कारण समुच्चय

कारण सेट कार्यक्रम क्वांटम गुरुत्व के लिए एक दृष्टिकोण है। इसके संस्थापक सिद्धांत हैं कि अंतरिक्ष समय मौलिक रूप से अलग है (असतत स्पेसटाइम बिंदुओं का एक संग्रह, जिसे कारण सेट के तत्व कहा जाता है) और स्पेसटाइम घटनाएं आंशिक क्रम से संबंधित होती हैं। इस आंशिक क्रम में स्पेसटाइम घटनाओं के बीच कार्य-कारण संबंधों का भौतिक अर्थ है।

कार्यक्रम एक प्रमेय पर आधारित है डेविड बैडली द्वारा कहा गया है कि यदि दो अतीत और भविष्य के अंतर वाले अंतरिक्ष समय के बीच एक आक्षेप मानचित्र है जो उनकी कारण संरचना को संरक्षित करता है तो नक्शा एक अनुरूप मानचित्र है। अनुरूप कारक जिसे अनिश्चित छोड़ दिया गया है वह स्पेसटाइम में क्षेत्रों की मात्रा से संबंधित है। प्रत्येक स्थान समय बिंदु के लिए वॉल्यूम तत्व निर्दिष्ट करके इस वॉल्यूम कारक को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। किसी अंतरिक्ष-समय क्षेत्र का आयतन उस क्षेत्र में बिंदुओं की संख्या की गणना करके पाया जा सकता है।

कॉज़ल सेट की शुरुआत राफेल सॉर्किन द्वारा की गई थी जो कार्यक्रम के मुख्य प्रस्तावक बने हुए हैं। उन्होंने उपरोक्त तर्क को चित्रित करने के लिए आदेश + संख्या = ज्यामिति का नारा गढ़ा है। कार्यक्रम एक सिद्धांत प्रदान करता है जिसमें स्थानीय लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता को बनाए रखते हुए अंतरिक्ष समय मौलिक रूप से अलग है।

परिभाषा

कारण समुच्चय (या कारण समुच्चय) एक समुच्चय है $C$ आंशिक क्रम द्विआधारी संबंध के साथ $\preceq$ वह है

• प्रतिवर्ती संबंध : सबके लिए $x\in C$, हमारे पास है $x\preceq x$.
• एंटीसिमेट्रिक संबंध: सभी के लिए $x,y\in C$, हमारे पास है $x\preceq y$ और $y\preceq x$ तात्पर्य $x=y$.
• सकर्मक संबंध : सबके लिए $x,y,z\in C$, हमारे पास है $x\preceq y$ और $y\preceq z$ तात्पर्य $x\preceq z$.
• स्थानीय रूप से परिमित स्थिति: सभी के लिए $x,z\in C$, हमारे पास है $\{y\in C|x\preceq y\preceq z\}$ एक परिमित समुच्चय है.

हम लिखेंगे $x\prec y$ अगर $x\preceq y$ और $x\neq y$.

सेट $C$ घटना (सापेक्षता) के सेट और क्रम संबंध का प्रतिनिधित्व करता है $\preceq$ घटनाओं के बीच कारण संबंध का प्रतिनिधित्व करता है (छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड#लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड में अनुरूप विचार के लिए कारण संरचना देखें)।

यद्यपि यह परिभाषा रिफ्लेक्सिव कन्वेंशन का उपयोग करती है, हम अपरिवर्तनीय कन्वेंशन को चुन सकते हैं जिसमें क्रम संबंध अपरिवर्तनीय संबंध और असममित संबंध है।

लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड का कारण संबंध (बंद कारण वक्रों के बिना) पहली तीन शर्तों को पूरा करता है। यह स्थानीय परिमितता की स्थिति है जो स्पेसटाइम विसंगति का परिचय देती है।

