ने एक विरूपण टेंसर पेश किया, जो बाएं कॉची-ग्रीन विरूपण के रूप में परिभाषित किया गया था, टेंसर, टेंसर, $\mathbf {B} ^{-1}\,\!$।इस टेंसर को पियाला टेंसर भी कहा गया हैऔर उंगली टेंसर रियोलॉजी और द्रव गतिशीलता साहित्य में।

$$\mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}$$

वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व

यदि तीन अलग -अलग प्रिंसिपल स्ट्रेच हैं $\lambda _{i}\,\!$, एक मैट्रिक्स के eigendecomposition $\mathbf {C}$ तथा $\mathbf {B}$ द्वारा दिया गया है

$$\mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}$$

आगे,

$$\mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}$$

$$\mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}$$

उसका अवलोकन करो

$$\mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})$$

इसलिए, वर्णक्रमीय अपघटन की विशिष्टता का भी अर्थ है कि $\mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!$।बाएं खिंचाव ($\mathbf {V} \,\!$) को स्थानिक खिंचाव टेंसर भी कहा जाता है जबकि सही खिंचाव ($\mathbf {U} \,\!$) को सामग्री खिंचाव टेंसर कहा जाता है।

का असर $\mathbf {F}$ अभिनय कर रहे $\mathbf {N} _{i}$ द्वारा वेक्टर को फैलाने के लिए है $\lambda _{i}$ और इसे नए अभिविन्यास के लिए घुमाना $\mathbf {n} _{i}\,\!$, अर्थात,

$$\mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}$$

इसी तरह से,

$$\mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.$$

उदाहरण

एक असंगत सामग्री का uniaxial विस्तार

यह वह मामला है जहां एक नमूना 1-दिशा में फैला हुआ है, जिसमें एक खिंचाव अनुपात है $\mathbf {\alpha =\alpha _{1}} \,\!$।यदि वॉल्यूम स्थिर रहता है, तो अन्य दो दिशाओं में संकुचन ऐसा है $\mathbf {\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}=1}$ या $\mathbf {\alpha _{2}=\alpha _{3}=\alpha ^{-0.5}} \,\!$।फिर:

$$\mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\alpha &0&0\\0&\alpha ^{-0.5}&0\\0&0&\alpha ^{-0.5}\end{bmatrix}}$$

$$\mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\alpha ^{2}&0&0\\0&\alpha ^{-1}&0\\0&0&\alpha ^{-1}\end{bmatrix}}$$

सरल कतरनी

$$\mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$

$$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$

$$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$

कठोर निकाय रोटेशन

$$\mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$

$$\mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {1}$$

स्ट्रेच का डेरिवेटिव

सही कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संबंध में खिंचाव के टेंसर व्युत्पन्न (सातत्य यांत्रिकी) का उपयोग कई ठोस, विशेष रूप से अतिवृद्धि सामग्री के तनाव-तनाव संबंधों को प्राप्त करने के लिए किया जाता है।ये डेरिवेटिव हैं

$${\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {C} }}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {R} ^{T}~(\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})~\mathbf {R} ~;~~i=1,2,3$$

और उन टिप्पणियों से पालन करें जो

$$\mathbf {C} :(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}^{2}~;~~~~{\cfrac {\partial \mathbf {C} }{\partial \mathbf {C} }}={\mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{\mathsf {I}}^{(s)}:(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}.$$

विरूपण टेंसर्स की भौतिक व्याख्या

होने देना $\mathbf {X} =X^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}$ एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली बनें जो अवांछित शरीर पर परिभाषित है और चलो $\mathbf {x} =x^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}$ विकृत शरीर पर एक और प्रणाली परिभाषित हो।एक वक्र $\mathbf {X} (s)$ अनिर्धारित शरीर में उपयोग का उपयोग करके पैरामीटर किया जाना चाहिए $s\in [0,1]$।विकृत शरीर में इसकी छवि है $\mathbf {x} (\mathbf {X} (s))$।

वक्र की अपरिचित लंबाई द्वारा दी गई है

$$l_{X}=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {I}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds$$

