Controllability

नियंत्रणशीलता एक नियंत्रण प्रणाली की एक महत्वपूर्ण संपत्ति है और कई नियंत्रण समस्याओं में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, जैसे फीडबैक द्वारा बीआईबीओ स्थिरता का स्थिरीकरण, या इष्टतम नियंत्रण।

नियंत्रणीयता और अवलोकनशीलता एक ही समस्या के द्वैत (गणित) पहलू हैं।

मोटे तौर पर, नियंत्रणीयता की अवधारणा केवल कुछ स्वीकार्य जोड़तोड़ का उपयोग करके किसी सिस्टम को उसके संपूर्ण कॉन्फ़िगरेशन स्थान में स्थानांतरित करने की क्षमता को दर्शाती है। सटीक परिभाषा रूपरेखा या लागू मॉडल के प्रकार के भीतर थोड़ी भिन्न होती है।

निम्नलिखित नियंत्रणीयता धारणाओं की विविधताओं के उदाहरण हैं जिन्हें सिस्टम और नियंत्रण साहित्य में पेश किया गया है:

• राज्य नियंत्रणीयता
• आउटपुट नियंत्रणीयता
• व्यवहारिक ढाँचे में नियंत्रणीयता

राज्य नियंत्रणीयता

एक नियतात्मक प्रणाली का राज्य स्थान (नियंत्रण), जो कि सिस्टम के सभी राज्य चर (गतिशील समीकरणों द्वारा विशेषता वाले चर) के मूल्यों का सेट है, किसी भी समय सिस्टम का पूरी तरह से वर्णन करता है। विशेष रूप से, भविष्य की भविष्यवाणी करने में मदद के लिए किसी सिस्टम के अतीत के बारे में किसी जानकारी की आवश्यकता नहीं होती है, यदि वर्तमान समय की स्थितियाँ ज्ञात हों और नियंत्रण चर (जिनके मूल्यों को चुना जा सकता है) के सभी वर्तमान और भविष्य के मूल्य ज्ञात हों।

पूर्ण स्थिति नियंत्रणीयता (या यदि कोई अन्य संदर्भ नहीं दिया गया है तो केवल नियंत्रणीयता) एक सीमित समय अंतराल में किसी सिस्टम की आंतरिक स्थिति को किसी प्रारंभिक स्थिति से किसी भी अंतिम स्थिति में ले जाने के लिए बाहरी इनपुट (नियंत्रण चर के वेक्टर) की क्षमता का वर्णन करती है।

अर्थात्, हम अनौपचारिक रूप से नियंत्रणीयता को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं: यदि किसी प्रारंभिक अवस्था के लिए $\mathbf {x_{0}}$ और कोई अंतिम स्थिति $\mathbf {x_{f}}$ सिस्टम स्थिति को स्थानांतरित करने के लिए एक इनपुट अनुक्रम मौजूद है $\mathbf {x_{0}}$ को $\mathbf {x_{f}}$ एक सीमित समय अंतराल में, तब राज्य-अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व द्वारा प्रतिरूपित प्रणाली नियंत्रणीय होती है। सतत, एलटीआई प्रणाली के सबसे सरल उदाहरण के लिए, राज्य स्थान अभिव्यक्ति का पंक्ति आयाम ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$ अंतराल निर्धारित करता है; प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के राज्य स्थान में एक वेक्टर का योगदान करती है। यदि राज्य स्थान को विस्तारित करने के लिए ऐसे पर्याप्त वेक्टर नहीं हैं $\mathbf {x}$, तो सिस्टम नियंत्रणीयता हासिल नहीं कर सकता। इसमें संशोधन करना आवश्यक हो सकता है $\mathbf {A}$ और $\mathbf {B}$ अंतर्निहित अंतर संबंधों का बेहतर अनुमान लगाने के लिए यह नियंत्रणीयता प्राप्त करने का अनुमान लगाता है।

नियंत्रणीयता का मतलब यह नहीं है कि किसी पहुँची हुई स्थिति को बनाए रखा जा सकता है, केवल यह कि किसी भी स्थिति तक पहुँचा जा सकता है।

