विचार का नियम

This article is about axiomatic rules due to various logicians and philosophers. For Boole's book on logic, see The Laws of Thought.

विचार के नियम मौलिक स्वयंसिद्ध नियम हैं जिन पर तर्कसंगत प्रवचन को अक्सर आधारित माना जाता है। ऐसे नियमों के निर्माण और स्पष्टीकरण की दर्शन और तर्कशास्त्र के इतिहास में एक लंबी परंपरा रही है। आम तौर पर उन्हें ऐसे कानूनों के रूप में लिया जाता है जो हर किसी की सोच, विचारों, अभिव्यक्तियों, चर्चाओं आदि को निर्देशित और रेखांकित करते हैं। हालांकि, ऐसे शास्त्रीय विचारों पर हाल के विकासों में अक्सर सवाल उठाया जाता है या खारिज कर दिया जाता है, जैसे कि अंतर्ज्ञानवादी तर्क, द्वंद्ववाद और अस्पष्ट तर्क।

1999 कैम्ब्रिज डिक्शनरी ऑफ फिलॉसफी के अनुसार, विचार के नियम वे कानून हैं जिनके द्वारा या जिनके अनुसार वैध विचार आगे बढ़ता है, या जो वैध निष्कर्ष को उचित ठहराते हैं, या जिनके लिए सभी वैध कटौती कम की जा सकती है। विचार के नियम ऐसे नियम हैं जो विचार आदि के किसी भी विषय पर बिना किसी अपवाद के लागू होते हैं; कभी-कभी उन्हें तर्क की वस्तु कहा जाता है. यह शब्द, शायद ही कभी अलग-अलग लेखकों द्वारा एक ही अर्थ में उपयोग किया जाता है, लंबे समय से तीन समान रूप से अस्पष्ट अभिव्यक्तियों से जुड़ा हुआ है: पहचान का कानून (आईडी), विरोधाभास का कानून (या गैर-विरोधाभास; एनसी), और बहिष्कृत का कानून मध्य (ईएम)। कभी-कभी, इन तीन अभिव्यक्तियों को व्यापक संभव विषय वस्तु वाले औपचारिक ऑन्कोलॉजी के प्रस्तावों के रूप में लिया जाता है, ऐसे प्रस्ताव जो संस्थाओं पर इस तरह लागू होते हैं: (आईडी), सब कुछ अपने आप में है (यानी, समान है); (एनसी) दी गई गुणवत्ता वाली किसी भी चीज़ में उस गुणवत्ता का नकारात्मक भी नहीं होता है (उदाहरण के लिए, कोई भी सम संख्या गैर-सम नहीं होती है); (ईएम) प्रत्येक वस्तु में या तो एक निश्चित गुणवत्ता होती है या उस गुणवत्ता का नकारात्मक गुण होता है (उदाहरण के लिए, प्रत्येक संख्या या तो सम या गैर-सम होती है)। प्रस्तावों के बारे में धातु विज्ञान के सिद्धांतों के लिए इन अभिव्यक्तियों का उपयोग पुराने कार्यों में समान रूप से आम है: (आईडी) प्रत्येक प्रस्ताव स्वयं का तात्पर्य करता है; (एनसी) कोई भी प्रस्ताव सत्य और असत्य दोनों नहीं है; (ईएम) प्रत्येक प्रस्ताव या तो सत्य है या गलत।

1800 के दशक के मध्य से शुरू होकर, इन अभिव्यक्तियों का उपयोग कक्षाओं के बारे में बूलियन बीजगणित के प्रस्तावों को दर्शाने के लिए किया गया है: (आईडी) प्रत्येक वर्ग में स्वयं शामिल है; (एनसी) प्रत्येक वर्ग ऐसा है कि उसका प्रतिच्छेदन (उत्पाद) अपने स्वयं के पूरक के साथ शून्य वर्ग है; (ईएम) प्रत्येक वर्ग ऐसा है कि उसका अपने पूरक के साथ मिलन (योग) सार्वभौमिक वर्ग है। हाल ही में, तीन में से अंतिम दो अभिव्यक्तियों का उपयोग शास्त्रीय प्रस्ताव तर्क और तथाकथित प्रोटोथेटिक या परिमाणित प्रस्ताव तर्क के संबंध में किया गया है; दोनों ही मामलों में गैर-विरोधाभास के नियम में किसी चीज़ के संयोजन (और) को उसके स्वयं के निषेध, ¬(A∧¬A) के साथ नकारना शामिल है, और बहिष्कृत मध्य के कानून में किसी चीज़ के अपने स्वयं के निषेध (या) को शामिल करना शामिल है। निषेध, A∨¬A. प्रस्तावात्मक तर्क के मामले में, कुछ एक योजनाबद्ध पत्र है जो एक स्थान-धारक के रूप में कार्य करता है, जबकि प्रोटोथेटिक तर्क के मामले में कुछ एक वास्तविक चर है। गैर-विरोधाभास के नियम और बहिष्कृत मध्य के कानून की अभिव्यक्ति का उपयोग वाक्यों और व्याख्याओं से संबंधित मॉडल सिद्धांत के शब्दार्थ सिद्धांतों के लिए भी किया जाता है: (एनसी) किसी भी व्याख्या के तहत एक दिया गया वाक्य सही और गलत दोनों है, (ईएम) किसी भी व्याख्या के तहत, एक दिया गया वाक्य या तो सत्य है या असत्य।

उपरोक्त सभी भावों का प्रयोग अन्य कई प्रकार से किया गया है। कई अन्य प्रस्तावों का भी विचार के नियमों के रूप में उल्लेख किया गया है, जिनमें अरस्तू के लिए जिम्मेदार तानाशाही डी ओमनी एट नलो, यूक्लिड के लिए जिम्मेदार समान (या बराबर) की प्रतिस्थापनता, गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़ के लिए जिम्मेदार अविवेकी की तथाकथित पहचान, और अन्य शामिल हैं। तार्किक सत्य.

बूले (1815-64) द्वारा अपने तर्क के बीजगणित के प्रमेयों को निरूपित करने के लिए विचार के अभिव्यक्ति नियमों को इसके उपयोग के माध्यम से अतिरिक्त प्रमुखता मिली; वास्तव में, उन्होंने अपनी दूसरी तर्क पुस्तक का नाम एन इन्वेस्टिगेशन ऑफ द लॉज़ ऑफ थॉट ऑन व्हिच आर फाउंडेड द मैथमैटिकल थ्योरीज़ ऑफ लॉजिक एंड प्रोबेबिलिटीज़ (1854) रखा। आधुनिक तर्कशास्त्री, बूले से लगभग एकमत असहमति में, इस अभिव्यक्ति को एक मिथ्या नाम मानते हैं; विचार के नियमों के तहत वर्गीकृत उपरोक्त प्रस्तावों में से कोई भी स्पष्ट रूप से विचार के बारे में नहीं है, मनोविज्ञान द्वारा अध्ययन की गई एक मानसिक घटना है, न ही उनमें किसी विचारक या ज्ञाता का स्पष्ट संदर्भ शामिल है जैसा कि व्यावहारिक या ज्ञानमीमांसा में मामला होगा। मनोविज्ञान (मानसिक घटनाओं के अध्ययन के रूप में) और तर्क (वैध अनुमान के अध्ययन के रूप में) के बीच अंतर व्यापक रूप से स्वीकार किया जाता है।

तीन पारंपरिक कानून

इतिहास

सर विलियम हैमिल्टन, 9वें बैरोनेट तीन पारंपरिक कानूनों का इतिहास प्रस्तुत करते हैं जो प्लेटो से शुरू होता है, अरस्तू के माध्यम से आगे बढ़ता है, और मध्य युग के शैक्षिक तर्क के साथ समाप्त होता है; इसके अलावा वह एक चौथा कानून पेश करता है (हैमिल्टन के तहत नीचे प्रविष्टि देखें):

विरोधाभास और बहिष्कृत मध्य के सिद्धांतों का पता प्लेटो से लगाया जा सकता है: विरोधाभास और बहिष्कृत मध्य के सिद्धांत दोनों का पता प्लेटो से लगाया जा सकता है, जिनके द्वारा इन्हें प्रतिपादित किया गया था और अक्सर लागू किया गया था; हालाँकि ऐसा बहुत समय बाद नहीं हुआ, कि उनमें से किसी को भी एक विशिष्ट पदवी प्राप्त हुई। सबसे पहले विरोधाभास के सिद्धांत को लें। प्लेटो अक्सर इस कानून का प्रयोग करता है, लेकिन सबसे उल्लेखनीय अंश फ़ोडो, सोफ़िस्टा और रिपब्लिक की चौथी और सातवीं पुस्तकों में पाए जाते हैं। [हैमिल्टन लेक्ट। वी. तर्क. 62]

बहिष्कृत मध्य का नियम: दो विरोधाभासों के बीच बहिष्कृत मध्य का नियम, जैसा कि मैंने कहा है, प्लेटो पर भी लागू होता है, हालांकि दूसरा एल्सीबीएड्स, जिस संवाद में यह सबसे स्पष्ट रूप से व्यक्त किया गया है, उसे नकली माना जाना चाहिए। यह स्यूडो-आर्किटास के टुकड़ों में भी है, जो स्टोबियस|स्टोबियस में पाया जाता है। [हैमिल्टन लेक्ट। वी. तर्क. 65]

हैमिल्टन ने आगे देखा कि इसे अरस्तू ने अपने मेटाफिजिक्स (एल. iii. (iv.) सी.7.) और अपने एनालिटिक्स, प्रायर (एल. आई. सी. 2) और पोस्टीरियर (1) दोनों के कई अंशों में स्पष्ट और सशक्त रूप से प्रतिपादित किया है। आई. सी. 4). इनमें से पहले में, वह कहते हैं: यह असंभव है कि विरोधाभासी विरोधाभासों के बीच कोई माध्यम मौजूद हो, लेकिन हर चीज की पुष्टि करना या उसका खंडन करना आवश्यक है। [हैमिल्टन लेक्ट। वी. तर्क. 65]

