एकात्मक अंक प्रणाली

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प्राकृतिक संख्याओं को दर्शाने के लिए एकात्मक अंक प्रणाली सबसे सरल अंक प्रणाली है:[1] किसी संख्या N को दर्शाने के लिए, 1 को दर्शाने वाले प्रतीक को N बार दोहराया जाता है।[2] यूनरी प्रणाली में, संख्या 0 (शून्य) को खाली स्ट्रिंग द्वारा दर्शाया जाता है, अर्थात प्रतीक की अनुपस्थिति। संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... को एकल रूप में 1, 11, 111, 1111, 11111, 11111, ... के रूप में दर्शाया गया है।[3] यूनरी एक विशेषण अंक प्रणाली है। हालाँकि, क्योंकि किसी अंक का मान उसकी स्थिति पर निर्भर नहीं करता है, यह स्थितीय संकेतन का एक रूप नहीं है, और यह स्पष्ट नहीं है कि क्या यह कहना उचित होगा कि इसका मूलांक | आधार (या मूलांक) 1 (संख्या) है, क्योंकि यह अन्य सभी आधारों से अलग व्यवहार करता है।[citation needed]

गिनती में मिलान चिह्नों का उपयोग एकात्मक अंक प्रणाली का अनुप्रयोग है। उदाहरण के लिए, मिलान चिह्न का उपयोग करना | (𝍷), संख्या 3 को ||| के रूप में दर्शाया गया है। पूर्वी एशियाई संस्कृतियों में, संख्या 3 को wikt:三#Translingual|三 के रूप में दर्शाया जाता है, जो तीन स्ट्रोक से तैयार किया गया एक अक्षर है।[4] (एक और दो को समान रूप से दर्शाया जाता है।) चीन और जापान में, 5 स्ट्रोक के साथ खींचा गया वर्ण 正, कभी-कभी 5 को एक मिलान के रूप में दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है।[5][6] यूनरी संख्याओं को रिपुनिट्स से अलग किया जाना चाहिए, जिन्हें इकाइयों के अनुक्रम के रूप में भी लिखा जाता है लेकिन उनकी सामान्य दशमलव संख्यात्मक व्याख्या होती है।

संचालन

एकात्मक प्रणाली में जोड़ और घटाव विशेष रूप से सरल होते हैं, क्योंकि उनमें स्ट्रिंग संयोजन से थोड़ा अधिक शामिल होता है।[7] हथौड़ा चलाना वजन या जनसंख्या गणना ऑपरेशन जो बाइनरी मानों के अनुक्रम में गैर-शून्य बिट्स की संख्या की गणना करता है, उसे यूनरी से बाइनरी संख्याओं में रूपांतरण के रूप में भी समझा जा सकता है।[8] हालाँकि, गुणन अधिक बोझिल है और इसे अक्सर ट्यूरिंग मशीनों के डिजाइन के लिए एक परीक्षण मामले के रूप में उपयोग किया जाता है।[9][10][11]


जटिलता

मानक स्थिति संकेतन की तुलना में, यूनरी प्रणाली असुविधाजनक है और इसलिए बड़ी गणनाओं के लिए व्यवहार में इसका उपयोग नहीं किया जाता है। यह गणना के सिद्धांत में कुछ निर्णय समस्या विवरणों में होता है (उदाहरण के लिए कुछ पी-पूर्ण समस्याएं), जहां इसका उपयोग किसी समस्या के रन-टाइम या स्थान आवश्यकताओं को कृत्रिम रूप से कम करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि इनपुट बाइनरी अंक प्रणाली में दिया गया है, तो पूर्णांक गुणनखंडन की समस्या के लिए रन-टाइम के रूप में इनपुट की लंबाई के एक बहुपद फ़ंक्शन से अधिक की आवश्यकता होने का संदेह है, लेकिन इनपुट को यूनरी में प्रस्तुत किए जाने पर इसे केवल रैखिक रनटाइम की आवश्यकता होती है।[12][13] हालाँकि, यह संभावित रूप से भ्रामक है। किसी भी संख्या के लिए यूनरी इनपुट का उपयोग धीमा है, तेज़ नहीं; अंतर यह है कि एक बाइनरी (या बड़ा आधार) इनपुट संख्या के आधार 2 (या बड़े आधार) लघुगणक के समानुपाती होता है जबकि यूनरी इनपुट संख्या के समानुपाती होता है। इसलिए, जबकि यूनरी में रन-टाइम और स्पेस की आवश्यकता इनपुट आकार के फ़ंक्शन के रूप में बेहतर दिखती है, यह अधिक कुशल समाधान का प्रतिनिधित्व नहीं करती है।[14] कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में, यूनरी नंबरिंग का उपयोग एनपी-पूर्ण समस्याओं को उन समस्याओं से अलग करने के लिए किया जाता है जो एनपी-पूर्ण हैं लेकिन दृढ़ता से एनपी-पूर्ण नहीं हैं। एक समस्या जिसमें इनपुट में कुछ संख्यात्मक पैरामीटर शामिल होते हैं, वह दृढ़ता से एनपी-पूर्ण होता है यदि यह एनपी-पूर्ण रहता है, भले ही इनपुट का आकार यूनरी में पैरामीटर का प्रतिनिधित्व करके कृत्रिम रूप से बड़ा किया गया हो। ऐसी समस्या के लिए, ऐसे कठिन उदाहरण मौजूद हैं जिनके लिए सभी पैरामीटर मान अधिकतम बहुपद रूप से बड़े हैं।[15]


