हार्मोनिक टेंसर

इस लेख में गोलाकार हार्मोनिक्स को बहुपदों द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है जो मैक्सवेल के समय से इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में अच्छी तरह से जाना जाता है और मल्टीपोल विस्तार से जुड़ा हुआ है। भौतिकी में, द्विध्रुव और चतुर्ध्रुव आघूर्ण (गणित) विशिष्ट रूप से दिखाई देते हैं क्योंकि भौतिकी की मौलिक अवधारणाएँ सटीक रूप से उनके साथ जुड़ी हुई हैं। द्विध्रुवीय और चौगुनी क्षण हैं:

$\int x_{i}\rho (\mathbf {x} )dV$,

$\int (3x_{i}x_{k}-\delta _{ik})\rho (\mathbf {x} )dV$,

कहाँ $\rho (\mathbf {x} )$ आवेशों का घनत्व (या अन्य मात्रा) है।

ऑक्टोपोल क्षण

$\int 3(5x_{i}x_{k}x_{l}-x_{l}\delta _{ik}-x_{k}\delta _{il}-x_{i}\delta _{lk})\rho (\mathbf {x} )dV$

का प्रयोग बहुत कम किया जाता है। एक नियम के रूप में, उच्च-श्रेणी के क्षणों की गणना गोलाकार कार्यों की सहायता से की जाती है। बिखरने के सिद्धांत में गोलाकार कार्य सुविधाजनक हैं। अंतर ऑपरेटरों के साथ गणना में बहुपद बेहतर होते हैं। यहां, टेन्सर ों के गुण, जिनमें उच्च-श्रेणी के क्षण भी शामिल हैं, को मूल रूप से ठोस हार्मोनिक्स की विशेषताओं को दोहराने के लिए माना जाता है, लेकिन उनकी अपनी विशिष्टताएं होती हैं।

कार्तीय समन्वय प्रणाली में अपरिवर्तनीय सिद्धांत का उपयोग, जैसा कि हाल के कई अध्ययनों में दिखाया गया है, बेहतर है और गणना की मौलिक योजना को सरल करता है . गोलाकार समन्वय प्रणाली यहाँ शामिल नहीं है। हार्मोनिक सममित टेंसरों का उपयोग करने के नियमों का प्रदर्शन किया जाता है जो सीधे उनके गुणों से अनुसरण करते हैं। यह नियम हैं स्वाभाविक रूप से विशेष कार्यों के सिद्धांत में परिलक्षित होता है, लेकिन हमेशा स्पष्ट नहीं होता है, भले ही समूह सिद्धांत सामान्य हो . किसी भी दर पर, हमें हार्मोनिक टेंसरों की मुख्य संपत्ति को याद करते हैं: किसी भी जोड़ी के सूचकांकों पर निशान गायब हो जाता है . यहाँ, टेंसरों के उन गुणों का चयन किया जाता है जो न केवल विश्लेषणात्मक गणनाओं को अधिक कॉम्पैक्ट बनाते हैं और 'फैक्टोरियल्स की संख्या' को कम करते हैं बल्कि सैद्धांतिक भौतिकी के कुछ मूलभूत प्रश्नों को सही ढंग से तैयार करने की अनुमति भी देते हैं। .

सामान्य गुण

सममित टेंसर के चार गुण $\mathbf {M} _{i...k}$ भौतिकी में इसका उपयोग करने के लिए नेतृत्व करें।

ए टेन्सर सजातीय बहुपद है:

$\mathbf {M} _{i...k}(k\mathbf {x} )=k^{l}\mathbf {M} _{i...k}(\mathbf {x} )$,

कहाँ $l$ सूचकांकों की संख्या है, यानी टेन्सर रैंक अपघटन;

B. सूचकांकों के संबंध में टेन्सर सममित है;

C. टेन्सर हार्मोनिक है, अर्थात यह लाप्लास समीकरण का एक हल है:

$\Delta \mathbf {M} _{i...k}(\mathbf {x} )=0$;

D. किसी भी दो सूचकांकों पर ट्रेस गायब हो जाता है:

$\mathbf {M} _{ii[...]}(\mathbf {x} )=0$,

जहां प्रतीक $[...]$ शेष दर्शाता है $(l-2)$ समीकरण के बाद सूचकांक $i=i$.