नियंत्रणीयता का मतलब यह नहीं है कि राज्य स्थान के माध्यम से मनमाना पथ बनाया जा सकता है, केवल यह कि निर्धारित सीमित समय अंतराल के भीतर एक पथ मौजूद है।

सतत रैखिक प्रणाली

सतत समय रैखिक प्रणाली पर विचार करें

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).$

एक नियंत्रण मौजूद है $u$ राज्य से $x_{0}$ समय पर $t_{0}$ कहना $x_{1}$ समय पर $t_{1}>t_{0}$ अगर और केवल अगर $x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}$ के स्तंभ स्थान में है

$W(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t_{0},t)B(t)B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}dt$

कहाँ $\phi$ राज्य-संक्रमण मैट्रिक्स है, और $W(t_{0},t_{1})$ नियंत्रणीयता ग्रामियन है।

वास्तव में, यदि $\eta _{0}$ का समाधान है $W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}$ फिर एक नियंत्रण दिया गया $u(t)=-B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}\eta _{0}$ मनचाहा स्थानांतरण करेंगे।

ध्यान दें कि मैट्रिक्स $W$ ऊपर बताए अनुसार परिभाषित में निम्नलिखित गुण हैं:

• $W(t_{0},t_{1})$ सममित मैट्रिक्स है
• $W(t_{0},t_{1})$ के लिए सकारात्मक अर्धनिश्चित मैट्रिक्स है $t_{1}\geq t_{0}$
• $W(t_{0},t_{1})$ रैखिक मैट्रिक्स अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है

${\frac {d}{dt}}W(t,t_{1})=A(t)W(t,t_{1})+W(t,t_{1})A(t)^{T}-B(t)B(t)^{T},\;W(t_{1},t_{1})=0$

• $W(t_{0},t_{1})$ समीकरण को संतुष्ट करता है

$W(t_{0},t_{1})=W(t_{0},t)+\phi (t_{0},t)W(t,t_{1})\phi (t_{0},t)^{T}$

नियंत्रणीयता के लिए रैंक शर्त

कंट्रोलेबिलिटी ग्रैमियन में एक सिस्टम के राज्य-संक्रमण मैट्रिक्स का एकीकरण शामिल है। नियंत्रणीयता के लिए एक सरल शर्त एक रैंक (रैखिक बीजगणित) स्थिति है जो समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के लिए कलमन रैंक स्थिति के अनुरूप है।

एक सतत-समय रैखिक प्रणाली पर विचार करें $\Sigma$ एक अंतराल में आसानी से बदलता रहता है $[t_{0},t]$ का $\mathbb {R}$:

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).$

राज्य-संक्रमण मैट्रिक्स $\phi$ चिकना भी है. n x m मैट्रिक्स-वैल्यू फ़ंक्शन का परिचय दें $M_{0}(t)=\phi (t_{0},t)B(t)$ और परिभाषित करें

$M_{k}(t)$ = ${\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1$.

के सभी स्तंभों को सूचीबद्ध करके प्राप्त मैट्रिक्स-मूल्यवान फ़ंक्शन के मैट्रिक्स पर विचार करें $M_{i}$, $i=0,1,\ldots ,k$:

$M^{(k)}(t):=\left[M_{0}(t),\ldots ,M_{k}(t)\right]$.

यदि कोई मौजूद है ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ और एक अऋणात्मक पूर्णांक k ऐसा है $\operatorname {rank} M^{(k)}({\bar {t}})=n$, तब $\Sigma$ नियंत्रणीय है. अगर $\Sigma$ एक अंतराल में विश्लेषणात्मक रूप से भी भिन्न हो रहा है $[t_{0},t]$, तब $\Sigma$ के प्रत्येक गैर-तुच्छ उपअंतराल पर नियंत्रणीय है $[t_{0},t]$ यदि और केवल यदि कोई मौजूद है ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ और एक अऋणात्मक पूर्णांक k ऐसा है $\operatorname {rank} M^{(k)}(t_{i})=n$. उपरोक्त विधियों की जांच करना अभी भी जटिल हो सकता है, क्योंकि इसमें राज्य-संक्रमण मैट्रिक्स की गणना शामिल है $\phi$. एक अन्य समतुल्य शर्त को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। होने देना $B_{0}(t)=B(t)$, और प्रत्येक के लिए $i\geq 0$, परिभाषित करना

$B_{i+1}(t)$= $A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).$ इस मामले में, प्रत्येक $B_{i}$ सीधे डेटा से प्राप्त किया जाता है $(A(t),B(t)).$ यदि मौजूद है तो सिस्टम नियंत्रणीय है ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ और एक अऋणात्मक पूर्णांक $k$ ऐसा है कि ${\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n$.

