सापेक्ष कोणीय गति

Main article: Angular momentum

भौतिकी में, सापेक्षतावादी कोणीय गति गणितीय औपचारिकताओं और भौतिक अवधारणाओं को संदर्भित करती है जो विशेष सापेक्षता (एसआर) और सामान्य सापेक्षता (जीआर) में कोणीय गति को परिभाषित करती है। सापेक्षतावादी मात्रा शास्त्रीय यांत्रिकी में त्रि-आयामी मात्रा से सूक्ष्म रूप से भिन्न है।

कोणीय संवेग स्थिति और संवेग से प्राप्त एक महत्वपूर्ण गतिशील मात्रा है। यह किसी वस्तु की घूर्णन गति और उसके घूर्णन में परिवर्तन के प्रतिरोध का माप है। इसके अलावा, उसी तरह से गति संरक्षण अनुवादात्मक समरूपता से मेल खाता है, कोणीय गति संरक्षण घूर्णी समरूपता से मेल खाता है - समरूपता (भौतिकी) और संरक्षण कानून (भौतिकी) के बीच संबंध नोएदर के प्रमेय द्वारा बनाया गया है। हालाँकि ये अवधारणाएँ मूल रूप से शास्त्रीय यांत्रिकी में खोजी गई थीं, वे विशेष और सामान्य सापेक्षता में भी सत्य और महत्वपूर्ण हैं। अमूर्त बीजगणित के संदर्भ में, कोणीय गति, चार-गति, और स्पेसटाइम में अन्य समरूपताओं का वर्णन लोरेंत्ज़ समूह, या अधिक सामान्यतः पोंकारे समूह द्वारा किया जाता है।

शास्त्रीय भौतिकी में अलग-अलग रहने वाली भौतिक मात्राएँ सापेक्षता के सिद्धांतों को लागू करके एसआर और जीआर में स्वाभाविक रूप से संयुक्त हैं। सबसे विशेष रूप से, स्थान और समय निर्देशांक चार-वेक्टर#चार-स्थिति|चार-स्थिति में संयोजित होते हैं, और ऊर्जा और संवेग चार-संवेग में संयोजित होते हैं। इन चार-वेक्टरों के घटक उपयोग किए गए संदर्भ के फ्रेम पर निर्भर करते हैं, और लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत अन्य जड़त्वीय फ़्रेमों या गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ़्रेमों में बदलते हैं।

सापेक्ष कोणीय गति कम स्पष्ट है। कोणीय गति की शास्त्रीय परिभाषा एक छद्मवेक्टर प्राप्त करने के लिए गति पी के साथ स्थिति x का क्रॉस उत्पाद है x × p, या वैकल्पिक रूप से दूसरे क्रम का एंटीसिमेट्रिक टेंसर प्राप्त करने के लिए बाहरी उत्पाद के रूप में x ∧ p. यदि कुछ भी हो तो इसका संयोजन किससे होता है? एक और वेक्टर मात्रा है जिस पर अक्सर चर्चा नहीं की जाती है - यह सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र को बढ़ावा देने से संबंधित द्रव्यमान ध्रुवीय-वेक्टर का समय-परिवर्तनीय क्षण है (जड़ता का क्षण नहीं), और यह शास्त्रीय कोणीय गति छद्मवेक्टर के साथ मिलकर दूसरे क्रम का एक एंटीसिमेट्रिक टेंसर बनाता है, ठीक उसी तरह जैसे विद्युत क्षेत्र ध्रुवीय-वेक्टर चुंबकीय क्षेत्र छद्मवेक्टर के साथ मिलकर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र एंटीसिमेट्रिक टेंसर बनाता है। बिंदु-समान कणों के बजाय घूर्णन द्रव्यमान-ऊर्जा वितरण (जैसे जाइरोस्कोप, ग्रह, तारे और ब्लैक होल) के लिए, 'कोणीय गति टेंसर' को घूर्णन वस्तु के तनाव-ऊर्जा टेंसर के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है।

अकेले विशेष सापेक्षता में, एक घूमती वस्तु के बाकी फ्रेम में, क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी में स्पिन के अनुरूप एक आंतरिक कोणीय गति होती है, हालांकि एक बिंदु कण के बजाय एक विस्तारित शरीर के लिए। सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में, प्राथमिक कणों में स्पिन (भौतिकी) होती है और यह कक्षीय कोणीय गति ऑपरेटर के लिए एक अतिरिक्त योगदान है, जिससे कुल कोणीय गति टेंसर ऑपरेटर प्राप्त होता है। किसी भी मामले में, किसी वस्तु के कक्षीय कोणीय गति में आंतरिक स्पिन जोड़ को पाउली-लुबांस्की स्यूडोवेक्टर के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

परिभाषाएँ

Further information: Euclidean vector and Pseudovector

तात्कालिक 3-स्थिति 'x' और 3-संवेग 'p' के साथ द्रव्यमान m के एक कण के bivector (समतल तत्व) और अक्षीय सदिश के रूप में 3-कोणीय गति।

कक्षीय 3डी कोणीय गति

संदर्भ और पृष्ठभूमि के लिए, कोणीय गति के दो निकट संबंधी रूप दिए गए हैं।

शास्त्रीय यांत्रिकी में, तात्कालिक त्रि-आयामी स्थिति वेक्टर के साथ एक कण की कक्षीय कोणीय गति x = (x, y, z) और संवेग वेक्टर p = (p_x, p_y, p_z), को अक्षीय वेक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p}$$

जिसके तीन घटक हैं, जो कार्टेशियन दिशाओं के चक्रीय क्रमपरिवर्तन द्वारा व्यवस्थित रूप से दिए गए हैं (उदाहरण के लिए परिवर्तन) x को y, y को z, z को x, दोहराना)

$${\begin{aligned}L_{x}&=yp_{z}-zp_{y}\,,\\L_{y}&=zp_{x}-xp_{z}\,,\\L_{z}&=xp_{y}-yp_{x}\,.\end{aligned}}$$