टेन्सर के घटक ठोस गोलाकार फलन होते हैं। टेंसर को कारक द्वारा विभाजित किया जा सकता है $r^{l}$ गोलाकार कार्यों के रूप में घटकों को प्राप्त करने के लिए।

इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में मल्टीपोल टेंसर

निर्देशांक की शक्तियों में एक बिंदु आवेश की क्षमता का विस्तार होने पर बहुध्रुव क्षमता उत्पन्न होती है $x_{oi}$ त्रिज्या वेक्टर का $\mathbf {r} _{o}$ ('मैक्सवेल डंडे') .संभावित के लिए

${\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o}\right|}}$,

प्रसिद्ध सूत्र है:

${\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o}\right|}}=\sum _{l}(-1)^{l}{\frac {(\mathbf {r} _{0}\nabla )^{l}}{l!}}{\frac {1}{r}}=\sum _{l}{\frac {x_{0i}...x_{0k}}{l!r^{2l+1}}}\mathbf {M} _{i...k}^{(l)}(\mathbf {r} )=\sum _{l}{\frac {\mathbf {r} _{0}^{\otimes l}\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}}{l!r^{2l+1}}}$,

जहां निम्नलिखित अंकन का उपयोग किया जाता है। के लिए $l$त्रिज्या सदिश की वें टेंसर शक्ति

$x_{0i}...x_{0k}=\mathbf {r} _{0}^{\otimes l}$,

और रैंक के एक सममित हार्मोनिक टेंसर के लिए $l$,

$\mathbf {M} _{i...k}^{(l)}(\mathbf {r} )=\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} )$.

टेंसर एक सजातीय हार्मोनिक बहुपद है जिसमें वर्णित सामान्य गुण हैं। किन्हीं भी दो सूचकांकों पर संकुचन (जब दो ग्रेडिएंट बन जाते हैं $\Delta$ ऑपरेटर) शून्य है। यदि टेंसर द्वारा विभाजित किया गया है $r^{2l+1}$, तब एक मल्टीपोल हार्मोनिक टेंसर उत्पन्न होता है

${\frac {\mathbf {M} _{i...k}^{(l)}(\mathbf {r} )}{r^{2l+1}}}={\frac {\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} )}{r^{2l+1}}}$,

जो समरूपता की डिग्री के साथ एक सजातीय हार्मोनिक फ़ंक्शन भी है $-(l+1)$.

क्षमता के सूत्र से इसका अनुसरण होता है

${\frac {\mathbf {M} _{im...k}^{(l+1)}(\mathbf {r} )}{r^{2l+3}}}=-\nabla _{i}{\frac {\mathbf {M} _{m...k}^{(l)}(\mathbf {r} )}{r^{2l+1}}}$,

जो एक सीढ़ी ऑपरेटर बनाने की अनुमति देता है।

इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में पावर-लॉ समकक्ष क्षणों पर प्रमेय

संकुचन की एक स्पष्ट संपत्ति है

$(2l-1)!!(\mathbf {r} _{0}^{\otimes l},\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} ))=(\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} _{0}),\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} ))$,

सैद्धांतिक भौतिकी में क्षणों की गणना को अनिवार्य रूप से सरल बनाने वाले प्रमेय को जन्म देते हैं।

प्रमेय

होने देना $\rho (x)$ प्रभार का वितरण हो। मल्टीपोल क्षमता की गणना करते समय, हार्मोनिक टेन्सर्स (या गोलाकार कार्यों के बजाय) के बजाय पावर-लॉ क्षणों का उपयोग किया जा सकता है:

$(\int \rho (\mathbf {r} _{0})\mathbf {r} _{0}^{\otimes l}dV_{\mathbf {r} _{0}},{\frac {\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} )}{l!r^{2l+1}}})=(\int \rho (\mathbf {r} _{0})\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} _{0})dV_{\mathbf {r} _{0}},{\frac {\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} )}{(2l-1)!!l!r^{2l+1}}})$.

गोलाकार कार्यों के उपयोग की तुलना में यह एक फायदा है।

उदाहरण 1।

अभिन्न के बजाय चतुष्कोणीय क्षण के लिए

$\int \rho (\mathbf {r} )(3x_{i}x_{k}-r^{2}\delta _{ik})dV$,

कोई 'लघु' अभिन्न का उपयोग कर सकता है

$3\int \rho (\mathbf {r} )x_{i}x_{k}dV$.

