सूक्ष्म संरचना

फेब्री-पेरोट व्यतिकरणमापी के माध्यम से देखे गए ठंडे ड्यूटेरियम स्रोत की महीन संरचना (विभाजन) दिखाते हुए हस्तक्षेप (तरंग प्रसार)।

परमाणु भौतिकी में, सूक्ष्म संरचना इलेक्ट्रॉन स्पिन और गैर-सापेक्षवादी श्रोडिंगर समीकरण के विशेष सापेक्षता के कारण परमाणुओं की वर्णक्रमीय रेखाओं के विभाजन का वर्णन करती है। इसे पहली बार 1887 में अल्बर्ट ए. माइकलसन और एडवर्ड डब्ल्यू मॉर्ले द्वारा हाइड्रोजन परमाणु के लिए सटीक रूप से मापा गया था। अर्नोल्ड सोमरफेल्ड द्वारा सैद्धांतिक उपचार के लिए आधार तैयार करना, ठीक-संरचना स्थिरांक का परिचय देना।

पृष्ठभूमि

सकल संरचना

लाइन स्पेक्ट्रा की सकल संरचना बिना स्पिन वाले गैर-सापेक्षवादी इलेक्ट्रॉनों के क्वांटम यांत्रिकी द्वारा अनुमानित लाइन स्पेक्ट्रा है। हाइड्रोजेनिक परमाणु के लिए, सकल संरचना ऊर्जा स्तर केवल मुख्य क्वांटम संख्या n पर निर्भर करते हैं। हालांकि, एक अधिक सटीक मॉडल सापेक्षतावादी और स्पिन प्रभावों को ध्यान में रखता है, जो ऊर्जा स्तरों के डीजेनरेट ऊर्जा स्तर को तोड़ते हैं और वर्णक्रमीय रेखाओं को विभाजित करते हैं। सकल संरचना ऊर्जाओं के सापेक्ष विभाजित होने वाली महीन संरचना का पैमाना (Zα) के क्रम में है², जहां Z परमाणु संख्या है और α सूक्ष्म-संरचना स्थिरांक है, एक आयामहीन मात्रा लगभग 1/137 के बराबर है।

सापेक्ष सुधार

क्षोभ सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) का उपयोग करके ठीक संरचना ऊर्जा सुधार प्राप्त किया जा सकता है। इस गणना को करने के लिए हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) में तीन सुधारात्मक शब्दों को जोड़ना होगा: गतिज ऊर्जा के लिए प्रमुख क्रम सापेक्ष सुधार, स्पिन-ऑर्बिट इंटरैक्शन के कारण सुधार | स्पिन-ऑर्बिट युग्मन, और डार्विन शब्द से आ रहा है। क्वांटम उतार-चढ़ाव गति या इलेक्ट्रॉन की हिलाने की क्रिया

ये सुधार Dirac समीकरण की गैर-सापेक्षतावादी सीमा से भी प्राप्त किए जा सकते हैं, क्योंकि Dirac के सिद्धांत में स्वाभाविक रूप से सापेक्षता और स्पिन (भौतिकी) परस्पर क्रियाएं शामिल हैं।

हाइड्रोजन परमाणु

यह खंड हाइड्रोजन परमाणु के लिए विश्लेषणात्मक समाधानों पर चर्चा करता है क्योंकि समस्या विश्लेषणात्मक रूप से हल करने योग्य है और अधिक जटिल परमाणुओं में ऊर्जा स्तर की गणना के लिए आधार मॉडल है।

काइनेटिक ऊर्जा सापेक्ष सुधार

स्थूल संरचना हैमिल्टनियन यांत्रिकी की गतिज ऊर्जा शब्द को एक ही रूप लेती है काइनेटिक ऊर्जा#कठोर पिंडों की गतिज ऊर्जा, जो एक एकल इलेक्ट्रॉन के लिए होती है

${\mathcal {H}}^{0}={\frac {p^{2}}{2m_{e}}}+V$

जहाँ V स्थितिज ऊर्जा है, $p$ गति है, और $m_{e}$ इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान है।