विरूपण के बाद, लंबाई बन जाती है

$${\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}$$

ध्यान दें कि सही कॉची -ग्रीन विरूपण टेंसर को परिभाषित किया गया है

$${\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}$$

अत,

$$l_{x}=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds$$

जो इंगित करता है कि लंबाई में परिवर्तन की विशेषता है ${\boldsymbol {C}}$।

परिमित तनाव टेंसर्स

तनाव की अवधारणा का उपयोग यह मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है कि किसी दिए गए विस्थापन को एक कठोर शरीर विस्थापन से स्थानीय रूप से कितना भिन्न होता है। बड़े विकृति के लिए इस तरह के उपभेदों में से एक है लैग्रैन्जियन परिमित तनाव टेंसर, जिसे ग्रीन-लाग्रैन्जियन स्ट्रेन टेंसर या ग्रीन-सेंट-वेन्ट स्ट्रेन टेंसर भी कहा जाता है, जिसे परिभाषित किया गया है

$$\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)$$

या विस्थापन ढाल टेंसर के एक समारोह के रूप में

$$\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]$$

या

$$E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial u_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{L}}}\right)$$

ग्रीन-लैग्रैजियन स्ट्रेन टेंसर एक उपाय है कि कितना $\mathbf {C}$ से भिन्न है $\mathbf {I} \,\!$।

Eulerian-Almansi परिमित तनाव टेंसर, विकृत कॉन्फ़िगरेशन के लिए संदर्भित, यानी Eulerian विवरण, के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {B} ^{-1})\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)$$

या हमारे पास विस्थापन ग्रेडिएंट्स के एक समारोह के रूप में

$$e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)$$

Derivation of the Lagrangian and Eulerian finite strain tensors

A measure of deformation is the difference between the squares of the differential line element $d\mathbf {X} \,\!$, in the undeformed configuration, and $d\mathbf {x} \,\!$, in the deformed configuration (Figure 2). Deformation has occurred if the difference is non zero, otherwise a rigid-body displacement has occurred. Thus we have,

$$d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad (dx)^{2}-(dX)^{2}=dx_{j}dx_{j}-dX_{M}\,dX_{M}$$

In the Lagrangian description, using the material coordinates as the frame of reference, the linear transformation between the differential lines is

$$d\mathbf {x} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{M}}}\,dX_{M}$$

Then we have,

$${\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} \\&=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dx)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}\\&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=C_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\\\end{aligned}}$$

where $C_{KL}$ are the components of the right Cauchy–Green deformation tensor, $\mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \,\!$. Then, replacing this equation into the first equation we have,

$${\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot (\mathbf {C} -\mathbf {I} )\cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \\\end{aligned}}$$

or

$${\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}-dX_{M}\,dX_{M}\\&=\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\end{aligned}}$$

where $E_{KL}\,\!$, are the components of a second-order tensor called the Green – St-Venant strain tensor or the Lagrangian finite strain tensor,

$$\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)$$

In the Eulerian description, using the spatial coordinates as the frame of reference, the linear transformation between the differential lines is Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "आ" found.in 1:62"): {\displaystyle d\mathbf{X} = \frac {\partial \mathbf{X}} {\ आंशिक \ mathbf {x}} d \ mathbf {x} = \ mathbf f^{-1} \, d \ mathbf {x} = \ mathbf {h} \, d \ mathbf {x} \ _ qquad \ _{या} \ qquad dx_m = \ frac {\ आंशिक x_m} {\ आंशिक x_n} \, dx_n } कहाँ पे गणित> \ frac {\ आंशिक x_m} {\ आंशिक x_n} </math> स्थानिक विरूपण ग्रेडिएंट टेंसर के घटक हैं, Math> \ Mathbf {H} \, \! </Math>।इस प्रकार हमारे पास है

$${\begin{aligned}d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dX)^{2}&=dX_{M}\,dX_{M}\\&={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=c_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\\\end{aligned}}$$

जहां दूसरा आदेश टेंसर $c_{rs}$ Cauchy का विरूपण टेंसर कहा जाता है, $\mathbf {c} =\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\,\!$।तो हमारे पास हैं,

$${\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot (\mathbf {I} -\mathbf {c} )\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot 2\mathbf {e} \cdot d\mathbf {x} \\\end{aligned}}$$

या

$${\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=2e_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\end{aligned}}$$

कहाँ पे $e_{rs}\,\!$, एक दूसरे क्रम के टेंसर के घटक हैं जिसे यूलरियन-अल्मांसी परिमित तनाव टेंसर कहा जाता है,

$$\mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)$$

दोनों लैग्रैजियन और यूलरियन परिमित तनाव टेंसर्स को विस्थापन ढाल टेंसर के संदर्भ में आसानी से व्यक्त किया जा सकता है।लैग्रैन्जियन स्ट्रेन टेंसर के लिए, पहले हम विस्थापन वेक्टर को अलग करते हैं $\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)$ सामग्री निर्देशांक के संबंध में $X_{M}$ सामग्री विस्थापन ढाल टेंसर प्राप्त करने के लिए, $\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u}$

$${\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \\\mathbf {F} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \\\end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\\delta _{iJ}U_{J}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\x_{i}&=\delta _{iJ}\left(U_{J}+X_{J}\right)\\{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}&=\delta _{iJ}\left({\frac {\partial U_{J}}{\partial X_{K}}}+\delta _{JK}\right)\\\end{aligned}}$$