क्षण अलग हैं लेकिन संभावनाएं एक दूसरे के बराबर हैं।

एक हार्मोनिक टेन्सर के लिए सूत्र

टेन्सर के सूत्र पर विचार किया गया एक सीढ़ी ऑपरेटर का उपयोग करना। इसे लेपलेस ऑपरेटर का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।इसी तरह के दृष्टिकोण को विशेष कार्यों के सिद्धांत में जाना जाता है।सूत्र में पहला पद, जितना आसान है एक बिंदु आवेश क्षमता के विस्तार से देखने के लिए, के बराबर है

$\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} )=(2l-1)!!x_{i_{1}}...x_{i_{l}}+...=(2l-1)!!\mathbf {r} ^{\otimes l}+...$.

लेपलेस ऑपरेटर और को बार-बार लागू करके शेष शर्तें प्राप्त की जा सकती हैं मापांक की एक समान शक्ति से गुणा करना $r$. लाप्लास समीकरण में विस्तार को प्रतिस्थापित करके गुणांक निर्धारित करना आसान है। परिणामस्वरूप, सूत्र निम्नलिखित है:

$\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} )=(2l-1)!!\mathbf {r} ^{\otimes l}-{\frac {(2l-3)!!}{1!2^{1}}}r^{2}\Delta \mathbf {r} ^{\otimes l}+{\frac {(2l-5)!!}{2!2^{2}}}r^{4}\Delta ^{2}\mathbf {r} ^{\otimes l}-{\frac {(2l-7)!!}{3!2^{3}}}r^{6}\Delta ^{3}\mathbf {r} ^{\otimes l}+...$

.

यह फॉर्म क्वांटम यांत्रिकी और इलेक्ट्रोस्टाटिक्स के अंतर संचालकों को लागू करने के लिए उपयोगी है। विभेदीकरण क्रोनकर डेल्टास के उत्पाद उत्पन्न करता है।

उदाहरण 2

$\Delta x_{i}x_{k}=2\delta _{ik}$,

$\Delta x_{i}x_{k}x_{m}=2(\delta _{ik}x_{m}+\delta _{km}x_{i}+\delta _{im}x_{k})$,

$\Delta \Delta x_{i}x_{k}x_{m}x_{n}=8(\delta _{ik}\delta _{mn}+\delta _{km}\delta _{in}+\delta _{im}\delta _{kn})$.

के साथ संकुचन का उपयोग करके अंतिम गुणवत्ता को सत्यापित किया जा सकता है $i=k$ . यह सुविधाजनक है सममितीकरण संक्रिया के संदर्भ में अवकलन सूत्र लिखने के लिए। इसके लिए एक प्रतीक प्रस्तावित किया गया था,सभी स्वतंत्र पर लिए गए योग की सहायता से सूचकांकों के क्रमपरिवर्तन:

${\frac {\Delta ^{k}\mathbf {r} ^{\otimes l}}{k!2^{k}}}=\left\langle \left\langle \delta _{[..]}^{\otimes (l-2k)}\mathbf {r} ^{\otimes (l-2k)}\right\rangle \right\rangle$.

परिणामस्वरूप, निम्न सूत्र प्राप्त होता है:

$\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} )=(2l-1)!!\mathbf {r} ^{\otimes l}-(2l-3)!!r^{2}\left\langle \left\langle \delta _{[..]}^{\otimes 1}\mathbf {r} ^{\otimes (l-2)}\right\rangle \right\rangle +(2l-5)!!r^{4}\left\langle \left\langle \delta _{[..]}^{\otimes 2}\mathbf {r} ^{\otimes (l-4)}\right\rangle \right\rangle -...$

,

जहां प्रतीक $\otimes k$ क्रोनकर प्रतीक की टेंसर शक्ति के लिए प्रयोग किया जाता है $\delta _{im}$ और पारंपरिक प्रतीक [..] का उपयोग उन दो सबस्क्रिप्ट के लिए किया जाता है जिन्हें सममितीकरण के तहत बदला जा रहा है।

अगले कोई टेन्सर और ठोस गोलाकार कार्यों के बीच के संबंध का पता लगा सकता है। दो यूनिट वैक्टर की जरूरत है: वेक्टर $\mathbf {n} _{z}$ साथ निर्देशित $z$-अक्ष और जटिल वेक्टर $\mathbf {n} _{x}\pm i\mathbf {n} _{y}=\mathbf {n} _{\pm }$. उनकी शक्तियों के साथ संकुचन आवश्यक संबंध देता है