सातत्य से तुलना

एक कारण सेट को देखते हुए हम पूछ सकते हैं कि क्या इसे लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड में एम्बेड किया जा सकता है। एम्बेडिंग एक मानचित्र होगा जो कारण सेट के तत्वों को मैनिफोल्ड में बिंदुओं में ले जाएगा ताकि कारण सेट का क्रम संबंध मैनिफोल्ड के कारण क्रम से मेल खाए। हालाँकि एम्बेडिंग उपयुक्त होने से पहले एक और मानदंड की आवश्यकता है। यदि, औसतन, मैनिफोल्ड के एक क्षेत्र में मैप किए गए कारण सेट तत्वों की संख्या क्षेत्र की मात्रा के समानुपाती होती है तो एम्बेडिंग को वफादार कहा जाता है। इस मामले में हम कारण समुच्चय को 'कई गुना-जैसा' मान सकते हैं।

कारण सेट कार्यक्रम का एक केंद्रीय अनुमान, जिसे हौपटवर्मुटुंग ('मौलिक अनुमान') कहा जाता है, यह है कि एक ही कारण सेट को दो स्पेसटाइम में ईमानदारी से एम्बेड नहीं किया जा सकता है जो बड़े पैमाने पर समान नहीं हैं।

इस अनुमान को सटीक रूप से परिभाषित करना मुश्किल है क्योंकि यह तय करना मुश्किल है कि दो स्पेसटाइम 'बड़े पैमाने पर समान' कब होते हैं। स्पेसटाइम को एक कारण सेट के रूप में मॉडलिंग करने के लिए हमें उन कारण सेटों पर ध्यान केंद्रित करने की आवश्यकता होगी जो 'कई गुना-समान' हैं। कारण समुच्चय को देखते हुए इसे निर्धारित करना एक कठिन गुण है।

छिड़काव

1+1 आयामों में 1000 छिड़के हुए बिंदुओं का एक प्लॉट

यह निर्धारित करने की कठिनाई कि क्या एक कारण सेट को कई गुना में एम्बेड किया जा सकता है, दूसरी दिशा से संपर्क किया जा सकता है। हम लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड में बिंदुओं को छिड़क कर एक कारण सेट बना सकते हैं। स्पेसटाइम क्षेत्रों की मात्रा के अनुपात में बिंदुओं को छिड़ककर और छिड़काव बिंदुओं के बीच आदेश संबंधों को प्रेरित करने के लिए कई गुना में कारण क्रम संबंधों का उपयोग करके, हम एक कारण सेट का उत्पादन कर सकते हैं जिसे (निर्माण द्वारा) ईमानदारी से कई गुना में एम्बेड किया जा सकता है।

लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनशीलता को बनाए रखने के लिए अंकों का यह छिड़काव पॉइसन प्रक्रिया का उपयोग करके यादृच्छिक रूप से किया जाना चाहिए। इस प्रकार छिड़काव की संभावना $n$ आयतन के एक क्षेत्र की ओर इंगित करता है $V$ है

$P(n)={\frac {(\rho V)^{n}e^{-\rho V}}{n!}}$ कहाँ $\rho$ छिड़काव का घनत्व है.

नियमित जाली के रूप में बिंदुओं को छिड़कने से बिंदुओं की संख्या क्षेत्र के आयतन के अनुपात में नहीं रहेगी।

ज्यामिति

मैनिफोल्ड्स में कुछ ज्यामितीय निर्माण कार्य-कारण सेटों तक ले जाते हैं। इन्हें परिभाषित करते समय हमें केवल कारण सेट पर भरोसा करना याद रखना चाहिए, न कि किसी पृष्ठभूमि स्पेसटाइम पर जिसमें इसे एम्बेड किया जा सकता है। इन निर्माणों के अवलोकन के लिए देखें।

जियोडेसिक्स

1+1 आयामों में विभाजित करके बनाए गए 180-बिंदु कारण सेट में दो बिंदुओं के बीच भूगणित का एक प्लॉट

कारण समुच्चय में एक कड़ी तत्वों की एक जोड़ी है $x,y\in C$ ऐसा है कि $x\prec y$ लेकिन नहीं के साथ $z\in C$ ऐसा है कि $x\prec z\prec y$.