पहचान का कानून. [हैमिल्टन इसे सभी तार्किक पुष्टि और परिभाषा का सिद्धांत भी कहते हैं] एंटोनियस एंड्रियास: पहचान का नियम, मैंने कहा, तुलनात्मक रूप से हाल की अवधि तक एक समन्वय सिद्धांत के रूप में व्याख्या नहीं की गई थी। सबसे पहला लेखक जिसमें मैंने ऐसा पाया है, वह स्कॉटस के विद्वान एंटोनियस एंड्रियास हैं, जो तेरहवीं सदी के अंत और चौदहवीं सदी की शुरुआत में फले-फूले। स्कूलमैन, अरस्तू के तत्वमीमांसा की अपनी टिप्पणी की चौथी पुस्तक में - एक टिप्पणी जो सबसे सरल और मौलिक विचारों से भरी है, - न केवल पहचान के कानून को विरोधाभास के कानून के साथ एक समन्वित गरिमा का दावा करती है, बल्कि, अरस्तू के खिलाफ, उनका मानना ​​है कि पहचान का सिद्धांत, न कि विरोधाभास का सिद्धांत, बिल्कुल पहला है। एंड्रियास ने इसे जिस सूत्र में व्यक्त किया वह एन्स इस्ट एन्स था। इस लेखक के बाद, पहचान और विरोधाभास के दो कानूनों की सापेक्ष प्राथमिकता से संबंधित प्रश्न स्कूलों में बहुत उत्तेजित हो गया; हालाँकि कुछ ऐसे भी पाए गए जिन्होंने बहिष्कृत मध्य के कानून को इस सर्वोच्च पद का दावा किया। [हैमिल्टन LECT से। वी. तर्क. 65-66]

तीन पारंपरिक कानून: पहचान, गैर-विरोधाभास, बहिष्कृत मध्य

बर्ट्रेंड रसेल (1912) के शब्दों में निम्नलिखित तीन पारंपरिक कानून बताते हैं:

पहचान का नियम

पहचान का नियम: 'जो कुछ है, वह है।' सभी के लिए ए: ए = ए।

इस कानून के संबंध में अरस्तू ने लिखा:

First then this at least is obviously true, that the word "be" or "not be" has a definite meaning, so that not everything will be "so and not so". Again, if "man" has one meaning, let this be "two-footed animal"; by having one meaning I understand this:—if "man" means "X", then if A is a man "X" will be what "being a man" means for him. (It makes no difference even if one were to say a word has several meanings, if only they are limited in number; for to each definition there might be assigned a different word. For instance, we might say that "man" has not one meaning but several, one of which would have one definition, viz. "two-footed animal", while there might be also several other definitions if only they were limited in number; for a peculiar name might be assigned to each of the definitions. If, however, they were not limited but one were to say that the word has an infinite number of meanings, obviously reasoning would be impossible; for not to have one meaning is to have no meaning, and if words have no meaning our reasoning with one another, and indeed with ourselves, has been annihilated; for it is impossible to think of anything if we do not think of one thing; but if this is possible, one name might be assigned to this thing.)

— Aristotle, Metaphysics, Book IV, Part 4 (translated by W.D. Ross)

दो सहस्राब्दियों से भी अधिक समय के बाद, जॉर्ज बूले ने अरस्तू की तरह उसी सिद्धांत का उल्लेख किया जब बूले ने भाषा की प्रकृति और उन सिद्धांतों के संबंध में निम्नलिखित अवलोकन किया जो स्वाभाविक रूप से उनके भीतर निहित होने चाहिए:

There exist, indeed, certain general principles founded in the very nature of language, by which the use of symbols, which are but the elements of scientific language, is determined. To a certain extent these elements are arbitrary. Their interpretation is purely conventional: we are permitted to employ them in whatever sense we please. But this permission is limited by two indispensable conditions, first, that from the sense once conventionally established we never, in the same process of reasoning, depart; secondly, that the laws by which the process is conducted be founded exclusively upon the above fixed sense or meaning of the symbols employed.

— George Boole, An Investigation of the Laws of Thought

गैर-विरोधाभास का नियम

गैर-विरोधाभास का नियम (वैकल्पिक रूप से 'विरोधाभास का नियम')): 'कोई भी चीज़ न तो हो सकती है और न ही नहीं हो सकती।'

दूसरे शब्दों में: दो या दो से अधिक विरोधाभासी कथन एक ही समय में एक ही अर्थ में सत्य नहीं हो सकते: निषेध|¬(एतार्किक संयोजन|∧¬ए)।

अरस्तू के शब्दों में, कोई किसी चीज़ के बारे में यह नहीं कह सकता कि वह क्या है और क्या नहीं, एक ही संबंध में और एक ही समय में। इस कानून के उदाहरण के रूप में उन्होंने लिखा:

It is impossible, then, that "being a man" should mean precisely not being a man, if "man" not only signifies something about one subject but also has one significance ... And it will not be possible to be and not to be the same thing, except in virtue of ambiguity, just as if one whom we call "man", and others were to call "not-man"; but the point in question is not this, whether the same thing can at the same time be and not be a man in name, but whether it can be in fact.

— Aristotle, Metaphysics, Book IV, Part 4 (translated by W.D. Ross)

बहिष्कृत मध्य का नियम

बहिष्कृत मध्य का नियम: 'हर चीज़ या तो होनी चाहिए या नहीं होनी चाहिए।'

बहिष्कृत मध्य या बहिष्कृत तीसरे के नियम के अनुसार, प्रत्येक प्रस्ताव के लिए, या तो उसका सकारात्मक या नकारात्मक रूप सत्य है: एलॉजिकल डिसजंक्शन|∨¬ए।

बहिष्कृत मध्य के नियम के संबंध में अरस्तू ने लिखा:

But on the other hand there cannot be an intermediate between contradictories, but of one subject we must either affirm or deny any one predicate. This is clear, in the first place, if we define what the true and the false are. To say of what is that it is not, or of what is not that it is, is false, while to say of what is that it is, and of what is not that it is not, is true; so that he who says of anything that it is, or that it is not, will say either what is true or what is false.

— Aristotle, Metaphysics, Book IV, Part 7 (translated by W.D. Ross)

तर्कसंगत

जैसा कि उपरोक्त हैमिल्टन के उद्धरणों से संकेत मिलता है, विशेष रूप से पहचान प्रविष्टि के कानून, विचार के नियमों का औचित्य और अभिव्यक्ति प्लेटो के बाद से दार्शनिक बहस के लिए उपजाऊ जमीन रही है। आज बहस-इस बारे में कि हम चीजों की दुनिया और अपने विचारों को कैसे जानते हैं-जारी है; तर्कों के उदाहरणों के लिए नीचे दी गई प्रविष्टियाँ देखें।

प्लेटो

प्लेटो के [[सुकराती संवाद]]ों में से एक में, सुकरात ने आत्मनिरीक्षण से प्राप्त तीन सिद्धांतों का वर्णन किया:

First, that nothing can become greater or less, either in number or magnitude, while remaining equal to itself ... Secondly, that without addition or subtraction there is no increase or diminution of anything, but only equality ... Thirdly, that what was not before cannot be afterwards, without becoming and having become.

— Plato, Theaetetus, 155

भारतीय तर्क

गैर-विरोधाभास का नियम प्राचीन भारतीय तर्कशास्त्र में पाणिनि के व्याकरण कल्प (वेदांग) में एक मेटा-नियम के रूप में पाया जाता है। और ब्रह्म सूत्र का श्रेय व्यास को दिया जाता है। बाद में माधवाचार्य जैसे मध्यकालीन टिप्पणीकारों ने इसका विस्तार किया।

लॉक

जॉन लोके ने दावा किया कि पहचान और विरोधाभास के सिद्धांत (यानी पहचान का कानून और गैर-विरोधाभास का कानून) सामान्य विचार थे और काफी अमूर्त, दार्शनिक विचार के बाद ही लोगों के सामने आए। उन्होंने पहचान के सिद्धांत को जो भी है, है के रूप में वर्णित किया। उन्होंने विरोधाभास के सिद्धांत को इस प्रकार बताया कि एक ही चीज़ का होना और न होना असंभव है। लॉक के लिए, ये जन्मजात या प्राथमिक और उत्तरवर्ती सिद्धांत नहीं थे।

लीबनिज़

गॉटफ्राइड लीबनिज ने दो अतिरिक्त सिद्धांत तैयार किए, जिनमें से एक या दोनों को कभी-कभी विचार के नियम के रूप में गिना जा सकता है:

• पर्याप्त कारण का सिद्धांत
• अविवेकी की पहचान

लीबनिज़ के विचार में, साथ ही आम तौर पर तर्कवाद के दृष्टिकोण में, बाद के दो सिद्धांतों को स्पष्ट और निर्विवाद सिद्धांतों के रूप में माना जाता है। 17वीं, 18वीं और 19वीं शताब्दी के यूरोपीय विचारों में उन्हें व्यापक रूप से मान्यता दी गई थी, हालांकि 19वीं शताब्दी में उन पर अधिक बहस हुई थी। जैसा कि निरंतरता के नियम के मामले में सामने आया है, इन दोनों कानूनों में ऐसे मामले शामिल हैं, जो समकालीन संदर्भ में, बहुत बहस और विश्लेषण के अधीन हैं (क्रमशः नियतिवाद और विस्तारवाद पर)). लीबनिज़ के सिद्धांत जर्मन विचारधारा में विशेष रूप से प्रभावशाली थे। फ़्रांस में, पोर्ट-रॉयल लॉजिक उनसे कम प्रभावित था। हेगेल ने अपने तर्क विज्ञान (1812-1816) में अविवेकी की पहचान पर विवाद किया।

शोपेनहावर

चार कानून

विचार के प्राथमिक नियम, या विचारणीय की स्थितियाँ, चार हैं:- 1. पहचान का नियम [ए, ए है]। 2. विरोधाभास का नियम. 3. बहिष्करण का नियम; या बीच से बाहर रखा गया. 4. पर्याप्त कारण का नियम. (थॉमस ह्यूजेस, द आइडियल थ्योरी ऑफ़ बर्कले एंड द रियल वर्ल्ड, भाग II, खंड XV, फ़ुटनोट, पृष्ठ। 38)

आर्थर शोपेनहावर ने विचार के नियमों पर चर्चा की और यह प्रदर्शित करने का प्रयास किया कि वे तर्क का आधार हैं। उन्होंने पर्याप्त कारण के सिद्धांत के चार गुना मूल पर, §33 में उन्हें निम्नलिखित तरीके से सूचीबद्ध किया:

1. एक विषय उसके विधेय के योग के बराबर है, या a = a.
2. किसी विषय, या ≠ ~ए के लिए किसी भी विधेय को एक साथ जिम्मेदार ठहराया और नकारा नहीं जा सकता है।
3. प्रत्येक दो विरोधाभासी विपरीत विधेयों में से एक प्रत्येक विषय से संबंधित होना चाहिए।
4. सत्य किसी निर्णय का उसके बाहर की किसी चीज़ को उसके पर्याप्त कारण या आधार के रूप में संदर्भित करना है।

भी:

The laws of thought can be most intelligibly expressed thus:

1. Everything that is, exists.
2. Nothing can simultaneously be and not be.
3. Each and every thing either is or is not.
4. Of everything that is, it can be found why it is.

