संभाव्यता व्याख्याएँ

संभाव्यता शब्द का उपयोग विभिन्न तरीकों से किया गया है क्योंकि इसे पहली बार संयोग के खेलों के गणितीय अध्ययन में लागू किया गया था। क्या संभाव्यता किसी चीज़ के घटित होने की वास्तविक, भौतिक, प्रवृत्ति को मापती है, या क्या यह इस बात का माप है कि कोई कितनी दृढ़ता से विश्वास करता है कि यह घटित होगा, या क्या यह इन दोनों तत्वों पर आधारित है? ऐसे प्रश्नों का उत्तर देने में, गणितज्ञ संभाव्यता सिद्धांत के संभाव्यता मूल्यों की व्याख्या करते हैं।

दो व्यापक श्रेणियां हैं संभाव्यता व्याख्याएं जिन्हें भौतिक और साक्ष्य संबंधी संभावनाएं कहा जा सकता है। भौतिक संभावनाएँ, जिन्हें वस्तुनिष्ठ या आवृत्ति संभावना भी कहा जाता है, रूलेट व्हील, रोलिंग पासा और रेडियोधर्मी परमाणुओं जैसे यादृच्छिक भौतिक प्रणालियों से जुड़ी होती हैं। ऐसी प्रणालियों में, किसी दिए गए प्रकार की घटना (जैसे कि a dieछह का उत्पादन) लंबे समय तक परीक्षणों में लगातार दर, या सापेक्ष आवृत्ति पर होता है। भौतिक संभावनाएँ इन स्थिर आवृत्तियों को या तो समझाती हैं, या समझाने के लिए इनका उपयोग किया जाता है। भौतिक संभाव्यता के सिद्धांत के दो मुख्य प्रकार हैं आवृत्ति संभाव्यता खाते (जैसे कि वेन, रीचेनबैक और वॉन मिज़) और प्रवृत्ति संभाव्यता खाते (जैसे पॉपर, मिलर, गीरे और फ़ेट्ज़र के खाते)। साक्ष्य संभाव्यता, जिसे बायेसियन संभाव्यता भी कहा जाता है, को किसी भी कथन को सौंपा जा सकता है, तब भी जब कोई यादृच्छिक प्रक्रिया शामिल नहीं होती है, इसकी व्यक्तिपरक संभाव्यता का प्रतिनिधित्व करने के तरीके के रूप में, या उस डिग्री के लिए जो उपलब्ध साक्ष्य द्वारा कथन का समर्थन करता है। अधिकांश खातों में, साक्ष्य संबंधी संभावनाओं को विश्वास की डिग्री माना जाता है, जिसे कुछ बाधाओं पर जुआ खेलने के स्वभाव के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। चार मुख्य साक्ष्यात्मक व्याख्याएँ शास्त्रीय हैं (जैसे लाप्लास की)व्याख्या, व्यक्तिपरक व्याख्या (ब्रूनो डी फिनेची)। और सैवेज), ज्ञानमीमांसा या आगमनात्मक व्याख्या (फ्रैंक पी. रैमसे, रिचर्ड थ्रेलकेल्ड कॉक्स) और तार्किक व्याख्या (जॉन मेनार्ड कीन्स)। और रुडोल्फ कार्नाप)। समूहों को कवर करने वाली संभाव्यता की साक्ष्यात्मक व्याख्याएँ भी हैं, जिन्हें अक्सर 'इंटरसब्जेक्टिव' (डोनाल्ड ए. गिलीज़ द्वारा प्रस्तावित) के रूप में लेबल किया जाता है। और रोबॉटम)।

संभाव्यता की कुछ व्याख्याएँ सांख्यिकीय अनुमान के दृष्टिकोण से जुड़ी हुई हैं, जिनमें अनुमान सिद्धांत और सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण के सिद्धांत शामिल हैं। उदाहरण के लिए, भौतिक व्याख्या, रोनाल्ड फिशर जैसे बारंबारवादी सांख्यिकीय तरीकों के अनुयायियों द्वारा ली जाती है, जॉर्ज नेमन और एगॉन पियर्सन। विरोधी बायेसियन संभाव्यता स्कूल के सांख्यिकीविद् आम तौर पर आवृत्ति व्याख्या को तब स्वीकार करते हैं जब यह समझ में आता है (हालांकि परिभाषा के रूप में नहीं), लेकिन भौतिक संभावनाओं के संबंध में कम सहमति है। बायेसियन सांख्यिकी में साक्ष्य संबंधी संभावनाओं की गणना को वैध और आवश्यक दोनों मानते हैं। हालाँकि, यह लेख सांख्यिकीय अनुमान के सिद्धांतों के बजाय संभाव्यता की व्याख्याओं पर केंद्रित है।