अनुप्रयोग

यूनरी नंबरिंग का उपयोग गोलोम्ब कोडिंग जैसे कुछ डेटा संपीड़न एल्गोरिदम के हिस्से के रूप में किया जाता है।[16] यह गणितीय तर्क के भीतर अंकगणित को औपचारिक बनाने के लिए पीनो सिद्धांतों का आधार भी बनता है।[17] चर्च एन्कोडिंग नामक यूनरी नोटेशन का एक रूप लैम्ब्डा कैलकुलस के भीतर संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है।[18]


यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Hodges, Andrew (2009), One to Nine: The Inner Life of Numbers, Anchor Canada, p. 14, ISBN 9780385672665.
  2. ↑ Davis, Martin; Sigal, Ron; Weyuker, Elaine J. (1994), Computability, Complexity, and Languages: Fundamentals of Theoretical Computer Science, Computer Science and Scientific Computing (2nd ed.), Academic Press, p. 117, ISBN 9780122063824.
  3. ↑ Hext, Jan (1990), Programming Structures: Machines and Programs, Programming Structures, vol. 1, Prentice Hall, p. 33, ISBN 9780724809400.
  4. ↑ Woodruff, Charles E. (1909), "The Evolution of Modern Numerals from Ancient Tally Marks", American Mathematical Monthly, 16 (8–9): 125–33, doi:10.2307/2970818, JSTOR 2970818.
  5. ↑ Hsieh, Hui-Kuang (1981), "Chinese Tally Mark", The American Statistician, 35 (3): 174, doi:10.2307/2683999, JSTOR 2683999
  6. ↑ Lunde, Ken; Miura, Daisuke (January 27, 2016), "Proposal to Encode Five Ideographic Tally Marks", Unicode Consortium (PDF), Proposal L2/16-046
  7. ↑ Sazonov, Vladimir Yu. (1995), "On feasible numbers", Logic and computational complexity (Indianapolis, IN, 1994), Lecture Notes in Comput. Sci., vol. 960, Springer, Berlin, pp. 30–51, doi:10.1007/3-540-60178-3_78, ISBN 978-3-540-60178-4, MR 1449655. See in particular p.  48.
  8. ↑ Blaxell, David (1978), "Record linkage by bit pattern matching", in Hogben, David; Fife, Dennis W. (eds.), Computer Science and Statistics--Tenth Annual Symposium on the Interface, NBS Special Publication, vol. 503, U.S. Department of Commerce / National Bureau of Standards, pp. 146–156.
  9. ↑ Hopcroft, John E.; Ullman, Jeffrey D. (1979), Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation, Addison Wesley, Example 7.7, pp. 158–159, ISBN 978-0-201-02988-8.
  10. ↑ Dewdney, A. K. (1989), The New Turing Omnibus: Sixty-Six Excursions in Computer Science, Computer Science Press, p. 209, ISBN 9780805071665.
  11. ↑ Rendell, Paul (2015), "5.3 Larger Example TM: Unary Multiplication", Turing Machine Universality of the Game of Life, Emergence, Complexity and Computation, vol. 18, Springer, pp. 83–86, ISBN 9783319198422.
  12. ↑ Arora, Sanjeev; Barak, Boaz (2007), "The computational model —and why it doesn't matter" (PDF), Computational Complexity: A Modern Approach (January 2007 draft ed.), Cambridge University Press, §17, pp. 32–33, retrieved May 10, 2017.
  13. ↑ Feigenbaum, Joan (Fall 2012), CPSC 468/568 HW1 Solution Set (PDF), Computer Science Department, Yale University, retrieved 2014-10-21.[permanent dead link]
  14. ↑ Moore, Cristopher; Mertens, Stephan (2011), The Nature of Computation, Oxford University Press, p. 29, ISBN 9780199233212.
  15. ↑ Garey, M. R.; Johnson, D. S. (1978), "'Strong' NP-completeness results: Motivation, examples, and implications", Journal of the ACM, 25 (3): 499–508, doi:10.1145/322077.322090, MR 0478747, S2CID 18371269.
  16. ↑ Golomb, S.W. (1966), "Run-length encodings", IEEE Transactions on Information Theory, IT-12 (3): 399–401, doi:10.1109/TIT.1966.1053907.
  17. ↑ Magaud, Nicolas; Bertot, Yves (2002), "Changing data structures in type theory: a study of natural numbers", Types for proofs and programs (Durham, 2000), Lecture Notes in Comput. Sci., vol. 2277, Springer, Berlin, pp. 181–196, doi:10.1007/3-540-45842-5_12, ISBN 978-3-540-43287-6, MR 2044538.
  18. ↑ Jansen, Jan Martin (2013), "Programming in the λ-calculus: from Church to Scott and back", The Beauty of Functional Code: Essays Dedicated to Rinus Plasmeijer on the Occasion of His 61st Birthday, Lecture Notes in Computer Science, vol. 8106, Springer-Verlag, pp. 168–180, doi:10.1007/978-3-642-40355-2_12, ISBN 978-3-642-40354-5.


बाहरी संबंध

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