हालांकि, विशेष सापेक्षता के माध्यम से प्रकृति के अधिक सटीक सिद्धांत पर विचार करते समय, हमें गतिज ऊर्जा के एक सापेक्षवादी रूप का उपयोग करना चाहिए,

$T={\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{e}^{2}c^{4}}}-m_{e}c^{2}=m_{e}c^{2}\left[{\sqrt {1+{\frac {p^{2}}{m_{e}^{2}c^{2}}}}}-1\right]$

जहाँ पहला पद कुल आपेक्षिकीय ऊर्जा है, और दूसरा पद इलेक्ट्रॉन की शेष ऊर्जा है ($c$ प्रकाश की गति है)। के बड़े मानों के लिए वर्गमूल का विस्तार करना $c$, हम देखतें है

$T={\frac {p^{2}}{2m_{e}}}-{\frac {p^{4}}{8m_{e}^{3}c^{2}}}+\cdots$

हालांकि इस श्रृंखला में असीमित संख्या में पद हैं, बाद के पद पहले के पदों की तुलना में बहुत छोटे हैं, और इसलिए हम पहले दो को छोड़कर सभी को अनदेखा कर सकते हैं। चूंकि उपरोक्त पहला शब्द पहले से ही शास्त्रीय हैमिल्टनियन का हिस्सा है, हैमिल्टनियन के लिए पहला आदेश सुधार है

${\mathcal {H}}'=-{\frac {p^{4}}{8m_{e}^{3}c^{2}}}$

इसे एक गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) के रूप में उपयोग करते हुए, हम सापेक्ष प्रभाव के कारण पहले क्रम के ऊर्जा सुधारों की गणना कर सकते हैं।

$E_{n}^{(1)}=\left\langle \psi ^{0}\right\vert {\mathcal {H}}'\left\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{4}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{2}p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle$

कहाँ $\psi ^{0}$ अविचलित तरंग क्रिया है। अविचलित हैमिल्टन को याद करते हुए, हम देखते हैं

${\begin{aligned}{\mathcal {H}}^{0}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=E_{n}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\\left({\frac {p^{2}}{2m_{e}}}+V\right)\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=E_{n}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=2m_{e}(E_{n}-V)\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \end{aligned}}$

हम इस परिणाम का उपयोग सापेक्षवादी सुधार की गणना करने के लिए कर सकते हैं:

${\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{2}p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert (2m_{e})^{2}(E_{n}-V)^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{2m_{e}c^{2}}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\left\langle V^{2}\right\rangle \right)\end{aligned}}$

हाइड्रोजन परमाणु के लिए,

$V(r)={\frac {-e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}$, $\left\langle {\frac {1}{r}}\right\rangle ={\frac {1}{a_{0}n^{2}}}$, और $\left\langle {\frac {1}{r^{2}}}\right\rangle ={\frac {1}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}$ ,

कहाँ $e$ प्राथमिक शुल्क है, $\varepsilon _{0}$ वैक्यूम परमिटिटिविटी है, $a_{0}$ बोह्र त्रिज्या है, $n$ प्रमुख क्वांटम संख्या है, $l$ अज़ीमुथल क्वांटम संख्या है और $r$ नाभिक से इलेक्ट्रॉन की दूरी है। इसलिए, हाइड्रोजन परमाणु के लिए पहला क्रम आपेक्षिक सुधार है

${\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{2m_{e}c^{2}}}\left(E_{n}^{2}+2E_{n}{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{a_{0}n^{2}}}+{\frac {1}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}{\frac {e^{4}}{(l+{\frac {1}{2}})n^{3}a_{0}^{2}}}\right)\\&=-{\frac {E_{n}^{2}}{2m_{e}c^{2}}}\left({\frac {4n}{l+{\frac {1}{2}}}}-3\right)\end{aligned}}$

जहां हमने प्रयोग किया है:

$E_{n}=-{\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}a_{0}n^{2}}}$

अंतिम गणना पर, जमीनी स्थिति के सापेक्ष सुधार के लिए परिमाण का क्रम है $-9.056\times 10^{-4}\ {\text{eV}}$.