उदाहरण

विश्लेषणात्मक रूप से भिन्न एक प्रणाली पर विचार करें $(-\infty ,\infty )$ और मैट्रिक्स

$A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}$, $B(t)={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.$ तब

$[B_{0}(0),B_{1}(0),B_{2}(0),B_{3}(0)]={\begin{bmatrix}0&1&0&-1\\1&0&0&0\\1&0&0&2\end{bmatrix}}$ और चूंकि इस मैट्रिक्स की रैंक 3 है, इसलिए सिस्टम प्रत्येक गैर-तुच्छ अंतराल पर नियंत्रणीय है  $\mathbb {R}$.

सतत रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली

सतत रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली पर विचार करें

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)$

कहाँ

$\mathbf {x}$ है $n\times 1$ राज्य वेक्टर,

$\mathbf {y}$ है $m\times 1$ आउटपुट वेक्टर,

$\mathbf {u}$ है $r\times 1$ इनपुट (या नियंत्रण) वेक्टर,

$A$ है $n\times n$ राज्य मैट्रिक्स,

$B$ है $n\times r$ इनपुट मैट्रिक्स,

$C$ है $m\times n$ आउटपुट मैट्रिक्स,

$D$ है $m\times r$ फीडथ्रू (या फीडफॉरवर्ड) मैट्रिक्स। $n\times nr$ h> नियंत्रणीयता मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है

$R={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}$

सिस्टम नियंत्रण योग्य है यदि नियंत्रणीयता मैट्रिक्स में पूर्ण पंक्ति रैंक (रैखिक बीजगणित) है (यानी) $\operatorname {rank} (R)=n$).

असतत रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली

असतत-समय रैखिक राज्य-अंतरिक्ष प्रणाली के लिए (अर्थात समय चर $k\in \mathbb {Z}$) राज्य समीकरण है

${\textbf {x}}(k+1)=A{\textbf {x}}(k)+B{\textbf {u}}(k)$

कहाँ $A$ एक $n\times n$ मैट्रिक्स और $B$ एक है $n\times r$ मैट्रिक्स (अर्थात $\mathbf {u}$ है $r$ ए में इनपुट एकत्र किए गए $r\times 1$ वेक्टर)। नियंत्रणीयता के लिए परीक्षण यह है कि $n\times nr$ आव्यूह

${\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}$

पूर्ण पंक्ति रैंक (रैखिक बीजगणित) है (यानी, $\operatorname {rank} ({\mathcal {C}})=n$). अर्थात्, यदि सिस्टम नियंत्रणीय है, ${\mathcal {C}}$ होगा $n$ स्तंभ जो रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं; अगर $n$ के कॉलम ${\mathcal {C}}$ प्रत्येक रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं $n$ वेरिएबल के माध्यम से सिस्टम को उचित इनपुट देकर राज्यों तक पहुंचा जा सकता है $u(k)$.

व्युत्पत्ति

राज्य को देखते हुए ${\textbf {x}}(0)$ प्रारंभिक समय में, मनमाने ढंग से k=0 के रूप में दर्शाया गया, राज्य समीकरण देता है ${\textbf {x}}(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0),$ तब ${\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),$ और इसी तरह राज्य चर के बार-बार बैक-प्रतिस्थापन के साथ, अंततः परिणाम मिलता है

${\textbf {x}}(n)=B{\textbf {u}}(n-1)+AB{\textbf {u}}(n-2)+\cdots +A^{n-1}B{\textbf {u}}(0)+A^{n}{\textbf {x}}(0)$