इस समीकरण को लैग्रैन्जियन परिमित तनाव टेंसर के लिए अभिव्यक्ति में बदलना हमारे पास है

$${\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} -\mathbf {I} \right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\left\{(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\mathbf {I} \right\}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \right)-\mathbf {I} \right]\\&={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\\\end{aligned}}$$

या

$${\begin{aligned}E_{KL}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{jM}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\delta _{jN}\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{MN}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}+\delta _{ML}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\end{aligned}}$$

इसी तरह, यूलरियन-अल्मांसी परिमित तनाव टेंसर को व्यक्त किया जा सकता है

$$e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)$$

=== SETH -HILL परिवार सामान्यीकृत तनाव टेंसर्स === का परिवार भारतीय प्रौद्योगिकी संस्थान से बी। आर। सेठ खड़गपुर सबसे पहले यह दिखाने के लिए कि ग्रीन और अल्मांसी तनाव टेन्सर एक अधिक सामान्य विरूपण_ (भौतिकी) #strain_measures के विशेष मामले हैं। 1968 में रॉडनी हिल द्वारा इस विचार का और विस्तार किया गया। स्ट्रेन उपायों के सेठ-हिल परिवार (जिसे डॉयल-एरिकसेन टेन्सर भी कहा जाता है) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$\mathbf {E} _{(m)}={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2m}}\left[\mathbf {C} ^{m}-\mathbf {I} \right]$$

के विभिन्न मूल्यों के लिए $m$ अपने पास:

• ग्रीन-लैग्रैन्जियन स्ट्रेन टेंसर
  $$\mathbf {E} _{(1)}={\frac {1}{2}}(\mathbf {U} ^{2}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )$$
• बायोट तनाव टेंसर
  $$\mathbf {E} _{(1/2)}=(\mathbf {U} -\mathbf {I} )=\mathbf {C} ^{1/2}-\mathbf {I}$$
• लॉगरिदमिक स्ट्रेन, नेचुरल स्ट्रेन, ट्रू स्ट्रेन, या हेंकी स्ट्रेन
  $$\mathbf {E} _{(0)}=\ln \mathbf {U} ={\frac {1}{2}}\,\ln \mathbf {C}$$
• सीधे एल्यूमीनियम
  $$\mathbf {E} _{(-1)}={\frac {1}{2}}\left[\mathbf {I} -\mathbf {U} ^{-2}\right]$$

इन टेंसर्स का दूसरा-क्रम सन्निकटन है

$$\mathbf {E} _{(m)}={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\tfrac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla \mathbf {u} -(1-m){\boldsymbol {\varepsilon }}^{T}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}$$

कहाँ पे ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ इनफिनिटिमल स्ट्रेन टेंसर है।

कई अन्य अलग -अलग परिभाषाएँ tensors $\mathbf {E}$ स्वीकार्य हैं, बशर्ते कि वे सभी शर्तों को संतुष्ट करें:

• $\mathbf {E}$ सभी कठोर-शरीर गतियों के लिए गायब हो जाता है
• की निर्भरता $\mathbf {E}$ विस्थापन ढाल पर टेंसर $\nabla \mathbf {u}$ निरंतर, निरंतर अलग और मोनोटोनिक है
• यह भी वांछित है $\mathbf {E}$ इनफिनिटिमल स्ट्रेन टेंसर को कम करता है ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ आदर्श के रूप में $|\nabla \mathbf {u} |\to 0$

एक उदाहरण टेंसर्स का सेट है

$$\mathbf {E} ^{(n)}=\left({\mathbf {U} }^{n}-{\mathbf {U} }^{-n}\right)/2n$$

जो सेठ-हिल क्लास से संबंधित नहीं है, लेकिन सेठ-हिल के उपायों के समान 2-ऑर्डर सन्निकटन है $m=0$ के किसी भी मूल्य के लिए $n$.

