एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना

"Axis of rotation" redirects here. For a mathematical context, see Axis–angle representation.

गोला अपने एक व्यास के चारों ओर घूमता है

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना घूर्णी गति का एक विशेष मामला है। फिक्स्ड-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली परिकल्पना एक धुरी को अपनी ओरिएंटेशन बदलने की संभावना को बाहर करती है और इस तरह की घटनाओं को सिर का इशारा या अग्रगमन के रूप में वर्णित नहीं कर सकती है। यूलर के रोटेशन प्रमेय के अनुसार, एक ही समय में कई स्थिर अक्षों के साथ-साथ रोटेशन असंभव है; यदि एक ही समय में दो घुमावों को मजबूर किया जाता है, तो रोटेशन की एक नई धुरी दिखाई देगी।

यह लेख मानता है कि रोटेशन भी स्थिर है, जैसे कि इसे चालू रखने के लिए किसी टॉर्कः की आवश्यकता नहीं है। एक कठोर पिंड के एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने की कीनेमेटिक्स और गतिशीलता (यांत्रिकी) गणितीय रूप से कठोर शरीर की गतिकी #कठोर-शरीर कोणीय गति की तुलना में बहुत सरल हैं; वे पूरी तरह से एक निश्चित दिशा के साथ रैखिक गति के अनुरूप हैं, जो 'एक कठोर शरीर के मुक्त घूर्णन' के लिए सही नहीं है। वस्तु की गतिज ऊर्जा के लिए भाव, और वस्तु के हिस्सों पर बलों के लिए, सामान्य घूर्णी गति की तुलना में एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने के लिए भी सरल होते हैं। इन कारणों से, छात्रों द्वारा रैखिक गति में महारत हासिल करने के बाद एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना आमतौर पर प्रारंभिक भौतिकी पाठ्यक्रमों में पढ़ाया जाता है; घूर्णी गति की पूर्ण व्यापकता आमतौर पर प्रारंभिक भौतिकी कक्षाओं में नहीं सिखाई जाती है।

अनुवाद और रोटेशन

See also: Rigid body

घुमाव का एक उदाहरण। वर्म ड्राइव का प्रत्येक भाग - वर्म और वर्म गियर दोनों - अपनी धुरी पर घूम रहा है।

एक दृढ़ पिंड परिमित सीमा की वस्तु है जिसमें घटक कणों के बीच की सभी दूरियां स्थिर होती हैं। वास्तव में कोई कठोर शरीर मौजूद नहीं है; बाह्य बल किसी भी ठोस को विकृत कर सकते हैं। हमारे उद्देश्यों के लिए, एक कठोर शरीर एक ठोस है जिसके लिए बड़ी ताकतों को इसे सराहनीय रूप से विकृत करने की आवश्यकता होती है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक कण की स्थिति में परिवर्तन को तीन निर्देशांकों द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट किया जा सकता है। कठोर शरीर की स्थिति में बदलाव का वर्णन करना अधिक जटिल है। इसे दो अलग-अलग प्रकार की गति के संयोजन के रूप में माना जा सकता है: अनुवाद संबंधी गति और परिपत्र गति।

विशुद्ध रूप से अनुवाद (ज्यामिति) तब होता है जब शरीर के प्रत्येक कण में हर दूसरे कण के समान तात्कालिक वेग होता है; तब किसी भी कण द्वारा निकाला गया पथ शरीर में हर दूसरे कण द्वारा निकाले गए पथ के बिल्कुल समानांतर होता है। ट्रांसलेशनल गति के तहत, कठोर शरीर की स्थिति में परिवर्तन को तीन निर्देशांक जैसे x, y, और z द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट किया जाता है, जो किसी भी बिंदु के विस्थापन (वेक्टर) को देता है, जैसे कि द्रव्यमान का केंद्र, कठोर शरीर के लिए तय होता है।

विशुद्ध रूप से घूर्णी गति तब होती है जब शरीर का प्रत्येक कण एक रेखा के चारों ओर एक चक्र में घूमता है। इस रेखा को घूर्णन अक्ष कहते हैं। फिर अक्ष से सभी कणों की त्रिज्या वेक्टर (ज्यामिति) एक ही समय में समान कोणीय विस्थापन से गुजरती है। रोटेशन की धुरी को शरीर से गुजरने की जरूरत नहीं है। सामान्य तौर पर, किसी भी घुमाव को आयताकार-समन्वय अक्षों x, y, और z के संबंध में तीन कोणीय विस्थापनों द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट किया जा सकता है। कठोर शरीर की स्थिति में कोई भी परिवर्तन इस प्रकार पूरी तरह से तीन स्थानान्तरण और तीन घूर्णी निर्देशांक द्वारा वर्णित है।