इस विषय की शब्दावली कुछ हद तक भ्रमित करने वाली है, क्योंकि संभावनाओं का अध्ययन विभिन्न शैक्षणिक क्षेत्रों में किया जाता है। फ़्रीक्वेंटिस्ट शब्द विशेष रूप से पेचीदा है। दार्शनिकों के लिए यह भौतिक संभाव्यता के एक विशेष सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसे कमोबेश त्याग दिया गया है। दूसरी ओर, वैज्ञानिकों के लिए बारंबारतावादी संभाव्यता भौतिक (या वस्तुनिष्ठ) संभाव्यता का दूसरा नाम है। जो लोग बायेसियन अनुमान को बढ़ावा देते हैं वे बारंबारतावादी आँकड़ों को सांख्यिकीय अनुमान के दृष्टिकोण के रूप में देखते हैं जो संभाव्यता की आवृत्ति व्याख्या पर आधारित है, आमतौर पर बड़ी संख्या के कानून पर निर्भर करता है और जिसे 'शून्य परिकल्पना महत्व परीक्षण' (एनएचएसटी) कहा जाता है। इसके अलावा उद्देश्य शब्द, जैसा कि संभाव्यता पर लागू होता है, कभी-कभी इसका वही मतलब होता है जो यहां भौतिक का मतलब है, लेकिन इसका उपयोग साक्ष्य संबंधी संभावनाओं के लिए भी किया जाता है जो तर्कसंगत बाधाओं, जैसे तार्किक और ज्ञानमीमांसीय संभावनाओं द्वारा तय की जाती हैं।

It is unanimously agreed that statistics depends somehow on probability. But, as to what probability is and how it is connected with statistics, there has seldom been such complete disagreement and breakdown of communication since the Tower of Babel. Doubtless, much of the disagreement is merely terminological and would disappear under sufficiently sharp analysis.

— (Savage, 1954, p 2)

दर्शन

संभाव्यता का दर्शन मुख्य रूप से ज्ञानमीमांसा के मामलों और गणित अवधारणाओं और सामान्य भाषा के बीच असहज इंटरफ़ेस में समस्याएं प्रस्तुत करता है क्योंकि इसका उपयोग गैर-गणितज्ञों द्वारा किया जाता है। संभाव्यता सिद्धांत गणित में अध्ययन का एक स्थापित क्षेत्र है। इसकी उत्पत्ति सत्रहवीं शताब्दी में ब्लेस पास्कल और पियरे डी फ़र्मेट के बीच संयोग के खेल के गणित पर चर्चा करने वाले पत्राचार से हुई है, और बीसवीं शताब्दी में एंड्री कोलमोगोरोव द्वारा गणित की एक विशिष्ट शाखा के रूप में इसे औपचारिक रूप दिया गया और स्वयंसिद्ध रूप में प्रस्तुत किया गया। स्वयंसिद्ध रूप में, संभाव्यता सिद्धांत के बारे में गणितीय कथन गणित के दर्शन के भीतर उसी प्रकार का ज्ञानमीमांसीय विश्वास रखते हैं जैसा कि अन्य गणितीय कथनों द्वारा साझा किया जाता है। गणितीय विश्लेषण की उत्पत्ति ताश और पासे जैसे खेल उपकरणों के व्यवहार के अवलोकन से हुई, जो विशेष रूप से यादृच्छिक और समान तत्वों को पेश करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं; गणितीय दृष्टि से, वे उदासीनता के सिद्धांत के विषय हैं। यह एकमात्र तरीका नहीं है जिससे सामान्य मानव भाषा में संभाव्य कथनों का उपयोग किया जाता है: जब लोग कहते हैं कि शायद बारिश होगी, तो उनका आमतौर पर यह मतलब नहीं होता है कि बारिश बनाम बारिश न होने का परिणाम एक यादृच्छिक कारक है जो वर्तमान में अनुकूल है; इसके बजाय, ऐसे बयानों को शायद कुछ हद तक आत्मविश्वास के साथ बारिश की उनकी उम्मीद को पूरा करने के रूप में बेहतर समझा जाता है। इसी तरह, जब यह लिखा जाता है कि लुडलो, मैसाचुसेट्स के नाम की सबसे संभावित व्याख्या यह है कि इसका नाम रोजर लुडलो के नाम पर रखा गया था, तो यहां इसका मतलब यह नहीं है कि रोजर लुडलो को किसी यादृच्छिक कारक का समर्थन प्राप्त है, बल्कि यह है कि यह सबसे अधिक है साक्ष्य की प्रशंसनीय व्याख्या, जो अन्य, कम संभावना वाली व्याख्याओं को स्वीकार करती है।