खिंचाव अनुपात

खिंचाव अनुपात एक अंतर लाइन तत्व के विस्तारक या सामान्य तनाव का एक माप है, जिसे या तो अवांछनीय कॉन्फ़िगरेशन या विकृत कॉन्फ़िगरेशन पर परिभाषित किया जा सकता है।

अंतर तत्व के लिए खिंचाव अनुपात $d\mathbf {X} =dX\mathbf {N}$ (चित्रा) यूनिट वेक्टर की दिशा में $\mathbf {N}$ सामग्री बिंदु पर $P\,\!$, अनिर्धारित कॉन्फ़िगरेशन में, के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\Lambda _{(\mathbf {N} )}={\frac {dx}{dX}}$$

कहाँ पे $dx$ अंतर तत्व का विकृत परिमाण है $d\mathbf {X} \,\!$।

इसी तरह, अंतर तत्व के लिए खिंचाव अनुपात $d\mathbf {x} =dx\mathbf {n}$ (चित्रा), यूनिट वेक्टर की दिशा में $\mathbf {n}$ सामग्री बिंदु पर $p\,\!$, विकृत कॉन्फ़िगरेशन में, के रूप में परिभाषित किया गया है

$${\frac {1}{\Lambda _{(\mathbf {n} )}}}={\frac {dX}{dx}}.$$

सामान्य तनाव $e_{\mathbf {N} }$ किसी भी दिशा में $\mathbf {N}$ खिंचाव अनुपात के एक समारोह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,

$$e_{(\mathbf {N} )}={\frac {dx-dX}{dX}}=\Lambda _{(\mathbf {N} )}-1.$$

इस समीकरण का तात्पर्य है कि सामान्य तनाव शून्य है, यानी कोई विरूपण नहीं है, जब खिंचाव एकता के बराबर होता है।कुछ सामग्री, जैसे कि इलास्टोमीटर विफल होने से पहले 3 या 4 के खिंचाव अनुपात को बनाए रख सकते हैं, जबकि पारंपरिक इंजीनियरिंग सामग्री, जैसे कि कंक्रीट या स्टील, बहुत कम खिंचाव अनुपात में विफल हो जाती है, शायद 1.1 के क्रम (संदर्भ?) के आदेश के लिए (संदर्भ?)

परिमित तनाव टेंसर की भौतिक व्याख्या

विकर्ण घटक $E_{KL}$ Lagrangian परिमित तनाव टेंसर सामान्य तनाव से संबंधित हैं, उदा।

$$E_{11}=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}$$

कहाँ पे $e_{(\mathbf {I} _{1})}$ दिशा में सामान्य तनाव या इंजीनियरिंग तनाव है $\mathbf {I} _{1}\,\!$।

ऑफ-विकर्ण घटक $E_{KL}$ Lagrangian परिमित तनाव टेंसर कतरनी तनाव से संबंधित हैं, उदा।

$$E_{12}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}$$

कहाँ पे $\phi _{12}$ दो लाइन तत्वों के बीच के कोण में परिवर्तन है जो मूल रूप से दिशाओं के साथ लंबवत थे $\mathbf {I} _{1}$ तथा $\mathbf {I} _{2}\,\!$, क्रमश।

कुछ परिस्थितियों में, यानी छोटे विस्थापन और छोटे विस्थापन दर, लैग्रैन्जियन परिमित तनाव टेंसर के घटकों को इन्फिनिटिमल स्ट्रेन थ्योरी के घटकों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

Derivation of the physical interpretation of the Lagrangian and Eulerian finite strain tensors

The stretch ratio for the differential element $d\mathbf {X} =dX\mathbf {N}$ (Figure) in the direction of the unit vector $\mathbf {N}$ at the material point $P\,\!$, in the undeformed configuration, is defined as

$$\Lambda _{(\mathbf {N} )}={\frac {dx}{dX}}$$

where $dx$ is the deformed magnitude of the differential element $d\mathbf {X} \,\!$.

Similarly, the stretch ratio for the differential element $d\mathbf {x} =dx\mathbf {n}$ (Figure), in the direction of the unit vector $\mathbf {n}$ at the material point $p\,\!$, in the deformed configuration, is defined as

$${\frac {1}{\Lambda _{(\mathbf {n} )}}}=\ frac{dx}{dx}$$

खिंचाव अनुपात के वर्ग को परिभाषित किया गया है

गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ lambda _ {(\ mathbf n)}^2 = \ _ लेफ्ट (\ frac {dx} {dx} \ right)^2 </math>

जानते हुए भी

गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> (dx)^2 = c_ {kl} dx_kdx_l </math> अपने पास

गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ lambda _ {(\ mathbf n)}^2 = c_ {kl} n_k n_l </math> कहाँ पे गणित> n_k </गणित> और MATH> N_L </MATH> यूनिट वैक्टर हैं।