या समकक्ष

${\textbf {x}}(n)-A^{n}{\textbf {x}}(0)=[B\,\,AB\,\,\cdots \,\,A^{n-1}B][{\textbf {u}}^{T}(n-1)\,\,{\textbf {u}}^{T}(n-2)\,\,\cdots \,\,{\textbf {u}}^{T}(0)]^{T}.$

राज्य वेक्टर का कोई वांछित मान लगाना ${\textbf {x}}(n)$ बाईं ओर, इसे हमेशा नियंत्रण वैक्टर के स्टैक्ड वेक्टर के लिए हल किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब दाईं ओर की शुरुआत में मैट्रिक्स के मैट्रिक्स में पूर्ण पंक्ति रैंक हो।

उदाहरण

उदाहरण के लिए, उस मामले पर विचार करें जब $n=2$ और $r=1$ (अर्थात केवल एक नियंत्रण इनपुट)। इस प्रकार, $B$ और $AB$ हैं $2\times 1$ वेक्टर अगर ${\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}}$ रैंक 2 (पूर्ण रैंक) है, इत्यादि $B$ और $AB$ रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं और पूरे तल पर फैले होते हैं। यदि रैंक 1 है, तो $B$ और $AB$ रेखा (ज्यामिति) हैं और समतल तक नहीं फैलतीं।

मान लें कि प्रारंभिक अवस्था शून्य है.

समय पर $k=0$: $x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)$ समय पर $k=1$: $x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$ समय पर $k=0$ पहुंच योग्य सभी स्थितियाँ वेक्टर द्वारा बनाई गई रेखा पर हैं $B$. समय पर $k=1$ सभी पहुंच योग्य अवस्थाएँ रैखिक संयोजन हैं $AB$ और $B$. यदि सिस्टम नियंत्रणीय है तो ये दो वेक्टर पूरे विमान को फैला सकते हैं और समय के लिए ऐसा किया जा सकता है $k=2$. यह धारणा कि प्रारंभिक अवस्था शून्य है, केवल सुविधा के लिए है। स्पष्ट रूप से यदि सभी राज्यों तक मूल से पहुंचा जा सकता है तो किसी भी राज्य तक दूसरे राज्य से पहुंचा जा सकता है (केवल निर्देशांक में बदलाव)।

यह उदाहरण सभी के लिए सकारात्मक है $n$, लेकिन का मामला $n=2$ कल्पना करना आसान है.

===एन = 2=== के उदाहरण के लिए सादृश्य पिछले उदाहरण प्रणाली की कार सादृश्य पर विचार करें। आप अपनी कार में एक अनंत, सपाट तल पर और उत्तर की ओर मुख करके बैठे हैं। लक्ष्य एक सीधी रेखा में कुछ दूरी तक गाड़ी चलाकर, पूर्ण विराम पर आकर, मुड़कर, और फिर से एक सीधी रेखा में एक और दूरी चलाकर विमान में किसी भी बिंदु तक पहुंचना है। यदि आपकी कार में कोई स्टीयरिंग नहीं है तो आप केवल सीधी गाड़ी चला सकते हैं, जिसका अर्थ है कि आप केवल एक लाइन (इस मामले में उत्तर-दक्षिण लाइन, क्योंकि आपने उत्तर की ओर मुंह करना शुरू किया है) पर गाड़ी चला सकते हैं। स्टीयरिंग केस की कमी तब के अनुरूप होगी जब रैंक की $C$ 1 है (आपके द्वारा तय की गई दो दूरियाँ एक ही रेखा पर हैं)।

अब, यदि आपकी कार में स्टीयरिंग है तो आप आसानी से विमान में किसी भी बिंदु तक ड्राइव कर सकते हैं और यह उसी स्थिति के समान होगा जब रैंक की $C$ 2 है.

