क्षण (भौतिकी)

Not to be confused with Momentum.

For the mathematical concept, see Moment (mathematics). For the moment of a force, sometimes shortened to "moment", see Torque.

भौतिकी में, एक क्षण एक गणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें दूरी और भौतिक मात्रा का गुणनफल शामिल होता है। क्षणों को आमतौर पर एक निश्चित संदर्भ बिंदु के संबंध में परिभाषित किया जाता है और संदर्भ बिंदु से कुछ दूरी पर स्थित भौतिक मात्राओं को संदर्भित किया जाता है। इस प्रकार, क्षण मात्रा के स्थान या व्यवस्था का हिसाब रखता है। उदाहरण के लिए, बल का क्षण, जिसे अक्सर टॉर्कः कहा जाता है, किसी वस्तु पर लगे बल और संदर्भ बिंदु से वस्तु की दूरी का उत्पाद है। सिद्धांत रूप में, एक क्षण उत्पन्न करने के लिए किसी भी भौतिक मात्रा को दूरी से गुणा किया जा सकता है। आम तौर पर उपयोग की जाने वाली मात्राओं में बल, द्रव्यमान और विद्युत आवेश वितरण शामिल हैं।

विस्तार

अपने सबसे बुनियादी रूप में, एक क्षण एक बिंदु से दूरी का गुणनफल (गणित) है, जिसे एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है, और एक भौतिक मात्रा (जैसे बल या विद्युत आवेश) उस बिंदु पर:

$\mu _{n}=r^{n}\,Q,$

कहाँ $Q$ भौतिक मात्रा है जैसे किसी बिंदु पर लगाया गया बल, या बिंदु आवेश, या बिंदु द्रव्यमान, आदि। यदि मात्रा केवल एक बिंदु पर केंद्रित नहीं है, तो क्षण अंतरिक्ष पर उस मात्रा के घनत्व का अभिन्न अंग है:

$\mu _{n}=\int r^{n}\rho (r)\,dr$

कहाँ $\rho$ आवेश, द्रव्यमान या जिस भी मात्रा पर विचार किया जा रहा है उसके घनत्व का वितरण है।

अधिक जटिल रूप दूरी और भौतिक मात्रा के बीच कोणीय संबंधों को ध्यान में रखते हैं, लेकिन उपरोक्त समीकरण एक क्षण की आवश्यक विशेषता को पकड़ते हैं, अर्थात् अंतर्निहित का अस्तित्व $r^{n}\rho (r)$ या समतुल्य पद. इसका तात्पर्य यह है कि कई क्षण होते हैं (n के प्रत्येक मान के लिए एक) और वह क्षण आम तौर पर उस संदर्भ बिंदु पर निर्भर करता है जहां से दूरी होती है $r$ मापा जाता है, हालाँकि कुछ क्षणों (तकनीकी रूप से, सबसे कम गैर-शून्य क्षण) के लिए यह निर्भरता गायब हो जाती है और क्षण संदर्भ बिंदु से स्वतंत्र हो जाता है।

n का प्रत्येक मान एक अलग क्षण से मेल खाता है: पहला क्षण n = 1 से मेल खाता है; दूसरे क्षण से n = 2, आदि। 0वें क्षण (n = 0) को कभी-कभी मोनोपोल क्षण कहा जाता है; पहले क्षण (n = 1) को कभी-कभी द्विध्रुवीय क्षण कहा जाता है, और दूसरे क्षण (n = 2) को कभी-कभी चतुष्कोणीय क्षण कहा जाता है, विशेष रूप से विद्युत आवेश वितरण के संदर्भ में।

उदाहरण

• बल का क्षण, या टॉर्क, पहला क्षण है: $\mathbf {\tau } =rF$, या, अधिक सामान्यतः, $\mathbf {r} \times \mathbf {F}$.
• इसी प्रकार, कोणीय संवेग, संवेग का पहला क्षण है: $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$. ध्यान दें कि संवेग स्वयं एक क्षण नहीं है।
• विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण भी प्रथम आघूर्ण है: $\mathbf {p} =q\,\mathbf {d}$ दो विपरीत बिंदु आवेशों के लिए या ${\textstyle \int \mathbf {r} \,\rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$ चार्ज घनत्व के साथ वितरित चार्ज के लिए $\rho (\mathbf {r} )$.