थॉमस बेयस ने एक ऐसा तर्क प्रदान करने का प्रयास किया जो आत्मविश्वास की विभिन्न डिग्री को संभाल सकता है; इस प्रकार, बायेसियन संभाव्यता, संभाव्य कथनों के प्रतिनिधित्व को उस आत्मविश्वास की डिग्री की अभिव्यक्ति के रूप में पुनर्गठित करने का एक प्रयास है जिसके द्वारा उनके द्वारा व्यक्त किए गए विश्वास कायम रहते हैं।

हालाँकि शुरुआत में संभाव्यता में कुछ हद तक सांसारिक प्रेरणाएँ थीं, लेकिन इसका आधुनिक प्रभाव और उपयोग साक्ष्य-आधारित चिकित्सा से लेकर सिक्स सिग्मा तक, संभाव्य रूप से जाँचने योग्य प्रमाण और स्ट्रिंग सिद्धांत परिदृश्य तक व्यापक है।

A summary of some interpretations of probability

	Classical	Frequentist	Subjective	Propensity
Main hypothesis	Principle of indifference	Frequency of occurrence	Degree of belief	Degree of causal connection
Conceptual basis	Hypothetical symmetry	Past data and reference class	Knowledge and intuition	Present state of system
Conceptual approach	Conjectural	Empirical	Subjective	Metaphysical
Single case possible	Yes	No	Yes	Yes
Precise	Yes	No	No	Yes
Problems	Ambiguity in principle of indifference	Circular definition	Reference class problem	Disputed concept

शास्त्रीय परिभाषा

Main article: Classical definition of probability

पियरे-साइमन लाप्लास द्वारा समर्थित संभाव्यता के क्षेत्र में गणितीय कठोरता का पहला प्रयास, अब शास्त्रीय परिभाषा के रूप में जाना जाता है। संयोग के खेल (जैसे कि पासा पलटना) के अध्ययन से विकसित यह बताता है कि संभावना सभी संभावित परिणामों के बीच समान रूप से साझा की जाती है, बशर्ते इन परिणामों को समान रूप से संभावित माना जा सके।(3.1)

The theory of chance consists in reducing all the events of the same kind to a certain number of cases equally possible, that is to say, to such as we may be equally undecided about in regard to their existence, and in determining the number of cases favorable to the event whose probability is sought. The ratio of this number to that of all the cases possible is the measure of this probability, which is thus simply a fraction whose numerator is the number of favorable cases and whose denominator is the number of all the cases possible.

— Pierre-Simon Laplace, A Philosophical Essay on Probabilities

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा समान रूप से संभावित परिणामों की सीमित संख्या वाली स्थितियों के लिए अच्छी तरह से काम करती है।

इसे गणितीय रूप से इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

यदि एक यादृच्छिक प्रयोग का परिणाम एन परस्पर अनन्य और समान रूप से संभावित परिणाम हो सकता है और यदि एन_Aइन परिणामों के परिणामस्वरूप घटना ए की घटना होती है, 'ए की संभावना' को परिभाषित किया जाता है

$P(A)={N_{A} \over N}.$

शास्त्रीय परिभाषा की दो स्पष्ट सीमाएँ हैं। सबसे पहले, यह केवल उन स्थितियों पर लागू होता है जिनमें संभावित परिणामों की केवल 'सीमित' संख्या होती है। लेकिन कुछ महत्वपूर्ण यादृच्छिक प्रयोग, जैसे सिक्के को सिर दिखाने तक उछालना, परिणामों के अनंत सेट को जन्म देता है। और दूसरी बात, इसके लिए पूर्व निर्धारण की आवश्यकता है कि संभाव्यता की धारणा पर भरोसा करके परिपत्र तर्क के जाल में फंसे बिना सभी संभावित परिणाम समान रूप से संभावित हैं। (शब्दावली का उपयोग करने में हम समान रूप से अनिर्णीत हो सकते हैं, लाप्लास ने माना, जिसे अपर्याप्त कारण का सिद्धांत कहा गया है, कि सभी संभावित परिणाम समान रूप से संभावित हैं यदि अन्यथा मानने का कोई ज्ञात कारण नहीं है, जिसके लिए कोई स्पष्ट औचित्य नहीं है।)