श्रृंखला तत्वों का एक क्रम है $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$ ऐसा है कि $x_{i}\prec x_{i+1}$ के लिए $i=0,\ldots ,n-1$. एक श्रृंखला की लंबाई है $n$. यदि प्रत्येक $x_{i},x_{i+1}$ श्रृंखला में एक कड़ी बनती है, तो श्रृंखला को पथ कहा जाता है।

हम इसका उपयोग दो कारण सेट तत्वों के बीच एक जियोडेसिक की धारणा को परिभाषित करने के लिए कर सकते हैं, बशर्ते कि वे क्रम तुलनीय हों, अर्थात, कार्य-कारण से जुड़े हों (भौतिक रूप से, इसका मतलब है कि वे समय-समान हैं)। दो तत्वों के बीच एक जियोडेसिक $x\preceq y\in C$ एक श्रृंखला है जिसमें केवल ऐसे लिंक होते हैं

1. $x_{0}=x$ और $x_{n}=y$
2. श्रृंखला की लंबाई, $n$, से सभी श्रृंखलाओं पर अधिकतम है $x$ को $y$.

सामान्य तौर पर दो तुलनीय तत्वों के बीच एक से अधिक जियोडेसिक हो सकते हैं।

मायरहाइम पहले सुझाव दिया गया कि इस तरह के जियोडेसिक की लंबाई दो स्पेसटाइम बिंदुओं को जोड़ने वाले टाइमलाइक जियोडेसिक के साथ उचित समय के सीधे आनुपातिक होनी चाहिए। इस अनुमान का परीक्षण फ्लैट स्पेसटाइम में छिड़काव से उत्पन्न कारण सेट का उपयोग करके किया गया है। आनुपातिकता को बनाए रखने के लिए दिखाया गया है और घुमावदार स्पेसटाइम में भी छिड़काव के लिए इसे बनाए रखने का अनुमान लगाया गया है।

आयाम अनुमानक

कारण समुच्चय के विविध आयाम का आकलन करने में बहुत काम किया गया है। इसमें कारण सेट का उपयोग करने वाले एल्गोरिदम शामिल हैं जिनका लक्ष्य मैनिफोल्ड का आयाम देना है जिसमें इसे ईमानदारी से एम्बेड किया जा सकता है। अब तक विकसित एल्गोरिदम मिन्कोवस्की स्पेसटाइम के आयाम को खोजने पर आधारित हैं जिसमें कारण सेट को ईमानदारी से एम्बेड किया जा सकता है।

• मायरहेम-मेयर आयाम

यह दृष्टिकोण संख्या का अनुमान लगाने पर निर्भर करता है $k$-लंबाई की जंजीरें एक छिड़काव में मौजूद होती हैं $d$-आयामी मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम। की संख्या गिनना $k$कारण सेट में -लंबाई श्रृंखलाएं तब एक अनुमान की अनुमति देती हैं $d$ बनाया जाना।

• मध्यबिंदु-स्केलिंग आयाम

यह दृष्टिकोण मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम में दो बिंदुओं के बीच उचित समय और उनके बीच स्पेसटाइम#स्पेसटाइम अंतराल की मात्रा के बीच संबंध पर निर्भर करता है। दो बिंदुओं के बीच अधिकतम श्रृंखला लंबाई (उचित समय का अनुमान लगाने के लिए) की गणना करके $x$ और $y$ और तत्वों की संख्या गिनना $z$ ऐसा है कि $x\prec z\prec y$ (स्पेसटाइम अंतराल की मात्रा का अनुमान लगाने के लिए) स्पेसटाइम के आयाम की गणना की जा सकती है।

इन अनुमानकों को उच्च-घनत्व छिड़काव द्वारा उत्पन्न कारण सेटों के लिए सही आयाम देना चाहिए $d$-आयामी मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम। अनुरूप-सपाट स्पेसटाइम में परीक्षण इन दोनों तरीकों को सटीक दिखाया है।

