सेंट्रलाइज़र और नॉर्मलाइज़र

"Normalizer" redirects here. For the process of increasing audio amplitude, see Audio normalization.

"Centralizer" redirects here. For centralizers of Banach spaces, see Multipliers and centralizers (Banach spaces).

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, सेंट्रलाइज़र (जिसे कम्यूटेंट भी कहा जाता है) एक समूह (गणित) में एक उपसमुच्चय S का समुच्चय G है $\operatorname {C} _{G}(S)$ जी के तत्वों की एस के प्रत्येक तत्व के साथ क्रमपरिवर्तन, या समकक्ष, जैसे कि संयुग्मन (समूह सिद्धांत) $g$ S के प्रत्येक तत्व को स्थिर छोड़ देता है। G में S का 'सामान्यीकरण' तत्वों का समुच्चय (गणित) है $\mathrm {N} _{G}(S)$ G का जो सेट छोड़ने की कमजोर शर्त को पूरा करता है $S\subseteq G$ संयुग्मन के तहत तय किया गया। एस के सेंट्रलाइज़र और नॉर्मलाइज़र जी के उपसमूह हैं। समूह सिद्धांत में कई तकनीकें उपयुक्त उपसमुच्चय एस के सेंट्रलाइज़र और नॉर्मलाइज़र के अध्ययन पर आधारित हैं।

उपयुक्त रूप से तैयार की गई परिभाषाएँ अर्धसमूहों पर भी लागू होती हैं।

रिंग सिद्धांत में, 'रिंग (गणित) के सबसेट के केंद्रीकरण' को रिंग के सेमीग्रुप (गुणन) ऑपरेशन के संबंध में परिभाषित किया गया है। रिंग R के एक उपसमुच्चय का सेंट्रलाइज़र, R का एक सबरिंग है। यह लेख एक लाई बीजगणित में सेंट्रलाइज़र और नॉर्मलाइज़र से भी संबंधित है।

सेमीग्रुप या रिंग में आदर्शवादी एक अन्य निर्माण है जो सेंट्रलाइज़र और नॉर्मलाइज़र के समान ही होता है।

परिभाषाएँ

समूह और अर्धसमूह

समूह (या अर्धसमूह) के उपसमुच्चय एस के केंद्रीकरण को जी के रूप में परिभाषित किया गया है

$\mathrm {C} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\right\}=\left\{g\in G\mid gsg^{-1}=s{\text{ for all }}s\in S\right\},$

जहां केवल पहली परिभाषा अर्धसमूहों पर लागू होती है। यदि प्रश्न में समूह के बारे में कोई अस्पष्टता नहीं है, तो जी को अंकन से दबाया जा सकता है। जब S = {a} एक सिंगलटन (गणित) सेट है, तो हम C लिखते हैं_G(ए) सी के बजाय_G({ए})। सेंट्रलाइज़र के लिए एक और कम सामान्य नोटेशन Z(a) है, जो सेंटर (समूह सिद्धांत) के लिए नोटेशन के समानांतर है। इस बाद वाले संकेतन के साथ, किसी को समूह G, Z(G) के 'केंद्र' और G, Z(g) में तत्व g के केंद्रीयकर्ता के बीच भ्रम से बचने के लिए सावधान रहना चाहिए।

समूह (या अर्धसमूह) G में S के 'नॉर्मलाइज़र' को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\mathrm {N} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gS=Sg\right\}=\left\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\right\},$

जहां फिर से केवल पहली परिभाषा ही अर्धसमूहों पर लागू होती है। सेंट्रलाइज़र और नॉर्मलाइज़र की परिभाषाएँ समान हैं लेकिन समान नहीं हैं। यदि g, S के सेंट्रलाइज़र में है और s, S में है, तो यह वही होना चाहिए gs = sg, लेकिन यदि g नॉर्मलाइज़र में है, तो gs = tg S में कुछ t के लिए, t संभवतः s से भिन्न है। अर्थात्, S के सेंट्रलाइज़र के तत्वों को S के साथ बिंदुवार आवागमन करना चाहिए, लेकिन S के नॉर्मलाइज़र के तत्वों को केवल सेट के रूप में S के साथ आवागमन की आवश्यकता होती है। सेंट्रलाइजर्स के लिए ऊपर उल्लिखित समान सांकेतिक परंपराएं नॉर्मलाइजर्स पर भी लागू होती हैं। नॉर्मलाइज़र को संयुग्म बंद होने के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए।

स्पष्ट रूप से $C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)$ और दोनों के उपसमूह हैं $G$.