एक संबंधित परिभाषा कक्षीय कोणीय गति को एक समतल तत्व के रूप में समझना है। इसे बाहरी बीजगणित की भाषा में क्रॉस उत्पाद को बाहरी उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है, और कोणीय गति वैक्टर के दूसरे क्रम के एंटीसिमेट्रिक टेंसर का सहप्रसरण और विरोधाभास बन जाता है।

$$\mathbf {L} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {p}$$

या लिखना x = (x₁, x₂, x₃) = (x, y, z) और संवेग वेक्टर p = (p₁, p₂, p₃) = (p_x, p_y, p_z), घटकों को टेंसर इंडेक्स नोटेशन में संक्षिप्त रूप से संक्षिप्त किया जा सकता है

$$L^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}$$

जहां सूचकांक i और j मान 1, 2, 3 लें। दूसरी ओर, घटकों को 3 × 3 एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स में व्यवस्थित रूप से पूरी तरह से प्रदर्शित किया जा सकता है

$${\begin{aligned}\mathbf {L} &={\begin{pmatrix}L^{11}&L^{12}&L^{13}\\L^{21}&L^{22}&L^{23}\\L^{31}&L^{32}&L^{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&L_{xz}\\L_{yx}&0&L_{yz}\\L_{zx}&L_{zy}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&-L_{zx}\\-L_{xy}&0&L_{yz}\\L_{zx}&-L_{yz}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&xp_{y}-yp_{x}&-(zp_{x}-xp_{z})\\-(xp_{y}-yp_{x})&0&yp_{z}-zp_{y}\\zp_{x}-xp_{z}&-(yp_{z}-zp_{y})&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

यह मात्रा योगात्मक है, और एक पृथक प्रणाली के लिए, प्रणाली का कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

गतिशील द्रव्यमान क्षण

शास्त्रीय यांत्रिकी में, वेग 'यू' के साथ चलने वाले द्रव्यमान एम के एक कण के लिए त्रि-आयामी मात्रा

$$\mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {u} \right)=m\mathbf {x} -t\mathbf {p}$$

इसमें द्रव्यमान क्षण का आयामी विश्लेषण होता है - लंबाई को द्रव्यमान से गुणा किया जाता है। यह कण या कणों की प्रणाली के द्रव्यमान के बराबर होता है, जो मूल स्थान के समय मूल स्थान से द्रव्यमान के केंद्र (COM) तक की दूरी से गुणा किया जाता है (t = 0), जैसा कि प्रयोगशाला फ्रेम में मापा गया है। इस मात्रा के लिए कोई सार्वभौमिक प्रतीक या कोई सार्वभौमिक नाम भी नहीं है। अलग-अलग लेखक इसे अन्य प्रतीकों (यदि कोई हो) द्वारा निरूपित कर सकते हैं (उदाहरण के लिए μ), अन्य नामों को निर्दिष्ट कर सकते हैं, और एन को यहां उपयोग किए जाने वाले नकारात्मक के रूप में परिभाषित कर सकते हैं। उपरोक्त फॉर्म का लाभ यह है कि यह स्थिति के लिए परिचित गैलीलियन परिवर्तन जैसा दिखता है, जो बदले में जड़त्वीय फ्रेम के बीच गैर-सापेक्षवादी बढ़ावा परिवर्तन है।

यह वेक्टर भी योगात्मक है: कणों की एक प्रणाली के लिए, वेक्टर योग परिणामी है

$$\sum _{n}\mathbf {N} _{n}=\sum _{n}m_{n}\left(\mathbf {x} _{n}-t\mathbf {u} _{n}\right)=\left(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }\sum _{n}m_{n}-t\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}\right)=M_{\text{tot}}(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }-\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }t)$$

जहां सिस्टम का द्रव्यमान स्थिति और वेग और कुल द्रव्यमान का केंद्र क्रमशः है

$${\begin{aligned}\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {x} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]M_{\text{tot}}&=\sum _{n}m_{n}.\end{aligned}}$$

एक पृथक प्रणाली के लिए, N को समय में संरक्षित किया जाता है, जिसे समय के संबंध में विभेदित करके देखा जा सकता है। कोणीय गति L एक छद्मवेक्टर है, लेकिन N एक साधारण (ध्रुवीय) वेक्टर है, और इसलिए व्युत्क्रम के तहत अपरिवर्तनीय है।

परिणामी एन_tot एक मल्टीपार्टिकल सिस्टम के लिए भौतिक दृश्यता यह है कि, सभी कणों की चाहे जो भी जटिल गति हो, वे इस तरह से चलते हैं कि सिस्टम का COM एक सीधी रेखा में चलता है। इसका मतलब यह नहीं है कि सभी कण COM का अनुसरण करते हैं, न ही यह कि सभी कण एक साथ लगभग एक ही दिशा में चलते हैं, केवल यह कि कणों की सामूहिक गति द्रव्यमान के केंद्र के संबंध में बाधित होती है।

विशेष सापेक्षता में, यदि कण प्रयोगशाला फ्रेम के सापेक्ष वेग यू के साथ चलता है

$${\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2},&\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} \end{aligned}}$$

कहाँ

$$\gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}$$

लोरेंत्ज़ कारक है और m कण का द्रव्यमान (अर्थात् शेष द्रव्यमान) है। के संदर्भ में संगत सापेक्षिक द्रव्यमान क्षण m, u, p, E, उसी प्रयोगशाला में फ्रेम है

$$\mathbf {N} ={\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {x} -\mathbf {p} t=m\gamma (\mathbf {u} )(\mathbf {x} -\mathbf {u} t).$$

कार्टेशियन घटक हैं

$${\begin{aligned}N_{x}=mx-p_{x}t&={\frac {E}{c^{2}}}x-p_{x}t=m\gamma (u)(x-u_{x}t)\\N_{y}=my-p_{y}t&={\frac {E}{c^{2}}}y-p_{y}t=m\gamma (u)(y-u_{y}t)\\N_{z}=mz-p_{z}t&={\frac {E}{c^{2}}}z-p_{z}t=m\gamma (u)(z-u_{z}t)\end{aligned}}$$