गतिशीलता

एक सतत कार्य कारण सेटों के लिए सही गतिशीलता (भौतिकी) विकसित करना है। ये नियमों का एक सेट प्रदान करेंगे जो यह निर्धारित करेंगे कि कौन से कारण सेट भौतिक रूप से यथार्थवादी स्पेसटाइम के अनुरूप हैं। कारण सेट गतिशीलता विकसित करने के लिए सबसे लोकप्रिय दृष्टिकोण क्वांटम यांत्रिकी के योग-ओवर-इतिहास संस्करण पर आधारित है। यह दृष्टिकोण एक समय में एक कारण सेट को बढ़ाकर एक योग-से-कारण सेट निष्पादित करेगा। तत्वों को क्वांटम यांत्रिक नियमों के अनुसार जोड़ा जाएगा और हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) यह सुनिश्चित करेगा कि एक बड़े पैमाने पर स्पेसटाइम योगदान पर हावी हो जाएगा। इस समय गतिशीलता के लिए सबसे अच्छा मॉडल एक शास्त्रीय मॉडल है जिसमें संभावनाओं के अनुसार तत्व जोड़े जाते हैं। डेविड राइडआउट और राफेल सॉर्किन के कारण इस मॉडल को शास्त्रीय अनुक्रमिक विकास (सीएसजी) गतिशीलता के रूप में जाना जाता है। शास्त्रीय अनुक्रमिक विकास मॉडल एक के बाद एक नए तत्वों को जोड़कर कारण सेट उत्पन्न करने का एक तरीका है। नए तत्वों को कैसे जोड़ा जाता है, इसके लिए नियम निर्दिष्ट किए गए हैं और, मॉडल में मापदंडों के आधार पर, अलग-अलग कारण सेट परिणामित होते हैं।

क्वांटम यांत्रिकी के पथ अभिन्न सूत्रीकरण के अनुरूप, कारण सेटों के लिए क्वांटम गतिशीलता विकसित करने का एक दृष्टिकोण योग-अति-कारण सेट दृष्टिकोण में एक क्रिया सिद्धांत को लागू करना है। सॉर्किन ने डी'एलेम्बर्टियन के लिए एक अलग एनालॉग का प्रस्ताव दिया है, जिसका उपयोग रिक्की वक्रता स्केलर को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है और इस प्रकार एक कारण सेट पर बेनिनकासा-डॉकर कार्रवाई हो सकती है। मोंटे-कार्लो सिमुलेशन ने बेनिनकासा-डॉकर क्रिया का उपयोग करके 2डी में एक सातत्य चरण के लिए साक्ष्य प्रदान किए हैं।

यह भी देखें

• कारण गतिशील त्रिकोणासन|कारण गतिशील त्रिकोणासन (सीडीटी)
• कारण संरचना
• सामान्य सापेक्षता
• आदेश सिद्धांत

अग्रिम पठन

Introduction and reviews

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• S. Johnston; Particle Propagators from Discrete Spacetime; Talk given at Perimeter Institute 14 April 2008 (Quantum field theory)
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• D.P. Rideout; Spatial Hypersurfaces in Causal Set Cosmology; Talk given at Loops 05, 10–14 October 2005, Potsdam, Max Planck Institute for Gravitational Physics (Spatial hyper-surfaces, Dynamics)
• J. Scargle, Testing Quantum Gravity Theories with GLAST; Talk given at Santa Cruz Institute for Particle Physics, April 24, 2007. (Lorentz invariance, Phenomenology)
• R.D. Sorkin; Two Talks given at the 1997 Santa Fe workshop: A Review of the Causal Set Approach to Quantum Gravity and '; Presented at ”New Directions in Simplicial Quantum Gravity” July 28 - August 8, 1997; ;;
• R.D. Sorkin; Does quantum gravity give rise to an observable nonlocality?; Talk given at Perimeter Institute 17/01/2007 (d'Alembertian, Locality)
• R.D. Sorkin, Some Insights for Quantum Gravity Derived from Work on Causal Sets; Talk given at Loops 05, 10–14 October 2005, Potsdam, Max Planck Institute for Gravitational Physics (Overview)
• R.D. Sorkin Is a past-finite causal order the inner basis of spacetime? Talk given at Perimeter Institute 07/09/2005
• S. Surya, Recovering spacetime topology from a causet; Talk given at Loops 05, 10–14 October 2005, Potsdam, Max Planck Institute for Gravitational Physics (Topology)
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Manifoldness

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बाहरी संबंध

• The causal set approach to quantum gravity a review article by Joe Henson on causal sets
• Space-time as a causal set - one of the first papers by Luca Bombelli, Joohan Lee, David Meyer, and Rafael D. Sorkin
• Geometry from order: causal sets - non-technical article by Rafael D. Sorkin on Einstein Online
• Focus Issue: The causal set approach to quantum gravity Classical and Quantum Gravity Vol. 35, 2018