सामान्य तनाव या इंजीनियरिंग तनाव गणित> e _ {\ mathbf n} </math> किसी भी दिशा में गणित> \ Mathbf n </Math> को खिंचाव अनुपात के एक समारोह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,

गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> ई _ {(\ MathBf n)} = \ frac {dx-dx} {dx} = \ lambda _ {(\ mathbf n)}-1 </math>

इस प्रकार, दिशा में सामान्य तनाव गणित> \ Mathbf i_1 </Math> सामग्री बिंदु पर गणित> p </math> के रूप में खिंचाव अनुपात के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है

गणित का प्रदर्शन = ब्लॉक> \ शुरू {संरेखित}

e _ {(\ Mathbf i_1)} = \ frac {dx_1-dx_1} {dx_1} & = \ lambda _ {(\ mathbf i_1)}-1 \\ & = \ sqrt {c_ {11

-1 = \ sqrt {\ delta_ {11}+2e_ {11}} -1 \\

& = \ sqrt {1+2e_ {11}}-1 \ अंत {संरेखित} </गणित>

के लिए हल करना गणित> पूर्व {11} </गणित> हमारे पास है

गणित का प्रदर्शन = ब्लॉक> \ शुरू {संरेखित}

2e_ {11} & = \ frac {(dx_1)^2 - (dx_1)^2} {(dx_1)^2} \\ E_ {11} & = \ _ लेफ्ट (\ frac {dx_1-dx_1} {dx_1} \ right)\ _ & = e _ {(\ mathbf i_1)}+\ frac {1} {2} e _ {(\ mathbf i_1)}^2 \ अंत {संरेखित} </गणित>

कतरनी तनाव, या दो लाइन तत्वों के बीच कोण में परिवर्तन गणित> d \ mathbf x_1 </math> और गणित> d \ Mathbf X_2 </Math> शुरू में लंबवत, और प्रमुख दिशाओं में उन्मुख गणित> \ mathbf i_1 </गणित> और Math> \ Mathbf i_2 \, \! </Math>, क्रमशः, खिंचाव अनुपात के एक समारोह के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।विकृत लाइनों के बीच डॉट उत्पाद से $d\mathbf {x} _{1}$ तथा $d\mathbf {x} _{2}$ अपने पास

$${\begin{aligned}d\mathbf {x} _{1}\cdot d\mathbf {x} _{2}&=dx_{1}dx_{2}\cos \theta _{12}\\\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}&={\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}\cos \theta _{12}\\{\frac {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}{dX_{1}dX_{2}}}&={\frac {{\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}}{dX_{1}dX_{2}}}\cos \theta _{12}\\\mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}&=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\cos \theta _{12}\end{aligned}}$$

कहाँ पे $\theta _{12}$ लाइनों के बीच का कोण है $d\mathbf {x} _{1}$ तथा $d\mathbf {x} _{2}$ विकृत कॉन्फ़िगरेशन में।परिभाषित $\phi _{12}$ दो लाइन तत्वों के बीच के कोण में कतरनी तनाव या कमी के रूप में जो मूल रूप से लंबवत थे, हमारे पास है

$$\phi _{12}={\frac {\pi }{2}}-\theta _{12}$$

इस प्रकार,

$$\cos \theta _{12}=\sin \phi _{12}$$

फिर

$$\mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\sin \phi _{12}$$

या

$${\begin{aligned}C_{12}&={\sqrt {C_{11}}}{\sqrt {C_{22}}}\sin \phi _{12}\\2E_{12}+\delta _{12}&={\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\\E_{12}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\end{aligned}}$$

}}

संवहन वक्रता में विरूपण टेन्सर निर्देशांक

वक्रता के निर्देशांक में विरूपण टेंसर्स का एक प्रतिनिधित्व निरंतर यांत्रिकी जैसे कि नॉनलाइनियर शेल सिद्धांतों और बड़े प्लास्टिक विकृति में कई समस्याओं के लिए उपयोगी है।होने देना $\mathbf {x} =\mathbf {x} (\xi ^{1},\xi ^{2},\xi ^{3})$ उस फ़ंक्शन को निरूपित करें जिसके द्वारा अंतरिक्ष में एक स्थिति वेक्टर का निर्माण निर्देशांक से किया जाता है $(\xi ^{1},\xi ^{2},\xi ^{3})$।कहा जाता है कि निर्देशांक को संवेदनशील माना जाता है यदि वे एक निरंतर शरीर में एक-से-एक मानचित्रण के लिए और एक-से-एक मानचित्रण के अनुरूप हैं।यदि समन्वय ग्रिड को अपने प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन में शरीर पर चित्रित किया जाता है, तो यह ग्रिड विकृत कॉन्फ़िगरेशन में एक ही सामग्री कणों पर चित्रित रहने के लिए सामग्री की गति के साथ विकृत और प्रवाह करेगा ताकि ग्रिड लाइनें एक ही सामग्री कण पर या तो अंतराल करेंविन्यास।विकृत समन्वय ग्रिड लाइन वक्र के लिए स्पर्शरेखा वेक्टर $\xi ^{i}$ पर $\mathbf {x}$ द्वारा दिया गया है