विशेष सापेक्षता

x दिशा में वृद्धि के लिए परिवर्तनों का समन्वय करें

एक समन्वय फ़्रेम पर विचार करें F′ जो वेग से चलती है v = (v, 0, 0) दूसरे फ्रेम एफ के सापेक्ष, संपाती की दिशा में xx′ कुल्हाड़ियाँ. दो समन्वय फ़्रेमों की उत्पत्ति कई बार मेल खाती है t = t′ = 0. द्रव्यमान-ऊर्जा E = mc² और संवेग घटक {{math|1=p = (p_x, p_y, p_z)}किसी वस्तु का }, साथ ही स्थिति निर्देशांक x = (x, y, z) और समय t फ्रेम में F में रूपांतरित हो जाते हैं E′ = m′c², p′ = (p_x′, p_y′, p_z′), x′ = (x′, y′, z′), और t′ में F′ लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अनुसार

$${\begin{aligned}t'&=\gamma (v)\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\,,\quad &E'&=\gamma (v)\left(E-vp_{x}\right)\\x'&=\gamma (v)(x-vt)\,,\quad &p_{x}'&=\gamma (v)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\,,\quad &p_{y}'&=p_{y}\\z'&=z\,,\quad &p_{z}'&=p_{z}\\\end{aligned}}$$

लोरेंत्ज़ कारक यहां वेग v पर लागू होता है, जो फ़्रेमों के बीच सापेक्ष वेग है। यह आवश्यक रूप से किसी वस्तु के वेग u के समान नहीं है।

कक्षीय 3-कोणीय संवेग L के लिए एक छद्मवेक्टर के रूप में, हमारे पास है

$${\begin{aligned}L_{x}'&=y'p_{z}'-z'p_{y}'=L_{x}\\L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'=\gamma (v)(L_{y}-vN_{z})\\L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'=\gamma (v)(L_{z}+vN_{y})\\\end{aligned}}$$

Derivation

For the x-component

$$L_{x}'=y'p_{z}'-z'p_{y}'=yp_{z}-zp_{y}=L_{x}$$

the y-component

$${\begin{aligned}L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'\\&=z\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(x-vt\right)p_{z}\\&=\gamma \left[zp_{x}-z{\frac {vE}{c^{2}}}-xp_{z}+vtp_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left(zp_{x}-xp_{z}\right)+v\left(p_{z}t-z{\frac {E}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{y}-vN_{z}\right)\end{aligned}}$$

and z-component

$${\begin{aligned}L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'\\&=\gamma \left(x-vt\right)p_{y}-y\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma \left[xp_{y}-vtp_{y}-yp_{x}+y{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma \left[\left(xp_{y}-yp_{x}\right)+v\left(y{\frac {E}{c^{2}}}-tp_{y}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{z}+vN_{y}\right)\end{aligned}}$$

के दूसरे शब्दों में L_y′ और L_z′, द y और z क्रॉस उत्पाद के घटक v × N के चक्रीय क्रमपरिवर्तन को पहचानकर अनुमान लगाया जा सकता है v_x = v और v_y = v_z = 0 के घटकों के साथ N,

$${\begin{aligned}-vN_{z}&=v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{y}\\vN_{y}&=v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{z}\\\end{aligned}}$$

अब, L_x सापेक्ष वेग के समानांतर है v, और अन्य घटक L_y और L_z के लंबवत हैं v. प्रत्येक फ्रेम में संपूर्ण 3-कोणीय संवेग स्यूडोवेक्टर को v के समानांतर (∥) और लंबवत (⊥) घटकों में विभाजित करके समानांतर-लंबवत पत्राचार की सुविधा प्रदान की जा सकती है।

$$\mathbf {L} =\mathbf {L} _{\parallel }+\mathbf {L} _{\perp }\,,\quad \mathbf {L} '=\mathbf {L} _{\parallel }'+\mathbf {L} _{\perp }'\,.$$

फिर घटक समीकरणों को छद्मवेक्टर समीकरणों में एकत्र किया जा सकता है

$${\begin{aligned}\mathbf {L} _{\parallel }'&=\mathbf {L} _{\parallel }\\\mathbf {L} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)\\\end{aligned}}$$

इसलिए, गति की दिशा में कोणीय गति के घटक नहीं बदलते हैं, जबकि लंबवत घटक बदलते हैं। स्थान और समय के परिवर्तनों के विपरीत, समय और स्थानिक निर्देशांक गति की दिशा के साथ बदलते हैं, जबकि लंबवत नहीं।

ये परिवर्तन सभी के लिए सत्य हैं v, केवल गति के लिए नहीं xx′ कुल्हाड़ियाँ.

मानते हुए L एक टेंसर के रूप में, हमें एक समान परिणाम मिलता है

$$\mathbf {L} _{\perp }'=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)$$

कहाँ

$${\begin{aligned}v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{zx}\\v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{xy}\\\end{aligned}}$$

के साथ गतिशील द्रव्यमान क्षण को बढ़ावा xदिशा है

$${\begin{aligned}N_{x}'&=m'x'-p_{x}'t'=N_{x}\\N_{y}'&=m'y'-p_{y}'t'=\gamma (v)\left(N_{y}+{\frac {vL_{z}}{c^{2}}}\right)\\N_{z}'&=m'z'-p_{z}'t'=\gamma (v)\left(N_{z}-{\frac {vL_{y}}{c^{2}}}\right)\\\end{aligned}}$$

Derivation

For the x-component

$${\begin{aligned}N_{x}'&={\frac {E'}{c^{2}}}x'-t'p_{x}'\\&={\frac {\gamma }{c^{2}}}(E-vp_{x})\gamma (x-vt)-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {1}{c^{2}}}\left(E-vp_{x}\right)(x-vt)-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}-{\frac {Evt}{c^{2}}}-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}+{\frac {vp_{x}vt}{c^{2}}}-tp_{x}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}+t{\frac {vE}{c^{2}}}-{\frac {xv}{c^{2}}}{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}{\cancel {-{\frac {Evt}{c^{2}}}}}{\cancel {-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}p_{x}t-tp_{x}{\cancel {+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}}}{\cancel {+t{\frac {vE}{c^{2}}}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {Ex}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[\left({\frac {Ex}{c^{2}}}-tp_{x}\right)+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left(p_{x}t-{\frac {Ex}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]N_{x}\\&=\gamma ^{2}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}N_{x}\end{aligned}}$$

the y-component

$${\begin{aligned}N_{y}'&={\frac {E'}{c^{2}}}y'-t'p_{y}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})y-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})y-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ey-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{x}y-tp_{y}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{y}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ey-tp_{y}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{y}-yp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}L_{z}\right)\end{aligned}}$$

and z-component

$${\begin{aligned}N_{z}'&={\frac {E'}{c^{2}}}z'-t'p_{z}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})z-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})z-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ez-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{z}z-tp_{z}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ez-tp_{z}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{z}-zp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}L_{y}\right)\end{aligned}}$$