बारंबारता

बार-बार आने वालों के लिए, किसी भी जेब में गेंद के उतरने की संभावना केवल बार-बार किए गए परीक्षणों से निर्धारित की जा सकती है, जिसमें देखा गया परिणाम लंबे समय में अंतर्निहित संभावना में परिवर्तित हो जाता है।

Main article: Frequency probability

बारंबारतावादियों का मानना ​​है कि किसी घटना की संभावना समय के साथ उसकी सापेक्ष आवृत्ति है,(3.4) अर्थात, समान परिस्थितियों में किसी प्रक्रिया को बड़ी संख्या में दोहराने के बाद उसके घटित होने की सापेक्ष आवृत्ति। इसे पाँव संभाव्यता के रूप में भी जाना जाता है। घटनाओं को कुछ यादृच्छिकता वाली भौतिक घटनाओं द्वारा नियंत्रित माना जाता है, जो या तो ऐसी घटनाएँ हैं जिनका अनुमान लगाया जा सकता है, सिद्धांत रूप में, पर्याप्त जानकारी के साथ (नियतिवाद देखें); या ऐसी घटनाएं जो अनिवार्य रूप से अप्रत्याशित हैं। पहले प्रकार के उदाहरणों में पासा उछालना या रूलेट व्हील घुमाना शामिल है; दूसरे प्रकार का एक उदाहरण रेडियोधर्मी क्षय है। एक उचित सिक्के को उछालने के मामले में, बारंबारवादियों का कहना है कि चित आने की संभावना 1/2 है, इसलिए नहीं कि दो समान रूप से संभावित परिणाम हैं, बल्कि इसलिए कि बड़ी संख्या में परीक्षणों की बार-बार श्रृंखला दर्शाती है कि अनुभवजन्य आवृत्ति सीमा 1 में परिवर्तित हो जाती है। /2 क्योंकि परीक्षणों की संख्या अनंत हो जाती है।

यदि हम द्वारा निरूपित करें $\textstyle n_{a}$ किसी घटना के घटित होने की संख्या ${\mathcal {A}}$ में $\textstyle n$ परीक्षण, तो यदि $\lim _{n\to +\infty }{n_{a} \over n}=p$ हम ऐसा कहते हैं$\textstyle P({\mathcal {A}})=p$.

बारंबारवादी दृष्टिकोण की अपनी समस्याएं हैं। किसी घटना की संभावना निर्धारित करने के लिए किसी यादृच्छिक प्रयोग की अनंत पुनरावृत्ति करना वास्तव में असंभव है। लेकिन यदि प्रक्रिया की केवल एक सीमित संख्या में पुनरावृत्ति की जाती है, तो परीक्षणों की विभिन्न श्रृंखलाओं में अलग-अलग सापेक्ष आवृत्तियाँ दिखाई देंगी। यदि ये सापेक्ष आवृत्तियाँ संभाव्यता को परिभाषित करती हैं, तो हर बार मापे जाने पर संभावना थोड़ी भिन्न होगी। लेकिन वास्तविक संभावना हर बार समान होनी चाहिए। यदि हम इस तथ्य को स्वीकार करते हैं कि हम केवल माप की कुछ त्रुटि के साथ संभाव्यता को माप सकते हैं, तो हम अभी भी समस्याओं में पड़ जाते हैं क्योंकि माप की त्रुटि को केवल संभाव्यता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, वही अवधारणा जिसे हम परिभाषित करने का प्रयास कर रहे हैं। यह आवृत्ति परिभाषा को भी गोलाकार बनाता है; उदाहरण के लिए देखें "भूकंप की संभावना क्या है?"