$$\mathbf {g} _{i}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \xi ^{i}}}$$

तीन स्पर्शरेखा वैक्टर $\mathbf {x}$ एक स्थानीय आधार बनाते हैं।ये वैक्टर पारस्परिक आधार वैक्टर से संबंधित हैं

$$\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} ^{j}=\delta _{i}^{j}$$

आइए हम एक दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र को परिभाषित करें ${\boldsymbol {g}}$ घटक के साथ (मीट्रिक टेंसर भी कहा जाता है)

$$g_{ij}:={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \xi ^{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \xi ^{j}}}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}$$

वक्रता के निर्देशांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$\Gamma _{ijk}={\tfrac {1}{2}}[(\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{k})_{,j}+(\mathbf {g} _{j}\cdot \mathbf {g} _{k})_{,i}-(\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j})_{,k}]$$

यह देखने के लिए कि क्रिस्टोफ़ेल के प्रतीक सही कॉची -ग्रीन विरूपण टेंसर से कैसे संबंधित हैं, हमें इसी तरह दो ठिकानों को परिभाषित करते हैं, पहले से ही उल्लेख किया गया है कि विकृत ग्रिड लाइनों के लिए स्पर्शरेखा है और एक और जो अपरिचित ग्रिड लाइनों के लिए स्पर्शरेखा है।अर्थात्,

$$\mathbf {G} _{i}:={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial \xi ^{i}}}~;~~\mathbf {G} _{i}\cdot \mathbf {G} ^{j}=\delta _{i}^{j}~;~~\mathbf {g} _{i}:={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \xi ^{i}}}~;~~\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} ^{j}=\delta _{i}^{j}$$

वक्रता में विरूपण ढाल निर्देशांक

वक्रता के निर्देशांक में वक्रता निर्देशांक की परिभाषा का उपयोग करते हुए, विरूपण ढाल को लिखा जा सकता है

$${\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {X} }\mathbf {x} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \xi ^{i}}}\otimes \mathbf {G} ^{i}=\mathbf {g} _{i}\otimes \mathbf {G} ^{i}$$

सही cauchy -green tensor curvilinear निर्देशांक में

सही कॉची -ग्रीन विरूपण टेंसर द्वारा दिया गया है

$${\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=(\mathbf {G} ^{i}\otimes \mathbf {g} _{i})\cdot (\mathbf {g} _{j}\otimes \mathbf {G} ^{j})=(\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j})(\mathbf {G} ^{i}\otimes \mathbf {G} ^{j})$$

अगर हम व्यक्त करते हैं ${\boldsymbol {C}}$ आधार के संबंध में घटकों के संदर्भ में {$\mathbf {G} ^{i}$} अपने पास

$${\boldsymbol {C}}=C_{ij}~\mathbf {G} ^{i}\otimes \mathbf {G} ^{j}$$

इसलिए,

$$C_{ij}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}=g_{ij}$$

और पहले प्रकार के इसी क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है।

$$\Gamma _{ijk}={\tfrac {1}{2}}[C_{ik,j}+C_{jk,i}-C_{ij,k}]={\tfrac {1}{2}}[(\mathbf {G} _{i}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot \mathbf {G} _{k})_{,j}+(\mathbf {G} _{j}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot \mathbf {G} _{k})_{,i}-(\mathbf {G} _{i}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot \mathbf {G} _{j})_{,k}]$$

विरूपण उपायों और क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों के बीच कुछ संबंध

से एक-से-एक मानचित्रण पर विचार करें $\mathbf {X} =\{X^{1},X^{2},X^{3}\}$ प्रति $\mathbf {x} =\{x^{1},x^{2},x^{3}\}$ और मान लें कि दो सकारात्मक-डिफिनाइट, सममित दूसरे क्रम के टेंसर फ़ील्ड मौजूद हैं ${\boldsymbol {G}}$ तथा ${\boldsymbol {g}}$ वह संतुष्ट है

$$G_{ij}={\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}~g_{\alpha \beta }$$