पहले की तरह समानांतर और लंबवत घटकों को एकत्रित करना

$${\begin{aligned}\mathbf {N} _{\parallel }'&=\mathbf {N} _{\parallel }\\\mathbf {N} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} _{\perp }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)\\\end{aligned}}$$

फिर, सापेक्ष गति की दिशा के समानांतर घटक नहीं बदलते, वे लम्बवत बदलते हैं।

किसी भी दिशा में वृद्धि के लिए वेक्टर परिवर्तन

अभी तक ये केवल सदिशों के समानांतर और लंबवत अपघटन हैं। पूर्ण वैक्टरों पर परिवर्तनों का निर्माण उनसे निम्नानुसार किया जा सकता है (यहां भर में)। L वेक्टर बीजगणित के साथ संक्षिप्तता और अनुकूलता के लिए एक छद्मवेक्टर है)।

की दिशा में एक इकाई वेक्टर का परिचय दें v, द्वारा दिए गए n = v/v. समानांतर घटक वेक्टर प्रक्षेपण द्वारा दिए गए हैं L या N में n

$$\mathbf {L} _{\parallel }=(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\parallel }=(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$$

जबकि वेक्टर अस्वीकृति द्वारा लंबवत घटक एल या एन से एन

$$\mathbf {L} _{\perp }=\mathbf {L} -(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\perp }=\mathbf {N} -(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$$

और परिवर्तन हैं

$${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {v}{c^{2}}}\mathbf {n} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\end{aligned}}$$

या बहाल कर रहा हूँ v = vn,

$${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {L} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {N} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\end{aligned}}$$

ये विद्युत क्षेत्र के लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के समान हैं E और चुंबकीय क्षेत्र B, शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व और विशेष सापेक्षता देखें।

वैकल्पिक रूप से, वेग के साथ वृद्धि के लिए समय, स्थान, ऊर्जा और गति के वेक्टर लोरेंत्ज़ परिवर्तनों से शुरू करना v,

$${\begin{aligned}t'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(t-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} )t\mathbf {v} \,,\\\mathbf {p} '&=\mathbf {p} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} ){\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {v} \,,\\E'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(E-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} \right)\,,\\\end{aligned}}$$

इन्हें परिभाषाओं में सम्मिलित करना

$${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,&\mathbf {N} '&={\frac {E'}{c^{2}}}\mathbf {r} '-t'\mathbf {p} '\end{aligned}}$$

परिवर्तन देता है.

Derivation of vector transformations directly

The orbital angular momentum in each frame are

$$\mathbf {L} '=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,\quad \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$$

so taking the cross product of the transformations

$${\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\left[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \right]\times \left[\mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {n} \right]\\&=[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \times \mathbf {p} -\gamma tv\mathbf {n} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {r} \times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {r} \times \mathbf {n} \\&=\mathbf {L} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right]\mathbf {r} \times \mathbf {v} \\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {p} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right)\mathbf {r} \right]\\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\left((\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} \right)+\gamma \left({\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {r} -t\mathbf {p} \right)\right]\end{aligned}}$$

Using the triple product rule

$${\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} \\\end{aligned}}$$

gives

$${\begin{aligned}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\times \mathbf {v} &=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} \\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} &=\mathbf {L} \times \mathbf {v} \\\end{aligned}}$$

and along with the definition of N we have

$$\mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {L} \times \mathbf {v} +\gamma \mathbf {N} \right]$$

Reinstating the unit vector n,

$$\mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {n} \times \left[(\gamma -1)\mathbf {L} \times \mathbf {n} +v\gamma \mathbf {N} \right]$$

Since in the transformation there is a cross product on the left with n,

$$\mathbf {n} \times (\mathbf {L} \times \mathbf {n} )=\mathbf {L} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )-\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )=\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )$$

then

$$\mathbf {L} '=\mathbf {L} +(\gamma -1)(\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} ))+\beta \gamma c\mathbf {n} \times \mathbf {N} =\gamma (\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma -1)\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )$$

4d कोणीय संवेग एक द्विवेक्टर के रूप में

सापेक्षतावादी यांत्रिकी में, घूमने वाली वस्तु के COM बूस्ट और कक्षीय 3-स्पेस कोणीय गति को चार-वेक्टर | चार-स्थिति X और वस्तु के चार-गति P के संदर्भ में एक चार-आयामी बायवेक्टर में संयोजित किया जाता है।

$$\mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P}$$

घटकों में

$$M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }$$

जो कुल मिलाकर छह स्वतंत्र मात्राएँ हैं। के घटकों के बाद से X और P फ़्रेम-निर्भर हैं, इसलिए है M. तीन घटक

$$M^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}=L^{ij}$$

परिचित शास्त्रीय 3-अंतरिक्ष कक्षीय कोणीय गति और अन्य तीन हैं

$$M^{0i}=x^{0}p^{i}-x^{i}p^{0}=c\,\left(tp^{i}-x^{i}{\frac {E}{c^{2}}}\right)=-cN^{i}$$

सापेक्षतावादी द्रव्यमान क्षण को गुणा किया जाता है −c. टेंसर एंटीसिमेट्रिक है;

$$M^{\alpha \beta }=-M^{\beta \alpha }$$

टेंसर के घटकों को मैट्रिक्स (गणित) के रूप में व्यवस्थित रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है

$${\begin{aligned}\mathbf {M} &={\begin{pmatrix}M^{00}&M^{01}&M^{02}&M^{03}\\M^{10}&M^{11}&M^{12}&M^{13}\\M^{20}&M^{21}&M^{22}&M^{23}\\M^{30}&M^{31}&M^{32}&M^{33}\end{pmatrix}}\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|ccc}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\\hline N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{array}}\right)\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|c}0&-\mathbf {N} c\\\hline \mathbf {N} ^{\mathrm {T} }c&\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \\\end{array}}\right)\end{aligned}}$$

जिसमें अंतिम सरणी एक ब्लॉक मैट्रिक्स है जो एन को एक पंक्ति वेक्टर के रूप में मानकर बनाई गई है जो मैट्रिक्स स्तंभ सदिश एन में स्थानांतरित हो जाती है^टी, और x ∧ p 3 × 3 एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स के रूप में। लाइनें केवल यह दिखाने के लिए डाली गई हैं कि ब्लॉक कहां हैं।