व्यक्तिपरकता

Main article: Bayesian probability

विषयवादी, जिन्हें बायेसियन या ज्ञानमीमांसीय संभाव्यता के अनुयायियों के रूप में भी जाना जाता है, किसी विशेष स्थिति की अनिश्चितता का आकलन करने वाले व्यक्ति के 'विश्वास की डिग्री' के माप के रूप में संभाव्यता की धारणा को एक व्यक्तिपरक दर्जा देते हैं। ज्ञानमीमांसा या व्यक्तिपरक संभाव्यता को कभी-कभी विश्वसनीयता (सांख्यिकी) कहा जाता है, जो कि प्रवृत्ति संभाव्यता के लिए मौका शब्द के विपरीत है। ज्ञानमीमांसीय संभाव्यता के कुछ उदाहरण इस प्रस्ताव को संभाव्यता प्रदान करना है कि भौतिकी का एक प्रस्तावित नियम सत्य है या यह निर्धारित करना है कि प्रस्तुत साक्ष्य के आधार पर यह कितना संभावित है कि किसी संदिग्ध ने अपराध किया है। बायेसियन संभाव्यता का उपयोग दार्शनिक बहस को जन्म देता है कि क्या यह विश्वास के औचित्य के वैध सिद्धांत में योगदान दे सकता है। बायेसियन फ्रैंक पी. रैमसे के काम की ओर इशारा करते हैं(पृ. 182) और ब्रूनो डी फिनेटी(पृष्ठ 103) यह सिद्ध करते हुए कि यदि व्यक्तिपरक मान्यताओं को सुसंगत होना है तो उन्हें संभाव्यता के नियमों का पालन करना चाहिए। साक्ष्य इस बात पर संदेह पैदा करते हैं कि मनुष्यों में सुसंगत मान्यताएँ होंगी। बायेसियन संभाव्यता के उपयोग में पूर्व संभाव्यता को निर्दिष्ट करना शामिल है। यह इस बात पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है कि क्या आवश्यक पूर्व संभावना संदर्भ संभावना से अधिक है या कम है कलश मॉडल या विचार प्रयोग से संबद्ध। मुद्दा यह है कि किसी दी गई समस्या के लिए, कई विचार प्रयोग लागू हो सकते हैं, और किसी एक को चुनना निर्णय का विषय है: अलग-अलग लोग अलग-अलग पूर्व संभावनाएं निर्दिष्ट कर सकते हैं, जिन्हें संदर्भ वर्ग समस्या के रूप में जाना जाता है। सूर्योदय समस्या एक उदाहरण प्रदान करती है।

प्रवृत्ति

Main article: Propensity probability

प्रवृत्ति सिद्धांतकार संभाव्यता को एक निश्चित प्रकार का परिणाम प्राप्त करने या ऐसे परिणाम की दीर्घकालिक सापेक्ष आवृत्ति उत्पन्न करने के लिए किसी दिए गए प्रकार की भौतिक स्थिति की भौतिक प्रवृत्ति, या स्वभाव, या प्रवृत्ति के रूप में सोचते हैं। इस प्रकार की वस्तुनिष्ठ संभाव्यता को कभी-कभी 'मौका' कहा जाता है।

प्रवृत्तियाँ, या संभावनाएँ, सापेक्ष आवृत्तियाँ नहीं हैं, बल्कि देखी गई स्थिर सापेक्ष आवृत्तियों के कथित कारण हैं। प्रवृत्तियों का उपयोग यह समझाने के लिए किया जाता है कि एक निश्चित प्रकार के प्रयोग को दोहराने से लगातार दरों पर दिए गए परिणाम प्रकार क्यों उत्पन्न होंगे, जिन्हें प्रवृत्ति या संभावना के रूप में जाना जाता है। फ़्रीक्वेंटिस्ट इस दृष्टिकोण को अपनाने में असमर्थ हैं, क्योंकि सापेक्ष आवृत्तियाँ एक सिक्के के एकल उछाल के लिए मौजूद नहीं होती हैं, बल्कि केवल बड़े समूहों या सामूहिकों के लिए मौजूद होती हैं (उपरोक्त तालिका में एकल मामले को संभव देखें)।इसके विपरीत, एक प्रवृत्तिवादी दीर्घावधि आवृत्तियों के व्यवहार को समझाने के लिए बड़ी संख्या के नियम का उपयोग करने में सक्षम होता है। यह नियम, जो संभाव्यता के सिद्धांतों का परिणाम है, कहता है कि यदि (उदाहरण के लिए) एक सिक्के को बार-बार कई बार उछाला जाता है, तो प्रत्येक उछाल पर उसके चित आने की संभावना समान होती है, और परिणाम संभाव्य होते हैं स्वतंत्र, तो हेड की सापेक्ष आवृत्ति प्रत्येक एकल टॉस पर हेड की संभावना के करीब होगी। यह कानून अनुमति देता है कि स्थिर दीर्घकालिक आवृत्तियाँ अपरिवर्तनीय एकल-मामले संभावनाओं की अभिव्यक्ति हैं। स्थिर सापेक्ष आवृत्तियों के उद्भव की व्याख्या करने के अलावा, प्रवृत्ति का विचार क्वांटम यांत्रिकी में एकल-मामले संभाव्यता विशेषताओं को समझने की इच्छा से प्रेरित होता है, जैसे किसी विशेष समय में किसी विशेष परमाणु के रेडियोधर्मी क्षय की संभावना।