द्रव्यमान के क्षण:

• कुल द्रव्यमान द्रव्यमान का शून्यवाँ क्षण है।
• द्रव्यमान का केंद्र कुल द्रव्यमान द्वारा सामान्यीकृत द्रव्यमान का पहला क्षण है: ${\textstyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}m_{i}}$ बिंदु द्रव्यमान के संग्रह के लिए, या ${\textstyle {\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$ बड़े पैमाने पर वितरण वाली किसी वस्तु के लिए $\rho (\mathbf {r} )$.
• जड़त्व का क्षण द्रव्यमान का दूसरा क्षण है: $I=r^{2}m$ एक बिंदु द्रव्यमान के लिए, ${\textstyle \sum _{i}r_{i}^{2}m_{i}}$ बिंदु द्रव्यमान के संग्रह के लिए, या ${\textstyle \int r^{2}\rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$ बड़े पैमाने पर वितरण वाली किसी वस्तु के लिए $\rho (\mathbf {r} )$. ध्यान दें कि द्रव्यमान के केंद्र को अक्सर (लेकिन हमेशा नहीं) संदर्भ बिंदु के रूप में लिया जाता है।

बहुध्रुव क्षण

एक घनत्व फ़ंक्शन को मानते हुए जो परिमित है और एक विशेष क्षेत्र में स्थानीयकृत है, उस क्षेत्र के बाहर 1/r स्केलर क्षमता को गोलाकार हार्मोनिक्स की एक श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$\Phi (\mathbf {r} )=\int {\frac {\rho (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,d^{3}r'=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)q_{\ell m}\,{\frac {Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}$

गुणांक $q_{\ell m}$ मल्टीपोल क्षणों के रूप में जाना जाता है, और रूप लेते हैं:

$q_{\ell m}=\int (r')^{\ell }\,\rho (\mathbf {r'} )\,Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\,d^{3}r'$

कहाँ $\mathbf {r} '$ गोलाकार निर्देशांक में व्यक्त किया गया $\left(r',\varphi ',\theta '\right)$ एकीकरण का एक चर है. मल्टीपोल विस्तार या गोलाकार मल्टीपोल क्षणों का वर्णन करने वाले पृष्ठों में अधिक संपूर्ण उपचार पाया जा सकता है। (नोट: उपरोक्त समीकरणों में परिपाटी जैक्सन से ली गई थी - संदर्भित पृष्ठों में प्रयुक्त परंपराएँ थोड़ी भिन्न हो सकती हैं।)

कब $\rho$ विद्युत आवेश घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है, $q_{lm}$ एक अर्थ में, विद्युत आवेश के क्षणों के प्रक्षेपण हैं: $q_{00}$ मोनोपोल क्षण है; $q_{1m}$ द्विध्रुवीय क्षण के प्रक्षेपण हैं $q_{2m}$ चतुर्भुज क्षण आदि के प्रक्षेपण हैं।

बहुध्रुव क्षणों के अनुप्रयोग

मल्टीपोल विस्तार 1/r अदिश क्षमता पर लागू होता है, जिसके उदाहरणों में विद्युत क्षमता और गुरुत्वाकर्षण क्षमता शामिल हैं। इन संभावनाओं के लिए, अभिव्यक्ति का उपयोग पहले कुछ क्षणों की गणना करके आवेशों (या द्रव्यमान) के स्थानीय वितरण द्वारा उत्पन्न क्षेत्र की ताकत का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। पर्याप्त रूप से बड़े आर के लिए, केवल मोनोपोल और द्विध्रुव क्षणों से एक उचित अनुमान प्राप्त किया जा सकता है। उच्च क्रम के क्षणों की गणना करके उच्च निष्ठा प्राप्त की जा सकती है। तकनीक के विस्तार का उपयोग गोलाकार बहुध्रुवीय क्षणों#गोलाकार बहुध्रुवों और अंतर-आणविक बलों की अंतःक्रिया ऊर्जाओं के लिए किया जा सकता है।