There would then have to be added only the fact that once for all in logic the question is about what is thought and hence about concepts and not about real things.

— Schopenhauer, Manuscript Remains, Vol. 4, "Pandectae II", §163

यह दिखाने के लिए कि वे तर्क की नींव हैं, उन्होंने निम्नलिखित स्पष्टीकरण दिया:

Through a reflection, which I might call a self-examination of the faculty of reason, we know that these judgments are the expression of the conditions of all thought and therefore have these as their ground. Thus by making vain attempts to think in opposition to these laws, the faculty of reason recognizes them as the conditions of the possibility of all thought. We then find that it is just as impossible to think in opposition to them as it is to move our limbs in a direction contrary to their joints. If the subject could know itself, we should know those laws immediately, and not first through experiments on objects, that is, representations (mental images).

— Schopenhauer, On the Fourfold Root of the Principle of Sufficient Reason, §33

शोपेनहावर के चार कानूनों को योजनाबद्ध रूप से निम्नलिखित तरीके से प्रस्तुत किया जा सकता है:

1. ए, ए है.
2. A नहीं-A है.
3. X या तो A है या नहीं-A है।
4. यदि A है तो B (A का तात्पर्य B है)।

दो कानून

बाद में, 1844 में शोपेनहावर ने दावा किया कि विचार के चार नियमों को घटाकर दो किया जा सकता है। इच्छा और प्रतिनिधित्व के रूप में विश्व के दूसरे खंड के नौवें अध्याय में उन्होंने लिखा:

It seems to me that the doctrine of the laws of thought could be simplified if we were to set up only two, the law of excluded middle and that of sufficient reason. The former thus: "Every predicate can be either confirmed or denied of every subject." Here it is already contained in the "either, or" that both cannot occur simultaneously, and consequently just what is expressed by the laws of identity and contradiction. Thus these would be added as corollaries of that principle which really says that every two concept-spheres must be thought either as united or as separated, but never as both at once; and therefore, even although words are joined together which express the latter, these words assert a process of thought which cannot be carried out. The consciousness of this infeasibility is the feeling of contradiction. The second law of thought, the principle of sufficient reason, would affirm that the above attributing or refuting must be determined by something different from the judgment itself, which may be a (pure or empirical) perception, or merely another judgment. This other and different thing is then called the ground or reason of the judgment. So far as a judgment satisfies the first law of thought, it is thinkable; so far as it satisfies the second, it is true, or at least in the case in which the ground of a judgment is only another judgment it is logically or formally true.

बूले (1854): बूले ने अपने दिमाग के नियमों से अरस्तू के विरोधाभास के नियम को प्राप्त किया

तर्क पर जॉर्ज बूल के 1854 के ग्रंथ का शीर्षक, एन इन्वेस्टिगेशन ऑन द लॉज़ ऑफ थॉट, एक वैकल्पिक मार्ग का संकेत देता है। इन कानूनों को अब उनके मन के नियमों के बीजगणितीय प्रतिनिधित्व में शामिल किया गया है, जिन्हें वर्षों से आधुनिक बूलियन बीजगणित में परिष्कृत किया गया है।

तर्क: मन के नियमों को कैसे अलग किया जाए

बूले ने अपने अध्याय I प्रकृति और इस कार्य के डिज़ाइन की शुरुआत इस चर्चा के साथ की है कि आम तौर पर मन के नियमों को प्रकृति के नियमों से क्या विशेषता अलग करती है:

प्रकृति के सामान्य नियम, अधिकांश भाग के लिए, प्रत्यक्ष बोध की वस्तु नहीं हैं। वे या तो तथ्यों के एक बड़े समूह से आगमनात्मक निष्कर्ष हैं, सामान्य सत्य जिसमें वे व्यक्त करते हैं, या, कम से कम, उनके मूल में, कारण प्रकृति की भौतिक परिकल्पनाएं हैं। ... वे सभी मामलों में, और शब्द के सख्त अर्थ में, संभावित निष्कर्ष, वास्तव में, हमेशा और हमेशा निश्चितता के करीब पहुंचते हैं, क्योंकि उन्हें अनुभव की अधिक से अधिक पुष्टि प्राप्त होती है। ...

इसकी तुलना में वे मन के नियम कहते हैं: बूले का दावा है कि इन्हें दोहराव की आवश्यकता के बिना, उनके पहले उदाहरण में ही जाना जाता है:

दूसरी ओर, मन के नियमों के ज्ञान के लिए आधार के रूप में टिप्पणियों के किसी व्यापक संग्रह की आवश्यकता नहीं होती है। सामान्य सत्य को विशिष्ट उदाहरण में देखा जाता है, और इसकी पुष्टि उदाहरणों की पुनरावृत्ति से नहीं होती है। ... हम न केवल विशेष उदाहरण में सामान्य सत्य देखते हैं, बल्कि हम इसे एक निश्चित सत्य के रूप में भी देखते हैं - एक सत्य, जिस पर हमारा विश्वास इसके व्यावहारिक सत्यापन के बढ़ते अनुभव के साथ नहीं बढ़ता रहेगा। (बूले 1854:4)

बूले के लक्षण और उनके नियम

बूले वर्गों, संचालन और पहचान का प्रतिनिधित्व करने वाले संकेतों की धारणा से शुरू होता है:

भाषा के सभी संकेत, तर्क के एक उपकरण के रूप में, निम्नलिखित तत्वों से बनी संकेतों की एक प्रणाली द्वारा संचालित किए जा सकते हैं

एक्स, वाई, आदि के रूप में पहला शाब्दिक प्रतीक हमारी अवधारणाओं के विषयों के रूप में चीजों का प्रतिनिधित्व करते हैं,

संक्रिया के दूसरे लक्षण, जैसे +, −, x मन की उन संक्रियाओं को दर्शाते हैं जिनके द्वारा चीजों की अवधारणाओं को संयोजित या हल किया जाता है ताकि समान तत्वों को शामिल करते हुए नई अवधारणाएं बनाई जा सकें।

3रा पहचान का चिन्ह,=.

और तर्क के ये प्रतीक अपने उपयोग में निश्चित कानूनों के अधीन हैं, बीजगणित के विज्ञान में संबंधित प्रतीकों के नियमों से आंशिक रूप से सहमत और आंशिक रूप से भिन्न हैं। (बूले 1854:27)

बूले फिर स्पष्ट करता है कि शाब्दिक प्रतीक क्या है उदा. x, y, z,... प्रतिनिधित्व करता है - एक नाम जो कक्षाओं में उदाहरणों के संग्रह पर लागू होता है। उदाहरण के लिए, पक्षी पंख वाले गर्म रक्त वाले प्राणियों के पूरे वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है। अपने उद्देश्यों के लिए वह वर्ग की धारणा को एक, या कुछ भी नहीं, या ब्रह्मांड यानी सभी व्यक्तियों की समग्रता का प्रतिनिधित्व करने के लिए विस्तारित करता है:

तो आइए हम व्यक्तियों के उस वर्ग को, जिस पर कोई विशेष नाम या विवरण लागू होता है, एक अक्षर द्वारा, z के रूप में प्रतिनिधित्व करने के लिए सहमत हों। ...वर्ग से तात्पर्य आमतौर पर व्यक्तियों का एक संग्रह होता है, जिनमें से प्रत्येक पर एक विशेष नाम या विवरण लागू किया जा सकता है; लेकिन इस कार्य में इस शब्द का अर्थ बढ़ाया जाएगा ताकि उस मामले को शामिल किया जा सके जिसमें केवल एक ही व्यक्ति मौजूद है, जो आवश्यक नाम या विवरण का उत्तर दे रहा है, साथ ही कुछ भी नहीं और ब्रह्मांड शब्दों द्वारा दर्शाए गए मामले, जो वर्गों के रूप में हैं यह समझा जाना चाहिए कि इसमें क्रमशः 'कोई प्राणी नहीं,' 'सभी प्राणी' शामिल हैं। (बूले 1854:28)

फिर वह परिभाषित करता है कि प्रतीकों की श्रृंखला क्या है। xy का अर्थ है [आधुनिक तार्किक और, संयोजन]:

आगे इस बात पर सहमति दें कि संयोजन द्वारा xy को चीजों के उस वर्ग का प्रतिनिधित्व किया जाएगा जिस पर x और y द्वारा दर्शाए गए नाम या विवरण एक साथ लागू होते हैं। इस प्रकार, यदि x अकेले सफेद चीजों के लिए है, और y भेड़ के लिए है, तो xy को 'सफेद भेड़' के लिए खड़ा होने दें; (बूले 1854:28)

इन परिभाषाओं को देखते हुए अब वह अपने कानूनों को उनके औचित्य और उदाहरणों (बूले से प्राप्त) के साथ सूचीबद्ध करता है:

• (1) xy = yx [क्रमविनिमेय नियम]

x 'मुहाना,' और y 'नदियाँ' का प्रतिनिधित्व करता है, अभिव्यक्ति xy और yx उदासीन रूप से 'नदियाँ जो मुहाना हैं,' या 'मुहाना जो नदियाँ हैं,' का प्रतिनिधित्व करेंगे।

• (2) xx = x, बारी-बारी से x² = x [अर्थ की पूर्ण पहचान, बूले के विचार का मौलिक नियम सीएफ पृष्ठ 49]

इस प्रकार 'अच्छे, अच्छे' पुरुष, 'अच्छे' पुरुषों के बराबर हैं।

तार्किक या: बूले भागों को एक संपूर्ण में एकत्रित करने या एक संपूर्ण को उसके भागों में अलग करने को परिभाषित करता है (बूले 1854:32)। यहाँ संयोजक तथा का प्रयोग वियोजक रूप से किया गया है, जैसे कि या ; वह संग्रह की धारणा के लिए एक क्रमविनिमेय कानून (3) और एक वितरणात्मक कानून (4) प्रस्तुत करता है। संपूर्ण से एक भाग को अलग करने की धारणा का प्रतीक वह - ऑपरेशन है; वह इस धारणा के लिए क्रमविनिमेय (5) और वितरणात्मक कानून (6) को परिभाषित करता है:

• (3) y + x = x + y [क्रमविनिमेय नियम]

इस प्रकार 'पुरुष और महिला' अभिव्यक्ति...महिला और पुरुष अभिव्यक्ति के समतुल्य है। मान लीजिए कि x 'पुरुषों', 'y', 'महिलाओं' का प्रतिनिधित्व करता है और + का अर्थ 'और' और 'या' है...