प्रवृत्ति सिद्धांतों के सामने मुख्य चुनौती यह बताना है कि प्रवृत्ति का वास्तव में क्या अर्थ है। (और फिर, निश्चित रूप से, यह दिखाने के लिए कि इस प्रकार परिभाषित प्रवृत्ति में आवश्यक गुण हैं।) वर्तमान में, दुर्भाग्य से, प्रवृत्ति का कोई भी अच्छी तरह से मान्यता प्राप्त खाता इस चुनौती को पूरा करने के करीब नहीं आता है।

संभाव्यता का एक प्रवृत्ति सिद्धांत चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स द्वारा दिया गया था। <संदर्भ नाम = मिलर 1975 123-132 >Miller, Richard W. (1975). "प्रवृत्ति: पॉपर या पीयर्स?". British Journal for the Philosophy of Science. 26 (2): 123–132. doi:10.1093/bjps/26.2.123.</ref> बाद में प्रवृत्ति सिद्धांत दार्शनिक कार्ल पॉपर द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जो सी.एस. पीयर्स के लेखन से केवल मामूली परिचित थे।<रेफ नाम = मिलर 1975 123-132 /><रेफ नाम = हैक 1977 63-104 /> पॉपर ने कहा कि एक भौतिक प्रयोग का परिणाम परिस्थितियों के एक निश्चित समूह द्वारा निर्मित होता है। जब हम एक प्रयोग दोहराते हैं, जैसा कि कहा जाता है, हम वास्तव में (कमोबेश) समान परिस्थितियों के सेट के साथ एक और प्रयोग करते हैं। यह कहने के लिए कि उत्पन्न करने वाली स्थितियों के एक सेट में परिणाम ई उत्पन्न करने की प्रवृत्ति पी होती है, इसका मतलब है कि उन सटीक स्थितियों को, यदि अनिश्चित काल तक दोहराया जाता है, तो एक परिणाम अनुक्रम उत्पन्न होगा जिसमें ई सीमित सापेक्ष आवृत्ति पी के साथ हुआ। पॉपर के लिए, एक नियतात्मक प्रयोग में प्रत्येक परिणाम के लिए प्रवृत्ति 0 या 1 होगी, क्योंकि उत्पन्न करने वाली स्थितियों का प्रत्येक परीक्षण पर समान परिणाम होगा। दूसरे शब्दों में, गैर-तुच्छ प्रवृत्तियाँ (जो 0 और 1 से भिन्न होती हैं) केवल वास्तव में गैर-नियतात्मक प्रयोगों के लिए मौजूद होती हैं।

डेविड मिलर (दार्शनिक) और डोनाल्ड ए. गिलीज़ सहित कई अन्य दार्शनिकों ने कुछ हद तक पॉपर के समान प्रवृत्ति सिद्धांतों का प्रस्ताव दिया है।

अन्य प्रवृत्ति सिद्धांतकार (जैसे रोनाल्ड गियर)।) स्पष्ट रूप से प्रवृत्तियों को बिल्कुल भी परिभाषित नहीं करते हैं, बल्कि प्रवृत्ति को विज्ञान में निभाई जाने वाली सैद्धांतिक भूमिका के अनुसार परिभाषित करते हैं। उदाहरण के लिए, उन्होंने तर्क दिया कि विद्युत आवेश जैसे भौतिक परिमाण को अधिक बुनियादी चीजों के संदर्भ में स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है, बल्कि केवल वे जो करते हैं (जैसे कि अन्य विद्युत आवेशों को आकर्षित करना और प्रतिकर्षित करना) के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। इसी तरह, प्रवृत्ति वह है जो विज्ञान में भौतिक संभाव्यता द्वारा निभाई जाने वाली विभिन्न भूमिकाओं को भरती है।