कठोर पिंड के किसी भी विस्थापन को पहले पिंड को एक विस्थापन के बाद एक घुमाव, या इसके विपरीत, एक विस्थापन के बाद एक घुमाव के अधीन करके पहुँचा जा सकता है। हम पहले से ही जानते हैं कि कणों के किसी भी संग्रह के लिए - चाहे वे एक दूसरे के संबंध में स्थिर हों, जैसे कठोर शरीर में, या सापेक्ष गति में, जैसे कि खोल के फटने वाले टुकड़े, द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण द्वारा दिया जाता है

$F_{\mathrm {net} }=Ma_{\mathrm {cm} }\;\!$

जहां एम सिस्टम का कुल द्रव्यमान है और ए_cm द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण है। द्रव्यमान के केंद्र के बारे में शरीर के घूर्णन का वर्णन करने और इसे शरीर पर काम करने वाली बाहरी ताकतों से संबंधित करने की बात बनी हुई है। एकल अक्ष के चारों ओर घूर्णी गति की कीनेमेटीक्स और गतिशीलता ट्रांसलेशनल गति की कीनेमेटिक्स और गतिकी से मिलती जुलती है; एकल अक्ष के चारों ओर घूर्णी गति में कण गतिकी के समान कार्य-ऊर्जा प्रमेय भी होता है।

किनेमेटिक्स

कोणीय विस्थापन

Main article: Angular displacement

एक कण दिया गया है जो त्रिज्या के एक वृत्त की परिधि के साथ चलता है $r$, एक चाप की लंबाई को स्थानांतरित करके $s$, इसकी कोणीय स्थिति है $\theta$ इसकी प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष, जहां $\theta ={\frac {s}{r}}$.

गणित और भौतिकी में यह कांति , समतल कोण की एक इकाई, को 1 मानने के लिए पारंपरिक है, अक्सर इसे छोड़ दिया जाता है। इकाइयों को निम्नानुसार परिवर्तित किया जाता है:

${\begin{aligned}360^{\circ }&=2\pi {\text{ rad}}\\1{\text{ rad}}&={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.27^{\circ }.\end{aligned}}$

कोणीय विस्थापन कोणीय स्थिति में परिवर्तन है:

$\Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1},$

कहां $\Delta \theta$ कोणीय विस्थापन है, $\theta _{1}$ प्रारंभिक कोणीय स्थिति है और $\theta _{2}$ अंतिम कोणीय स्थिति है।

कोणीय वेग

Main article: Angular momentum

प्रति इकाई समय में कोणीय विस्थापन में परिवर्तन को घूर्णन अक्ष के अनुदिश दिशा के साथ कोणीय वेग कहते हैं। कोणीय वेग का प्रतीक है $\omega$ और इकाइयां आम तौर पर रेड एस हैं^-1. कोणीय गति कोणीय वेग का परिमाण है।

${\overline {\omega }}={\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}={\frac {\theta _{2}-\theta _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.$

तात्कालिक कोणीय वेग किसके द्वारा दिया जाता है

$\omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}.$

कोणीय स्थिति और देने के लिए सूत्र का उपयोग करना $v={\frac {ds}{dt}}$, हमारे पास यह भी है

$\omega ={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {v}{r}},$

कहां $v$ कण की अनुवाद गति है।

कोणीय वेग और आवृत्ति संबंधित हैं

$\omega ={2\pi f}\!$.

कोणीय त्वरण

Main article: Angular acceleration

एक बदलते कोणीय वेग कठोर शरीर में कोणीय त्वरण की उपस्थिति को इंगित करता है, जिसे आमतौर पर रेड एस में मापा जाता है^{-2</सुप>. औसत कोणीय त्वरण ${\overline {\alpha }}$ एक समय अंतराल पर Δt द्वारा दिया जाता है}

${\overline {\alpha }}={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.$

तात्क्षणिक त्वरण α(t) द्वारा दिया जाता है

$\alpha (t)={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}.$

इस प्रकार, कोणीय त्वरण कोणीय वेग के परिवर्तन की दर है, जिस प्रकार त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है।

घूमने वाली वस्तु पर एक बिंदु का स्थानांतरीय त्वरण किसके द्वारा दिया जाता है

$a=r\alpha ,\!$

जहाँ r घूर्णन के अक्ष से त्रिज्या या दूरी है। यह त्वरण का स्पर्शरेखा घटक भी है: यह बिंदु की गति की दिशा के स्पर्शरेखा है। यदि यह घटक 0 है, तो गति एक समान वर्तुल गति है, और वेग केवल दिशा में बदलता है।

रेडियल त्वरण (गति की दिशा के लंबवत) द्वारा दिया जाता है

$a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\!$.