$(\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} ),\mathbf {n} _{z}^{\otimes (l-m)}\mathbf {n} _{\pm }^{\otimes m})=(l-m)!(x+iy)^{m}r^{(l-m)}{\frac {d^{m}}{dt^{m}}}P_{l}(t)\mid _{t={\frac {z}{r}}}$,

कहाँ $P_{l}(t)$ एक लीजेंड्रे बहुपद है।

विशेष संकुचन

गड़बड़ी सिद्धांत में, गोलाकार कार्यों के संदर्भ में स्रोत का विस्तार करना आवश्यक है। यदि स्रोत एक बहुपद है, उदाहरण के लिए, स्टार्क प्रभाव की गणना करते समय, तो अभिन्न मानक होते हैं, लेकिन बोझिल होते हैं। अपरिवर्तनीय टेंसरों की सहायता से गणना करते समय, विस्तार गुणांक सरलीकृत होते हैं, और तब इंटीग्रल की कोई आवश्यकता नहीं होती है। यह पर्याप्त है, जैसा कि दिखाया गया है,उन संकुचनों की गणना करने के लिए जो विचाराधीन टेंसरों की श्रेणी को कम करते हैं। इंटीग्रल के बजाय, ट्रेस की गणना का संचालन ${\hat {T}}r$ दो सूचकांकों पर एक टेन्सर का उपयोग किया जाता है। निम्नलिखित रैंक कमी सूत्र उपयोगी है:

${\hat {T}}r\left\langle \left\langle \delta _{ik}\mathbf {M} _{ik[m]}^{(l)}\right\rangle \right\rangle =(2l+3)\mathbf {M} _{[m]}^{(l-2)}$,

जहां प्रतीक [m] सभी बाएं (l-2) सूचकांकों को दर्शाता है।

यदि कोष्ठक में क्रोनकर डेल्टा के साथ कई कारक हैं, तो निम्नलिखित संबंध सूत्र रखती है:

${\hat {T}}r\left\langle \left\langle \delta _{i_{1}p_{1}}...\delta _{i_{k}p_{k}}\mathbf {M} _{i_{1}p_{1}[m]}^{(l)}\right\rangle \right\rangle =(2l+2k+1)\left\langle \left\langle \delta _{i_{2}p_{2}}...\delta _{i_{k}p_{k}}\mathbf {M} _{[m]}^{(l-2)}\right\rangle \right\rangle$.

ट्रेस की गणना करने से क्रोनकर प्रतीकों की संख्या एक से कम हो जाती है, और समीकरण के दाईं ओर हार्मोनिक टेंसर की रैंक दो से घट जाती है। ट्रेस k बार की गणना को दोहराने से सभी क्रोनकर प्रतीक समाप्त हो जाते हैं:

${\hat {T}}r_{1}...{\hat {T}}r_{k}\left\langle \left\langle \delta _{i_{1}p_{1}}...\delta _{i_{k}p_{k}}\mathbf {M} _{[m]}^{(l)}\right\rangle \right\rangle =(2l+2k+1)!!\left\langle \left\langle \mathbf {M} _{[m]}^{(l-2k)}\right\rangle \right\rangle$.

हार्मोनिक 4D टेंसर

चार आयामी 4D अंतरिक्ष में लाप्लास समीकरण का अपना विशिष्ट है। 4D अंतरिक्ष में एक बिंदु आवेश की क्षमता के बराबर होती है ${\frac {1}{r^{2}}}$ . बिंदु-आवेश क्षमता के विस्तार से ${\frac {1}{{(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}^{2}}}$ शक्तियों के संबंध में $\mathbf {r} _{0}^{\otimes n}$ मल्टीपोल 4D क्षमता उत्पन्न होती है:

${\frac {{\mathfrak {M}}_{i...k}^{(n)}}{r^{2n+2}}}={(-1)}^{n}\nabla _{i}...\nabla _{k}{\frac {1}{r^{2}}}$.