फिर,

$${\frac {\partial G_{ij}}{\partial x^{k}}}=\left({\frac {\partial ^{2}X^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{k}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial ^{2}X^{\beta }}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}\right)~g_{\alpha \beta }+{\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}~{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x^{k}}}$$

नोट किया कि

$${\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x^{k}}}={\frac {\partial X^{\gamma }}{\partial x^{k}}}~{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}$$

तथा $g_{\alpha \beta }=g_{\beta \alpha }$ अपने पास

$${\begin{aligned}{\frac {\partial G_{ij}}{\partial x^{k}}}&=\left({\frac {\partial ^{2}X^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{k}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial ^{2}X^{\alpha }}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{i}}}\right)~g_{\alpha \beta }+{\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}~{\frac {\partial X^{\gamma }}{\partial x^{k}}}~{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\\{\frac {\partial G_{ik}}{\partial x^{j}}}&=\left({\frac {\partial ^{2}X^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial ^{2}X^{\alpha }}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{i}}}\right)~g_{\alpha \beta }+{\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{k}}}~{\frac {\partial X^{\gamma }}{\partial x^{j}}}~{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\\{\frac {\partial G_{jk}}{\partial x^{i}}}&=\left({\frac {\partial ^{2}X^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial ^{2}X^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{k}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}\right)~g_{\alpha \beta }+{\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{j}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{k}}}~{\frac {\partial X^{\gamma }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\end{aligned}}$$

परिभाषित करना

$${\begin{aligned}_{(x)}\Gamma _{ijk}&:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial G_{ik}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial G_{jk}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial G_{ij}}{\partial x^{k}}}\right)\\_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }&:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{\alpha \gamma }}{\partial X^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\beta \gamma }}{\partial X^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\right)\\\end{aligned}}$$

अत

$$_{(x)}\Gamma _{ijk}={\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}~{\frac {\partial X^{\gamma }}{\partial x^{k}}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }+{\frac {\partial ^{2}X^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{k}}}~g_{\alpha \beta }$$

परिभाषित करना

$$[G^{ij}]=[G_{ij}]^{-1}~;~~[g^{\alpha \beta }]=[g_{\alpha \beta }]^{-1}$$

फिर

$$G^{ij}={\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}~g^{\alpha \beta }$$

दूसरे प्रकार के क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों को परिभाषित करें

$$_{(x)}\Gamma _{ij}^{m}:=G^{mk}\,_{(x)}\Gamma _{ijk}~;~~_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }:=g^{\nu \gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }$$

फिर

$${\begin{aligned}_{(x)}\Gamma _{ij}^{m}&=G^{mk}~{\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}~{\frac {\partial X^{\gamma }}{\partial x^{k}}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }+G^{mk}~{\frac {\partial ^{2}X^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{k}}}~g_{\alpha \beta }\\&={\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\nu }}}~{\frac {\partial x^{k}}{\partial X^{\rho }}}~g^{\nu \rho }~{\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}~{\frac {\partial X^{\gamma }}{\partial x^{k}}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }+{\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\nu }}}~{\frac {\partial x^{k}}{\partial X^{\rho }}}~g^{\nu \rho }~{\frac {\partial ^{2}X^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{k}}}~g_{\alpha \beta }\\&={\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\nu }}}~\delta _{\rho }^{\gamma }~g^{\nu \rho }~{\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }+{\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\nu }}}~\delta _{\rho }^{\beta }~g^{\nu \rho }~{\frac {\partial ^{2}X^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}~g_{\alpha \beta }\\&={\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\nu }}}~g^{\nu \gamma }~{\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }+{\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\nu }}}~g^{\nu \beta }~{\frac {\partial ^{2}X^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}~g_{\alpha \beta }\\&={\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\nu }}}~{\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }+{\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\nu }}}~\delta _{\alpha }^{\nu }~{\frac {\partial ^{2}X^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}\end{aligned}}$$

इसलिए,

$$_{(x)}\Gamma _{ij}^{m}={\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\nu }}}~{\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }+{\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial ^{2}X^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}$$