यह घूर्णी गति के केंद्र की ओर निर्देशित होता है, और इसे अक्सर केन्द्रापसारक त्वरण कहा जाता है।

कोणीय त्वरण टोक़ के कारण होता है, जो सकारात्मक और नकारात्मक कोणीय आवृत्ति के सम्मेलन के अनुसार सकारात्मक या नकारात्मक मूल्य हो सकता है। टोक़ और कोणीय त्वरण के बीच संबंध (घूर्णन को शुरू करना, रोकना या अन्यथा बदलना कितना मुश्किल है) जड़ता के क्षण द्वारा दिया जाता है: $T=I\alpha$.

कीनेमेटीक्स के समीकरण

जब कोणीय त्वरण स्थिर होता है, तो पाँच मात्राएँ कोणीय विस्थापन होती हैं $\theta$, प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega _{1}$, अंतिम कोणीय वेग $\omega _{2}$, कोणीय त्वरण $\alpha$, और समय $t$ चार कीनेमेटीक्स#घूर्णी गति से संबंधित किया जा सकता है:

${\begin{aligned}\omega _{2}&=\omega _{1}+\alpha t\\\theta &=\omega _{1}t+{\frac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\omega _{2}^{2}&=\omega _{1}^{2}+2\alpha \theta \\\theta &={\frac {1}{2}}\left(\omega _{2}+\omega _{1}\right)t\end{aligned}}$

डायनेमिक्स

जड़ता का क्षण

Main article: Moment of inertia

किसी वस्तु की जड़ता का क्षण, जिसका प्रतीक है $I$, वस्तु के घूर्णन में परिवर्तन के प्रतिरोध का माप है। जड़त्व के क्षण को किलोग्राम मीटर² (किलो मीटर) में मापा जाता है²). यह वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर करता है: किसी वस्तु का द्रव्यमान बढ़ने से जड़ता का क्षण बढ़ जाता है। यह द्रव्यमान के वितरण पर भी निर्भर करता है: द्रव्यमान को घूर्णन के केंद्र से आगे वितरित करने से जड़ता का क्षण अधिक मात्रा में बढ़ जाता है। द्रव्यमान के एक कण के लिए $m$ एक दूरी $r$ रोटेशन की धुरी से, जड़ता का क्षण किसके द्वारा दिया जाता है

$I=mr^{2}.$

टॉर्क

Main article: Torque

टॉर्कः ${\boldsymbol {\tau }}$ एक घूमने वाली वस्तु पर लगाए गए बल F का घुमावदार प्रभाव है जो अपने रोटेशन के अक्ष से स्थिति r पर है। गणितीय रूप से,

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,$

जहाँ × क्रॉस उत्पाद को दर्शाता है। किसी वस्तु पर कार्य करने वाला शुद्ध बलाघूर्ण वस्तु के अनुसार कोणीय त्वरण उत्पन्न करेगा

${\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }},$

रैखिक गतिकी में F = ma के रूप में।

किसी वस्तु पर कार्य करने वाले टोक़ द्वारा किया गया कार्य टोक़ के परिमाण के बराबर कोण के बराबर होता है जिसके माध्यम से टोक़ लगाया जाता है:

$W=\tau \theta .\!$

एक टोक़ की शक्ति प्रति यूनिट समय टोक़ द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है, इसलिए:

$P=\tau \omega .\!$

कोणीय संवेग

Main article: Angular momentum

कोणीय गति $\mathbf {L}$ किसी घूमती हुई वस्तु को विराम अवस्था में लाने में कठिनाई का माप है। द्वारा दिया गया है

$\mathbf {L} =\sum \mathbf {r} \times \mathbf {p}$ वस्तु के सभी कणों के लिए।

कोणीय संवेग जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग का गुणनफल है:

$\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},$

रैखिक गतिकी में p = mv के रूप में।

घूर्णी गति में रैखिक संवेग का अनुरूप कोणीय संवेग है। घूमती हुई वस्तु का कोणीय संवेग जितना अधिक होता है, जैसे कि कोई शीर्ष, घूमने की प्रवृत्ति उतनी ही अधिक होती है।