फिर से, यह टेंसर योगात्मक है: किसी सिस्टम का कुल कोणीय संवेग सिस्टम के प्रत्येक घटक के लिए कोणीय संवेग टेंसर का योग है:

$$\mathbf {M} _{\text{tot}}=\sum _{n}\mathbf {M} _{n}=\sum _{n}\mathbf {X} _{n}\wedge \mathbf {P} _{n}\,.$$

अन्य वस्तुओं और क्षेत्रों के लिए संबंधित घटकों के साथ एकत्रित होने पर छह घटकों में से प्रत्येक एक संरक्षित मात्रा बनाता है।

कोणीय गति टेंसर एम वास्तव में एक टेंसर है, घटक लोरेंत्ज़ परिवर्तन मैट्रिक्स Λ के अनुसार बदलते हैं, जैसा कि टेंसर इंडेक्स नोटेशन द्वारा सामान्य तरीके से दिखाया गया है

$${\begin{aligned}{M'}^{\alpha \beta }&={X'}^{\alpha }{P'}^{\beta }-{X'}^{\beta }{P'}^{\alpha }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }X^{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }P^{\delta }-{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }X^{\delta }{\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }P^{\gamma }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }\left(X^{\gamma }P^{\delta }-X^{\delta }P^{\gamma }\right)\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }M^{\gamma \delta }\\\end{aligned}},$$

जहां, सामान्यीकृत वेग के साथ (रोटेशन के बिना) बढ़ावा देने के लिए β = v/c, लोरेंत्ज़ परिवर्तन मैट्रिक्स तत्व हैं

$${\begin{aligned}{\Lambda ^{0}}_{0}&=\gamma \\{\Lambda ^{i}}_{0}&={\Lambda ^{0}}_{i}=-\gamma \beta ^{i}\\{\Lambda ^{i}}_{j}&={\delta ^{i}}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{i}\beta _{j}\end{aligned}}$$

और सहसंयोजक β_iऔर विरोधाभासी β^{'β' के घटक समान हैं क्योंकि ये केवल पैरामीटर हैं।}

दूसरे शब्दों में, कोई लोरेंत्ज़-चार स्थिति और चार गति को अलग-अलग रूपांतरित कर सकता है, और फिर नए फ्रेम में कोणीय गति टेंसर प्राप्त करने के लिए उन नए पाए गए घटकों को एंटीसिमेट्रिज़ कर सकता है।

Vector transformations derived from the tensor transformations

The transformation of boost components are

$${\begin{aligned}M'^{k0}&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{0}}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\\end{aligned}}$$

as for the orbital angular momentum

$${\begin{aligned}{M'}^{k\ell }&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{\ell }}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\end{aligned}}$$

The expressions in the Lorentz transformation entries are

$${\begin{aligned}{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left(-\gamma \beta ^{\ell }\right)-\left(-\gamma \beta ^{k}\right)\left[{\delta ^{\ell }}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right]\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\gamma -(-\gamma \beta ^{k})(-\gamma \beta ^{i})\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}-\gamma \beta ^{k}\beta ^{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}-\gamma \right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -\gamma \beta ^{2}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma ^{-1}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left[{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right]\beta ^{k}\beta _{i}\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left[{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\right]\\&={\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\end{aligned}}$$

gives

$${\begin{aligned}cN'^{k}&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\left[\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]cN^{i}+-\gamma \beta ^{j}\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}{\delta ^{k}}_{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}-\gamma {\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{j}\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}\\\end{aligned}}$$

or in vector form, dividing by c

$$\mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {N} \right)-{\frac {1}{c}}\gamma {\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L}$$

or reinstating β = v/c,

$$\mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\right)\mathbf {v} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {N} \right)-\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {L}$$

and

$${\begin{aligned}L'^{k\ell }&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right)N^{i}+\left[{\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\right]L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+L^{k\ell }+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}L^{kj}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}L^{i\ell }\\\end{aligned}}$$

or converting to pseudovector form

$${\begin{aligned}\varepsilon ^{k\ell n}L'_{n}&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+\varepsilon ^{k\ell n}L_{n}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\left(\beta ^{\ell }\beta _{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}-\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{\ell in}L_{n}\right)\\\end{aligned}}$$

in vector notation

$$\mathbf {L} '=\gamma c{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\times ({\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} )$$

or reinstating β = v/c,

$$\mathbf {L} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {v} \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)$$

कठोर शरीर घूर्णन

See also: Ehrenfest paradox

किसी वक्र में गतिमान कण के लिए, उसके कोणीय वेग का क्रॉस उत्पाद ω (एक छद्मवेक्टर) और स्थिति x इसका स्पर्शरेखीय वेग दीजिए

$$\mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x}$$

जिसका परिमाण इससे अधिक नहीं हो सकता c, चूंकि एसआर में किसी भी विशाल वस्तु का अनुवादिक वेग प्रकाश सी की गति से अधिक नहीं हो सकता है। गणितीय रूप से यह बाधा है 0 ≤ |u| < c, ऊर्ध्वाधर पट्टियाँ वेक्टर के नॉर्म (गणित) को दर्शाती हैं। यदि बीच का कोण है ω और x है θ (अशून्य माना जाता है, अन्यथा कोई गति न होने के अनुरूप यू शून्य होता), फिर |u| = |ω| |x| sin θ और कोणीय वेग किसके द्वारा प्रतिबंधित है

$$0\leq |{\boldsymbol {\omega }}|<{\frac {c}{|\mathbf {x} |\sin \theta }}$$

इसलिए किसी भी विशाल वस्तु का अधिकतम कोणीय वेग वस्तु के आकार पर निर्भर करता है। किसी दिए गए |x| के लिए, न्यूनतम ऊपरी सीमा तब होती है जब ω और x लंबवत हैं, इसलिए θ = π/2 और sin θ = 1.

