Aeroacoustics

ध्वनि-विज्ञान ध्वनिकी की एक शाखा है जो अशांत द्रव गति या सतहों के साथ बातचीत करने वाले वायुगतिकीय बलों के माध्यम से शोर उत्पादन का अध्ययन करती है। शोर उत्पादन भी समय-समय पर अलग-अलग प्रवाह से जुड़ा हो सकता है। इस घटना का एक उल्लेखनीय उदाहरण स्थिर वस्तुओं पर बहने वाली हवा से उत्पन्न एओलियन ध्वनि है।

यद्यपि वायुगतिकीय प्रवाह द्वारा शोर उत्पन्न करने का कोई पूर्ण वैज्ञानिक सिद्धांत स्थापित नहीं किया गया है, अधिकांश व्यावहारिक वायुध्वनिक विश्लेषण तथाकथित 'वायुध्वनिक सादृश्य' पर निर्भर करता है,1950 के दशक में मैनचेस्टर विश्वविद्यालय में रहते हुए सर जेम्स लाइटहिल द्वारा प्रस्तावित।जिससे द्रव की गति के शासकीय समीकरणों को बाएं हाथ की ओर शास्त्रीय (यानी रैखिक) ध्वनिकी के तरंग समीकरण की याद दिलाने वाले रूप में जमा किया जाता है, शेष शर्तों को दाएं हाथ की ओर स्रोतों के रूप में रखा जाता है।

इतिहास

कहा जा सकता है कि वायु ध्वनिकी के आधुनिक अनुशासन की शुरुआत लाइटहिल के पहले प्रकाशन से हुई थी1950 के दशक की शुरुआत में, जब जेट इंजिन से जुड़े शोर उत्पादन को वैज्ञानिक जांच के दायरे में रखा जाने लगा था।

लाइटहिल का समीकरण

लाइटहिलनेवियर-स्टोक्स समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित किया, जो एक संपीड़ित चिपचिपा द्रव के द्रव गतिकी को एक असमांगी अवकल समीकरण#गैर-समरूप समीकरण तरंग समीकरण में नियंत्रित करता है, जिससे द्रव यांत्रिकी और ध्वनिकी के बीच संबंध बनता है। इसे अक्सर लाइटहिल की सादृश्यता कहा जाता है क्योंकि यह ध्वनिक क्षेत्र के लिए एक मॉडल प्रस्तुत करता है जो प्रवाह-प्रेरित/उत्पन्न शोर के भौतिकी के आधार पर, सख्ती से नहीं बोल रहा है, बल्कि इस सादृश्य पर है कि वे किस प्रकार के शासी समीकरणों के माध्यम से प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। एक संकुचित तरल पदार्थ।

ब्याज का पहला समीकरण जन समीकरण का संरक्षण है, जो पढ़ता है

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {v} \right)={\frac {D\rho }{Dt}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} =0,$

कहाँ $\rho$ और $\mathbf {v}$ तरल पदार्थ के घनत्व और वेग का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो स्थान और समय पर निर्भर करता है, और $D/Dt$ पर्याप्त व्युत्पन्न है।

अगला गति समीकरण का संरक्षण है, जो इसके द्वारा दिया गया है

${\rho }{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\rho (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} }=-\nabla p+\nabla \cdot \sigma ,$

कहाँ $p$ थर्मोडायनामिक दबाव है, और $\sigma$ नेवियर-स्टोक्स समीकरणों से कॉची तनाव टेंसर का चिपचिपा (या ट्रेसलेस) हिस्सा है।

अब, द्रव्यमान समीकरण के संरक्षण को गुणा करके $\mathbf {v}$ और इसे संवेग संरक्षण समीकरण में जोड़ने पर प्राप्त होता है

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \mathbf {v} \right)+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} )=-\nabla p+\nabla \cdot \sigma .$

ध्यान दें कि $\mathbf {v} \otimes \mathbf {v}$ एक टेंसर है (टेन्सर उत्पाद भी देखें)। समय के संबंध में द्रव्यमान समीकरण के संरक्षण को विभेदित करते हुए, अंतिम समीकरण का विचलन लेते हुए और बाद वाले को पहले से घटाकर, हम इस पर पहुंचते हैं

${\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p+\nabla \cdot \nabla \cdot \sigma =\nabla \cdot \nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} ).$

घटाने $c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho$, कहाँ $c_{0}$ अंतिम समीकरण के दोनों पक्षों से इसकी संतुलन (या शांत) स्थिति में माध्यम में ध्वनि की गति है और इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर परिणाम मिलता है

