Difference between revisions of "मानक बोरेल स्थान"

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गणित में मानक बोरेल स्थान एक पोलिश स्थान से जुड़ा हुआ बोरेल स्थान हैं। असतत पोलिश स्थान के डिस्काउन्टिंग बोरेल रिक्त स्थान, मापने योग्य स्थान के समरूपता वक्र केवल एक मानक बोरेल रिक्त स्थान है।

औपचारिक परिभाषा

यदि कोई मीट्रिक (गणित) $X$ उपस्थित है। जिससे उसे मानक बोरेल मापने योग्य स्थान $(X,\Sigma )$ कहा जाता है। जो इसे इस प्रकार से एक पूर्ण मीट्रिक स्थान वियोज्य स्पेस मीट्रिक स्पेस बनाता है। जिससे $\Sigma$ एक बोरेल σ-बीजगणित है।^[1]

मानक बोरेल रिक्त स्थान में कई उपयोगी विशेषताएं होती हैं। जो सामान्य औसत क्रमांक के स्थान के लिए नहीं होती हैं।

विशेषताएँं

यदि $(X,\Sigma )$ और $(Y,T)$ मानक बोरेल हैं। जिससे कोई विशेषण मापने योग्य मैपिंग $f:(X,\Sigma )\to (Y,\mathrm {T} )$ एक समरूपता है (अर्थात प्रतिलोम मानचित्रण भी मापने योग्य है)। यह विश्लेषणात्मक समुच्चय से प्राप्त किया जाता है। सूस्लिन की प्रमेय, एक समुच्चय के रूप में जो एनालिटिक समुच्चय और को-एनालिटिक दोनों होते है, जिससे अनिवार्य रूप से बोरेल हैं।
यदि $(X,\Sigma )$ और $(Y,T)$ मानक बोरेल स्थान हैं और $f:X\to Y$ , जिससे $f$ मापने योग्य है। यदि और केवल यदि किसी फलन का ग्राफ़ $f$ बोरेल है।
मानक बोरेल रिक्त स्थान के एक गणना करने योग्य फैमली का उत्पाद और प्रत्यक्ष संघ मानक है।
मानक बोरेल स्थान पर प्रत्येक पूर्ण माप संभाव्यता माप इसे एक मानक संभावना स्थान में पूर्णतयः परिवर्तित कर देता है।

कुराटोव्स्की का प्रमेय

प्रमेय- माना $X$ एक पोलिश रिक्त स्थान हो, अर्थात एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हो, जैसे कि एक मेट्रिक (गणित) $d$ पर $X$ हो, जो $X$ की टोपोलॉजी को परिभाषित करता है और वह $X$ को एक पूर्ण वियोज्य मीट्रिक स्थान का निर्माण करता है। जिससे $X$ बोरेल स्पेस के रूप में बोरेल समरूपता 1) $\mathbb {R} ,$ (2) $\mathbb {Z}$ या (3) एक परिमित असतत स्थान में से एक हैं। (यह परिणाम महराम की प्रमेय की पहचान कराता है।)

यह इस प्रकार है कि एक मानक बोरेल स्पेस को इसकी प्रमुखता से आइसोमोर्फिज्म तक की विशेषता है,^[2] और यह कि किसी भी अगणनीय मानक बोरेल स्थान में निरंतरता की प्रमुखता होती है।

मानक बोरेल रिक्त स्थान पर बोरेल समरूपता टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर होमोमोर्फिम्स के समान हैं। दोनों विशेषण हैं और संरचना के अनुसार विवृत हैं और एक होमियोमोर्फिज्म और इसके व्युत्क्रम दोनों निरंतरता (टोपोलॉजी) हैं, दोनों के अतिरिक्त केवल बोरेल औसत क्रम के रूप में हैं।

यह भी देखें

[[मापने योग्य रिक्त स्थान

|मापने योग्य रिक्त स्थान ]]- एक समुच्चय को सिग्मा-बीजगणित के साथ जोड़ने वाले युग्म का ऑडर दिया गया है। जिस पर माप को परिभाषित करना संभव होता है

संदर्भ

↑ Mackey, G.W. (1957): Borel structure in groups and their duals. Trans. Am. Math. Soc., 85, 134-165.
↑ Srivastava, S.M. (1991), A Course on Borel Sets, Springer Verlag, ISBN 0-387-98412-7

[1] Mackey, G.W. (1957): Borel structure in groups and their duals. Trans. Am. Math. Soc., 85, 134-165.