इस तकनीक का उपयोग किसी अज्ञात वितरण के गुणों को निर्धारित करने के लिए भी किया जा सकता है $\rho$. मल्टीपोल क्षणों से संबंधित माप लिया जा सकता है और अंतर्निहित वितरण के गुणों का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जा सकता है। यह तकनीक अणुओं जैसी छोटी वस्तुओं पर लागू होती है, लेकिन इसे ब्रह्माण्ड पर भी लागू किया गया है, उदाहरण के लिए, ब्रह्मांडीय माइक्रोवेव पृष्ठभूमि विकिरण का विश्लेषण करने के लिए WMAP और प्लैंक (अंतरिक्ष यान) प्रयोगों द्वारा नियोजित तकनीक।

इतिहास

संतुलन में एक लीवर

माना जाता है कि प्राचीन ग्रीस से उत्पन्न कार्यों में, एक क्षण की अवधारणा को शब्द wikt:ῥοπή|ῥοπή (rhopḗ, lit. झुकाव ) और मिश्रित जैसे wikt:ἰσορροπα|ἰσορροπα (आइसोरोपा, lit. समान झुकाव वाले ). इन कार्यों का संदर्भ उत्तोलक से जुड़ी यांत्रिकी और ज्यामिति है। विशेष रूप से, आर्किमिडीज़ के मौजूदा कार्यों में, इस क्षण को वाक्यांशों में इंगित किया गया है:

अनुरूपता (गणित) परिमाण (σύμμετρα μεγέθεα) [ए और बी] समान रूप से संतुलित हैं (ἰσορροπέοντι) यदि उनकी दूरियां [केंद्र Γ से, अर्थात, ΑΓ और ΓΒ] आनुपातिकता (गणित)#व्युत्क्रम आनुपातिकता (ἀντιπεπονθότως) उनके वजन के लिए (βάρεσιν).

इसके अलावा, यांत्रिक प्रमेय की विधि जैसे मौजूदा ग्रंथों में, ज्यामितीय आकृतियों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र, क्षेत्र और आयतन का अनुमान लगाने के लिए क्षणों का उपयोग किया जाता है।

1269 में, मोरबेके के विलियम ने आर्किमिडीज़ और एस्केलोन के यूटोसियस के विभिन्न कार्यों का लैटिन में अनुवाद किया। शब्द ῥοπή का रोपन में लिप्यंतरण है।

1450 के आसपास, सैन कैसियानो के जैकब ने समान ग्रंथों में ῥοπή का लैटिन शब्द मोमेंटम में अनुवाद किया (lit. आंदोलन). यही शब्द जॉर्ज वल्ला द्वारा 1501 के अनुवाद में रखा गया है, और उसके बाद फ्रांसिस मौरोलिको, फेडरिको कमांडिनो , गाइडोबाल्डो डेल मोंटे, एड्रियन वैन रूमेन, फ्लोरेंस रिवॉल्ट, फ्रांसेस्को बुओनामिसी (दार्शनिक), मैरिन मेरसेन द्वारा किया गया है।, और गैलीलियो गैलीली। उन्होंने कहा, अनुवाद के लिए संवेग शब्द क्यों चुना गया? ट्रेकानी के अनुसार, एक सुराग यह है कि मध्यकालीन इटली में मोमेंटो, जहां प्रारंभिक अनुवादक रहते थे, स्थानांतरित अर्थ में समय का एक क्षण और वजन का एक क्षण (वजन की एक छोटी मात्रा जो स्टीलयार्ड संतुलन को बदल देती है) दोनों का मतलब था।

1554 में, फ्रांसेस्को मौरोलिको ने प्रोलोगी सिव सर्मोन्स नामक कृति में लैटिन शब्द मोमेंटम को स्पष्ट किया। यहां मार्शल क्लैगेट द्वारा दिया गया लैटिन से अंग्रेजी अनुवाद है:

<ब्लॉककोट>

[...] असमान दूरी पर समान वजन समान रूप से नहीं होता है, लेकिन असमान वजन [इन असमान दूरी पर] समान रूप से वजन कर सकता है। अधिक दूरी पर लटकाया गया वजन भारी होता है, जैसा कि स्टीलयार्ड संतुलन में स्पष्ट है। इसलिए, एक निश्चित तीसरी प्रकार की शक्ति या परिमाण का तीसरा अंतर मौजूद है - जो शरीर और वजन दोनों से भिन्न होता है - और इसे वे क्षण कहते हैं। इसलिए, एक पिंड मात्रा [यानी, आकार] और गुणवत्ता [यानी, सामग्री] दोनों से वजन प्राप्त करता है, लेकिन एक वजन उस दूरी से अपना क्षण प्राप्त करता है जिस पर वह निलंबित है। इसलिए, जब दूरियां वजन के पारस्परिक रूप से आनुपातिक होती हैं, तो [वजन के] क्षण बराबर होते हैं, जैसा कि आर्किमिडीज ने विमानों के संतुलन पर में प्रदर्शित किया था। इसलिए, वजन या [बल्कि] क्षण अन्य निरंतर मात्राओं की तरह, कुछ सामान्य टर्मिनस पर जुड़े होते हैं, यानी, वजन के केंद्र की तरह, या संतुलन के बिंदु पर दोनों के लिए कुछ सामान्य होता है। अब किसी भी भार में गुरुत्वाकर्षण का केंद्र वह बिंदु होता है, जो चाहे कितनी भी बार या जब भी शरीर को निलंबित किया जाता है, हमेशा सार्वभौमिक केंद्र की ओर लंबवत झुकता है।

शरीर, भार और क्षण के अतिरिक्त एक निश्चित चौथी शक्ति भी होती है, जिसे प्रेरणा या बल कहा जा सकता है। अरस्तू ने ऑन मैकेनिकल क्वेश्चंस में इसकी जांच की है, और यह उपरोक्त तीन [शक्तियों या परिमाणों] से पूरी तरह से अलग है। [...] </ब्लॉककोट>

1586 में, साइमन स्टीवन ने बेघिन्सलेन द वेटकॉन्स्ट में गति के लिए डच भाषा शब्द स्टाल्टविच (पार्क्ड वेट) का उपयोग किया।

1632 में, गैलीलियो गैलीली ने दो प्रमुख विश्व प्रणालियों के संबंध में संवाद प्रकाशित किया और अपने पूर्ववर्तियों सहित कई अर्थों के साथ इतालवी भाषा के मोमेंटो का उपयोग किया। 1643 में, थॉमस सैलसबरी ने गैलीली की कुछ कृतियों का अंग्रेजी भाषा में अनुवाद किया। सैलसबरी लैटिन मोमेंटम और इटालियन मोमेंटो का अंग्रेजी शब्द मोमेंट में अनुवाद करता है।

1765 में, लैटिन शब्द मोमेंटम इनर्टिया (अंग्रेजी भाषा: मोमेंट ऑफ इनर्टिया) का उपयोग लियोनहार्ड यूलर द्वारा दोलन करती हुई घड़ी में क्रिस्टियान ह्यूजेन्स की मात्राओं में से एक को संदर्भित करने के लिए किया गया था। ह्यूजेंस के 1673 के काम में दोलन के केंद्र की खोज को मैरिन मेर्सन द्वारा प्रेरित किया गया था, जिन्होंने 1646 में उन्हें इसका सुझाव दिया था। 1811 में, एक बिंदु और तल के संबंध में फ्रांसीसी शब्द मोमेंट डी'यून फ़ोर्स (अंग्रेजी भाषा: मोमेंट ऑफ़ फ़ोर्स) का उपयोग सिमोन डेनिस पॉइसन द्वारा ट्रैटे डे मेकैनिक में किया गया है। एक अंग्रेजी अनुवाद 1842 में सामने आया।

1884 में, जेम्स थॉमसन (इंजीनियर) द्वारा मशीनों (प्रोपेलर और रोटर (इलेक्ट्रिक) के साथ) के घूर्णी बलों को मापने के संदर्भ में टॉर्क शब्द का सुझाव दिया गया था। आजकल मशीनों के टॉर्क को मापने के लिए शक्ति नापने का यंत्र का उपयोग किया जाता है।