कोणीय वेग से घूमने वाली एक घूमने वाली कठोर वस्तु के लिए ω, द u एक बिंदु पर स्पर्शरेखीय वेग है x वस्तु के अंदर. वस्तु के प्रत्येक बिंदु के लिए, एक अधिकतम कोणीय वेग होता है।

कोणीय वेग (छद्मवेक्टर) जड़ता टेंसर के क्षण के माध्यम से कोणीय गति (छद्मवेक्टर) से संबंधित है I

$$\mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\quad \rightleftharpoons \quad L_{i}=I_{ij}\omega _{j}$$

(बिन्दु · एक सूचकांक पर टेंसर संकुचन को दर्शाता है)। सापेक्ष कोणीय गति भी वस्तु के आकार से सीमित होती है।

विशेष सापेक्षता में स्पिन

चार-स्पिन

एक कण में उसकी गति से स्वतंत्र एक अंतर्निहित कोणीय गति हो सकती है, जिसे स्पिन (भौतिकी) कहा जाता है और एस से दर्शाया जाता है। यह कक्षीय कोणीय संवेग L जैसा एक 3डी स्यूडोवेक्टर है।

स्पिन में एक संगत स्पिन चुंबकीय क्षण होता है, इसलिए यदि कण इंटरैक्शन (जैसे विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र या स्पिन-ऑर्बिट युग्मन) के अधीन है, तो कण के स्पिन वेक्टर की दिशा बदल जाएगी, लेकिन इसका परिमाण स्थिर रहेगा।

विशेष सापेक्षता का विस्तार सीधा है। कुछ प्रयोगशाला फ़्रेम F के लिए, मान लीजिए कि F' कण का शेष फ़्रेम है और मान लीजिए कि कण निरंतर 3-वेग u के साथ चलता है। फिर F′ को उसी वेग से बढ़ाया जाता है और लोरेंत्ज़ परिवर्तन हमेशा की तरह लागू होते हैं; इसका उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है β = u/c. विशेष सापेक्षता में चार-वेक्टर के रूप में, चार-स्पिन एस आम तौर पर टाइमलाइक घटक के साथ चार-वेक्टर का सामान्य रूप लेता है।_tऔर प्रयोगशाला फ्रेम में स्थानिक घटक 'एस'

$$\mathbf {S} \equiv \left(S^{0},S^{1},S^{2},S^{3}\right)=(s_{t},s_{x},s_{y},s_{z})$$

यद्यपि कण के बाकी फ्रेम में, इसे परिभाषित किया गया है इसलिए समय जैसा घटक शून्य है और स्थानिक घटक कण के वास्तविक स्पिन वेक्टर के हैं, यहां नोटेशन में s', इसलिए कण के फ्रेम में

$$\mathbf {S} '\equiv \left({S'}^{0},{S'}^{1},{S'}^{2},{S'}^{3}\right)=\left(0,s_{x}',s_{y}',s_{z}'\right)$$

मानदंडों को समान करने से अपरिवर्तनीय संबंध बनता है

$$s_{t}^{2}-\mathbf {s} \cdot \mathbf {s} =-\mathbf {s} '\cdot \mathbf {s} '$$

इसलिए यदि स्पिन का परिमाण कण के बाकी फ्रेम और पर्यवेक्षक के प्रयोगशाला फ्रेम में दिया गया है, तो टाइमलाइक घटक का परिमाण_tलैब फ्रेम में भी दिया गया है।

Vector transformations derived from the tensor transformations

The boosted components of the four spin relative to the lab frame are

$${\begin{aligned}{S'}^{0}&={\Lambda ^{0}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{0}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{0}}_{i}S^{i}=\gamma \left(S^{0}-\beta _{i}S^{i}\right)\\&=\gamma \left({\frac {c}{c}}S^{0}-{\frac {u_{i}}{c}}S^{i}\right)={\frac {1}{c}}U_{0}S^{0}-{\frac {1}{c}}U_{i}S^{i}\\[3pt]{S'}^{i}&={\Lambda ^{i}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{i}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{i}}_{j}S^{j}\\&=-\gamma \beta ^{i}S^{0}+\left[\delta _{ij}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta _{i}\beta _{j}\right]S^{j}\\&=S^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}S^{j}-\gamma \beta ^{i}S^{0}\end{aligned}}$$

Here γ = γ(u). S′ is in the rest frame of the particle, so its timelike component is zero, S′⁰ = 0, not S⁰. Also, the first is equivalent to the inner product of the four-velocity (divided by c) and the four-spin. Combining these facts leads to

$${S'}^{0}={\frac {1}{c}}U_{\alpha }S^{\alpha }=0$$

which is an invariant. Then this combined with the transformation on the timelike component leads to the perceived component in the lab frame;

$$S^{0}=\beta _{i}S^{i}$$

The inverse relations are

$${\begin{aligned}S^{0}&=\gamma \left({S'}^{0}+\beta _{i}{S'}^{i}\right)\\S^{i}&={S'}^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}{S'}^{j}+\gamma \beta ^{i}{S'}^{0}\end{aligned}}$$

स्पिन पर सहसंयोजक बाधा वेग वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनैलिटी है,

$$U_{\alpha }S^{\alpha }=0$$

स्पष्टता के लिए 3-वेक्टर संकेतन में, परिवर्तन हैं

$${\begin{aligned}s_{t}&={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \\\mathbf {s} '&=\mathbf {s} +{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \right)-\gamma {\boldsymbol {\beta }}s_{t}\end{aligned}}$$

उलटे रिश्ते

$${\begin{aligned}s_{t}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\\\mathbf {s} &=\mathbf {s} '+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\right)\end{aligned}}$$

लैब फ्रेम को स्पिन करने के घटक हैं, जिनकी गणना कण के बाकी फ्रेम से की जाती है। यद्यपि कण का घूमना किसी दिए गए कण के लिए स्थिर है, यह प्रयोगशाला फ्रेम में भिन्न प्रतीत होता है।