• (4) z(x + y) = zx + zy [वितरणात्मक नियम]

z = यूरोपीय, (x = पुरुष, y = महिलाएं): यूरोपीय पुरुष और महिलाएं = यूरोपीय पुरुष और यूरोपीय महिलाएं

• (5) x − y = −y + x [कम्यूटेशन कानून: एक हिस्से को पूरे से अलग करना]

एशियाई लोगों (y) को छोड़कर सभी पुरुषों (x) को x - y द्वारा दर्शाया गया है। राजशाही राज्यों (y) को छोड़कर सभी राज्यों (x) को x - y द्वारा दर्शाया जाता है

• (6) z(x − y) = zx − zy [वितरणात्मक नियम]

अंततः पहचान की एक धारणा है जिसे = द्वारा दर्शाया गया है। यह दो सिद्धांतों की अनुमति देता है: (स्वयंसिद्ध 1): बराबर में बराबर जोड़ने पर परिणाम बराबर होता है, (सिद्धांत 2): बराबर में से बराबर घटाने पर बराबर परिणाम आता है।

• (7) पहचान (है, हैं) जैसे। x = y + z, तारे = सूर्य और ग्रह

कुछ भी नहीं 0 और ब्रह्मांड 1: उन्होंने देखा कि केवल दो संख्याएँ जो xx = x को संतुष्ट करती हैं वे 0 और 1 हैं। फिर उन्होंने देखा कि 0 कुछ भी नहीं दर्शाता है जबकि 1 ब्रह्मांड (प्रवचन का) का प्रतिनिधित्व करता है।

तार्किक NOT: बूले इसके विपरीत (तार्किक NOT) को इस प्रकार परिभाषित करता है (उसका प्रस्ताव III):

यदि x वस्तुओं के किसी वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है, तो 1 − x वस्तुओं के विपरीत या पूरक वर्ग का प्रतिनिधित्व करेगा, अर्थात वह वर्ग जिसमें वे सभी वस्तुएं शामिल हैं जो वर्ग x में समझ में नहीं आती हैं (बूले 1854:48)

यदि x = पुरुष है तो 1 − x ब्रह्मांड को पुरुषों से कम दर्शाता है, अर्थात गैर-पुरुषों को।

सार्वभौमिक के विपरीत किसी विशेष की धारणा: कुछ पुरुषों की धारणा का प्रतिनिधित्व करने के लिए, बूले विधेय-प्रतीक vx कुछ पुरुषों से पहले छोटा अक्षर v लिखते हैं।

विशिष्ट- और समावेशी-या: बूले इन आधुनिक नामों का उपयोग नहीं करता है, लेकिन वह इन्हें क्रमशः x(1-y) + y(1-x) और x + y(1-x) के रूप में परिभाषित करता है; ये आधुनिक बूलियन बीजगणित के माध्यम से प्राप्त सूत्रों से सहमत हैं।

बूले विरोधाभास का नियम प्राप्त करता है

अपने सिस्टम से लैस होकर वह अपनी पहचान के नियम से शुरू करके [गैर] विरोधाभास का सिद्धांत प्राप्त करता है: x²=x. वह दोनों ओर से x घटाता है (उसका अभिगृहीत 2), जिससे x प्राप्त होता है² − x = 0. फिर वह x का गुणनखंड करता है: x(x − 1) = 0. उदाहरण के लिए, यदि x = पुरुष है तो 1 − x गैर-पुरुषों का प्रतिनिधित्व करता है। तो हमारे पास विरोधाभास के नियम का एक उदाहरण है:

इसलिए: x(1 − x) उस वर्ग का प्रतिनिधित्व करेगा जिसके सदस्य एक साथ पुरुष हैं, न कि पुरुष, और समीकरण [x(1 − x)=0] इस प्रकार सिद्धांत को व्यक्त करता है, कि एक वर्ग जिसके सदस्य हैं एक ही समय में पुरुष और पुरुष नहीं का अस्तित्व नहीं है। दूसरे शब्दों में, एक ही व्यक्ति के लिए एक ही समय में एक आदमी होना और एक आदमी नहीं होना असंभव है। ...यह बिल्कुल विरोधाभास का वह सिद्धांत है जिसे अरस्तू ने सभी दर्शन का मूल सिद्धांत बताया है। ...जिसे आमतौर पर तत्वमीमांसा का मौलिक सिद्धांत माना जाता है, वह विचार के एक नियम का परिणाम है, जो अपने रूप में गणितीय है। (इस द्वंद्व के बारे में अधिक स्पष्टीकरण के साथ सीएफ बूले 1854:49एफएफ आता है)

बूले प्रवचन के धारणा क्षेत्र (ब्रह्मांड) को परिभाषित करता है

यह धारणा बूले के विचार के सभी नियमों में पाई जाती है। 1854:28, जहां प्रतीक 1 (पूर्णांक 1) का उपयोग ब्रह्मांड का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है और 0 का उपयोग कुछ भी नहीं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, और अधिक विस्तार से बाद में (पृष्ठ 42एफएफ):

अब, उस क्षेत्र की सीमा कुछ भी हो जिसके भीतर हमारे प्रवचन की सभी वस्तुएँ पाई जाती हैं, उस क्षेत्र को उचित रूप से प्रवचन का ब्रह्मांड कहा जा सकता है। ...इसके अलावा, प्रवचन का यह ब्रह्मांड सख्त अर्थों में प्रवचन का अंतिम विषय है।

अपने अध्याय द प्रेडिकेट कैलकुलस क्लेन में देखा गया है कि प्रवचन के क्षेत्र का विनिर्देश एक तुच्छ धारणा नहीं है, क्योंकि यह सामान्य प्रवचन में हमेशा स्पष्ट रूप से संतुष्ट नहीं होता है ... इसी तरह, गणित में, डी [डोमेन] न होने पर तर्क काफी फिसलन भरा हो सकता है। स्पष्ट रूप से या परोक्ष रूप से निर्दिष्ट किया गया है, या डी [डोमेन] का विनिर्देश बहुत अस्पष्ट है (क्लीन 1967:84)।

हैमिल्टन (तर्क पर 1837-38 व्याख्यान, 1860 में प्रकाशित): कारण और परिणाम का चौथा नियम

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, सर विलियम हैमिल्टन, 9वें बैरोनेट चार कानूनों को निर्दिष्ट करते हैं - तीन पारंपरिक और साथ ही कारण और परिणाम का चौथा कानून - इस प्रकार है:

XIII. विचार के मौलिक नियम, या विचारणीय की स्थितियाँ, जैसा कि आमतौर पर प्राप्त होता है, चार हैं:- 1. पहचान का नियम; 2. विरोधाभास का नियम; 3. बहिष्करण या बहिष्कृत मध्य का कानून; और, 4. कारण और परिणाम का नियम, या पर्याप्त कारण का सिद्धांत।

तर्क: तर्क विचार के नियमों का विज्ञान है जैसा विचार

हैमिल्टन का मानना ​​है कि विचार दो रूपों में आता है: आवश्यक और आकस्मिक (हैमिल्टन 1860:17)। आवश्यक रूप के संबंध में वह इसके अध्ययन को तर्क के रूप में परिभाषित करता है: तर्क विचार के आवश्यक रूपों का विज्ञान है (हैमिल्टन 1860:17)। आवश्यक को परिभाषित करने के लिए वह दावा करते हैं कि इसका तात्पर्य निम्नलिखित चार गुणों से है:

(1) सोच विषय की प्रकृति से ही निर्धारित या आवश्यक होता है ... यह व्यक्तिपरक रूप से निर्धारित होता है, वस्तुनिष्ठ रूप से नहीं;

(2) मूल और अर्जित नहीं;

(3) सार्वभौमिक; अर्थात् ऐसा नहीं हो सकता कि कुछ अवसरों पर इसकी आवश्यकता पड़े और कुछ अवसरों पर इसकी आवश्यकता न पड़े।

(4) यह एक कानून होना चाहिए; क्योंकि कानून वह है जो बिना किसी अपवाद के सभी मामलों पर लागू होता है, और जिससे विचलन हमेशा, और हर जगह, असंभव है, या, कम से कम, अस्वीकार्य है। ... इसी तरह, यह अंतिम शर्त हमें तर्क के वस्तु-पदार्थ का सबसे स्पष्ट प्रतिपादन करने में सक्षम बनाती है, यह कहते हुए कि तर्क विचार के नियमों का विज्ञान है, या विचार के औपचारिक नियमों का विज्ञान है, या विचार के स्वरूप के नियमों का विज्ञान; क्योंकि ये सभी एक ही चीज़ की विभिन्न अभिव्यक्तियाँ मात्र हैं।

हैमिल्टन का चौथा नियम: बिना आधार या कारण के कुछ भी अनुमान न लगाएं

यहां हैमिल्टन का LECT से चौथा नियम है। वी. तर्क. 60-61:

अब मैं चौथे नियम पर आता हूं।

पार. XVII. पर्याप्त कारण का कानून, या कारण और परिणाम का कानून:

XVII. किसी वस्तु की सोच, जैसा कि वास्तव में सकारात्मक या नकारात्मक विशेषताओं द्वारा विशेषता है, को समझ की इच्छा पर नहीं छोड़ा जाता है - विचार की क्षमता; लेकिन उस संकाय को सोचने के इस या उस निर्धारित कार्य के लिए किसी भिन्न और स्वतंत्र चीज़ के ज्ञान की आवश्यकता होनी चाहिए; सोचने की प्रक्रिया ही. हमारी समझ की यह स्थिति पर्याप्त कारण के कानून द्वारा व्यक्त की जाती है, जैसा कि इसे कहा जाता है (प्रिंसिपियम रैशनिस सफ़िसिएंटिस); लेकिन यह कारण और परिणाम के नियम (प्रिंसिपियम रैशनिस एट कंसीक्यूनिस) को अधिक उचित रूप से परिभाषित करता है। वह ज्ञान जिसके द्वारा मन को किसी और बात की पुष्टि या अनुमान लगाना आवश्यक होता है, तार्किक कारण आधार या पूर्ववृत्त कहलाता है; वह कुछ और जिसकी पुष्टि या पुष्टि करना मन के लिए आवश्यक है, उसे तार्किक परिणाम कहा जाता है; और कारण और परिणाम के बीच के संबंध को तार्किक संबंध या परिणाम कहा जाता है। इस नियम को इस सूत्र में व्यक्त किया गया है - बिना किसी आधार या कारण के कुछ भी अनुमान न लगाएं।¹