यदि आप इस उदाहरण को इसमें बदलते हैं $n=3$ तब सादृश्य 3डी अंतरिक्ष में किसी भी स्थिति तक पहुंचने के लिए अंतरिक्ष में उड़ान भरना होगा (विमान के ओरिएंटेशन (कठोर शरीर) की अनदेखी)। आपको करने के लिए अनुमति दी गई हैं:

• सीधी रेखा में उड़ें
• किसी भी मात्रा में बाएँ या दाएँ मुड़ें (यॉ (उड़ान))
• विमान को किसी भी मात्रा में ऊपर या नीचे की ओर निर्देशित करें (पिच (उड़ान))

यद्यपि 3-आयामी मामले की कल्पना करना कठिन है, नियंत्रणीयता की अवधारणा अभी भी अनुरूप है।

नॉनलाइनियर सिस्टम

नियंत्रण-एफ़िन फॉर्म में नॉनलाइनियर सिस्टम

${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f(x)} +\sum _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(\mathbf {x} )u_{i}$

के बारे में स्थानीय रूप से पहुंच योग्य हैं $x_{0}$ यदि पहुंच-योग्यता वितरण $R$ तक फैला $n$ स्थान, कब $n$ के पद के बराबर है $x$ और R द्वारा दिया गया है:

$R={\begin{bmatrix}\mathbf {g} _{1}&\cdots &\mathbf {g} _{m}&[\mathrm {ad} _{\mathbf {g} _{i}}^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{j}} ]&\cdots &[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{i}} ]\end{bmatrix}}.$

यहाँ, $[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]$ द्वारा परिभाषित वेक्टर फ़ील्ड ऑपरेशन का दोहराया गया लेट ब्रैकेट है

$[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]={\begin{bmatrix}\mathbf {f} &\cdots &j&\cdots &\mathbf {[\mathbf {f} ,\mathbf {g} ]} \end{bmatrix}}.$

पिछले अनुभाग में रैखिक प्रणालियों के लिए नियंत्रणीयता मैट्रिक्स वास्तव में इस समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है।

शून्य नियंत्रणीयता

यदि एक असतत नियंत्रण प्रणाली शून्य-नियंत्रणीय है, तो इसका मतलब है कि एक नियंत्रणीय मौजूद है $u(k)$ ताकि $x(k_{0})=0$ कुछ प्रारंभिक अवस्था के लिए $x(0)=x_{0}$. दूसरे शब्दों में, यह इस शर्त के बराबर है कि एक मैट्रिक्स मौजूद है $F$ ऐसा है कि $A+BF$ शून्यशक्तिशाली है.

इसे नियंत्रणीय-अनियंत्रित विघटन द्वारा आसानी से दर्शाया जा सकता है।

आउटपुट नियंत्रणीयता

आउटपुट नियंत्रणीयता सिस्टम के आउटपुट के लिए संबंधित धारणा है (पिछले समीकरणों में y दर्शाया गया है); आउटपुट नियंत्रणीयता एक सीमित समय अंतराल में आउटपुट को किसी प्रारंभिक स्थिति से किसी भी अंतिम स्थिति में ले जाने के लिए बाहरी इनपुट की क्षमता का वर्णन करती है। यह आवश्यक नहीं है कि राज्य नियंत्रणीयता और आउटपुट नियंत्रणीयता के बीच कोई संबंध हो। विशेष रूप से:

• एक नियंत्रणीय प्रणाली जरूरी नहीं कि आउटपुट नियंत्रणीय हो। उदाहरण के लिए, यदि मैट्रिक्स डी = 0 और मैट्रिक्स सी में पूर्ण पंक्ति रैंक नहीं है, तो आउटपुट की कुछ स्थिति आउटपुट मैट्रिक्स की सीमित संरचना द्वारा छिपी हुई है, और इसलिए असंभव है। इसके अलावा, भले ही सिस्टम को सीमित समय में किसी भी राज्य में ले जाया जा सकता है, फिर भी कुछ आउटपुट ऐसे हो सकते हैं जो सभी राज्यों के लिए अप्राप्य हों। एक तुच्छ संख्यात्मक उदाहरण शून्य की कम से कम एक पंक्ति के साथ D=0 और C मैट्रिक्स का उपयोग करता है; इस प्रकार, सिस्टम उस आयाम के साथ गैर-शून्य आउटपुट उत्पन्न करने में सक्षम नहीं है।
• एक आउटपुट नियंत्रणीय प्रणाली आवश्यक रूप से राज्य नियंत्रणीय नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि राज्य स्थान का आयाम आउटपुट के आयाम से अधिक है, तो प्रत्येक व्यक्तिगत आउटपुट के लिए संभावित राज्य कॉन्फ़िगरेशन का एक सेट होगा। अर्थात्, सिस्टम में महत्वपूर्ण शून्य गतिशीलता हो सकती है, जो सिस्टम के प्रक्षेप पथ हैं जो आउटपुट से देखने योग्य नहीं हैं। नतीजतन, किसी आउटपुट को सीमित समय में किसी विशेष स्थिति में ले जाने में सक्षम होना सिस्टम की स्थिति कॉन्फ़िगरेशन के बारे में कुछ नहीं कहता है।