मैपिंग की उलटीपन का तात्पर्य है कि

$${\begin{aligned}{\frac {\partial X^{\mu }}{\partial x^{m}}}\,_{(x)}\Gamma _{ij}^{m}&={\frac {\partial X^{\mu }}{\partial x^{m}}}~{\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\nu }}}~{\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }+{\frac {\partial X^{\mu }}{\partial x^{m}}}~{\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial ^{2}X^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}\\&=\delta _{\nu }^{\mu }~{\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }+\delta _{\alpha }^{\mu }~{\frac {\partial ^{2}X^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}\\&={\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{\frac {\partial ^{2}X^{\mu }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}\end{aligned}}$$

हम संबंध के साथ डेरिवेटिव के संदर्भ में एक समान परिणाम भी तैयार कर सकते हैं $x$।इसलिए,

$${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}X^{\mu }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}&={\frac {\partial X^{\mu }}{\partial x^{m}}}\,_{(x)}\Gamma _{ij}^{m}-{\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\\{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial X^{\alpha }\partial X^{\beta }}}&={\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\mu }}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}\,_{(x)}\Gamma _{ij}^{m}\end{aligned}}$$

संगतता की स्थिति

Main article: Compatibility (mechanics)

कॉन्टिनम मैकेनिक्स में संगतता की समस्या में निकायों पर स्वीकार्य एकल-मूल्यवान निरंतर क्षेत्रों का निर्धारण शामिल है।ये स्वीकार्य स्थितियां एक विकृति के बाद बिना किसी अंतराल या ओवरलैप के शरीर को छोड़ देती हैं।अधिकांश ऐसी शर्तें केवल जुड़े निकायों पर लागू होती हैं।गुणा जुड़े निकायों की आंतरिक सीमाओं के लिए अतिरिक्त शर्तों की आवश्यकता होती है।

विरूपण ढाल की संगतता

एक संगत के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें ${\boldsymbol {F}}$ एक सरल जुड़े शरीर पर फ़ील्ड हैं

$${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}$$

सही कॉची की संगतता -ग्रीन विरूपण टेंसर

एक संगत के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें ${\boldsymbol {C}}$ एक सरल जुड़े शरीर पर फ़ील्ड हैं

$$R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0$$

हम दिखा सकते हैं कि ये रीमैन -क्रिस्टोफेल वक्रता टेंसर के मिश्रित घटक हैं।इसलिए, के लिए आवश्यक शर्तें ${\boldsymbol {C}}$-कैम्पेटिबिलिटी यह है कि विरूपण की रीमैन -क्रिस्टोफेल वक्रता शून्य है।

बाएं कॉची की संगतता -ग्रीन विरूपण टेंसर

तीन-आयामों में वामपंथी कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के लिए कोई सामान्य पर्याप्तता की स्थिति नहीं ज्ञात नहीं है।दो आयामी के लिए अनुकूलता की स्थिति ${\boldsymbol {B}}$ फील्ड्स जेनेट ब्लूम द्वारा पाए गए हैं।

यह भी देखें

• Infinitesimal तनाव
• संगतता (यांत्रिकी)
• Curvilinear निर्देशांक
• Piola -Kirchhoff तनाव टेंसर, परिमित विकृति के लिए तनाव टेंसर।
• तनाव के उपाय
• तनाव विभाजन

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• टेंसर व्युत्पन्न (निरंतर यांत्रिकी)
• भारतीय प्रौद्योगिकी संस्थान खड़गपुर
• वक्रता निर्देशांक
• तनाव उपाय
• अनंत तनाव

अग्रिम पठन

• Dill, Ellis Harold (2006). Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity. Germany: CRC Press. ISBN 0-8493-9779-0.
• Dimitrienko, Yuriy (2011). Nonlinear Continuum Mechanics and Large Inelastic Deformations. Germany: Springer. ISBN 978-94-007-0033-8.
• Hutter, Kolumban; Klaus Jöhnk (2004). Continuum Methods of Physical Modeling. Germany: Springer. ISBN 3-540-20619-1.
• Lubarda, Vlado A. (2001). Elastoplasticity Theory. CRC Press. ISBN 0-8493-1138-1.
• Macosko, C. W. (1994). Rheology: principles, measurement and applications. VCH Publishers. ISBN 1-56081-579-5.
• Mase, George E. (1970). Continuum Mechanics. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-040663-4.
• Mase, G. Thomas; George E. Mase (1999). Continuum Mechanics for Engineers (Second ed.). CRC Press. ISBN 0-8493-1855-6.
• Nemat-Nasser, Sia (2006). Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83979-3.
• Rees, David (2006). Basic Engineering Plasticity – An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-8025-3.

बाहरी संबंध

• Prof. Amit Acharya's notes on compatibility on iMechanica