[2] Srivastava, S.M. (1991), A Course on Borel Sets, Springer Verlag, ISBN 0-387-98412-7

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-{{Short description|Mathematical construction in topology}}
+गणित में '''मानक बोरेल स्थान''' एक [[पोलिश स्थान]] से जुड़ा हुआ बोरेल स्थान हैं।[[ असतत स्थान | असतत]] पोलिश स्थान के डिस्काउन्टिंग बोरेल रिक्त स्थान, [[मापने योग्य स्थान]] के समरूपता वक्र केवल एक '''मानक बोरेल रिक्त स्थान''' है।
-गणित में, एक मानक बोरेल स्थान बोरेल सेट#मानक बोरेल रिक्त स्थान और [[पोलिश स्थान]] से जुड़े कुराटोस्की प्रमेय हैं। [[ असतत स्थान ]] पोलिश स्पेस के [[मापने योग्य स्थान]] को छूट देते हुए, मापने योग्य स्पेस के [[ समाकृतिकता ]] तक, केवल एक मानक बोरेल स्पेस है।
+== औपचारिक परिभाषा ==
-== औपचारिक परिभाषा ==
+यदि कोई [[मीट्रिक (गणित)]] <math>X</math> उपस्थित है। जिससे उसे मानक बोरेल मापने योग्य स्थान <math>(X, \Sigma)</math> कहा जाता है। जो इसे इस प्रकार से एक [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] वियोज्य स्पेस मीट्रिक स्पेस बनाता है। जिससे <math>\Sigma</math> एक बोरेल σ-बीजगणित है।<ref>Mackey, G.W. (1957): Borel structure in groups and their duals. [[Trans. Am. Math. Soc.]], 85, 134-165.</ref>
-मापने योग्य स्थान <math>(X, \Sigma)</math> यदि कोई [[मीट्रिक (गणित)]] मौजूद है तो उसे मानक बोरेल कहा जाता है <math>X</math> जो इसे इस तरह से एक [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] वियोज्य स्पेस मीट्रिक स्पेस बनाता है <math>\Sigma</math> तो बोरेल σ-बीजगणित है।<ref>Mackey, G.W. (1957): Borel structure in groups and their duals. [[Trans. Am. Math. Soc.]], 85, 134-165.</ref>
+मानक बोरेल रिक्त स्थान में कई उपयोगी विशेषताएं होती हैं। जो सामान्य औसत क्रमांक के स्थान के लिए नहीं होती हैं।
-मानक बोरेल रिक्त स्थान में कई उपयोगी गुण होते हैं जो सामान्य औसत दर्जे के स्थान के लिए नहीं होते हैं।
-== गुण ==
+== विशेषताएँं ==
-* अगर <math>(X, \Sigma)</math> और <math>(Y, T)</math> मानक बोरेल हैं तो कोई विशेषण [[मापने योग्य कार्य]] <math>f : (X, \Sigma) \to (Y, \Tau)</math> एक समरूपता है (अर्थात, प्रतिलोम मानचित्रण भी मापने योग्य है)। यह [[ विश्लेषणात्मक सेट ]] से आता है। सूस्लिन की प्रमेय, एक सेट के रूप में जो एनालिटिक सेट और [[coanalytic]] दोनों है, अनिवार्य रूप से बोरेल है।
+* यदि <math>(X, \Sigma)</math> और <math>(Y, T)</math> मानक बोरेल हैं। जिससे कोई विशेषण [[मापने योग्य कार्य|मापने योग्य मैपिंग]] <math>f : (X, \Sigma) \to (Y, \Tau)</math> एक समरूपता है (अर्थात प्रतिलोम मानचित्रण भी मापने योग्य है)। यह[[ विश्लेषणात्मक सेट | विश्लेषणात्मक समुच्चय]] से प्राप्त किया जाता है। सूस्लिन की प्रमेय, एक समुच्चय के रूप में जो एनालिटिक समुच्चय और [[coanalytic|को-एनालिटिक]] दोनों होते है, जिससे अनिवार्य रूप से बोरेल हैं।
-* अगर <math>(X, \Sigma)</math> और <math>(Y, T)</math> मानक बोरेल स्थान हैं और <math>f : X \to Y</math> तब <math>f</math> मापने योग्य है अगर और केवल अगर किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ <math>f</math> बोरेल है।
+* यदि <math>(X, \Sigma)</math> और <math>(Y, T)</math> मानक बोरेल स्थान हैं और <math>f : X \to Y</math>, जिससे <math>f</math> मापने योग्य है। यदि और केवल यदि किसी फलन का ग्राफ़ <math>f</math> बोरेल है।
-* मानक बोरेल रिक्त स्थान के एक [[गणनीय]] परिवार का उत्पाद और प्रत्यक्ष मिलन मानक है।
+* मानक बोरेल रिक्त स्थान के एक [[गणनीय|गणना करने योग्य]] फैमली का उत्पाद और प्रत्यक्ष संघ मानक है।
-* एक मानक बोरेल स्थान पर प्रत्येक पूर्ण माप [[संभाव्यता माप]] इसे एक मानक संभावना स्थान में बदल देता है।
+* मानक बोरेल स्थान पर प्रत्येक पूर्ण माप [[संभाव्यता माप]] इसे एक मानक संभावना स्थान में पूर्णतयः परिवर्तित कर देता है।
 == कुराटोव्स्की का प्रमेय ==
-प्रमेय। होने देना <math>X</math> एक पोलिश स्पेस हो, यानी एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] हो जैसे कि एक मेट्रिक (गणित) हो <math>d</math> पर <math>X</math> की टोपोलॉजी को परिभाषित करता है <math>X</math> और वह बनाता है <math>X</math> एक पूर्ण वियोज्य मीट्रिक स्थान। तब <math>X</math> बोरेल स्पेस के रूप में [[ बोरेल समरूपता ]] में से एक है
+प्रमेय- माना <math>X</math> एक पोलिश रिक्त स्थान हो, अर्थात एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान]] हो, जैसे कि एक मेट्रिक (गणित) <math>d</math> पर <math>X</math> हो, जो <math>X</math> की टोपोलॉजी को परिभाषित करता है और वह <math>X</math> को एक पूर्ण वियोज्य मीट्रिक स्थान का निर्माण करता है। जिससे <math>X</math> बोरेल स्पेस के रूप में [[ बोरेल समरूपता |बोरेल समरूपता]] 1) <math>\R,</math> (2) <math>\Z</math> या (3) एक परिमित असतत स्थान में से एक हैं। (यह परिणाम महराम की प्रमेय की पहचान कराता है।)
-(1) <math>\R,</math> (2) <math>\Z</math> या (3) एक परिमित असतत स्थान। (यह परिणाम महरम के प्रमेय की याद दिलाता है।)
-यह इस प्रकार है कि एक मानक बोरेल स्पेस को इसकी [[प्रमुखता]] से आइसोमोर्फिज्म तक की विशेषता है,<ref>{{citation | last=Srivastava| first=S.M. | title=A Course on Borel Sets |  year=1991 | publisher=[[Springer Verlag]] | isbn=0-387-98412-7}}</ref> और यह कि किसी भी बेशुमार मानक बोरेल स्थान में [[सातत्य की प्रमुखता]] होती है।
+यह इस प्रकार है कि एक मानक बोरेल स्पेस को इसकी [[प्रमुखता]] से आइसोमोर्फिज्म तक की विशेषता है,<ref>{{citation | last=Srivastava| first=S.M. | title=A Course on Borel Sets |  year=1991 | publisher=[[Springer Verlag]] | isbn=0-387-98412-7}}</ref> और यह कि किसी भी अगणनीय मानक बोरेल स्थान में [[सातत्य की प्रमुखता|निरंतरता की प्रमुखता]] होती है।
-मानक बोरेल रिक्त स्थान पर बोरेल समरूपता टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर होमोमोर्फिम्स के समान हैं: दोनों विशेषण हैं और संरचना के तहत बंद हैं, और एक [[होमियोमोर्फिज्म]] और इसके व्युत्क्रम दोनों [[निरंतरता (टोपोलॉजी)]] हैं, दोनों के बजाय केवल बोरेल औसत दर्जे का है।
+मानक बोरेल रिक्त स्थान पर बोरेल समरूपता टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर होमोमोर्फिम्स के समान हैं। दोनों विशेषण हैं और संरचना के अनुसार विवृत हैं और एक [[होमियोमोर्फिज्म]] और इसके व्युत्क्रम दोनों [[निरंतरता (टोपोलॉजी)]] हैं, दोनों के अतिरिक्त केवल बोरेल औसत क्रम के रूप में हैं।
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|Measurable space}}
+* {{annotated link|मापने योग्य रिक्त स्थान
+}}- एक समुच्चय को सिग्मा-बीजगणित के साथ जोड़ने वाले युग्म का ऑडर दिया गया है। जिस पर माप को परिभाषित करना संभव होता है
 ==संदर्भ==
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 [[Category:Created On 25/05/2023]]
+[[Category:Vigyan Ready]]