एक रैखिक निरंतर-समय प्रणाली के लिए, ऊपर दिए गए उदाहरण की तरह, मैट्रिक्स द्वारा वर्णित है $A$, $B$, $C$, और $D$, द $m\times (n+1)r$ आउटपुट नियंत्रणीयता मैट्रिक्स

${\begin{bmatrix}CB&CAB&CA^{2}B&\cdots &CA^{n-1}B&D\end{bmatrix}}$

पूर्ण पंक्ति रैंक है (यानी रैंक $m$) यदि और केवल यदि सिस्टम आउटपुट नियंत्रणीय है।

इनपुट बाधाओं के तहत नियंत्रणीयता

सीमित नियंत्रण प्राधिकरण वाले सिस्टम में, किसी भी प्रारंभिक स्थिति को नियंत्रणीय उप-स्थान के अंदर किसी भी अंतिम स्थिति में ले जाना अक्सर संभव नहीं होता है। यह घटना इनपुट पर बाधाओं के कारण होती है जो सिस्टम में अंतर्निहित हो सकती है (उदाहरण के लिए संतृप्त एक्चुएटर के कारण) या अन्य कारणों से सिस्टम पर लगाई गई (उदाहरण के लिए सुरक्षा-संबंधी चिंताओं के कारण)। इनपुट और राज्य बाधाओं के साथ सिस्टम की नियंत्रणीयता का अध्ययन रीचैबिलिटी (नियंत्रण) के संदर्भ में किया जाता है। और व्यवहार्यता सिद्धांत.

व्यवहारिक ढाँचे में नियंत्रणीयता

विलेम्स (सिस्टम और नियंत्रण में लोगों को देखें) के कारण तथाकथित व्यवहार प्रणाली सैद्धांतिक दृष्टिकोण में, माना जाने वाला मॉडल सीधे इनपुट-आउटपुट संरचना को परिभाषित नहीं करता है। इस ढांचे में सिस्टम को चर के संग्रह के स्वीकार्य प्रक्षेपवक्र द्वारा वर्णित किया जाता है, जिनमें से कुछ को इनपुट या आउटपुट के रूप में व्याख्या किया जा सकता है।

इस सेटिंग में एक सिस्टम को नियंत्रणीय होने के रूप में परिभाषित किया जाता है, यदि व्यवहार के किसी भी पिछले हिस्से (बाहरी चर के प्रक्षेपवक्र) को व्यवहार के किसी भी भविष्य के प्रक्षेपवक्र के साथ इस तरह से जोड़ा जा सकता है कि संयोजन व्यवहार में निहित है, यानी। स्वीकार्य सिस्टम व्यवहार का हिस्सा है.

स्थिरता

नियंत्रणीयता की तुलना में थोड़ी कमजोर धारणा स्थिरता की है। स्थिरता के लिए एक प्रणाली को हाउटस लेम्मा # हाउटस लेम्मा कहा जाता है, जब सभी अनियंत्रित स्थिति चर को स्थिरता सिद्धांत के लिए बनाया जा सकता है। इस प्रकार, भले ही कुछ राज्य चर को नियंत्रित नहीं किया जा सकता है (जैसा कि ऊपर नियंत्रणीयता परीक्षण द्वारा निर्धारित किया गया है) सभी राज्य चर अभी भी सिस्टम के व्यवहार के दौरान बंधे रहेंगे।