विज्ञान में भौतिक संभाव्यता क्या भूमिका निभाती है? इसके गुण क्या हैं? संयोग की एक केंद्रीय संपत्ति यह है कि, जब ज्ञात होता है, तो यह तर्कसंगत विश्वास को समान संख्यात्मक मान लेने के लिए बाध्य करता है। डेविड लुईस (दार्शनिक) ने इसे प्रधान सिद्धांत कहा,(3.3 और 3.5) एक शब्द जिसे दार्शनिकों ने अधिकतर अपनाया है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आप निश्चित हैं कि एक विशेष पक्षपाती सिक्के में हर बार उछाले जाने पर चित आने की प्रवृत्ति 0.32 है। तो फिर उस जुए की सही कीमत क्या है जिसमें सिक्का गिरने पर 1 डॉलर का भुगतान होता है, अन्यथा कुछ नहीं? प्रधान सिद्धांत के अनुसार, उचित मूल्य 32 सेंट है।

तार्किक, ज्ञानमीमांसा, और आगमनात्मक संभाव्यता

Main article: Probabilistic logic

यह व्यापक रूप से मान्यता प्राप्त है कि संभाव्यता शब्द का प्रयोग कभी-कभी उन संदर्भों में किया जाता है जहां इसका भौतिक यादृच्छिकता से कोई लेना-देना नहीं होता है। उदाहरण के लिए, इस दावे पर विचार करें कि डायनासोर का विलुप्त होना संभवतः एक बड़े उल्कापिंड के पृथ्वी से टकराने के कारण हुआ था। परिकल्पना एच संभवतः सत्य है जैसे कथनों की व्याख्या इस अर्थ में की गई है कि (वर्तमान में उपलब्ध) अनुभवजन्य साक्ष्य (ई, कहते हैं) उच्च स्तर तक एच का समर्थन करते हैं। ई द्वारा एच के समर्थन की इस डिग्री को ई दिए गए एच की तार्किक, या ज्ञानमीमांसीय, या आगमनात्मक संभावना कहा गया है।

इन व्याख्याओं के बीच अंतर काफी छोटा है, और महत्वहीन लग सकता है। असहमति का एक मुख्य बिंदु संभाव्यता और विश्वास के बीच संबंध में निहित है। तार्किक संभावनाओं की कल्पना की जाती है (उदाहरण के लिए जॉन मेनार्ड कीन्स की संभाव्यता पर एक ग्रंथ में)। प्रस्तावों (या वाक्यों) के बीच वस्तुनिष्ठ, तार्किक संबंध होना, और इसलिए किसी भी तरह से विश्वास पर निर्भर नहीं होना। वे (आंशिक) संलग्नता की डिग्री, या तार्किक परिणाम की डिग्री हैं, विश्वास की डिग्री नहीं। (फिर भी, वे विश्वास की उचित डिग्री तय करते हैं, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।) दूसरी ओर, फ्रैंक पी. रैमसे ऐसे वस्तुनिष्ठ तार्किक संबंधों के अस्तित्व के बारे में संदेह में थे और तर्क दिया कि (साक्ष्य) संभाव्यता आंशिक का तर्क है आस्था ।(पृष्ठ 157) दूसरे शब्दों में, रैमसे का मानना ​​था कि ज्ञानमीमांसीय संभावनाएं तार्किक संबंध होने के बजाय केवल तर्कसंगत विश्वास की डिग्री हैं जो तर्कसंगत विश्वास की डिग्री को बाधित करती हैं।

असहमति का एक अन्य बिंदु ज्ञान की दी गई स्थिति के सापेक्ष, साक्ष्य संभाव्यता की विशिष्टता से संबंधित है। उदाहरण के लिए, रुडोल्फ कार्नैप का मानना ​​था कि तार्किक सिद्धांत हमेशा किसी भी साक्ष्य के सापेक्ष किसी भी कथन के लिए एक अद्वितीय तार्किक संभावना निर्धारित करते हैं। इसके विपरीत, रैमसे ने सोचा कि जबकि विश्वास की डिग्री कुछ तर्कसंगत बाधाओं (जैसे, लेकिन संभावना के सिद्धांतों तक सीमित नहीं) के अधीन हैं, ये बाधाएं आमतौर पर एक अद्वितीय मूल्य निर्धारित नहीं करती हैं। दूसरे शब्दों में, तर्कसंगत लोग अपने विश्वास के स्तर में कुछ भिन्न हो सकते हैं, भले ही उन सभी के पास समान जानकारी हो।

