स्थिर समूह

गणित में, विशेष रूप से सबसेट सिद्धांत और मॉडल सिद्धांत में, एक स्थिर सेट एक सेट (गणित) होता है जो इस अर्थ में बहुत छोटा नहीं होता है कि यह सभी क्लब सेटों को काटता है और माप सिद्धांत में गैर-शून्य माप के सेट के अनुरूप होता है। स्थिर सेट की कम से कम तीन बारीकी से संबंधित धारणाएं हैं, यह इस पर निर्भर करता है कि कोई एक ऑर्डिनल संख्या के उपसमुच्चय को देख रहा है, या दी गई प्रमुखता की किसी चीज़ के उपसमुच्चय को, या किसी सत्ता स्थापित को देख रहा है।

शास्त्रीय धारणा

अगर $\kappa$ बेशुमार सह-अंतिमता की एक कार्डिनल संख्या है, $S\subseteq \kappa ,$ और $S$ इंटरसेक्शन (सेट सिद्धांत) प्रत्येक क्लब में स्थापित $\kappa ,$ तब $S$ स्थिर समुच्चय कहलाता है। यदि कोई समुच्चय स्थिर नहीं है तो उसे पतला समुच्चय कहते हैं। इस धारणा को पतला सेट (सेरे) की धारणा के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए।

अगर $S$ एक स्थिर सेट है और $C$ एक क्लब सेट है, फिर उनका चौराहा $S\cap C$ स्थिर भी है. इसका कारण यह है कि यदि $D$ तो क्या कोई क्लब सेट है? $C\cap D$ इस प्रकार, एक क्लब सेट है $(S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)$ गैर-रिक्त है. इसलिए, $(S\cap C)$ स्थिर होना चाहिए.

यह भी देखें: फ़ोडोर की लेम्मा

बेशुमार सह-अंतिमता पर प्रतिबंध तुच्छताओं से बचने के लिए है: मान लीजिए $\kappa$ गणनीय सह-अंतिमता है। तब $S\subseteq \kappa$ में स्थिर है $\kappa$ अगर और केवल अगर $\kappa \setminus S$ में घिरा हुआ है $\kappa$. विशेष रूप से, यदि सह-अंतिमता $\kappa$ है $\omega =\aleph _{0}$, फिर कोई दो स्थिर उपसमुच्चय $\kappa$ स्थिर चौराहा है.

यदि सह-अंतिमता है तो यह अब मामला नहीं है $\kappa$ बेशुमार है. वास्तव में, मान लीजिए $\kappa$ इसके अलावा नियमित कार्डिनल है और $S\subseteq \kappa$ स्थिर है. तब $S$ में विभाजित किया जा सकता है $\kappa$ कई असंयुक्त स्थिर सेट। यह परिणाम रॉबर्ट एम. सोलोवे के कारण है। अगर $\kappa$ एक उत्तराधिकारी कार्डिनल है, यह परिणाम स्टैनिस्लाव मछुआरे के कारण है और जिसे उलम मैट्रिक्स कहा जाता है उसके माध्यम से आसानी से दिखाया जाता है।

हार्वे फ्रीडमैन|एच. फ्रीडमैन ने यह दिखाया है कि प्रत्येक गणनीय उत्तराधिकारी क्रम के लिए $\beta$, का प्रत्येक स्थिर उपसमुच्चय $\omega _{1}$ इसमें ऑर्डर प्रकार का Club_set#Formal_definition सबसेट शामिल है $\beta$.

जेच की धारणा

के स्थिर उपसमुच्चय की भी एक धारणा है $[X]^{\lambda }$, के लिए $\lambda$ एक कार्डिनल और $X$ एक सेट ऐसा $|X|\geq \lambda$, कहाँ $[X]^{\lambda }$ के उपसमुच्चय का समुच्चय है $X$ प्रमुखता का $\lambda$: $[X]^{\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|=\lambda \}$. यह धारणा थॉमस जेच के कारण है। पहले जैसा, $S\subseteq [X]^{\lambda }$ स्थिर है यदि और केवल यदि यह प्रत्येक क्लब से मिलता है, जहां एक क्लब उपसमुच्चय है $[X]^{\lambda }$ के अंतर्गत एक असीमित समुच्चय है $\subseteq$ और अधिक से अधिक लंबाई की जंजीरों के मिलन के तहत बंद किया जाता है $\lambda$. हालाँकि, ये धारणाएँ सामान्यतः भिन्न हैं $X=\omega _{1}$ और $\lambda =\aleph _{0}$ वे इस अर्थ में मेल खाते हैं $S\subseteq [\omega _{1}]^{\omega }$ स्थिर है यदि और केवल यदि $S\cap \omega _{1}$ में स्थिर है $\omega _{1}$.

फ़ोडोर के लेम्मा का उपयुक्त संस्करण भी इस धारणा पर आधारित है।

सामान्यीकृत धारणा

अभी भी एक तीसरी धारणा है, प्रकृति में मॉडल सिद्धांतवादी और कभी-कभी इसे सामान्यीकृत स्थिरता के रूप में जाना जाता है। यह धारणा संभवतः मेनाकेम मैगीडोर, मैथ्यू फोरमैन और सहारों शेलाह के कारण है और इसका उपयोग डब्ल्यू ह्यू वुडिन द्वारा भी प्रमुखता से किया गया है।

अब चलो $X$ एक अरिक्त समुच्चय हो. एक सेट $C\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ क्लब है (बंद और अबाधित) यदि और केवल तभी जब कोई फ़ंक्शन हो $F:[X]^{<\omega }\to X$ ऐसा है कि $C=\{z:F[[z]^{<\omega }]\subseteq z\}$. यहाँ, $[y]^{<\omega }$ के परिमित उपसमुच्चय का संग्रह है $y$.

$S\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ में स्थिर है ${\mathcal {P}}(X)$ यदि और केवल यदि यह प्रत्येक क्लब उपसमुच्चय को पूरा करता है ${\mathcal {P}}(X)$.

मॉडल सिद्धांत के साथ संबंध देखने के लिए, ध्यान दें कि यदि $M$ ब्रह्मांड (गणित) के साथ एक संरचना (गणितीय तर्क) है $X$ गणनीय भाषा में और $F$ के लिए एक स्कूल समारोह है $M$, फिर एक स्थिर $S$ की एक प्रारंभिक उपसंरचना होनी चाहिए $M$. वास्तव में, $S\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ स्थिर है यदि और केवल यदि ऐसी किसी संरचना के लिए $M$ की एक प्राथमिक उपसंरचना है $M$ वह का है $S$.

संदर्भ

• Foreman, Matthew (2002) Stationary sets, Chang's Conjecture and partition theory, in Set Theory (The Hajnal Conference) DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comp. Sci., 58, Amer. Math. Soc., Providence, RI. pp. 73–94. File at [1]
• Friedman, Harvey (1974). "On closed sets of ordinals". Proc. Am. Math. Soc. 43 (1): 190–192. doi:10.2307/2039353. JSTOR 2039353. Zbl 0299.04003.
• Jech, Thomas (2003). Set Theory. Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl 1007.03002.

बाहरी संबंध

• "Stationary set". PlanetMath.