1893 में, कार्ल पियर्सन ने n-वें क्षण और शब्द का उपयोग किया $\mu _{n}$ वक्र फिटिंग|वक्र-फिटिंग वैज्ञानिक माप के संदर्भ में। पियर्सन ने जॉन वेन के जवाब में लिखा, जिन्होंने कुछ साल पहले, मौसम विज्ञान डेटा से जुड़े एक अजीब पैटर्न को देखा था और इसके कारण का स्पष्टीकरण मांगा था। पियर्सन की प्रतिक्रिया में, इस सादृश्य का उपयोग किया जाता है: गुरुत्वाकर्षण का यांत्रिक केंद्र माध्य है और दूरी माध्य से विचलन (सांख्यिकी) है। यह बाद में मोमेंट (गणित) में विकसित हुआ। एक क्षण की यांत्रिक अवधारणा और इसके योग को शामिल करने वाले सांख्यिकी फ़ंक्शन के बीच सादृश्य {{math|n}विचलन की शक्तियों को पहले कई लोगों ने देखा था, जिनमें पियरे-साइमन लाप्लास, क्रिश्चियन क्रैम्प, कार्ल फ्रेडरिक गॉस, जोहान फ्रांज एनके, इमानुएल कज़ुबेर, एडोल्फ क्वेटलेट और एरास्टस एल. डी फॉरेस्ट शामिल थे।

यह भी देखें

• टोक़ (या बल का क्षण), लेख युगल (यांत्रिकी) भी देखें
• क्षण (गणित)
• यांत्रिक संतुलन, तब लागू होता है जब किसी वस्तु को संतुलित किया जाता है ताकि एक धुरी के बारे में दक्षिणावर्त क्षणों का योग उसी धुरी के बारे में वामावर्त क्षणों के योग के बराबर हो
• निष्क्रियता के पल $\left(I=\Sigma mr^{2}\right)$, घूर्णी गति की चर्चा में द्रव्यमान के अनुरूप। यह किसी वस्तु की घूर्णन दर में परिवर्तन के प्रतिरोध का माप है
• कोनेदार गति $(\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} )$, रैखिक गति का घूर्णी एनालॉग।
• चुंबकीय पल $\left(\mathbf {\mu } =I\mathbf {A} \right)$, एक चुंबकीय स्रोत की शक्ति और दिशा को मापने वाला द्विध्रुवीय क्षण।
• विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण, एक द्विध्रुव आघूर्ण जो दो या दो से अधिक आवेशों के बीच आवेश अंतर और दिशा को मापता है। उदाहरण के लिए, -q आवेश और 'd' की दूरी से अलग किए गए q के बीच विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण है $(\mathbf {p} =q\mathbf {d} )$
• झुकने का क्षण, वह क्षण जिसके परिणामस्वरूप कोई संरचनात्मक तत्व झुकता है
• क्षेत्रफल का पहला क्षण, किसी वस्तु का गुण उसके कतरनी तनाव के प्रतिरोध से संबंधित है
• क्षेत्र का दूसरा क्षण, किसी वस्तु का एक गुण जो उसके झुकने और विक्षेपण के प्रतिरोध से संबंधित है
• ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण, किसी वस्तु का वह गुण जो उसके मरोड़ के प्रतिरोध से संबंधित होता है
• छवि क्षण, छवि के सांख्यिकीय गुण
• भूकंपीय क्षण, भूकंप के आकार को मापने के लिए उपयोग की जाने वाली मात्रा
• व्लासोव समीकरण#क्षण समीकरण, घनत्व, वेग और दबाव के संदर्भ में प्लाज्मा का द्रव विवरण
• जड़ता के क्षेत्र क्षणों की सूची
• जड़ता के क्षणों की सूची
• मल्टीपोल विस्तार
• गोलाकार बहुध्रुव क्षण

बाहरी संबंध

• Media related to Moment (physics) at Wikimedia Commons
• [1] A dictionary definition of moment.