${\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho =\nabla \cdot \left[\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} )-\nabla \cdot \sigma +\nabla p-c_{0}^{2}\nabla \rho \right],$

जो बराबर है

${\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho =(\nabla \otimes \nabla ):\left[\rho \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} -\sigma +(p-c_{0}^{2}\rho )\mathbb {I} \right],$

कहाँ $\mathbb {I}$ पहचान मैट्रिक्स टेन्सर है, और $:$ (डबल) टेंसर संकुचन ऑपरेटर को दर्शाता है।

उपरोक्त समीकरण वैमानिकी का प्रसिद्ध लाइटहिल समीकरण है। यह एक तरंग समीकरण है जिसका स्रोत पद दायीं ओर है, यानी एक असमांगी तरंग समीकरण। पिछले समीकरण के दाईं ओर डबल-डाइवर्जेंस ऑपरेटर का तर्क, यानी $\rho \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} -\sigma +(p-c_{0}^{2}\rho )\mathbb {I}$, ध्वनिक क्षेत्र के लिए तथाकथित लाइटहिल अशांति तनाव टेंसर है, और इसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है $T$.

आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करते हुए लाइटहिल के समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है

${\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho ={\frac {\partial ^{2}T_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad (*)$

कहाँ

$T_{ij}=\rho v_{i}v_{j}-\sigma _{ij}+(p-c_{0}^{2}\rho )\delta _{ij},$

और $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है। प्रत्येक ध्वनिक स्रोत शब्द, यानी शब्द में $T_{ij}$, विचार की गई प्रवाह स्थितियों के आधार पर शोर उत्पन्न करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभा सकता है। $\rho v_{i}v_{j}$ प्रवाह के अस्थिर संवहन का वर्णन करता है (या रेनॉल्ड्स तनाव, ओसबोर्न रेनॉल्ड्स द्वारा विकसित), $\sigma _{ij}$ चिपचिपाहट से उत्पन्न ध्वनि का वर्णन करता है, और $(p-c_{0}^{2}\rho )\delta _{ij}$ गैर-रैखिक ध्वनिक उत्पादन प्रक्रियाओं का वर्णन करता है।

व्यवहार में, यह द्रव पर चिपचिपाहट के प्रभाव की उपेक्षा करने की प्रथा है, अर्थात एक लेता है $\sigma =0$, क्योंकि यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि शोर उत्पादन पर बाद के प्रभाव, ज्यादातर स्थितियों में, अन्य शर्तों के कारण छोटे परिमाण के आदेश हैं। लाइटहिलइस मामले की गहन चर्चा प्रदान करता है।

एरोकॉस्टिक अध्ययन में, प्रासंगिक वायुगतिकीय शोर उत्पादन तंत्र के बारे में बयान देने के लिए लाइटहिल के समीकरण में ध्वनिक स्रोत शर्तों को हल करने के लिए सैद्धांतिक और कम्प्यूटेशनल दोनों प्रयास किए जाते हैं।

अंत में, यह महसूस करना महत्वपूर्ण है कि लाइटहिल का समीकरण इस अर्थ में सटीक है कि इसकी व्युत्पत्ति में किसी भी प्रकार का कोई सन्निकटन नहीं किया गया है।

संबंधित मॉडल समीकरण

द्रव यांत्रिकी पर अपने शास्त्रीय पाठ में, लेव लैंडौ और एवगेनी लिफशिट्ज Lighthill's (यानी, अशांत द्रव गति से उत्पन्न ध्वनि के लिए एक समीकरण) के अनुरूप एक एरोकॉस्टिक समीकरण प्राप्त करें, लेकिन एक अदृश्य द्रव के असंपीड़ित प्रवाह के लिए। वे जो विषम तरंग समीकरण प्राप्त करते हैं वह दबाव के लिए होता है $p$ घनत्व के बजाय $\rho$ द्रव का। इसके अलावा, लाइटहिल के समीकरण के विपरीत, लैंडौ और लिफशिट्ज का समीकरण सटीक नहीं है; यह एक अनुमान है।