कारण और परिणाम के बीच संबंध: कारण और परिणाम के बीच संबंध, जब शुद्ध विचार में समझे जाते हैं, निम्नलिखित हैं:

1. जब कोई कारण स्पष्ट रूप से या परोक्ष रूप से दिया जाता है, तो उसका ¶ परिणामी अस्तित्व अवश्य होता है; और, इसके विपरीत, जब कोई परिणाम दिया जाता है, तो एक कारण भी मौजूद होना चाहिए।

¹शुल्ज़, लॉजिक, §19, और क्रुग, लॉजिक, §20, - ईडी देखें।

2. जहां कोई कारण नहीं है वहां कोई परिणाम नहीं हो सकता; और, इसके विपरीत, जहां कोई परिणामी (या तो अंतर्निहित या स्पष्ट रूप से) नहीं है वहां कोई कारण नहीं हो सकता है। अर्थात्, कारण और परिणाम की अवधारणाएँ, पारस्परिक रूप से सापेक्ष के रूप में, एक-दूसरे को शामिल करती हैं और मानती हैं।

'इस कानून का तार्किक महत्व': कारण और परिणाम के कानून का तार्किक महत्व इसमें निहित है, - कि इसके आधार पर, विचार अविभाज्य रूप से जुड़े कार्यों की एक श्रृंखला में गठित होता है; प्रत्येक अनिवार्य रूप से दूसरे का अनुमान लगाता है। इस प्रकार यह है कि संभावित, वास्तविक और आवश्यक पदार्थ का भेद और विरोध, जिसे तर्क में पेश किया गया है, इस विज्ञान के लिए पूरी तरह से असंगत सिद्धांत है।

वेल्टन

19वीं शताब्दी में, विचारों के अरिस्टोटेलियन नियम, साथ ही कभी-कभी विचार के लीबनिज़ियन नियम, तर्क पाठ्यपुस्तकों में मानक सामग्री थे, और जे. वेल्टन ने उन्हें इस तरह वर्णित किया:

The Laws of Thought, Regulative Principles of Thought, or Postulates of Knowledge, are those fundamental, necessary, formal and a priori mental laws in agreement with which all valid thought must be carried on. They are a priori, that is, they result directly from the processes of reason exercised upon the facts of the real world. They are formal; for as the necessary laws of all thinking, they cannot, at the same time, ascertain the definite properties of any particular class of things, for it is optional whether we think of that class of things or not. They are necessary, for no one ever does, or can, conceive them reversed, or really violate them, because no one ever accepts a contradiction which presents itself to his mind as such.

— Welton, A Manual of Logic, 1891, Vol. I, p. 30.

रसेल (1903-1927)

बर्ट्रेंड रसेल की 1903 की गणित के सिद्धांतों की अगली कड़ी, गणितीय सिद्धांत (इसके बाद पीएम) नामक तीन-खंड का काम बन गई, जो अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड के साथ संयुक्त रूप से लिखी गई थी। उनके और व्हाइटहेड द्वारा पीएम प्रकाशित करने के तुरंत बाद उन्होंने अपनी 1912 द प्रॉब्लम्स ऑफ फिलॉसफी लिखी। उनकी समस्याएँ रसेल के तर्क के केंद्रीय विचारों को दर्शाती हैं।

गणित के सिद्धांत (1903)

अपने 1903 के सिद्धांतों में रसेल ने प्रतीकात्मक या औपचारिक तर्क को विभिन्न सामान्य प्रकार के कटौती के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया है (वह शब्दों का पर्यायवाची रूप से उपयोग करता है) (रसेल 1903:11)। उनका दावा है कि प्रतीकात्मक तर्क अनिवार्य रूप से सामान्य रूप से अनुमान से संबंधित है (रसेल 1903:12) और एक फुटनोट से संकेत मिलता है कि वह अनुमान और निगमनात्मक तर्क के बीच अंतर नहीं करते हैं; इसके अलावा वह आगमनात्मक तर्क को या तो प्रच्छन्न कटौती या प्रशंसनीय अनुमान लगाने की एक मात्र विधि मानता है (रसेल 1903:11)। यह राय 1912 तक बदल जाएगी, जब वह अपने प्रेरण के सिद्धांत को विभिन्न तार्किक सिद्धांतों के बराबर मानेंगे जिनमें विचार के नियम शामिल हैं।

अपने भाग I में गणित के अनिश्चित अध्याय अध्याय II प्रतीकात्मक तर्क भाग ए प्रोपोज़िशनल कैलकुलस रसेल ने कटौती (प्रोपोज़ल कैलकुलस) को 2 अनिश्चित और 10 सिद्धांतों तक कम कर दिया है:

17. फिर, हमें प्रस्तावित कलन में, दो प्रकार के निहितार्थों को छोड़कर किसी भी अपरिभाष्य की आवश्यकता नहीं है [सरल उर्फ ​​सामग्री और औपचारिक ]--हालांकि, यह याद रखना कि औपचारिक निहितार्थ एक जटिल धारणा है, जिसका विश्लेषण किया जाना बाकी है। जहां तक ​​हमारी दो अपरिभाष्यताओं का संबंध है, हमें कुछ अप्रमाणित प्रस्तावों की आवश्यकता है, जिन्हें अब तक मैं दस से कम करने में सफल नहीं हुआ हूं (रसेल 1903:15)।

इनसे वह 'बहिष्कृत मध्य का नियम' और 'विरोधाभास का नियम' प्राप्त करने में सक्षम होने का दावा करता है, लेकिन अपनी व्युत्पत्ति प्रदर्शित नहीं करता है (रसेल 1903:17)। इसके बाद, उन्होंने और व्हाइटहेड ने इन आदिम सिद्धांतों और सिद्धांतों को पीएम में पाए गए नौ में परिष्कृत किया, और यहां रसेल वास्तव में इन दो व्युत्पत्तियों को क्रमशः ❋1.71 और ❋3.24 पर प्रदर्शित करते हैं।

दर्शन की समस्याएँ (1912)

1912 तक रसेल ने अपनी समस्याओं में प्रेरण (आगमनात्मक तर्क) के साथ-साथ कटौती (अनुमान) पर भी बारीकी से ध्यान दिया, जो दोनों स्व-स्पष्ट तार्किक सिद्धांतों के केवल दो उदाहरण प्रस्तुत करते हैं जिनमें विचार के नियम शामिल हैं।

प्रेरण सिद्धांत: रसेल ने अपने प्रेरण सिद्धांत के लिए एक अध्याय समर्पित किया है। वह इसे दो भागों में आने के रूप में वर्णित करता है: सबसे पहले, साक्ष्य के बार-बार संग्रह के रूप में (संबंध की कोई विफलता ज्ञात नहीं) और इसलिए संभावना बढ़ रही है कि जब भी ए होता है तो बी उसका अनुसरण करता है; दूसरे, एक ताजा उदाहरण में जब वास्तव में ए होता है, तो बी वास्तव में इसका अनुसरण करेगा: यानी एसोसिएशन के मामलों की पर्याप्त संख्या एक ताजा एसोसिएशन की संभावना को लगभग निश्चित बना देगी, और इसे बिना किसी सीमा के निश्चितता के करीब ले जाएगी। फिर वह प्रेरण सिद्धांत के सभी मामलों (उदाहरणों) को एकत्र करता है (उदाहरण के लिए मामला 1: ए)।₁ = उगता सूरज, बी₁ = पूर्वी आकाश; केस 2: ए₂ = डूबता सूरज, बी₂ = पश्चिमी आकाश; केस 3: आदि) प्रेरण के एक सामान्य नियम में जिसे वह इस प्रकार व्यक्त करता है:

(ए) ऐसे मामलों की संख्या जितनी अधिक होगी जिनमें ए प्रकार की कोई चीज बी प्रकार की चीज से जुड़ी हुई पाई गई है, उतनी ही अधिक संभावना है (यदि एसोसिएशन की विफलता के मामले ज्ञात हैं) कि ए हमेशा जुड़ा हुआ है बी के साथ;

(बी) समान परिस्थितियों में, ए के बी के साथ जुड़ाव के पर्याप्त संख्या में मामले यह लगभग निश्चित कर देंगे कि ए हमेशा बी के साथ जुड़ा हुआ है, और यह सामान्य कानून बिना किसी सीमा के निश्चितता के करीब पहुंच जाएगा।

उनका तर्क है कि इस प्रेरण सिद्धांत को न तो अस्वीकृत किया जा सकता है और न ही अनुभव से सिद्ध किया जा सकता है, घटित होने वाली असत्यापित विफलता क्योंकि कानून निश्चितता के बजाय सफलता की संभावना से संबंधित है; सबूत की विफलता ऐसे मामलों के कारण घटित होती है जिनकी जांच नहीं की गई है जिनका अभी तक अनुभव नहीं किया गया है, यानी वे भविष्य में घटित होंगे (या नहीं)। इस प्रकार हमें या तो आगमनात्मक सिद्धांत को उसके अंतर्निहित साक्ष्य के आधार पर स्वीकार करना चाहिए, या भविष्य के बारे में अपनी अपेक्षाओं के सभी औचित्य को त्याग देना चाहिए। अपने अगले अध्याय (सामान्य सिद्धांतों के बारे में हमारे ज्ञान पर) में रसेल अन्य सिद्धांतों की पेशकश करते हैं जिनमें यह समान गुण है: जिन्हें अनुभव से साबित या अस्वीकृत नहीं किया जा सकता है, लेकिन उन तर्कों में उपयोग किया जाता है जो अनुभव से शुरू होते हैं। उनका दावा है कि इनके पास प्रेरण के सिद्धांत से भी अधिक बड़े प्रमाण हैं... इनके ज्ञान में उतनी ही निश्चितता है जितनी इंद्रिय-डेटा के अस्तित्व के ज्ञान में। वे संवेदना में जो दिया गया है उससे निष्कर्ष निकालने का साधन बनाते हैं। अनुमान सिद्धांत: रसेल फिर एक उदाहरण प्रस्तुत करता है जिसे वह तार्किक सिद्धांत कहता है। पहले दो बार उन्होंने इस सिद्धांत पर जोर दिया था, पहली बार अपने 1903 में चौथे सिद्धांत के रूप में और फिर पीएम के उनके पहले आदिम प्रस्ताव के रूप में: ❋1.1 एक सच्चे प्रारंभिक प्रस्ताव द्वारा निहित कुछ भी सच है। अब वह इसे अपने 1912 में परिष्कृत रूप में दोहराते हैं: इस प्रकार हमारा सिद्धांत कहता है कि यदि इसका तात्पर्य यह है, और यह सत्य है, तो वह सत्य है। दूसरे शब्दों में, 'सच्चे प्रस्ताव से जो कुछ भी निहित है वह सत्य है', या 'सच्चे प्रस्ताव से जो कुछ भी निकलता है वह सत्य है'। वह इस सिद्धांत पर बहुत जोर देते हैं, यह कहते हुए कि यह सिद्धांत वास्तव में शामिल है - कम से कम, इसके ठोस उदाहरण शामिल हैं - सभी प्रदर्शनों में।