न्यूमिनेटर में हार्मोनिक टेंसर की संरचना 3डी हार्मोनिक टेंसर के समान होती है। किसी भी दो सूचकांकों के संबंध में इसका संकुचन गायब होना चाहिए। द्विध्रुव और चौगुनी 4-डी टेंसर, यहाँ से निम्नानुसार व्यक्त किए गए हैं

${\mathfrak {M}}_{i}^{(1)}(\mathbf {r} )=2x_{i}$,

${\mathfrak {M}}_{ik}^{(2)}(\mathbf {r} )=2(4x_{i}x_{k}-\delta _{ik})$,

विस्तार की अग्रणी अवधि, जैसा कि देखा जा सकता है, के बराबर है

${\mathfrak {M}}_{[i]}^{(n)}(\mathbf {r} )=(2n)!!x_{i_{1}}...x_{i_{n}}-...=(2n)!!\mathbf {r} ^{\otimes n}-...$

3डी टेन्सर के लिए वर्णित विधि, संबंध देती है

${\mathfrak {M}}_{[i]}^{(n)}(\mathbf {r} )=(2n)!!\mathbf {r} ^{\otimes n}-{\frac {(2n-2)!!}{1!2^{1}}}r^{2}\Delta \mathbf {r} ^{\otimes n}+{\frac {(2n-4)!!}{2!2^{2}}}r^{4}\Delta ^{2}\mathbf {r} ^{\otimes n}-{\frac {(2n-6)!!}{3!2^{3}}}r^{6}\Delta ^{3}\mathbf {r} ^{\otimes n}+...$

,

${\mathfrak {M}}_{[i]}^{(l)}(\mathbf {r} )=(2n)!!\mathbf {r} ^{\otimes n}-(2n-2)!!r^{2}\left\langle \left\langle \delta _{[..]}^{\otimes 1}\mathbf {r} ^{\otimes (n-2)}\right\rangle \right\rangle +(2n-4)!!r^{4}\left\langle \left\langle \delta _{[..]}^{\otimes 2}\mathbf {r} ^{\otimes (n-4)}\right\rangle \right\rangle -...$

.

3डी टेंसर की तुलना में चार आयामी टेंसर संरचनात्मक रूप से सरल होते हैं।

हार्मोनिक कार्यों के संदर्भ में बहुपदों का अपघटन

संकुचन नियमों को लागू करने से हार्मोनिक के संबंध में टेंसर को विघटित करने की अनुमति मिलती है। क्षोभ सिद्धांत में, यहां तक ​​कि तीसरे सन्निकटन को भी अक्सर अच्छा माना जाता है। यहाँ, पद l=6 तक टेंसर शक्ति का अपघटन प्रस्तुत किया गया है:

$\bullet \ l=2$, $\qquad 3x_{i}x_{k}=\mathbf {M} _{ik}^{(2)}+r^{2}\delta _{ik}$,

$\bullet \ l=3$, $\qquad 5!!x_{i}x_{k}x_{m}=\mathbf {M} _{ikm}^{(3)}+3r^{2}\left\langle \left\langle \delta _{ik}x_{m}\right\rangle \right\rangle$,

$\bullet \ l=4$, $\qquad 7!!x_{i}x_{k}x_{l}x_{m}=\mathbf {M} _{iklm}^{(4)}+5r^{2}\left\langle \left\langle \mathbf {M} _{ik}^{(2)}\delta _{lm}\right\rangle \right\rangle +7r^{4}\left\langle \left\langle \delta _{ik}\delta _{lm}\right\rangle \right\rangle$,

$\bullet \ l=5$, $\qquad 9!!x_{i}x_{k}x_{l}x_{m}x_{n}=\mathbf {M} _{iklmn}^{(5)}+7r^{2}\left\langle \left\langle \mathbf {M} _{ikl}^{(3)}\delta _{mn}\right\rangle \right\rangle +27r^{4}\left\langle \left\langle \delta _{ik}\delta _{lm}x_{n}\right\rangle \right\rangle$ ,

$\bullet \ l=6$, $\qquad 11!!x_{i}x_{k}x_{l}x_{m}x_{n}x_{p}=$:$\qquad \qquad \qquad =\mathbf {M} _{iklmnp}^{(6)}+9r^{2}\left\langle \left\langle \mathbf {M} _{iklm}^{(4)}\delta _{np}\right\rangle \right\rangle +55r^{4}\left\langle \left\langle \mathbf {M} _{ik}^{(2)}\delta _{lm}\delta _{np}\right\rangle \right\rangle +99r^{6}\left\langle \left\langle \delta _{ik}\delta _{lm}\delta _{np}\right\rangle \right\rangle$.