v t e Measure theory
Basic concepts	Absolute continuity Lebesgue integration L^p spaces Measure Measure space Probability space Measurable space/function
Sets	Almost everywhere Baire set Borel set Carathéodory's criterion Convergence in measure 𝜆-system Essential range infimum/supremum Locally measurable [[Pi-system\| $π$ -system]] σ-algebra Non-measurable set Vitali set Null set Support Transverse measure
Types of Measures	Baire Banach Besov Borel Complex Complete Content (Logarithmically) Convex Discrete Finite Inner (Quasi-) Invariant Locally finite Maximising Metric outer Outer Perfect Pre-measure (Sub-) Probability Projection-valued Radon Random Regular Borel regular Inner regular Outer regular Saturated Set function σ-finite s-finite Signed Singular Spectral Strictly positive Tight Vector
Particular measures	Counting Dirac Euler Gaussian Haar Harmonic Hausdorff Intensity Lebesgue Logarithmic Product Pushforward Spherical measure Tangent Trivial Young
Main results	Carathéodory's extension theorem Convergence theorems Dominated Monotone Vitali Decomposition theorems Hahn Jordan Maharam's Egorov's Fatou's lemma Fubini's Fubini–Tonelli Hölder's inequality Minkowski inequality Radon–Nikodym Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
Other results	Disintegration theorem Lifting theory Lebesgue's density theorem Lebesgue differentiation theorem Sard's theorem
Applications & related	Probability theory Real analysis Spectral theory