एक घूमते हुए पिंड का कोणीय संवेग उसके द्रव्यमान के समानुपाती होता है और यह कितनी तेजी से मुड़ता है। इसके अलावा, कोणीय गति इस बात पर निर्भर करती है कि द्रव्यमान को रोटेशन के अक्ष के सापेक्ष कैसे वितरित किया जाता है: जितना अधिक द्रव्यमान रोटेशन के अक्ष से स्थित होता है, कोणीय गति उतनी ही अधिक होती है। एक फ्लैट डिस्क जैसे रिकॉर्ड टर्नटेबल में समान द्रव्यमान और घूर्णन के वेग के खोखले सिलेंडर की तुलना में कम कोणीय गति होती है।

रैखिक गति की तरह, कोणीय गति सदिश मात्रा है, और इसके संरक्षण का अर्थ है कि स्पिन अक्ष की दिशा अपरिवर्तित रहती है। इस कारण कताई लट्टू सीधा रहता है जबकि स्थिर लट्टू तुरन्त गिर जाता है।

कोणीय संवेग समीकरण का उपयोग किसी पिंड पर परिणामी बल के क्षण को एक अक्ष (कभी-कभी टॉर्क कहा जाता है) और उस अक्ष के चारों ओर घूमने की दर से संबंधित करने के लिए किया जा सकता है।

टोक़ और कोणीय गति के अनुसार संबंधित हैं

${\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}},$

रैखिक गतिकी में F = dp/dt के रूप में। बाहरी बलाघूर्ण की अनुपस्थिति में, पिंड का कोणीय संवेग स्थिर रहता है। फिगर स्केटिंग में कोणीय संवेग के संरक्षण को विशेष रूप से प्रदर्शित किया जाता है: घुमाव के दौरान भुजाओं को शरीर के करीब खींचते समय, जड़ता का क्षण कम हो जाता है, और इसलिए कोणीय वेग बढ़ जाता है।

गतिज ऊर्जा

Main article: Kinetic energy

गतिज ऊर्जा $K_{\text{rot}}$ शरीर के घूमने के कारण दिया जाता है

$K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2},$

बस के रूप में $K_{\text{trans}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ रैखिक गतिकी में।

गतिज ऊर्जा गति की ऊर्जा है। दो चरों में पाई जाने वाली अनुवादिक गतिज ऊर्जा की मात्रा: वस्तु का द्रव्यमान ($m$) और वस्तु की गति ($v$) जैसा कि ऊपर समीकरण में दिखाया गया है। गतिज ऊर्जा हमेशा या तो शून्य या धनात्मक मान होनी चाहिए। जबकि वेग का या तो धनात्मक या ऋणात्मक मान हो सकता है, वेग का वर्ग हमेशा धनात्मक होगा।

वेक्टर अभिव्यक्ति

See also: Vector (geometry)

उपरोक्त विकास सामान्य घूर्णी गति का एक विशेष मामला है। सामान्य स्थिति में, कोणीय विस्थापन, कोणीय वेग, कोणीय त्वरण और बलाघूर्ण को सदिश माना जाता है।

एक कोणीय विस्थापन को एक सदिश माना जाता है, जो अक्ष के साथ इंगित करता है, के बराबर परिमाण का $\Delta \theta$. दाएँ हाथ के नियम का उपयोग यह पता लगाने के लिए किया जाता है कि यह अक्ष के साथ किस दिशा में इंगित करता है; यदि दाहिने हाथ की अंगुलियों को इस तरह मोड़ा जाता है कि वस्तु घूम चुकी है, तो दाहिने हाथ का अंगूठा सदिश की दिशा में इंगित करता है।

कोणीय वेग वेक्टर भी रोटेशन की धुरी के साथ-साथ उसी तरह इंगित करता है जिस तरह कोणीय विस्थापन का कारण बनता है। यदि कोई डिस्क वामावर्त घूमती है, जैसा कि ऊपर से देखा गया है, तो इसका कोणीय वेग सदिश ऊपर की ओर इंगित करता है। इसी तरह, कोणीय त्वरण सदिश रोटेशन की धुरी के साथ उसी दिशा में इंगित करता है जिस दिशा में कोणीय त्वरण लंबे समय तक बनाए रखा जाता है।

टॉर्क वेक्टर उस अक्ष के साथ इंगित करता है जिसके चारों ओर टॉर्क रोटेशन का कारण बनता है। एक निश्चित धुरी के चारों ओर रोटेशन बनाए रखने के लिए, कुल टोक़ वेक्टर को धुरी के साथ होना चाहिए, ताकि यह केवल परिमाण को बदल सके और कोणीय वेग वेक्टर की दिशा नहीं। एक काज के मामले में, अक्ष के साथ टोक़ वेक्टर के केवल घटक का रोटेशन पर प्रभाव पड़ता है, अन्य बलों और टोक़ को संरचना द्वारा मुआवजा दिया जाता है।