सूत्रों को प्राप्त करने के लिए, दो सूचकांकों, यानी ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के संबंध में संकुचन की गणना करना उपयोगी होता है। के लिए सूत्र $l=6$ तो के लिए सूत्र का तात्पर्य है $l=4$ . ट्रेस लागू करना, पिछले अनुभाग के नियमों का उपयोग करना सुविधाजनक है। विशेष रूप से, के मूल्यों के लिए संबंधों की अंतिम अवधि $l$ रूप है

${\frac {2l-1)!!}{(l+1)!!}}$.

सभी सूचकांकों पर अक्सर होने वाला संकुचन भी उपयोगी होता है,

$(\mathbf {M} _{[i]}^{(l)},\mathbf {M} _{[i]}^{(l)})=(\mathbf {M} _{i...k}^{(l)}(\mathbf {x} ),\mathbf {M} _{i...k}^{(l)}(\mathbf {x} ))={\frac {(2l)!}{2^{l}}}r^{2l}$

जो तब उत्पन्न होता है जब प्रायिकता राज्यों को आयाम देती है।

4D स्थान में बहुपदों का अपघटन

वेक्टर की टेंसर शक्तियों का अपघटन भी चार आयामों में कॉम्पैक्ट होता है:

$\bullet \ n=2$, $\qquad 4!!x_{i}x_{k}={\mathfrak {M}}_{ik}^{(2)}+2r^{2}\delta _{ik}$,

$\bullet \ n=3$, $\qquad 6!!x_{i}x_{k}x_{m}={\mathfrak {M}}_{ikm}^{(3)}+8r^{2}\left\langle \left\langle \delta _{ik}x_{m}\right\rangle \right\rangle$,

$\bullet \ n=4$, $\qquad 8!!x_{i}x_{k}x_{l}x_{m}={\mathfrak {M}}_{iklm}^{(4)}+6r^{2}\left\langle \left\langle {\mathfrak {M}}_{ik}^{(2)}\delta _{lm}\right\rangle \right\rangle +16r^{4}\left\langle \left\langle \delta _{ik}\delta _{lm}\right\rangle \right\rangle$,

$\bullet \ n=5$, $\qquad 10!!x_{i}x_{k}x_{l}x_{m}x_{n}={\mathfrak {M}}_{iklmn}^{(5)}+8r^{2}\left\langle \left\langle {\mathfrak {M}}_{ikl}^{(3)}\delta _{mn}\right\rangle \right\rangle +80r^{4}\left\langle \left\langle \delta _{ik}\delta _{lm}x_{n}\right\rangle \right\rangle$ ,

$\bullet \ n=6$, $\qquad 12!!x_{i}x_{k}x_{l}x_{m}x_{n}x_{p}=$:$\qquad \qquad \qquad ={\mathfrak {M}}_{iklmnp}^{(6)}+10r^{2}\left\langle \left\langle {\mathfrak {M}}_{iklm}^{(4)}\delta _{np}\right\rangle \right\rangle +72r^{4}\left\langle \left\langle {\mathfrak {M}}_{ik}^{(2)}\delta _{lm}\delta _{np}\right\rangle \right\rangle +240r^{6}\left\langle \left\langle \delta _{ik}\delta _{lm}\delta _{np}\right\rangle \right\rangle$.

दबाए गए सूचकांकों के साथ टेंसर नोटेशन का उपयोग करते समय, अंतिम समानता बन जाती है

$\bullet \ n=6$, $\qquad 12!!\mathbf {x} ^{\otimes (6)}={\mathfrak {M}}_{[i]}^{(6)}+10r^{2}\left\langle \left\langle {\mathfrak {\mathfrak {M}}}_{[i]}^{(4)}\delta _{[..]}\right\rangle \right\rangle +72r^{4}\left\langle \left\langle {\mathfrak {M}}_{[i]}^{(2)}\delta _{[..]}^{\otimes 2}\right\rangle \right\rangle +240r^{6}\left\langle \left\langle \delta _{[..]}^{\otimes 3}\right\rangle \right\rangle$.