यदि किसी को सन्निकटन के लिए अनुमति देना है, तो लाइटहिल के समीकरण के सन्निकटन को प्राप्त करने के लिए एक सरल तरीका (आवश्यक रूप से तरल पदार्थ को असंपीड़ित किए बिना) मान लेना है $p-p_{0}=c_{0}^{2}(\rho -\rho _{0})$, कहाँ $\rho _{0}$ और $p_{0}$ इसकी संतुलन अवस्था में द्रव का (विशेषता) घनत्व और दबाव है। फिर, दबाव और घनत्व के बीच कल्पित संबंध को प्रतिस्थापित करने पर $(*)\,$ हम समीकरण प्राप्त करते हैं (एक अदृश्य द्रव के लिए, σ = 0)

${\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p={\frac {\partial ^{2}{\tilde {T}}_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad {\text{where}}\quad {\tilde {T}}_{ij}=\rho v_{i}v_{j}.$

और मामले के लिए जब द्रव वास्तव में असम्पीडित होता है, अर्थात। $\rho =\rho _{0}$ (कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए $\rho _{0}$) हर जगह, तो हमें लन्दौ और लिफ़्शिट्ज़ में दिया गया बिल्कुल समीकरण मिलता है,अर्थात्

${\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p=\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}{\hat {T}}_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad {\text{where}}\quad {\hat {T}}_{ij}=v_{i}v_{j}.$

एक समान सन्निकटन [समीकरण के संदर्भ में $(*)\,$], अर्थात् $T\approx \rho _{0}{\hat {T}}$, Lighthill द्वारा सुझाया गया है[ईक देखें। (7) बाद के पेपर में]।

बेशक, किसी को आश्चर्य हो सकता है कि क्या हम ऐसा मानने में न्यायसंगत हैं $p-p_{0}=c_{0}^{2}(\rho -\rho _{0})$. उत्तर सकारात्मक है, अगर प्रवाह कुछ बुनियादी मान्यताओं को संतुष्ट करता है। विशेष रूप से, अगर $\rho \ll \rho _{0}$ और $p\ll p_{0}$, तब कल्पित संबंध ध्वनि तरंगों के रैखिक सिद्धांत से सीधे अनुसरण करता है (देखें, उदाहरण के लिए, कम्प्यूटेशनल एरोअकॉस्टिक्स # लीनियराइज्ड यूलर समीकरण और ध्वनिक तरंग समीकरण)। वास्तव में, के बीच अनुमानित संबंध $p$ और $\rho$ हमने मान लिया कि द्रव की स्थिति के सामान्य बैरोट्रोपिक समीकरण के लिए सिर्फ एक रैखिक सन्निकटन है।

हालाँकि, उपरोक्त विचार-विमर्श के बाद भी, यह अभी भी स्पष्ट नहीं है कि एक गैर-रैखिक तरंग समीकरण को सरल बनाने के लिए एक अंतर्निहित रैखिक संबंध का उपयोग करना उचित है या नहीं। फिर भी, यह गैर-रैखिक ध्वनिकी में एक बहुत ही आम अभ्यास है क्योंकि विषय पर पाठ्यपुस्तकें दिखाती हैं: उदाहरण के लिए, नौगोल्निख और ओस्ट्रोवस्की और हैमिल्टन और मोर्फी।

यह भी देखें

• ध्वनिक सिद्धांत
• आइओलियन वीणा
• कम्प्यूटेशनल वायु ध्वनिकी

बाहरी संबंध

• M. J. Lighthill, "On Sound Generated Aerodynamically. I. General Theory," Proc. R. Soc. Lond. A 211 (1952) pp. 564–587. This article on JSTOR.
• M. J. Lighthill, "On Sound Generated Aerodynamically. II. Turbulence as a Source of Sound," Proc. R. Soc. Lond. A 222 (1954) pp. 1–32. This article on JSTOR.
• L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics 2ed., Course of Theoretical Physics vol. 6, Butterworth-Heinemann (1987) §75. ISBN 0-7506-2767-0, Preview from Amazon.
• K. Naugolnykh and L. Ostrovsky, Nonlinear Wave Processes in Acoustics, Cambridge Texts in Applied Mathematics vol. 9, Cambridge University Press (1998) chap. 1. ISBN 0-521-39984-X, Preview from Google.
• M. F. Hamilton and C. L. Morfey, "Model Equations," Nonlinear Acoustics, eds. M. F. Hamilton and D. T. Blackstock, Academic Press (1998) chap. 3. ISBN 0-12-321860-8, Preview from Google.
• Aeroacoustics at the University of Mississippi
• Aeroacoustics at the University of Leuven
• International Journal of Aeroacoustics Archived 2005-10-30 at the Wayback Machine
• Examples in Aeroacoustics from NASA Archived 2016-03-04 at the Wayback Machine
• Aeroacoustics.info