वह अपने अनुमान सिद्धांत को मूड सेट करना नहीं कहते हैं, लेकिन पीएम (द्वितीय संस्करण 1927) में इसकी औपचारिक, प्रतीकात्मक अभिव्यक्ति मोडस पोनेन्स की है; आधुनिक तर्क इसे कानून के विपरीत नियम कहता है। निम्नलिखित उद्धरण में, प्रतीक ⊦ दावा-चिह्न है (सीएफ पीएम:92); ⊦ का अर्थ है कि यह सत्य है, इसलिए ⊦p जहां p है सूर्य उग रहा है इसका अर्थ है कि यह सत्य है कि सूर्य उग रहा है, वैकल्पिक रूप से 'सूरज उग रहा है' कथन सत्य है। निहितार्थ प्रतीक ⊃ आमतौर पर पढ़ा जाता है यदि p तो q, या p का अर्थ q है (cf PM:7)। निहितार्थ की इस धारणा में दो आदिम विचार अंतर्निहित हैं, विरोधाभासी कार्य (NOT, ~ द्वारा प्रतीक) और तार्किक योग या विच्छेदन (OR, ⋁ द्वारा प्रतीक); ये PM (PM:97) में आदिम प्रस्ताव ❋1.7 और ❋1.71 के रूप में दिखाई देते हैं। इन दो आदिम प्रस्तावों के साथ रसेल ने औपचारिक तार्किक तुल्यता NOT-p या q को ~p ⋁ q द्वारा चिह्नित करने के लिए p ⊃ q को परिभाषित किया है:

अनुमान. अनुमान की प्रक्रिया इस प्रकार है: एक प्रस्ताव पी का दावा किया जाता है, और एक प्रस्ताव पी का तात्पर्य है कि क्यू का दावा किया जाता है, और फिर अगली कड़ी के रूप में प्रस्ताव क्यू का दावा किया जाता है। अनुमान में विश्वास यह विश्वास है कि यदि दो पूर्व दावे त्रुटिपूर्ण नहीं हैं, तो अंतिम दावा त्रुटिपूर्ण नहीं है। तदनुसार, जब भी, प्रतीकों में, जहां पी और क्यू का निश्चित रूप से विशेष निर्धारण होता है

⊦p और ⊦(p ⊃ q)

घटित हुआ है, तो ⊦q घटित होगा यदि इसे रिकॉर्ड पर रखना वांछित है। अनुमान की प्रक्रिया को प्रतीकों तक सीमित नहीं किया जा सकता। इसका एकमात्र रिकॉर्ड ⊦q की घटना है। ... एक अनुमान एक सच्चे आधार का गिरना है; यह एक निहितार्थ का विघटन है।

दूसरे शब्दों में, अनुमानों की एक लंबी श्रृंखला में, प्रत्येक अनुमान के बाद हम परिणामी ⊦q को प्रतीक स्ट्रिंग ⊦p, ⊦(p⊃q) से अलग कर सकते हैं और इन प्रतीकों को प्रतीकों की एक लंबी श्रृंखला में आगे नहीं ले जा सकते हैं।

विचार के तीन पारंपरिक नियम (सिद्धांत): रसेल अन्य सिद्धांतों पर जोर देते हैं, जिनमें से उपरोक्त तार्किक सिद्धांत केवल एक है। उनका दावा है कि किसी भी तर्क या सबूत के संभव होने से पहले इनमें से कुछ को मंजूरी दी जानी चाहिए। जब उनमें से कुछ को मंजूरी दे दी गई है, तो अन्य को सिद्ध किया जा सकता है। इन विभिन्न कानूनों के बारे में उनका दावा है कि बिना किसी बहुत अच्छे कारण के, इनमें से तीन सिद्धांतों को परंपरा द्वारा 'विचार के नियम' के नाम से अलग कर दिया गया है। और इन्हें वह इस प्रकार सूचीबद्ध करता है:

(1) पहचान का नियम: 'जो कुछ है, वह है।'

(2) विरोधाभास का नियम: 'कोई भी चीज़ न तो हो सकती है और न ही नहीं।'

(3) बहिष्कृत मध्य का नियम: 'हर चीज़ या तो होनी चाहिए या नहीं होनी चाहिए।'

तर्क: रसेल का मानना ​​है कि 'विचार के नियम' नाम भ्रामक है, क्योंकि जो महत्वपूर्ण है वह यह नहीं है कि हम इन कानूनों के अनुसार सोचते हैं, बल्कि यह तथ्य है कि चीजें उनके अनुसार व्यवहार करती हैं; दूसरे शब्दों में, तथ्य यह है कि जब हम उनके अनुसार सोचते हैं तो हम वास्तव में सोचते हैं। लेकिन वह इसे एक बड़ा प्रश्न मानते हैं और इसे निम्नलिखित दो अध्यायों में विस्तारित करते हैं जहां वह एक प्राथमिक (जन्मजात, अंतर्निहित) ज्ञान की धारणा की जांच से शुरू करते हैं, और अंततः सार्वभौमिकों की प्लेटोनिक दुनिया की अपनी स्वीकृति पर पहुंचते हैं। अपनी जांच में वह समय-समय पर विचार के तीन पारंपरिक नियमों पर वापस आते हैं, विशेष रूप से विरोधाभास के कानून पर प्रकाश डालते हैं: यह निष्कर्ष कि विरोधाभास का कानून विचार का कानून है, फिर भी गलत है... [बल्कि], कानून विरोधाभास चीजों के बारे में है, न कि केवल विचारों के बारे में... दुनिया में चीजों से संबंधित एक तथ्य। उनका तर्क इस कथन से शुरू होता है कि विचार के तीन पारंपरिक नियम स्व-स्पष्ट सिद्धांतों के नमूने हैं। रसेल के लिए यह स्वतःसिद्ध बात है यह केवल इस बड़े प्रश्न का परिचय देता है कि हम दुनिया के बारे में अपना ज्ञान कैसे प्राप्त करते हैं। वह ऐतिहासिक विवाद का हवाला देते हैं... क्रमशः 'अनुभववादियों' [जॉन लॉक, जॉर्ज बर्कले, और डेविड हुमे] और 'तर्कवादियों' [[[रेने डेस्कर्टेस]] और गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़] कहे जाने वाले दो स्कूलों के बीच (ये दार्शनिक उनके उदाहरण हैं)। रसेल का दावा है कि तर्कवादियों का कहना है कि, जो हम अनुभव से जानते हैं उसके अलावा, कुछ 'सहज विचार' और 'सहज सिद्धांत' भी हैं, जिन्हें हम अनुभव से स्वतंत्र रूप से जानते हैं;बच्चों को विचार के नियमों का जन्मजात ज्ञान होने की संभावना को खत्म करने के लिए, रसेल ने इस प्रकार के ज्ञान को प्राथमिकता नाम दिया है। और जबकि रसेल अनुभववादियों से सहमत हैं कि अनुभव की मदद के अलावा किसी भी चीज़ के अस्तित्व को नहीं जाना जा सकता है, वह तर्कवादियों से भी सहमत हैं कि कुछ ज्ञान एक प्राथमिकता है, विशेष रूप से तर्क और शुद्ध गणित के प्रस्ताव, साथ ही नैतिकता के मौलिक प्रस्ताव। यह प्रश्न कि इस तरह का प्राथमिक ज्ञान कैसे मौजूद हो सकता है, रसेल को इम्मैनुएल कांत के दर्शन की जांच करने के लिए निर्देशित करता है, जिसे सावधानीपूर्वक विचार करने के बाद वह इस प्रकार खारिज कर देता है:

... एक मुख्य आपत्ति है जो उसकी पद्धति से प्राथमिक ज्ञान की समस्या से निपटने के किसी भी प्रयास के लिए घातक लगती है। ध्यान देने योग्य बात यह है कि तथ्य हमेशा तर्क और अंकगणित के अनुरूप होने चाहिए, यह हमारी निश्चितता है। ... इस प्रकार कांट का समाधान उनकी निश्चितता को समझाने के प्रयास में विफल होने के अलावा, प्राथमिक प्रस्तावों के दायरे को अनुचित रूप से सीमित करता है।

कांट के प्रति उनकी आपत्तियों ने रसेल को प्लेटो के 'विचारों के सिद्धांत' को स्वीकार करने के लिए प्रेरित किया, मेरी राय में... अब तक के सबसे सफल प्रयासों में से एक। ; उनका दावा है कि... हमें सार्वभौमिकों के बारे में अपने ज्ञान की जांच करनी चाहिए... जहां हम पाएंगे कि [यह विचार] प्राथमिक ज्ञान की समस्या को हल करता है। .

