आज्ञा का आदेश

आदेश सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, एक आदेश समाकृतिकता एक विशेष प्रकार का मोनोटोन समारोह है जो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों (POSET) के लिए आइसोमोर्फिज्म की एक उपयुक्त धारणा का गठन करता है।जब भी दो पोज़िट ऑर्डर आइसोमॉर्फिक होते हैं, तो उन्हें अनिवार्य रूप से इस अर्थ में समान माना जा सकता है कि या तो ऑर्डर को दूसरे से केवल तत्वों का नाम बदलकर प्राप्त किया जा सकता है।दो कड़ाई से कमजोर धारणाएं जो आइसोमोर्फिज्म ऑर्डर करने से संबंधित हैं, वे आदेश एम्बेडिंग और गैलोइस कनेक्शन हैं।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, दो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट दिए गए $(S,\leq _{S})$ और $(T,\leq _{T})$, एक आदेश आइसोमोर्फिज्म से $(S,\leq _{S})$ को $(T,\leq _{T})$ एक जीव है $f$ से $S$ को $T$ संपत्ति के साथ कि, हर के लिए $x$ और $y$ में $S$, $x\leq _{S}y$ अगर और केवल अगर $f(x)\leq _{T}f(y)$।यही है, यह एक द्विध्रुवीय आदेश-एम्बेडिंग है। एक ऑर्डर आइसोमोर्फिज्म को एक सर्जिकल ऑर्डर-एम्बेडिंग के रूप में परिभाषित करना भी संभव है।दो धारणाएँ $f$ के सभी तत्वों को कवर करें $T$ और यह कि यह आदेशों को संरक्षित करता है, यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है $f$ एक-से-एक भी है, अगर के लिए $f(x)=f(y)$ तब (इस धारणा द्वारा कि $f$ आदेश को संरक्षित करता है) यह अनुसरण करेगा $x\leq y$ और $y\leq x$, एक आंशिक आदेश की परिभाषा से है कि $x=y$।

फिर भी ऑर्डर आइसोमोर्फिज्म का एक और लक्षण वर्णन यह है कि वे वास्तव में मोनोटोन फ़ंक्शन बायजेक्शन हैं जिनमें एक मोनोटोन उलटा होता है। एक आंशिक रूप से आदेशित सेट से एक आदेश आइसोमोर्फिज्म को एक आदेश स्वचालितता कहा जाता है। जब एक अतिरिक्त बीजगणितीय संरचना पोज़ेट पर लगाया जाता है $(S,\leq _{S})$ और $(T,\leq _{T})$से एक समारोह $(S,\leq _{S})$ को $(T,\leq _{T})$ एक आइसोमोर्फिज्म के रूप में माना जाने वाले अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करना चाहिए।उदाहरण के लिए, दो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समूह (पीओ-समूह) दिए गए $(G,\leq _{G})$ और $(H,\leq _{H})$, से पो-समूहों का एक समरूपता $(G,\leq _{G})$ को $(H,\leq _{H})$ एक समूह समरूपता है जो एक समूह आइसोमोर्फिज्म भी है, न कि केवल एक जीव है जो एक आदेश एम्बेडिंग है।

उदाहरण

• किसी भी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट पर पहचान फ़ंक्शन हमेशा एक ऑर्डर ऑटोमोर्फिज्म होता है।
• एडिटिव व्युत्क्रम एक आदेश आइसोमोर्फिज्म है $(\mathbb {R} ,\leq )$ को $(\mathbb {R} ,\geq )$ (कहाँ $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का सेट है और $\leq$ सामान्य संख्यात्मक तुलना को दर्शाता है), चूंकि −x −y andy यदि और केवल अगर x ≤ y।
• खुला अंतराल $(0,1)$ (फिर से, संख्यात्मक रूप से आदेश दिया गया) बंद अंतराल से या उसके लिए एक ऑर्डर आइसोमोर्फिज्म नहीं है $[0,1]$: बंद अंतराल में एक कम से कम तत्व होता है, लेकिन खुले अंतराल नहीं होता है, और ऑर्डर आइसोमोर्फिज्म को कम से कम तत्वों के अस्तित्व को संरक्षित करना चाहिए।
• कैंटर के आइसोमोर्फिज्म प्रमेय द्वारा, प्रत्येक अनबाउंड काउंटेबल डेंस रेखीय आदेश तर्कसंगत संख्याओं के आदेश के लिए आइसोमॉर्फिक है। द्विघात बीजगणितीय संख्याओं, तर्कसंगत संख्याओं और डायडिक तर्कसंगत संख्याओं के बीच स्पष्ट आदेश आइसोमोर्फिज्म मिंकोव्स्की के प्रश्न-चिह्न फ़ंक्शन द्वारा प्रदान किए जाते हैं।

आदेश प्रकार

अगर $f$ एक आदेश आइसोमोर्फिज्म है, तो इसका उलटा कार्य है। इसके अलावा यदि $f$ से एक आदेश आइसोमोर्फिज्म है $(S,\leq _{S})$ को $(T,\leq _{T})$ और $g$ से एक आदेश आइसोमोर्फिज्म है $(T,\leq _{T})$ को $(U,\leq _{U})$, फिर कार्य रचना $f$ और $g$ से ही एक आदेश आइसोमोर्फिज्म है, $(S,\leq _{S})$ को $(U,\leq _{U})$. दो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों को ऑर्डर आइसोमॉर्फिक कहा जाता है जब एक ऑर्डर आइसोमोर्फिज्म मौजूद होता है। पहचान के कार्य, फ़ंक्शन व्युत्क्रम, और कार्यों की रचनाएँ क्रमशः एक समानता संबंध की तीन परिभाषित विशेषताओं के लिए, क्रमशः, रिफ्लेक्टिव रिलेशन, सममित संबंध और सकर्मी संबंध के अनुरूप हैं।इसलिए, ऑर्डर आइसोमोर्फिज्म एक समानता संबंध है।आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों के वर्ग को इसके द्वारा समतुल्य वर्गों में विभाजित किया जा सकता है, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों के परिवार जो सभी एक दूसरे के लिए आइसोमोर्फिक हैं।इन तुल्यता वर्गों को ऑर्डर प्रकार कहा जाता है।

यह भी देखें

• क्रमचय पैटर्न, एक क्रमचय जो एक अन्य क्रमचय के बाद के आदेश-आइसोमॉर्फिक है

संदर्भ

• Bloch, Ethan D. (2011), Proofs and Fundamentals: A First Course in Abstract Mathematics, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Springer, pp. 276–277, ISBN 9781441971265.
• Ciesielski, Krzysztof (1997), Set Theory for the Working Mathematician, London Mathematical Society Student Texts, vol. 39, Cambridge University Press, pp. 38–39, ISBN 9780521594653.
• Schröder, Bernd Siegfried Walter (2003), Ordered Sets: An Introduction, Springer, p. 11, ISBN 9780817641283.
• Fuchs, Laszlo (1963), Partially Ordered Algebraic Systems, Dover Publications; Reprint edition (March 5, 2014), pp. 2–3, ISBN 0486483878.