दो सूचकांकों पर संकुचन का उपयोग करके उच्च शक्तियों का अपघटन अधिक कठिन नहीं है।

सीढ़ी ऑपरेटर

लैडर ऑपरेटर कॉम्पैक्ट रूप में ईजिन कार्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोगी होते हैं। वे सुसंगत राज्यों के निर्माण का आधार हैं

 . ऑपरेटरों को यहां माना जाता है, मणि के संबंध में एक ऑसीलेटर के 'निर्माण' और 'विनाश' ऑपरेटरों के करीब।

एफिमोव के संचालक $\mathbf {\hat {D}}$ जो रैंक के मान को एक से बढ़ाता है, में पेश किया गया था .इसे पॉइंट-चार्ज क्षमता के विस्तार से प्राप्त किया जा सकता है:

$\mathbf {\nabla } _{i}{\frac {\mathbf {M} _{k...m}^{(l)}(\mathbf {r} )}{r^{2l+1}}}=-{\frac {\mathbf {M} _{ik...m}^{(l+1)}(\mathbf {r} )}{r^{2l+3}}}$.

समीकरण के बायीं ओर सीधी भिन्नता एक हार्मोनिक टेन्सर पर अभिनय करने वाले वेक्टर ऑपरेटर उत्पन्न करती है:

${\hat {D}}_{i}M_{k...m}^{(l)}(\mathbf {r} )=M_{ik...m}^{(l+1)}(\mathbf {r} )$,

$\mathbf {\hat {D}} =(2{\hat {l}}-1)\mathbf {r} -r^{2}\mathbf {\nabla } ,$

जहां ऑपरेटर

${\hat {l}}=(\mathbf {r} \mathbf {\nabla } )$

समरूपता की डिग्री से सजातीय बहुपद को गुणा करता है $l$. विशेष रूप से,

${\hat {D}}_{i}x_{k}=3x_{i}x_{k}-r^{2}\delta {ik}$,

${\hat {D}}_{i}{\hat {D}}_{k}{\hat {D}}_{m}1=3[5x_{i}x_{k}x_{m}-r^{2}(\delta _{ik}x_{m}+\delta _{km}x_{i}+\delta _{im}x_{k})]$.

एक के परिणामस्वरूप $l$- गुना आवेदन एकता के लिए, हार्मोनिक टेंसर उत्पन्न होता है:

${\hat {D}}_{i}{\hat {D}}_{k}...{\hat {D}}_{m}\mathbf {1} =M_{ik...m}^{(l)}=\mathbf {D} _{[i]}^{\otimes l}=\mathbf {M} _{[i]}^{(l)}$,

यहाँ विभिन्न रूपों में लिखा गया है।

इस टेन्सर का कोणीय संवेग संचालक से संबंध ${\hat {\mathbf {L} }}$ $(\hbar =1)$ इस प्रकार है:

$\mathbf {\hat {D}} ={\hat {l}}\mathbf {r} +i[\mathbf {r} \times \mathbf {\hat {L}} ]$.

सदिश रूप में संचालिका के कुछ उपयोगी गुण नीचे दिए गए हैं। अदिश उत्पाद

${\hat {D}}_{i}{\hat {D}}_{i}=r^{2}\Delta$

किसी भी दो सूचकांकों पर गायब होने वाले निशान देता है। सदिशों का अदिश गुणनफल ${\hat {\mathbf {D} }}$ और $\mathbf {x}$ है

$\mathbf {x} {\hat {\mathbf {D} }}=r^{2}({\hat {l}}+1)$,

${\hat {\mathbf {D} }}\mathbf {x} =r^{2}{\hat {l}}$,

और, इसलिए, सदिश के साथ टेंसर का संकुचन $\mathbf {x}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$x_{i}M_{ik...m}^{(l)}=2lr^{2}M_{k...m}^{(l-1)}$,

कहाँ $l$ एक संख्या है।

गोले पर अदिश गुणनफल में कम्यूटेटर एकता के बराबर है:

$\mathbf {x} \mathbf {D} -\mathbf {D} \mathbf {x} =r^{2}$.

टेंसर के विचलन की गणना करने के लिए, एक उपयोगी सूत्र है

$\mathbf {\nabla } {\hat {\mathbf {D} }}=({\hat {l}}+1)(2{\hat {l}}+3)$,

जहां से

$\nabla _{i}{\hat {M}}_{ik...m}^{(l)}=l(2l+1)M_{(k...m)}^{(l-1)}$

($l$ दाईं ओर एक संख्या है)।

चार आयामी सीढ़ी ऑपरेटर

4डी स्पेस में सीढ़ी संचालक

${\hat {\mathfrak {D}}}_{i}{\mathfrak {M}}_{k...m}^{(n)}(\mathbf {r} ,\tau )={\mathfrak {M}}_{ik...m}^{(n+1)}(\mathbf {r} ,\tau )={\mathfrak {M}}_{ik...m}^{(n+1)}(\mathbf {y} )$