प्रिंसिपिया मैथमेटिका (भाग 1: 1910 प्रथम संस्करण, 1927 दूसरा संस्करण)

दुर्भाग्य से, रसेल की समस्याएँ सिद्धांतों के न्यूनतम सेट का उदाहरण प्रस्तुत नहीं करती हैं जो आगमनात्मक और निगमनात्मक दोनों, मानवीय तर्क पर लागू होंगे। लेकिन पीएम कम से कम एक उदाहरण सेट प्रदान करता है (लेकिन न्यूनतम नहीं; नीचे 'पोस्ट' देखें) जो प्रस्तावात्मक कलन के माध्यम से निगमनात्मक तर्क के लिए पर्याप्त है (अधिक जटिल विधेय कलन के माध्यम से तर्क के विपरीत) -ए भाग I की शुरुआत में कुल 8 सिद्धांत: गणितीय तर्क। प्रत्येक सूत्र :❋1.2 से :❋1.6 एक टॉटोलॉजी (तर्क) है (सत्य इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि p, q, r ... का सत्य-मूल्य क्या है)। प्रधानमंत्री के उपचार में जो कमी है वह प्रतिस्थापन का एक औपचारिक नियम है; एमिल पोस्ट ने अपनी 1921 की पीएचडी थीसिस में इस कमी को ठीक किया है (नीचे पोस्ट देखें)। निम्नलिखित में सूत्र पीएम में प्रयुक्त प्रारूप से कहीं अधिक आधुनिक प्रारूप में लिखे गए हैं; नाम पीएम में दिए गए हैं)।

❋1.1 किसी वास्तविक प्रारंभिक प्रस्ताव द्वारा निहित कोई भी बात सत्य है।

❋1.2 टॉटोलॉजी का सिद्धांत: (पी ⋁ पी) ⊃ पी

❋1.3 [तार्किक] जोड़ का सिद्धांत: q ⊃ (p ⋁ q)

❋1.4 क्रमपरिवर्तन का सिद्धांत: (p ⋁ q) ⊃ (q ⋁ p)

❋1.5 साहचर्य सिद्धांत: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) [अनावश्यक]

❋1.6 [तार्किक] सारांश का सिद्धांत: (q ⊃ r) ⊃ ((p ⋁ q) ⊃ (p ⋁ r))

❋1.7 [तार्किक नहीं]: यदि p एक प्रारंभिक प्रस्ताव है, तो ~p एक प्रारंभिक प्रस्ताव है।

❋1.71 [तार्किक समावेशी OR]: यदि p और q प्रारंभिक प्रस्ताव हैं, (p ⋁ q) एक प्रारंभिक प्रस्ताव है।

रसेल ने इन सिद्धांतों को संक्षेप में प्रस्तुत किया है, यह प्राथमिक प्रस्तावों (पीएम:97) पर लागू कटौती के सिद्धांत के लिए आवश्यक आदिम प्रस्तावों की सूची को पूरा करता है।

इन आठ शब्दों और प्रतिस्थापन के नियम के मौन उपयोग से शुरू करके, पीएम फिर सौ से अधिक अलग-अलग सूत्र प्राप्त करता है, जिनमें से बहिष्कृत मध्य का कानून ❋1.71, और विरोधाभास का कानून ❋3.24 हैं (इसके लिए बाद की आवश्यकता होती है) तार्किक की एक परिभाषा और आधुनिक ⋀ द्वारा प्रतीकित: (p ⋀ q) =_def ~(~p ⋁ ~q). (प्रधानमंत्री बिंदु चिह्न का उपयोग करते हैं _▪ तार्किक और के लिए)).

लैड-फ्रैंकलिन (1914): बहिष्करण का सिद्धांत और थकावट का सिद्धांत

लगभग उसी समय (1912) जब रसेल और व्हाइटहेड अपने प्रिंसिपिया मैथेमेटिका के अंतिम खंड को पूरा कर रहे थे, और रसेल की द प्रॉब्लम्स ऑफ फिलॉसफी का प्रकाशन कर रहे थे, कम से कम दो तर्कशास्त्री (लुई कॉटुरेट, क्रिस्टीन लैड-फ्रैंकलिन) इस बात पर जोर दे रहे थे कि दो कानून ( विरोधाभासों को निर्दिष्ट करने के लिए विरोधाभास और बहिष्कृत मध्य के सिद्धांत आवश्यक हैं; लैड-फ्रैंकलिन ने इन्हें परस्पर अनन्य घटनाओं और सामूहिक रूप से संपूर्ण घटनाओं के सिद्धांतों का नाम दिया। निम्नलिखित Couturat 1914 के पृष्ठ 23 पर एक फ़ुटनोट के रूप में दिखाई देता है:

जैसा कि श्रीमती लैडफ्रैंकएलएन ने वास्तव में टिप्पणी की है (बाल्डविन, डिक्शनरी ऑफ फिलॉसफी एंड साइकोलॉजी, लेख लॉज़ ऑफ थॉट), विरोधाभास का सिद्धांत विरोधाभासों को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त नहीं है; बहिष्कृत मध्य का सिद्धांत जोड़ा जाना चाहिए जो समान रूप से विरोधाभास के सिद्धांत के नाम का हकदार है। यही कारण है कि श्रीमती लैड-फ्रैंकलिन उन्हें क्रमशः बहिष्करण का सिद्धांत और थकावट का सिद्धांत कहने का प्रस्ताव करती हैं, क्योंकि पहले के अनुसार, दो विरोधाभासी शब्द अनन्य हैं (दूसरे में से एक); और, दूसरे के अनुसार, वे संपूर्ण हैं (प्रवचन के ब्रह्मांड के)।

दूसरे शब्दों में, विरोधाभासों का निर्माण एक द्वंद्व का प्रतिनिधित्व करता है, यानी प्रवचन के ब्रह्मांड को दो वर्गों (संग्रहों) में विभाजित करना जिनमें निम्नलिखित दो गुण हैं: वे हैं (i) परस्पर अनन्य और (ii) (सामूहिक रूप से) संपूर्ण। दूसरे शब्दों में, कोई भी चीज़ (प्रवचन के ब्रह्मांड से ली गई) एक साथ दोनों वर्गों (गैर-विरोधाभास के कानून) का सदस्य नहीं हो सकती है, लेकिन [और] हर एक चीज़ (प्रवचन के ब्रह्मांड में) का सदस्य होना चाहिए एक वर्ग या दूसरा (बहिष्कृत मध्य का कानून)।

पोस्ट (1921): प्रस्तावात्मक कलन सुसंगत और पूर्ण है

अपनी पीएचडी थीसिस के भाग के रूप में प्राथमिक प्रस्तावों के एक सामान्य सिद्धांत का परिचय एमिल पोस्ट ने प्रिंसिपिया [पीएम] के प्रारंभिक प्रस्तावों की प्रणाली यानी इसके प्रस्तावात्मक कलन को सिद्ध किया। पीएम के पहले 8 आदिम प्रस्तावों को सुसंगत बताया गया है। सुसंगत की परिभाषा यह है: मौजूदा निगमन प्रणाली (इसके बताए गए सिद्धांत, कानून, नियम) के माध्यम से सूत्र एस और इसके विरोधाभासी ~ एस (यानी इसका तार्किक निषेध) दोनों को प्राप्त करना (प्रदर्शित करना) असंभव है (नागेल) और न्यूमैन 1958:50)। इसे औपचारिक रूप से प्रदर्शित करने के लिए, पोस्ट को पीएम के 8 आदिम प्रस्तावों में एक आदिम प्रस्ताव जोड़ना पड़ा, एक नियम जो प्रतिस्थापन की धारणा को निर्दिष्ट करता था जो 1910 के मूल पीएम में गायब था। पीएम के आदिम प्रस्तावों के छोटे सेट और उनकी स्थिरता के प्रमाण को देखते हुए, पोस्ट फिर साबित करता है कि यह प्रणाली (पीएम की प्रस्तावात्मक गणना) पूर्ण है, जिसका अर्थ है कि सिस्टम में हर संभव सत्य तालिका उत्पन्न की जा सकती है:

...प्रिंसिपिया की प्रणाली में प्रत्येक सत्य प्रणाली का प्रतिनिधित्व होता है, जबकि प्रत्येक संपूर्ण प्रणाली, जिसमें सभी संभावित सत्य तालिकाएँ होती हैं, इसके समतुल्य होती हैं। ... इस प्रकार हम देखते हैं कि संपूर्ण प्रणालियाँ न केवल सत्य तालिका विकास में बल्कि अभिधारणा की दृष्टि से भी प्रिंसिपिया प्रणाली के समतुल्य हैं। चूँकि अन्य प्रणालियाँ एक तरह से पूर्ण प्रणालियों के विकृत रूप हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोई नई तार्किक प्रणाली पेश नहीं की गई है।

स्वसिद्धों का एक न्यूनतम सेट? उनकी आजादी की बात

फिर स्वयंसिद्धों की स्वतंत्रता की बात आती है। पोस्ट 1921 से पहले अपनी टिप्पणी में, जीन वैन हेयेनोर्ट ने कहा कि पॉल बर्नेज़ ने 1918 में मामले को हल किया (लेकिन 1926 में प्रकाशित) - सूत्र ❋1.5 सहयोगी सिद्धांत: पी ⋁ (क्यू ⋁ आर) ⊃ क्यू ⋁ (पी ⋁ आर) हो सकता है अन्य चार के साथ सिद्ध हुआ। आदिम-प्रस्तावों की कौन सी प्रणाली न्यूनतम है, वैन हेजेनॉर्ट का कहना है कि इस मामले की जांच ज़िलिंस्की (1925), स्वयं पोस्ट (1941), और वर्निक (1942) द्वारा की गई थी, लेकिन वैन हेजेनॉर्ट इस प्रश्न का उत्तर नहीं देते हैं।

मॉडल सिद्धांत बनाम प्रमाण सिद्धांत: पोस्ट का प्रमाण

क्लेन (1967:33) का मानना ​​है कि तर्क को दो तरीकों से स्थापित किया जा सकता है, पहला एक मॉडल सिद्धांत के रूप में, या दूसरा औपचारिक प्रमाण या स्वयंसिद्ध सिद्धांत द्वारा; दो सूत्रीकरण, मॉडल सिद्धांत और प्रमाण सिद्धांत, समान परिणाम देते हैं (क्लीन 1967:33)। यह मूलभूत विकल्प, और उनकी तुल्यता विधेय तर्क पर भी लागू होती है (क्लेन 1967:318)।

पोस्ट 1921 के अपने परिचय में, वैन हाइजेनॉर्ट ने देखा कि सत्य-तालिका और स्वयंसिद्ध दोनों दृष्टिकोण स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किए गए हैं। दोनों तरीकों से स्थिरता के प्रमाण का यह मामला (एक मॉडल सिद्धांत द्वारा, स्वयंसिद्ध प्रमाण सिद्धांत द्वारा) पोस्ट की स्थिरता प्रमाण के अधिक अनुकूल संस्करण में आता है जिसे नागल और न्यूमैन 1958 में उनके अध्याय V में एक सफल का एक उदाहरण पाया जा सकता है। संगति का पूर्ण प्रमाण। पाठ के मुख्य भाग में वे अपनी स्थिरता प्रमाण प्राप्त करने के लिए एक मॉडल का उपयोग करते हैं (वे यह भी कहते हैं कि सिस्टम पूर्ण है लेकिन कोई प्रमाण नहीं देते हैं) (नागेल और न्यूमैन 1958:45-56)। लेकिन उनका पाठ पाठक को एक मॉडल पर भरोसा करने के बजाय एक प्रमाण का वादा करता है जो स्वयंसिद्ध है, और परिशिष्ट में वे दो वर्गों K में सूत्रों के विभाजन की धारणा के आधार पर यह प्रमाण देते हैं।₁ और के₂ जो परस्पर अनन्य और संपूर्ण हैं (नागेल और न्यूमैन 1958:109-113)।

