ट्राइकोटॉमी का नियम

गणित में, ट्राइकोटॉमी का नियम कहता है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या या तो धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य होती है। अधिक आम तौर पर, एक सेट (गणित) X पर एक द्विआधारी संबंध R 'ट्राइकोटोमस' है यदि X में सभी x और y के लिए, xRy, yRx और x में से एक ={{Hair space}वाई रखती है। R को <के रूप में लिखने पर, इसे औपचारिक तर्क में इस प्रकार बताया गया है:

$\forall x\in X\,\forall y\in X\,([x<y\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,y<x\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,x=y])\,.$

गुण

• एक संबंध त्रिविभाजित है यदि, और केवल यदि, यह असममित संबंध और संबद्ध संबंध है।
• यदि एक त्रिगुणात्मक संबंध भी सकर्मक है, तो यह कुल क्रम#सख्त कुल क्रम है; यह सख्त कमजोर क्रम का एक विशेष मामला है।

उदाहरण

• समुच्चय X = {a,b,c} पर, संबंध R = {(a,b), (a,c), (b,c) } सकर्मक और त्रिगुणात्मक है, और इसलिए एक सख्त कुल क्रम है।
• एक ही सेट पर, चक्रीय संबंध R = { (a,b), (b,c), (c,a) } ट्राइकोटोमस है, लेकिन सकर्मक नहीं है; यह संक्रमणरोधी भी है।

संख्याओं पर त्रिकोटॉमी

संख्याओं के कुछ सेट X पर ट्राइकोटॉमी का नियम आमतौर पर अभिव्यक्त करता है कि X पर कुछ गुप्त रूप से दिया गया ऑर्डरिंग संबंध एक ट्राइकोटोमस है। एक उदाहरण कानून है मनमाना वास्तविक संख्या x और y के लिए, x < y, y < x, या x = y में से कोई एक लागू होता है; कुछ लेखक y को शून्य भी तय करते हैं,वास्तविक संख्या के योज्य रैखिक रूप से आदेशित समूह संरचना पर निर्भर। उत्तरार्द्ध एक समूह (गणित) है जो एक ट्राइकोटोमस ऑर्डर से लैस है।

शास्त्रीय तर्क में, ट्राइकोटॉमी का यह स्वयंसिद्ध वास्तविक संख्याओं के बीच सामान्य तुलना के लिए है और इसलिए पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं के बीच तुलना के लिए भी है। कानून सामान्य रूप से अंतर्ज्ञानवादी तर्क में नहीं है।

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी और वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी में, ट्राइकोटॉमी का नियम पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना भी सुव्यवस्थित सेटों की कार्डिनल संख्या के बीच होता है। यदि पसंद का स्वयंसिद्ध धारण करता है, तो ट्राइकोटॉमी मनमाने बुनियादी संख्या ों के बीच होता है (क्योंकि वे सुव्यवस्थित प्रमेय हैं। उस मामले में सभी सुव्यवस्थित हैं)।

यह भी देखें

• शब्द लेखन में ट्राइकोटॉमी के नियम का प्रारंभिक सूत्रीकरण होता है
• द्विभाजन
• [[गैर-विरोधाभास का कानून]]
• बहिष्कृत मध्य का कानून
• तीन तरह की तुलना