पहुंच योग्य सेट

मान लीजिए T ∈ T और x ∈ X (जहाँ X सभी संभावित अवस्थाओं का समुच्चय है और T समय का अंतराल है)। समय T में x से पहुंच योग्य सेट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}$, कहां एक्सT→z दर्शाता है कि समय T में x से z तक एक अवस्था संक्रमण मौजूद है।

स्वायत्त प्रणालियों के लिए पहुंच योग्य सेट इस प्रकार दिया गया है:

$\mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} (B)+\mathrm {Im} (AB)+....+\mathrm {Im} (A^{n-1}B)$,

जहां R नियंत्रणीयता मैट्रिक्स है।

पहुंच योग्य सेट के संदर्भ में, सिस्टम नियंत्रणीय है यदि और केवल यदि $\mathrm {Im} (R)=\mathbb {R} ^{n}$.

सबूत हमारे पास निम्नलिखित समानताएं हैं:

$R=[B\ AB....A^{n-1}B]$

$\mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} ([B\ AB....A^{n-1}B])$

$\mathrm {dim(Im} (R))=\mathrm {rank} (R)$

यह मानते हुए कि सिस्टम नियंत्रणीय है, आर के कॉलम रैखिक रूप से स्वतंत्र होने चाहिए। इसलिए:

$\mathrm {dim(Im} (R))=n$

$\mathrm {rank} (R)=n$

$\mathrm {Im} (R)=\mathbb {R} ^{n}\quad \blacksquare$

पहुंच योग्य सेट से संबंधित सेट नियंत्रणीय सेट है, जिसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है:

$C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}$.

पहुंच योग्यता और नियंत्रणीयता के बीच संबंध सोंटेग द्वारा प्रस्तुत किया गया है:

(ए) एक एन-आयामी असतत रैखिक प्रणाली नियंत्रणीय है यदि और केवल यदि:

$R(0)=R^{k}{(0)=X}$ (जहाँ X, x के सभी संभावित मानों या अवस्थाओं का समुच्चय है और k समय चरण है)।

(बी) एक सतत-समय रैखिक प्रणाली नियंत्रणीय है यदि और केवल यदि:

$R(0)=R^{e}{(0)=X}$ सभी e>0 के लिए।

अगर और केवल अगर $C(0)=C^{e}{(0)=X}$ सभी e>0 के लिए।

उदाहरण मान लीजिए कि सिस्टम सूत्र से एक एन आयामी असतत-समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली है:

Φ(n,0,0,w)=$\sum \limits _{i=1}^{n}A^{i-1}Bw(n-1)$ (जहां Φ (अंतिम समय, प्रारंभिक समय, राज्य चर, प्रतिबंध) परिभाषित किया गया है, वह राज्य चर x का प्रारंभिक समय 0 से अंतिम समय n तक कुछ प्रतिबंधों के साथ संक्रमण मैट्रिक्स है)।

इससे यह पता चलता है कि भविष्य की स्थिति क्या है $R^{k}{(0)}$ ⇔ यह रेखीय मानचित्र की छवि में है:

Im(R)=R(A,B)≜ Im($[B\ AB....A^{n-1}B]$),

कौन सा मानचित्र,

$u^{n}$→एक्स

कब $u=K^{m}$ और $X=K^{n}$ हम R(A,B) को n द्वारा nm मैट्रिक्स से पहचानते हैं जिसके कॉलम कॉलम हैं $B,\ AB,....,A^{n-1}B$ उस क्रम में। यदि सिस्टम नियंत्रणीय है तो रैंक $[B\ AB....A^{n-1}B]$ एन है. यदि यह सत्य है, तो रैखिक मानचित्र R की छवि संपूर्ण X की है। उसके आधार पर, हमारे पास है:

$R(0)=R^{k}{(0)=X}$ XЄ के साथ$\mathbb {R} ^{n}$.

यह भी देखें

• अवलोकनशीलता
• राज्य पर्यवेक्षक

बाहरी संबंध

• MATLAB function for checking controllability of a system
• Mathematica function for checking controllability of a system