संघ समुच्चय

गणित में, विशेष रूप से गणितीय तर्क और सेट सिद्धांत में, एक क्लब सेट एक सीमा क्रम का एक सबसेट है जो आदेश टोपोलॉजी के तहत बंद सेट है, और सीमा क्रम के सापेक्ष अनबाउंडेड (नीचे देखें) है।नाम क्लब बंद और अनबाउंड का संकुचन है।

औपचारिक परिभाषा

औपचारिक रूप से, अगर $\kappa$ एक सीमा क्रम है, फिर एक सेट $C\subseteq \kappa$ में बंद है $\kappa$ अगर और केवल अगर हर के लिए $\alpha <\kappa ,$ अगर $\sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0,$ तब $\alpha \in C.$ इस प्रकार, यदि किसी अनुक्रम की सीमा से $C$ मै रुक जाना $\kappa ,$ फिर सीमा भी है $C.$ अगर $\kappa$ एक सीमा क्रम है और $C\subseteq \kappa$ तब $C$ में अयोग्य है $\kappa$ अगर किसी के लिए $\alpha <\kappa ,$ वहाँ कुछ $\beta \in C$ ऐसा है कि $\alpha <\beta .$ यदि कोई सेट बंद और अनबाउंड दोनों है, तो यह एक क्लब सेट है।बंद उचित वर्ग भी रुचि के हैं (ऑर्डिनल्स के प्रत्येक उचित वर्ग को सभी ऑर्डिनल्स के वर्ग में अनबाउंड किया गया है)।

उदाहरण के लिए, सभी गणनीय लिमिट ऑर्डिनल्स का सेट पहले बेशुमार ऑर्डिनल के संबंध में एक क्लब सेट है;लेकिन यह किसी भी उच्च सीमा के संबंध में एक क्लब सेट नहीं है, क्योंकि यह न तो बंद है और न ही अनबाउंडेड है। अगर $\kappa$ एक बेशुमार प्रारंभिक अध्यादेश है, फिर सभी सीमाओं का सेट $\alpha <\kappa$ में बंद कर दिया गया है $\kappa .$ वास्तव में एक क्लब सेट और कुछ नहीं बल्कि एक सामान्य फ़ंक्शन (यानी बढ़ते और निरंतर) की सीमा है।

अधिक आम तौर पर, अगर $X$ एक गैर -रिक्त सेट है और $\lambda$ एक बुनियादी संख्या है, फिर $C\subseteq [X]^{\lambda }$ (सबसेट का सेट $X$ कार्डिनलिटी का $\lambda$) क्लब है अगर एक सबसेट का प्रत्येक संघ $C$ में है $C$ और हर सबसेट $X$ कार्डिनलिटी से कम $\lambda$ के कुछ तत्वों में निहित है $C$ (स्थिर सेट देखें)।

बंद अनबाउंड फिल्टर

होने देना $\kappa \,$ बेशुमार कोफ़िनिटी की एक सीमा हो सकती है $\lambda \,.$ कुछ के लिए $\alpha <\lambda \,$, होने देना $\langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle \,$ के बंद अनबाउंड सबसेट का एक अनुक्रम हो $\kappa \,.$ तब $\bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,$ भी बंद कर दिया गया है।इसे देखने के लिए, कोई भी यह नोट कर सकता है कि बंद सेटों का एक चौराहा हमेशा बंद रहता है, इसलिए हमें बस यह दिखाने की आवश्यकता है कि यह चौराहा अनबाउंड है।तो किसी को भी ठीक करें $\beta _{0}<\kappa \,,$ और प्रत्येक n <& ओमेगा के लिए;प्रत्येक से चुनें $C_{\xi }\,$ तत्व $\beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}\,,$ जो संभव है क्योंकि प्रत्येक अनबाउंड है।चूंकि यह कम से कम का संग्रह है $\lambda \,$ ऑर्डिनल्स, सभी से कम $\kappa \,,$ उनकी सबसे कम ऊपरी बाउंड भी कम होनी चाहिए $\kappa \,,$ तो हम इसे कॉल कर सकते हैं $\beta _{n+1}\,.$ यह प्रक्रिया एक गिनती योग्य अनुक्रम उत्पन्न करती है $\beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\ldots \,.$ इस अनुक्रम की सीमा वास्तव में अनुक्रम की सीमा भी होनी चाहिए $\beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\ldots \,,$ और प्रत्येक के बाद से $C_{\xi }\,$ बंद है और $\lambda \,$ बेशुमार है, यह सीमा प्रत्येक में होनी चाहिए $C_{\xi }\,,$ और इसलिए यह सीमा चौराहे का एक तत्व है जो ऊपर है $\beta _{0}\,,$ जो दर्शाता है कि चौराहा अनबाउंड है।QED।

इससे, यह देखा जा सकता है कि अगर $\kappa \,$ एक नियमित कार्डिनल है, फिर $\{S\subseteq \kappa :\exists C\subseteq S{\text{ such that }}C{\text{ is closed unbounded in }}\kappa \}$ एक गैर-व्यावहारिक है $\kappa \,$-सेट पर उचित फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) $\kappa$ (अर्थात्, पोजिट पर $(\wp (\kappa ),\subseteq )$)।

अगर $\kappa \,$ एक नियमित कार्डिनल है तो क्लब सेट भी विकर्ण चौराहे के तहत बंद हो जाते हैं।

वास्तव में, अगर $\kappa \,$ नियमित है और ${\mathcal {F}}\,$ किसी भी फिल्टर पर है $\kappa \,,$ विकर्ण चौराहे के तहत बंद, रूप के सभी सेटों से युक्त $\{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}\,$ के लिए $\alpha <\kappa \,,$ तब ${\mathcal {F}}\,$ सभी क्लब सेट शामिल होना चाहिए।

यह भी देखें

• Club filter
• Clubsuit
• Filter (mathematics)
• Filters in topology
• Stationary set

संदर्भ

• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Lévy, Azriel (1979) Basic Set Theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
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