भविष्यवाणी

Main article: Predictive inference

संभाव्यता का एक वैकल्पिक खाता भविष्यवाणी की भूमिका पर जोर देता है - अतीत की टिप्पणियों के आधार पर भविष्य की टिप्पणियों की भविष्यवाणी करना, अप्राप्य मापदंडों पर नहीं। अपने आधुनिक रूप में, यह मुख्य रूप से बायेसियन नस में है। 20वीं सदी से पहले संभाव्यता का यह मुख्य कार्य था, लेकिन पैरामीट्रिक दृष्टिकोण की तुलना में पक्ष से बाहर हो गया, जिसने घटना को एक भौतिक प्रणाली के रूप में प्रस्तुत किया जिसे त्रुटि के साथ देखा गया था, जैसे कि आकाशीय यांत्रिकी में।

आधुनिक भविष्य कहनेवाला दृष्टिकोण ब्रूनो डी फिनेटी द्वारा शुरू किया गया था, जिसमें विनिमयशीलता का केंद्रीय विचार था - कि भविष्य के अवलोकनों को पिछले अवलोकनों की तरह व्यवहार करना चाहिए।यह दृष्टिकोण 1974 में डी फिनेटी की पुस्तक के अनुवाद के साथ एंग्लोफोन जगत के ध्यान में आया,और हैं चूँकि इसे सेमुर गीसर जैसे सांख्यिकीविदों द्वारा प्रतिपादित किया गया था।

स्वयंसिद्ध संभाव्यता

संभाव्यता का गणित पूरी तरह से स्वयंसिद्ध आधार पर विकसित किया जा सकता है जो किसी भी व्याख्या से स्वतंत्र है: विस्तृत उपचार के लिए संभाव्यता सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांतों पर लेख देखें।

यह भी देखें

• कवरेज संभावना
• आवृत्ति (सांख्यिकी)
• नकारात्मक संभावना
• गणित का दर्शन
• सांख्यिकी का दर्शन
• पिग्निस्टिक संभाव्यता
• संभाव्यता आयाम (क्वांटम यांत्रिकी)
• सूर्योदय की समस्या
• बायेसियन ज्ञानमीमांसा

अग्रिम पठन

• Cohen, L (1989). An introduction to the philosophy of induction and probability. Oxford New York: Clarendon Press Oxford University Press. ISBN 978-0198750789.
• Eagle, Antony (2011). Philosophy of probability : contemporary readings. Abingdon, Oxon New York: Routledge. ISBN 978-0415483872.
• Gillies, Donald (2000). Philosophical theories of probability. London New York: Routledge. ISBN 978-0415182768. A comprehensive monograph covering the four principal current interpretations: logical, subjective, frequency, propensity. Also proposes a novel intersubective interpretation.
• Hacking, Ian (2006). The emergence of probability : a philosophical study of early ideas about probability, induction and statistical inference. Cambridge New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0521685573.
• Paul Humphreys, ed. (1994) Patrick Suppes: Scientific Philosopher, Synthese Library, Springer-Verlag.
  • Vol. 1: Probability and Probabilistic Causality.
  • Vol. 2: Philosophy of Physics, Theory Structure and Measurement, and Action Theory.
• Jackson, Frank, and Robert Pargetter (1982) "Physical Probability as a Propensity," Noûs 16(4): 567–583.
• Khrennikov, Andrei (2009). Interpretations of probability (2nd ed.). Berlin New York: Walter de Gruyter. ISBN 978-3110207484. Covers mostly non-Kolmogorov probability models, particularly with respect to quantum physics.
• Lewis, David (1983). Philosophical papers. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0195036466.
• Plato, Jan von (1994). Creating modern probability : its mathematics, physics, and philosophy in historical perspective. Cambridge England New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0521597357.
• Rowbottom, Darrell (2015). Probability. Cambridge: Polity. ISBN 978-0745652573. A highly accessible introduction to the interpretation of probability. Covers all the main interpretations, and proposes a novel group level (or 'intersubjective') interpretation. Also covers fallacies and applications of interpretations in the social and natural sciences.
• Skyrms, Brian (2000). Choice and chance : an introduction to inductive logic. Australia Belmont, CA: Wadsworth/Thomson Learning. ISBN 978-0534557379.

बाहरी संबंध

• Zalta, Edward N. (ed.). "Interpretations of Probability". Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Interpretations of Probability at the Indiana Philosophy Ontology Project
• Interpretation of Probability at PhilPapers