काफी हद तक समान गुण हैं। इसका प्रमुख सूत्र है

${\hat {\mathfrak {D}}}=2{\hat {n}}\mathbf {y} -\left|\mathbf {y} \right|^{2}\mathbf {\nabla } _{\mathbf {y} },$

कहाँ $y_{i}$ एक 4D वेक्टर है, $i=1,2,3,4$,

$\mathbf {y} =(\mathbf {r} ,\tau ),\quad \left|\mathbf {y} \right|^{2}=\rho _{\mathbf {y} }^{2}=\mathbf {r} ^{2}+\tau ^{2}$,

और यह ${\hat {n}}$ ऑपरेटर एक सजातीय बहुपद को उसकी डिग्री से गुणा करता है। अलग करना $\tau$ चर शारीरिक समस्याओं के लिए सुविधाजनक है:

${\hat {n}}=(\mathbf {r} \mathbf {\nabla } _{\mathbf {r} }+\tau {\frac {\partial }{\partial \tau }})=\mathbf {y} \mathbf {\nabla } _{\mathbf {y} }$.

विशेष रूप से,

${\hat {\mathfrak {D}}}_{i}\mathbf {1} =2y_{i},\quad {\hat {\mathfrak {D}}}_{i}y_{k}=2(4y_{i}y_{k}-\rho _{\mathbf {y} }^{2}\delta _{ik})$,

${\hat {\mathfrak {D}}}_{i}{\hat {\mathfrak {D}}}_{k}{\hat {\mathfrak {D}}}_{m}=4!![6x_{i}x_{k}x_{m}-\rho _{\mathbf {y} }^{2}(\delta _{ik}x_{m}+\delta _{km}x_{i}+\delta _{im}x_{k})]$.

सीढ़ी ऑपरेटर का स्केलर उत्पाद ${\hat {\mathfrak {D}}}$ और $y$ 3D अंतरिक्ष की तरह सरल है:

$\mathbf {y} {\hat {\mathfrak {D}}}={\hat {n}}_{\mathbf {y} }\rho _{\mathbf {y} }^{2},\quad {\hat {\mathfrak {D}}}\mathbf {y} =({\hat {n}}-2)\rho _{\mathbf {y} }^{2}$.

का अदिश गुणनफल ${\hat {\mathfrak {D}}}$ और $\mathbf {\nabla }$ है

$\mathbf {\nabla } {\hat {\mathfrak {D}}}=2({\hat {n}}+2)^{2}$.

लैडर ऑपरेटर अब कोणीय संवेग ऑपरेटर और 4D अंतरिक्ष में रोटेशन के अतिरिक्त ऑपरेटर के साथ जुड़ा हुआ है ${\hat {\mathbf {A} }}$.वे लाई बीजगणित को कोणीय संवेग संचालक और लाप्लास-रेंज-लेनज़ वेक्टर|लाप्लास-रनगे-लेनज़ ऑपरेटरों के रूप में प्रदर्शित करते हैं। ऑपरेटर ${\hat {\mathbf {A} }}$ सरल रूप है

$\mathbf {\hat {A}} =i(\tau \mathbf {\nabla } _{\mathbf {r} }-\mathbf {r} {\frac {\partial }{\partial \tau }})$.

3डी के लिए अलग से $\mathbf {r}$ -घटक और चौथा समन्वय $\tau$ रेजिंग ऑपरेटर के सूत्र हैं

${\hat {\mathfrak {D}}}_{\mathbf {r} }=({\hat {n}}+1)\mathbf {r} +i[\mathbf {r} \times {\hat {\mathbf {L} }}]+i\tau {\hat {\mathbf {A} }}$,

${\hat {\mathfrak {D}}}_{\tau }=({\hat {n}}+1)\tau +i(\mathbf {r} {\hat {\mathbf {A} }})$.

यह भी देखें

• टेंसर
• गोलाकार हार्मोनिक्स
• ऑपरेटर (भौतिकी)
• लाप्लास-रेंज-लेनज़ वेक्टर
• कोणीय गति ऑपरेटर
• सीढ़ी संचालक
• बहुध्रुवीय विनिमय संपर्क

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• Feynman, Richard (1964–2013). "31.Tensors". The Feynman Lectures. California Institute of Technology.
• Edmonds, A.R. (1996). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton: Princeton University Press. p. 146. ISBN 0691025894.