पाउली-लुबांस्की स्यूडोवेक्टर

पाउली-लुबांस्की स्यूडोवेक्टर

$$S_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },$$

यह बड़े और द्रव्यमान रहित दोनों प्रकार के कणों पर लागू होता है।

स्पिन-कक्षीय अपघटन

सामान्य तौर पर, कुल कोणीय गति टेंसर एक कक्षीय घटक और लोरेंत्ज़ समूह के एक प्रतिनिधित्व सिद्धांत में विभाजित होता है,

$$J^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }+S^{\mu \nu }~.$$

यह एक कण, द्रव्यमान-ऊर्जा-संवेग वितरण, या क्षेत्र पर लागू होता है।

द्रव्यमान-ऊर्जा-संवेग वितरण का कोणीय संवेग

Main articles: Spin tensor and Pauli–Lubanski pseudovector

द्रव्यमान-ऊर्जा-संवेग टेंसर से कोणीय गति

गुरुत्वाकर्षण (पुस्तक)पुस्तक) का सारांश निम्नलिखित है। सरलता के लिए, कार्तीय निर्देशांक ग्रहण किए जाते हैं। विशेष और सामान्य सापेक्षता में, द्रव्यमान-ऊर्जा-संवेग का वितरण, उदा. एक तरल पदार्थ, या एक तारा, का वर्णन तनाव-ऊर्जा टेंसर टी द्वारा किया जाता है^βγ (अंतरिक्ष और समय के आधार पर एक दूसरे क्रम का टेंसर फ़ील्ड)। चूंकि टी⁰⁰ऊर्जा घनत्व है, टी^j0 j = 1, 2, 3 के लिए वस्तु की प्रति इकाई आयतन की 3डी गति का jवां घटक है, और T^{ij कतरनी और सामान्य तनाव सहित कॉची तनाव टेंसर के घटक बनाते हैं, स्थिति 4-वेक्टर के बारे में 'कक्षीय कोणीय गति घनत्व'Xβ तीसरे क्रम के टेंसर द्वारा दिया जाता है}

$${\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }=\left(X^{\alpha }-{\bar {X}}^{\alpha }\right)T^{\beta \gamma }-\left(X^{\beta }-{\bar {X}}^{\beta }\right)T^{\alpha \gamma }$$

यह α और β में एंटीसिमेट्रिक है। विशेष और सामान्य सापेक्षता में, टी एक सममित टेंसर है, लेकिन अन्य संदर्भों में (उदाहरण के लिए, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत), यह नहीं हो सकता है।

मान लीजिए Ω 4d स्पेसटाइम का एक क्षेत्र है। सीमा (टोपोलॉजी) एक 3डी स्पेसटाइम हाइपरसरफेस (स्थानिक सतह क्षेत्र के विपरीत स्पेसटाइम सतह की मात्रा) है, जिसे ∂Ω दर्शाया गया है जहां ∂ का अर्थ सीमा है। 3डी स्पेसटाइम हाइपरसरफेस पर कोणीय गति घनत्व को एकीकृत करने से कोणीय गति टेंसर प्राप्त होता है X,

$$M^{\alpha \beta }\left({\bar {X}}\right)=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }d\Sigma _{\gamma }$$

कहाँ dΣ_γ यह आयतन एक-रूप|1-रूप है जो साधारण 3डी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में 2डी सतह के लिए सामान्य इकाई वेक्टर की भूमिका निभाता है। इंटीग्रल को निर्देशांक X के ऊपर लिया जाता है, नहीं X. स्थिर समय की अंतरिक्ष जैसी सतह के भीतर अभिन्न अंग है

$$M^{ij}=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{ij0}d\Sigma _{0}=\oint _{\partial \Omega }\left[\left(X^{i}-Y^{i}\right)T^{j0}-\left(X^{j}-Y^{j}\right)T^{i0}\right]dx\,dy\,dz$$

जो सामूहिक रूप से कोणीय गति टेंसर बनाते हैं।

द्रव्यमान के केंद्र के बारे में कोणीय गति

द्रव्यमान केंद्र के फ्रेम में एक आंतरिक कोणीय गति होती है, दूसरे शब्दों में, किसी भी घटना के बारे में कोणीय गति

$$\mathbf {X} _{\text{COM}}=\left(X_{\text{COM}}^{0},X_{\text{COM}}^{1},X_{\text{COM}}^{2},X_{\text{COM}}^{3}\right)$$

वस्तु के द्रव्यमान केंद्र की वर्डलाइन पर। चूंकि टी⁰⁰वस्तु का ऊर्जा घनत्व है, द्रव्यमान के केंद्र के स्थानिक निर्देशांक द्वारा दिए गए हैं

$$X_{\text{COM}}^{i}={\frac {1}{m_{0}}}\int _{\partial \Omega }X^{i}T^{00}dxdydz$$

Y = 'X' सेट करना_COM वस्तु के द्रव्यमान के केंद्र के बारे में कक्षीय कोणीय गति घनत्व प्राप्त करता है।

कोणीय संवेग संरक्षण

ऊर्जा-संवेग का संरक्षण नियम (भौतिकी) निरंतरता समीकरण द्वारा विभेदक रूप में दिया गया है

$$\partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }=0$$

कहाँ ∂_γ चार-ढाल है. (गैर-कार्टेशियन निर्देशांक और सामान्य सापेक्षता में इसे सहसंयोजक व्युत्पन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा)। कुल कोणीय संवेग संरक्षण एक अन्य निरंतरता समीकरण द्वारा दिया गया है

$$\partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }=0$$

इंटीग्रल समीकरण स्पेसटाइम में गॉस प्रमेय का उपयोग करते हैं

$${\begin{aligned}\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}T^{\beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\\\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\end{aligned}}$$

विशेष सापेक्षता में टोक़

एक बिंदु जैसे कण पर कार्य करने वाले टॉर्क को उचित समय के संबंध में ऊपर दिए गए कोणीय गति टेंसर के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:

$${\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F}$$

या टेंसर घटकों में:

$$\Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }$$

जहां F घटना

स्पेसटाइम बूस्ट और रोटेशन के जनरेटर के रूप में कोणीय गति

See also: Symmetry in quantum mechanics

कोणीय गति टेंसर लोरेंत्ज़ समूह के लिए बूस्ट और रोटेशन का जनरेटर है। लोरेंत्ज़ परिवर्तनों को तेज़ी और एक 3डी यूनिट वेक्टर द्वारा पैरामीट्रिज किया जा सकता है n बूस्ट की दिशा की ओर इशारा करते हुए, जो रैपिडिटी वेक्टर में संयोजित होता है

$${\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta$$

कहाँ β = v/c सापेक्ष गति की गति को प्रकाश की गति से विभाजित किया जाता है। स्थानिक घुमावों को अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व, कोण द्वारा पैरामीट्रिज़ किया जा सकता है θ और एक यूनिट वेक्टर a अक्ष की दिशा की ओर इशारा करते हुए, जो एक अक्ष-कोण वेक्टर में संयोजित होता है

$${\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {a}$$

प्रत्येक इकाई वेक्टर में केवल दो स्वतंत्र घटक होते हैं, तीसरा इकाई परिमाण से निर्धारित होता है। कुल मिलाकर लोरेंत्ज़ समूह के छह पैरामीटर हैं; तीन रोटेशन के लिए और तीन बूस्ट के लिए। (सजातीय) लोरेंत्ज़ समूह 6-आयामी है।