स्पिन-ऑर्बिट कपलिंग

Main article: Spin–orbit interaction

हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए $Z$ प्रोटॉन ($Z=1$ हाइड्रोजन के लिए), कक्षीय कोणीय गति ${\vec {L}}$ और इलेक्ट्रॉन स्पिन ${\vec {S}}$, स्पिन-ऑर्बिट शब्द द्वारा दिया गया है:

${\mathcal {H}}_{\mathrm {SO} }=\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\left({\frac {g_{s}-1}{2m_{e}^{2}c^{2}}}\right){\frac {{\vec {L}}\cdot {\vec {S}}}{r^{3}}}$

कहाँ $g_{s}$ स्पिन जी-फैक्टर (भौतिकी) है | जी-फैक्टर।

स्पिन (भौतिकी)-ऑर्बिट सुधार को संदर्भ के मानक फ्रेम से स्थानांतरित करके समझा जा सकता है (जहां इलेक्ट्रॉन परमाणु नाभिक की परिक्रमा करता है) जहां इलेक्ट्रॉन स्थिर होता है और नाभिक इसके बजाय इसकी परिक्रमा करता है। इस मामले में परिक्रमा करने वाला नाभिक एक प्रभावी करंट लूप के रूप में कार्य करता है, जो बदले में एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करेगा। हालाँकि, इलेक्ट्रॉन के पास अपने आंतरिक कोणीय गति के कारण एक चुंबकीय क्षण होता है। दो चुंबकीय वैक्टर, ${\vec {B}}$ और ${\vec {\mu }}_{s}$ जोड़े एक साथ ताकि उनके सापेक्ष अभिविन्यास के आधार पर एक निश्चित ऊर्जा लागत हो। यह रूप के ऊर्जा सुधार को जन्म देता है

$\Delta E_{\mathrm {SO} }=\xi (r){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}$

ध्यान दें कि 2 का एक महत्वपूर्ण कारक गणना में जोड़ा जाना है, जिसे थॉमस प्रीसेशन कहा जाता है, जो सापेक्षिक गणना से आता है जो न्यूक्लियस फ्रेम से इलेक्ट्रॉन के फ्रेम में वापस बदल जाता है।

तब से

${\begin{aligned}\left\langle {\frac {1}{r^{3}}}\right\rangle &={\frac {Z^{3}}{n^{3}a_{0}^{3}}}{\frac {1}{l\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}\\\left\langle {\vec {L}}\cdot {\vec {S}}\right\rangle &={\frac {\hbar ^{2}}{2}}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]\end{aligned}}$

हैमिल्टनियन के लिए उम्मीद मूल्य है:

$\left\langle {\mathcal {H}}_{\mathrm {SO} }\right\rangle ={\frac {E_{n}{}^{2}}{m_{e}c^{2}}}~n~{\frac {j(j+1)-l(l+1)-{\frac {3}{4}}}{l\left(l+{\frac {1}{2}}\right)(l+1)}}$

इस प्रकार स्पिन-ऑर्बिटल कपलिंग के लिए परिमाण का क्रम है ${\frac {Z^{4}}{n^{3}(j+1/2)}}10^{-5}{\text{ eV}}$.

जब कमजोर बाहरी चुंबकीय क्षेत्र लागू होते हैं, स्पिन-कक्षा युग्मन Zeeman प्रभाव में योगदान देता है।

डार्विन शब्द

डायराक समीकरण के गैर-सापेक्षतावादी विस्तार में एक अंतिम पद है। इसे डार्विन शब्द के रूप में संदर्भित किया जाता है, क्योंकि यह पहली बार चार्ल्स गैल्टन डार्विन द्वारा व्युत्पन्न किया गया था, और इसके द्वारा दिया गया है:

${\begin{aligned}{\mathcal {H}}_{\mathrm {Darwin} }&={\frac {\hbar ^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}}\,4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta ^{3}\left({\vec {r}}\right)\\\langle {\mathcal {H}}_{\mathrm {Darwin} }\rangle &={\frac {\hbar ^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}}\,4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)|\psi (0)|^{2}\\\psi (0)&=0{\text{ for }}l>0\\\psi (0)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\,2\left({\frac {Z}{na_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\text{ for }}l=0\\{\mathcal {H}}_{\mathrm {Darwin} }&={\frac {2n}{m_{e}c^{2}}}\,E_{n}^{2}\end{aligned}}$

डार्विन शब्द केवल s कक्षकों को प्रभावित करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक इलेक्ट्रॉन का तरंग कार्य $l>0$ उत्पत्ति पर लुप्त हो जाता है, इसलिए डिराक डेल्टा समारोह का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। उदाहरण के लिए, यह 2s कक्षक को 2p कक्षक के समान ऊर्जा प्रदान करता है, 2s अवस्था को ऊपर उठाकर 9.057×10⁻⁵ eV.

डार्विन शब्द इलेक्ट्रॉन की संभावित ऊर्जा को बदलता है। इसे इलेक्ट्रॉन और न्यूक्लियस के बीच इलेक्ट्रोस्टैटिक इंटरैक्शन के स्मियरिंग आउट के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, जो कि इलेक्ट्रॉन के ज़िटरबेवेगंग, या रैपिड क्वांटम दोलनों के कारण होता है। यह एक छोटी गणना द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है। क्वांटम उतार-चढ़ाव अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा अनुमानित जीवनकाल के साथ आभासी कण इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन जोड़े के निर्माण की अनुमति देते हैं $\Delta t\approx \hbar /\Delta E\approx \hbar /mc^{2}$. इस दौरान कण कितनी दूरी तय कर सकते हैं $\xi \approx c\Delta t\approx \hbar /mc=\lambda _{c}$, कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य। परमाणु के इलेक्ट्रॉन उन युग्मों के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। यह एक उतार-चढ़ाव वाली इलेक्ट्रॉन स्थिति पैदा करता है ${\vec {r}}+{\vec {\xi }}$. टेलर विस्तार का उपयोग, क्षमता पर प्रभाव $U$ अनुमान लगाया जा सकता है:

$U({\vec {r}}+{\vec {\xi }})\approx U({\vec {r}})+\xi \cdot \nabla U({\vec {r}})+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}\xi _{i}\xi _{j}\partial _{i}\partial _{j}U({\vec {r}})$

उतार-चढ़ाव पर औसत ${\vec {\xi }}$

${\overline {\xi }}=0,\quad {\overline {\xi _{i}\xi _{j}}}={\frac {1}{3}}{\overline {{\vec {\xi }}^{2}}}\delta _{ij},$

औसत क्षमता देता है

${\overline {U\left({\vec {r}}+{\vec {\xi }}\right)}}=U\left({\vec {r}}\right)+{\frac {1}{6}}{\overline {{\vec {\xi }}^{2}}}\nabla ^{2}U\left({\vec {r}}\right).$

अनुमान करने वाले ${\overline {{\vec {\xi }}^{2}}}\approx \lambda _{c}^{2}$, यह उतार-चढ़ाव के कारण संभावित गड़बड़ी पैदा करता है:

$\delta U\approx {\frac {1}{6}}\lambda _{c}^{2}\nabla ^{2}U={\frac {\hbar ^{2}}{6m_{e}^{2}c^{2}}}\nabla ^{2}U$

उपरोक्त अभिव्यक्ति के साथ तुलना करने के लिए, कूलम्ब क्षमता में प्लग करें:

$\nabla ^{2}U=-\nabla ^{2}{\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}=4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta ^{3}({\vec {r}})\quad \Rightarrow \quad \delta U\approx {\frac {\hbar ^{2}}{6m_{e}^{2}c^{2}}}4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta ^{3}({\vec {r}})$