उदाहरण और अनुप्रयोग

निरंतर कोणीय गति

Main article: Uniform circular motion

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने का सबसे सरल मामला स्थिर कोणीय गति का है। फिर कुल टोक़ शून्य है। पृथ्वी के अपनी धुरी पर घूमने के उदाहरण के लिए, बहुत कम घर्षण होता है। एक पंखे (यांत्रिक) के लिए, मोटर घर्षण की क्षतिपूर्ति के लिए एक बल आघूर्ण लगाती है। पंखे के समान, बड़े पैमाने पर उत्पादन निर्माण उद्योग में पाए जाने वाले उपकरण एक निश्चित अक्ष के चारों ओर प्रभावी रूप से घूर्णन प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, एक बहु-धुरी खराद का उपयोग सामग्री को अपनी धुरी पर घुमाने के लिए किया जाता है ताकि काटने, विरूपण और मोड़ संचालन की उत्पादकता को प्रभावी ढंग से बढ़ाया जा सके। घूर्णन का कोण समय का एक रेखीय फलन है, जो सापेक्ष 360° एक आवर्त फलन है।

इसका एक उदाहरण वृत्ताकार कक्षाओं के साथ द्वि-निकाय समस्या है।

अभिकेन्द्री बल

Main article: Centripetal force

See also: Fictitious force

आंतरिक तन्यता तनाव केंद्रीय बल प्रदान करता है जो कताई वस्तु को एक साथ रखता है। एक कठोर शरीर मॉडल साथ में तनाव (सामग्री विज्ञान) की उपेक्षा करता है। यदि शरीर कठोर नहीं है तो यह खिंचाव इसके आकार को बदलने का कारण बनेगा। इसे केन्द्रापसारक बल के कारण आकार बदलने वाली वस्तु के रूप में व्यक्त किया जाता है।

एक दूसरे के चारों ओर घूमने वाले आकाशीय पिंडों में अक्सर अण्डाकार कक्षा एँ होती हैं। वृत्ताकार कक्षाओं का विशेष मामला एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने का एक उदाहरण है: यह अक्ष द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से गति के विमान के लंबवत रेखा है। केन्द्रापसारक बल गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है, दो-शरीर की समस्या भी देखें। यह आमतौर पर घूमते हुए खगोलीय पिंड के लिए भी लागू होता है, इसलिए इसे एक साथ रखने के लिए ठोस होने की आवश्यकता नहीं है जब तक कि इसके घनत्व के संबंध में कोणीय गति बहुत अधिक न हो। (हालांकि, यह चपटा अंडाकार आकृति बनने की प्रवृत्ति रखता है।) उदाहरण के लिए, पानी के एक घूमते हुए आकाशीय पिंड को घूमने में कम से कम 3 घंटे और 18 मिनट का समय लगना चाहिए, आकार की परवाह किए बिना, या पानी अलग हो जाएगा।. यदि द्रव का घनत्व अधिक है तो समय कम हो सकता है। कक्षीय अवधि देखें।

यह भी देखें

• गति की शारीरिक शर्तें
• कृत्रिम गुरुत्व#घूर्णन
• धुरा
• अक्षीय पुरस्सरण
• अक्षीय झुकाव
• अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व
• हिंडोला , बड़ा चक्का
• रेलमार्ग ट्रक भागों की सूची # केंद्र पिन
• अभिकेन्द्रीय बल
• अपकेंद्रित्र
• केन्द्राभिमुख शक्ति
• परिपत्र गति
• कॉरिओलिस प्रभाव
• बनावटी बल
• चक्का
• जाइरेशन
• रोटेशन का तत्काल केंद्र
• रैखिक-घूर्णी अनुरूप
• प्रति मिनट घूर्णन
• ऑप्टिकल अक्ष
• घूमने वाला दरवाजा
• कठोर शरीर की गतिकी#कठोर-शरीर कोणीय गति
• रोटेशन मैट्रिक्स
• घूर्णन गति
• घूर्णी समरूपता
• रन आउट
• स्पिन (भौतिकी)

संदर्भ

• Fundamentals of Physics Extended 7th Edition by Halliday, Resnick and Walker. ISBN 0-471-23231-9
• Concepts of Physics Volume 1, by H. C. Verma, 1st edition, ISBN 81-7709-187-5श्रेणी: यूक्लिडियन समरूपताश्रेणी: रोटेशन