बूस्ट जेनरेटर K और रोटेशन जनरेटर {{math|J}लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के लिए } को एक जनरेटर में जोड़ा जा सकता है; M एंटीसिमेट्रिक कोणीय गति टेंसर, घटकों के साथ

$$M^{0i}=-M^{i0}=K_{i}\,,\quad M^{ij}=\varepsilon _{ijk}J_{k}\,.$$

और तदनुसार, बूस्ट और रोटेशन पैरामीटर को एक अन्य एंटीसिमेट्रिक चार-आयामी मैट्रिक्स में एकत्र किया जाता है ω, प्रविष्टियों के साथ:

$$\omega _{0i}=-\omega _{i0}=\zeta _{i}\,,\quad \omega _{ij}=\varepsilon _{ijk}\theta _{k}\,,$$

जहां बार-बार सूचकांकों i, j, k पर योग परिपाटी का उपयोग अनाड़ी योग संकेतों को रोकने के लिए किया गया है। सामान्य लोरेंत्ज़ परिवर्तन तब मैट्रिक्स घातांक द्वारा दिया जाता है

$$\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left({\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \right)$$

और सारांश परिपाटी को दोहराए गए मैट्रिक्स सूचकांकों α और β पर लागू किया गया है।

सामान्य लोरेंत्ज़ परिवर्तन Λ किन्हीं चार वेक्टर 'ए' = (ए) के लिए परिवर्तन कानून है₀, ए₁, ए₂, ए₃), इसी 4-वेक्टर के घटकों को संदर्भ के एक अन्य जड़त्वीय फ्रेम में दे रहा है

$$\mathbf {A} '=\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\mathbf {A}$$

कोणीय गति टेंसर पोंकारे समूह के 10 जनरेटर में से 6 बनाता है, अन्य चार स्पेसटाइम अनुवाद के लिए चार-गति के घटक हैं।

सामान्य सापेक्षता में कोणीय संवेग

धीरे से घुमावदार पृष्ठभूमि में परीक्षण कणों की कोणीय गति जीआर में अधिक जटिल है लेकिन इसे सीधे तरीके से सामान्यीकृत किया जा सकता है। यदि लैग्रैन्जियन (क्षेत्र सिद्धांत) को सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में कोणीय चर के संबंध में व्यक्त किया जाता है, तो कोणीय गति कोणीय वेग के संबंध में लैग्रैन्जियन के कार्यात्मक व्युत्पन्न हैं। कार्टेशियन निर्देशांक के संदर्भ में, ये आम तौर पर तनाव-ऊर्जा टेंसर के स्पेसलाइक भाग के ऑफ-विकर्ण कतरनी शब्दों द्वारा दिए जाते हैं। यदि स्पेसटाइम एक वृत्त के स्पर्शरेखा वेक्टर फ़ील्ड को ख़त्म करना का समर्थन करता है, तो अक्ष के बारे में कोणीय गति संरक्षित होती है।

कोई इसके आस-पास के अंतरिक्ष-समय पर एक कॉम्पैक्ट, घूर्णनशील द्रव्यमान के प्रभाव का अध्ययन करना भी चाहता है। प्रोटोटाइप समाधान केर मीट्रिक का है, जो एक अक्षीय सममित ब्लैक होल के आसपास के स्पेसटाइम का वर्णन करता है। केर ब्लैक होल के घटना क्षितिज पर एक बिंदु खींचना और उसे चारों ओर चक्कर लगाते हुए देखना स्पष्ट रूप से असंभव है। हालाँकि, समाधान सिस्टम के एक स्थिरांक का समर्थन करता है जो गणितीय रूप से कोणीय गति के समान कार्य करता है।

यह भी देखें

• Thomas precession
• Angular momentum of light
• Two-body problem in general relativity
• Relativistic mechanics
• Mathisson–Papapetrou–Dixon equations

संदर्भ

• C. Chryssomalakos; H. Hernandez-Coronado; E. Okon (2009). "Center of mass in special and general relativity and its role in an effective description of spacetime". J. Phys. Conf. Ser. Mexico. 174 (1): 012026. arXiv:0901.3349. Bibcode:2009JPhCS.174a2026C. doi:10.1088/1742-6596/174/1/012026. S2CID 17734387.
• U.E. Schroder (1990). Special relativity. Lecture Notes in Physics Series. Vol. 33. World Scientific. p. 139. ISBN 981-02-0132-X.

अग्रिम पठन

विशेष सापेक्षता

• R. Torretti (1996). सापेक्षता और ज्यामिति. Dover Books on Physics Series. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-69046-6.

सामान्य सापेक्षता

• L. Blanchet; A. Spallicci; B. Whiting (2011). सामान्य सापेक्षता में द्रव्यमान और गति. Fundamental theories of physics. Vol. 162. Springer. p. 87. ISBN 978-90-481-3015-3.
• M. Ludvigsen (1999). सामान्य सापेक्षता: एक ज्यामितीय दृष्टिकोण. Cambridge University Press. p. 77. ISBN 0-521-63976-X.
• N. Ashby, D.F. Bartlett, W.Wyss (1990). सामान्य सापेक्षता और गुरुत्वाकर्षण 1989: सामान्य सापेक्षता और गुरुत्वाकर्षण पर 12वें अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन की कार्यवाही. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38428-1.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• B.L. Hu; M.P. Ryan; M.P. Ryan; C.V. Vishveshwara (2005). सामान्य सापेक्षता में दिशा-निर्देश: खंड 1: 1993 की कार्यवाही. Directions in General Relativity: Proceedings of the 1993 International Symposium, Maryland: Papers in Honor of Charles Misner. Vol. 1. Cambridge University Press. p. 347. ISBN 0-521-02139-1.
• A. Papapetrou (1974). सामान्य सापेक्षता पर व्याख्यान. Springer. ISBN 90-277-0514-3.

बाहरी संबंध

• N. Menicucci (2001). "Relativistic Angular Momentum" (PDF).
• "Special Relativity" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2013-11-04. Retrieved 2013-10-30.