यह केवल थोड़ा अलग है।

एक और तंत्र जो केवल एस-स्टेट को प्रभावित करता है, मेमने की पारी है, एक और छोटा सुधार जो क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में उत्पन्न होता है जिसे डार्विन शब्द के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। डार्विन शब्द एस-स्टेट और पी-स्टेट को समान ऊर्जा देता है, लेकिन लैम्ब शिफ्ट एस-स्टेट को पी-स्टेट की तुलना में ऊर्जा में उच्च बनाता है।

कुल प्रभाव

पूरा हैमिल्टनियन किसके द्वारा दिया गया है

${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{\rm {Coulomb}}+{\mathcal {H}}_{\mathrm {kinetic} }+{\mathcal {H}}_{\mathrm {SO} }+H_{\mathrm {Darwin} },\!$

कहाँ ${\mathcal {H}}_{\rm {Coulomb}}$ कूलम्ब के कानून से हैमिल्टनियन है।

कुल प्रभाव, तीन घटकों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है, निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा दिया जाता है:

$\Delta E={\frac {E_{n}(Z\alpha )^{2}}{n}}\left({\frac {1}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4n}}\right)\,,$

कहाँ $j$ कुल कोणीय गति क्वांटम संख्या है ($j=1/2$ अगर $l=0$ और $j=l\pm 1/2$ अन्यथा)। यह ध्यान देने योग्य है कि यह अभिव्यक्ति सबसे पहले पुराने क्वांटम सिद्धांत के आधार पर सोमरफेल्ड द्वारा प्राप्त की गई थी; यानी, आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी तैयार किए जाने से पहले।

एन = 2 के लिए हाइड्रोजन परमाणु का ऊर्जा आरेख ठीक संरचना और चुंबकीय क्षेत्र द्वारा ठीक किया गया। पहला कॉलम गैर-सापेक्षतावादी मामले (केवल गतिज ऊर्जा और कूलम्ब क्षमता) को दर्शाता है, दूसरे कॉलम में गतिज ऊर्जा के सापेक्ष सुधार को जोड़ा जाता है, तीसरे कॉलम में सभी ठीक संरचना शामिल होती है, और चौथा Zeeman प्रभाव (चुंबकीय) जोड़ता है फील्ड निर्भरता)।

सटीक सापेक्षतावादी ऊर्जा

बोह्र के मॉडल से हाइड्रोजन परमाणु के ऊर्जा स्तरों के सापेक्ष सुधार (डायराक)। ठीक संरचना सुधार भविष्यवाणी करता है कि लाइमन-अल्फा रेखा (एन = 2 से एन = 1 के संक्रमण में उत्सर्जित) को एक डबल में विभाजित होना चाहिए।

डायराक समीकरण का उपयोग करके भी कुल प्रभाव प्राप्त किया जा सकता है। इस मामले में, इलेक्ट्रॉन को गैर-सापेक्षवादी के रूप में माना जाता है। सटीक ऊर्जा द्वारा दिया जाता है

$E_{j\,n}=-m_{\text{e}}c^{2}\left[1-\left(1+\left[{\dfrac {\alpha }{n-j-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {\left(j+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\right].$

यह अभिव्यक्ति, जिसमें सभी उच्च क्रम की शर्तें शामिल हैं जो अन्य गणनाओं में छोड़ दी गई थीं, गड़बड़ी सिद्धांत से प्राप्त ऊर्जा सुधार देने के लिए पहले क्रम में फैली हुई हैं। हालाँकि, इस समीकरण में अतिसूक्ष्म संरचना सुधार शामिल नहीं हैं, जो परमाणु स्पिन के साथ बातचीत के कारण हैं। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से अन्य सुधार जैसे लैम्ब शिफ्ट और इलेक्ट्रॉन के विषम चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण शामिल नहीं हैं।

यह भी देखें

• कोणीय गति युग्मन
• ठीक इलेक्ट्रॉनिक संरचना

संदर्भ

• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.

बाहरी संबंध

• Hyperphysics: Fine Structure
• University of Texas: The fine structure of hydrogen