रिंग, एक क्षेत्र पर बीजगणित, लाई रिंग, और लाई बीजगणित

यदि R एक क्षेत्र पर एक वलय या बीजगणित है, और S, R का एक उपसमुच्चय है, तो S का केंद्रीकरण बिल्कुल वैसा ही है जैसा कि समूहों के लिए परिभाषित किया गया है, जिसमें G के स्थान पर R है।

अगर ${\mathfrak {L}}$ झूठ उत्पाद [x, y] के साथ एक झूठ बीजगणित (या झूठ अंगूठी) है, तो एक उपसमुच्चय एस का केंद्रीकरण ${\mathfrak {L}}$ होने के लिए परिभाषित किया गया है

$\mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.$

लाई रिंग्स के लिए सेंट्रलाइजर्स की परिभाषा निम्नलिखित तरीके से रिंग्स की परिभाषा से जुड़ी हुई है। यदि R एक साहचर्य वलय है, तो R को कम्यूटेटर#(रिंग सिद्धांत) दिया जा सकता है [x, y] = xy − yx. बेशक फिर xy = yx अगर और केवल अगर [x, y] = 0. यदि हम सेट आर को ब्रैकेट उत्पाद के साथ एल के रूप में दर्शाते हैं_R, तो स्पष्ट रूप से आर में एस का रिंग सेंट्रलाइज़र एल में एस के लाई रिंग सेंट्रलाइज़र के बराबर है_R.

लाई बीजगणित (या लाई रिंग) के उपसमुच्चय एस का सामान्यीकरण ${\mathfrak {L}}$ द्वारा दिया गया है

$\mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.$

हालाँकि यह ली बीजगणित में नॉर्मलाइज़र शब्द का मानक उपयोग है, यह निर्माण वास्तव में सेट S का आदर्श है ${\mathfrak {L}}$. यदि S एक योगात्मक उपसमूह है ${\mathfrak {L}}$, तब $\mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)$ सबसे बड़ा लाई सबरिंग (या लाई सबलजेब्रा, जैसा भी मामला हो) है जिसमें एस एक लाई आदर्श (रिंग सिद्धांत) है।

गुण

अर्धसमूह

होने देना $S'$ के केंद्रीकरणकर्ता को निरूपित करें $S$ अर्धसमूह में $A$; अर्थात। $S'=\{x\in A\mid sx=xs{\text{ for every }}s\in S\}.$ तब $S'$ एक उपसमूह बनाता है और $S'=S'''=S'''''$; यानी एक कम्यूटेंट अपना खुद का द्वि-उत्परिवर्ती होता है।

समूह

स्रोत:

• S का सेंट्रलाइज़र और नॉर्मलाइज़र दोनों G के उपसमूह हैं।
• स्पष्ट रूप से, C_G(S) ⊆ N_G(S). दरअसल, सी_G(एस) हमेशा एन का एक सामान्य उपसमूह होता है_G(एस), समरूपता का मूल है N_G(S) → Bij(S) और समूह एन_G(अनुसूचित जाति_G(एस) एस.ई.जी. पर आक्षेपों के एक समूह के रूप में संयुग्मन द्वारा कार्य करता है। टोरस टी के साथ एक कॉम्पैक्ट लाई समूह जी के वेइल समूह को इस प्रकार परिभाषित किया गया है W(G,T) = N_G(T)/C_G(T), और विशेषकर यदि टोरस अधिकतम है (अर्थात C_G(T) = T) यह लाई समूहों के सिद्धांत में एक केंद्रीय उपकरण है।
• सी_G(सी_G(S)) में S है, लेकिन C है_G(एस) में एस शामिल होने की आवश्यकता नहीं है। रोकथाम तब होती है जब एस एबेलियन होता है।
• यदि H, G का उपसमूह है, तो N_G(एच) में एच शामिल है।
• यदि H, G का उपसमूह है, तो G का सबसे बड़ा उपसमूह जिसमें H सामान्य है, उपसमूह N है_G(एच)।
• यदि S, G का एक उपसमुच्चय है जैसे कि S के सभी तत्व एक दूसरे के साथ आवागमन करते हैं, तो G का सबसे बड़ा उपसमूह जिसके केंद्र में S है, उपसमूह C है_G(एस)।
• समूह G के उपसमूह H को 'कहा जाता है'self-normalizing subgroup जी का अगर N_G(H) = H.
• G का केंद्र बिल्कुल C है_G(जी) और जी एक एबेलियन समूह है यदि और केवल यदि C_G(G) = Z(G) = G.
• सिंगलटन सेट के लिए, C_G(a) = N_G(a).
• समरूपता के अनुसार, यदि S और T, G के दो उपसमुच्चय हैं, T ⊆ C_G(S) अगर और केवल अगर S ⊆ C_G(T).
• समूह G के उपसमूह H के लिए, 'N/C प्रमेय' बताता है कि कारक समूह N_G(एच)/सी_G(एच) ऑट (एच) के एक उपसमूह, एच के स्वचालितता के समूह के लिए समूह समरूपता है। N_G(G) = G और C_G(G) = Z(G), एन/सी प्रमेय का यह भी तात्पर्य है कि जी/जेड(जी) इन(जी) के लिए आइसोमोर्फिक है, ऑट(जी) का उपसमूह जिसमें जी के सभी आंतरिक स्वचालितता शामिल हैं।
• यदि हम एक समूह समरूपता को परिभाषित करते हैं T : G → Inn(G) द्वारा T(x)(g) = T_x(g) = xgx⁻¹, तो हम N का वर्णन कर सकते हैं_G(एस) और सी_G(एस) जी पर इन (जी) की समूह कार्रवाई (गणित) के संदर्भ में: इन (जी) में एस का स्टेबलाइज़र टी (एन) है_G(एस)), और एस को बिंदुवार तय करने वाले इन (जी) का उपसमूह टी (सी) है_G(एस))।
• समूह G के एक उपसमूह H को 'C-बंद' या 'स्व-बाइकॉम्यूटेंट' कहा जाता है यदि H = C_G(S) कुछ उपसमुच्चय के लिए S ⊆ G. यदि हां, तो वास्तव में, H = C_G(C_G(H)).

एक क्षेत्र पर छल्ले और बीजगणित

स्रोत:

• रिंगों में और एक फ़ील्ड पर बीजगणित में सेंट्रलाइज़र क्रमशः एक फ़ील्ड पर सबरिंग्स और सबलजेब्रा होते हैं; लाई रिंग्स और लाई अलजेब्रा में सेंट्रलाइज़र क्रमशः लाई सबरिंग्स और लाई सबलजेब्रा हैं।
• लाई रिंग में S के नॉर्मलाइज़र में S का सेंट्रलाइज़र होता है।
• सी_R(सी_R(S)) में S शामिल है लेकिन जरूरी नहीं कि यह बराबर हो। डबल सेंट्रलाइज़र प्रमेय उन स्थितियों से संबंधित है जहां समानता होती है।
• यदि S, लाई रिंग A का योगात्मक उपसमूह है, तो N_A(एस) ए का सबसे बड़ा लाई सबरिंग है जिसमें एस एक लाई आदर्श है।
• यदि एस, लाई रिंग ए का लाई सबरिंग है, तो S ⊆ N_A(S).

यह भी देखें

• कम्यूटेटर
• डबल सेंट्रलाइज़र प्रमेय
• आदर्शवादी
• मल्टीप्लायर और सेंट्रलाइज़र (बैनाच स्पेस)
• स्टेबलाइज़र उपसमूह

संदर्भ

• Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: a graduate course, Graduate Studies in Mathematics, vol. 100 (reprint of the 1994 original ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/100, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
• Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, vol. 1 (2 ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
• Jacobson, Nathan (1979), Lie Algebras (republication of the 1962 original ed.), Dover Publications, ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927