गोडेल (1930): प्रथम-क्रम विधेय कलन पूरा हो गया है

(प्रतिबंधित) प्रथम-क्रम विधेय कलन तर्क की प्रणाली है जो विषय-विधेय की धारणा को प्रस्तावित तर्क (सीएफ पोस्ट, ऊपर) में जोड़ती है यानी विषय एक्स प्रवचन के एक डोमेन (ब्रह्मांड) से लिया गया है और विधेय है एक तार्किक फलन f(x): x विषय के रूप में और f(x) विधेय के रूप में (क्लीन 1967:74)। हालाँकि गोडेल के प्रमाण में पूर्णता की वही धारणा शामिल है जो पोस्ट के प्रमाण में है, गोडेल का प्रमाण कहीं अधिक कठिन है; निम्नलिखित में स्वयंसिद्ध समुच्चय की चर्चा है।

पूर्णता

कर्ट गोडेल ने अपने 1930 के डॉक्टरेट शोध प्रबंध में तर्क के कार्यात्मक कलन के सिद्धांतों की पूर्णता ने साबित कर दिया कि इस कलन में (यानी समानता के साथ या उसके बिना प्रतिबंधित विधेय तर्क) कि प्रत्येक वैध सूत्र या तो खंडन योग्य या संतोषजनक है या एक ही चीज़ के बराबर: प्रत्येक वैध सूत्र सिद्ध करने योग्य है और इसलिए तर्क पूर्ण है। यहां गोडेल की परिभाषा दी गई है कि प्रतिबंधित कार्यात्मक कैलकुलस पूरा हुआ है या नहीं:

...क्या यह वास्तव में प्रत्येक तार्किक-गणितीय प्रस्ताव की व्युत्पत्ति के लिए पर्याप्त है, या जहां, शायद, यह कल्पना की जा सकती है कि ऐसे सच्चे प्रस्ताव हैं (जो अन्य सिद्धांतों के माध्यम से साबित हो सकते हैं) जिन्हें सिस्टम के तहत प्राप्त नहीं किया जा सकता है सोच-विचार।

प्रथम-क्रम विधेय कलन

यह विशेष विधेय कलन पहले क्रम तक ही सीमित है। प्रस्तावित कलन में यह दो विशेष प्रतीक जोड़ता है जो सामान्यीकरण के सार्वभौमिक परिमाणक का प्रतीक है और वहां (कम से कम एक) मौजूद है जो प्रवचन के क्षेत्र में फैला हुआ है। कैलकुलस में सभी के लिए केवल पहली धारणा की आवश्यकता होती है, लेकिन आम तौर पर इसमें दोनों शामिल होते हैं: (1) सभी x या प्रत्येक x के लिए धारणा को साहित्य में (x), ∀x, Πx इत्यादि के रूप में विभिन्न रूप से दर्शाया गया है, और (2) ) वहाँ की धारणा मौजूद है (कम से कम एक x) जिसे विभिन्न रूप से Ex, ∃x के रूप में दर्शाया गया है।

प्रतिबंध यह है कि सभी के लिए सामान्यीकरण केवल चर (वस्तुओं x, y, z आदि को प्रवचन के क्षेत्र से लिया गया है) पर लागू होता है और कार्यों पर नहीं, दूसरे शब्दों में कैलकुलस ∀xf(x) की अनुमति देगा (सभी प्राणियों के लिए x, x एक पक्षी है) लेकिन ∀f∀x(f(x)) नहीं [लेकिन यदि कैलकुलस में समानता जोड़ दी जाए तो यह ∀f:f(x) की अनुमति देगा; नीचे टार्स्की के अंतर्गत देखें]। उदाहरण:

मान लीजिए कि विधेय फलन f(x) x एक स्तनपायी है, और विषय-क्षेत्र (या प्रवचन का ब्रह्मांड) (cf क्लेन 1967:84) श्रेणी चमगादड़ है:

सूत्र ∀xf(x) सत्य मान सत्य उत्पन्न करता है (पढ़ें: वस्तुओं 'चमगादड़' के सभी उदाहरणों के लिए, 'x एक स्तनपायी है' सत्य है, अर्थात सभी चमगादड़ स्तनधारी हैं);

लेकिन यदि x के उदाहरण किसी डोमेन पंख वाले प्राणियों से लिए गए हैं तो ∀xf(x) से सत्य मान असत्य प्राप्त होता है (अर्थात 'पंख वाले प्राणियों' के सभी उदाहरणों x के लिए, 'x एक स्तनपायी है' का सत्य मान मिथ्या है; उड़ने वाले कीड़ों का स्तनधारी होना गलत है);

हालाँकि प्रवचन के व्यापक क्षेत्र में सभी पंख वाले जीव (जैसे पक्षी + उड़ने वाले कीड़े + उड़ने वाली गिलहरियाँ + चमगादड़) हम ∃xf(x) पर जोर दे सकते हैं (पढ़ें: कम से कम एक पंख वाला प्राणी मौजूद है जो एक स्तनपायी है) ; यह सत्य का सत्य मूल्य उत्पन्न करता है क्योंकि वस्तुएँ x श्रेणी चमगादड़ों और शायद उड़ने वाली गिलहरियों से आ सकती हैं (यह इस पर निर्भर करता है कि हम पंखों को कैसे परिभाषित करते हैं)। लेकिन सूत्र तब मिथ्यात्व उत्पन्न करता है जब प्रवचन का क्षेत्र उड़ने वाले कीड़ों या पक्षियों या दोनों तक ही सीमित होता है। कीड़े और पक्षी.

क्लेन की टिप्पणी है कि विधेय कलन (समानता के बिना या समानता के साथ) पूरी तरह से पूरा करता है (प्रथम क्रम सिद्धांतों के लिए) जिसे तर्क की भूमिका के रूप में माना गया है (क्लेन 1967:322)।

एक नया सिद्धांत: अरस्तू का सिद्धांत - सभी का सिद्धांत और कोई नहीं

इस स्वयंसिद्ध का यह पहला भाग - सभी का सिद्धांत गोडेल के स्वयंसिद्ध सेट में दो अतिरिक्त स्वयंसिद्धों में से पहले के रूप में दिखाई देगा। अरस्तू की उक्ति (डिक्टम डी ओमनी एट नलो) को कभी-कभी सभी और किसी की भी कहावत नहीं कहा जाता है, लेकिन वास्तव में दो कहावतें हैं जो दावा करती हैं: जो सभी (डोमेन के सदस्यों) के बारे में सच है वह कुछ (डोमेन के सदस्यों) के लिए सच है, और जो सभी (डोमेन के सदस्यों) के बारे में सत्य नहीं है, वह किसी (डोमेन के सदस्यों) के बारे में सत्य नहीं है।

यह कहावत बूले 1854 में कुछ स्थानों पर दिखाई देती है:

यह एक प्रश्न हो सकता है कि तर्क का वह सूत्र, जिसे अरस्तू की उक्ति, डी ओमनी एट नलो कहा जाता है, मानव तर्क के प्राथमिक नियम को व्यक्त करता है या नहीं; लेकिन इसमें कोई संदेह नहीं है कि यह तर्क में एक सामान्य सत्य व्यक्त करता है (1854:4)

लेकिन बाद में वह इसके ख़िलाफ़ तर्क देते नज़र आते हैं:

[कुछ सिद्धांत] एक स्वयंसिद्ध प्रकृति के सामान्य सिद्धांत, जैसे कि अरस्तू की उक्ति: जो कुछ भी जीनस की पुष्टि या खंडन किया जाता है, उसी अर्थ में उस जीनस के अंतर्गत शामिल किसी भी प्रजाति की पुष्टि या खंडन किया जा सकता है। ...या तो सीधे तौर पर, लेकिन अमूर्त रूप में, उस तर्क को बताएं जिसे उन्हें स्पष्ट करना है, और, इस प्रकार उस तर्क को बताते हुए, उसकी वैधता की पुष्टि करें; या उनकी अभिव्यक्ति में तकनीकी शब्दों को शामिल करें, जो परिभाषा के बाद हमें फिर से उसी बिंदु पर ले जाते हैं, अर्थात। अनुमान के अनुमानित स्वीकार्य रूपों का सार कथन।

लेकिन इस कहावत का पहला भाग (डिक्टम डी ओम्नी) पीएम में रसेल और व्हाइटहेड द्वारा लिया गया है, और डेविड हिल्बर्ट द्वारा पहले क्रम के विधेय तर्क के अपने संस्करण (1927) में लिया गया है; उनकी (प्रणाली) में एक सिद्धांत शामिल है जिसे हिल्बर्ट अरस्तू का सिद्धांत कहते हैं  :(x)f(x) → f(y)

यह स्वयंसिद्ध स्टीफन कोल क्लेन (क्लीन 1967:387) द्वारा प्रस्तुत आधुनिक स्वयंसिद्ध सेट में भी दिखाई देता है, उनकी ∀-स्कीमा के रूप में, विधेय कलन के लिए आवश्यक दो स्वयंसिद्धों में से एक (वह उन्हें अभिधारणा कहता है); दूसरा ∃-स्कीमा f(y) ⊃ ∃xf(x) है जो विशेष f(y) से कम से कम एक विषय x के अस्तित्व का कारण बनता है जो विधेय f(x) को संतुष्ट करता है; इन दोनों के लिए प्रवचन के एक परिभाषित डोमेन (ब्रह्मांड) का पालन आवश्यक है।

गोडेल का प्रतिबंधित विधेय कलन

प्रस्तावित कैलकुलस के चार (पांच से नीचे; पोस्ट देखें) सिद्धांतों को पूरक करने के लिए, गोडेल 1930 दो अतिरिक्त सिद्धांतों में से पहले के रूप में डिक्टम डी ओमनी जोड़ता है। उन्होंने एक फ़ुटनोट में दावा किया है कि यह सूक्ति और दूसरा स्वयंसिद्ध दोनों प्रिंसिपिया मैथमेटिका से निकले हैं। दरअसल, पीएम में दोनों शामिल हैं

❋10.1 ⊦ ∀xf(x) ⊃ f(y) [ यानी. जो सभी मामलों में सत्य है वह किसी एक मामले में भी सत्य है (अरस्तू की उक्ति, अधिक आधुनिक प्रतीकों में पुनः लिखी गई)]

❋10.2 ⊦∀x(p ⋁ f(x)) ⊃ (p ⋁ ∀xf(x)) [अधिक आधुनिक प्रतीकों में पुनः लिखा गया]

उत्तरार्द्ध का दावा है कि एक साधारण प्रस्ताव पी और एक विधेय ∀xf(x) का तार्किक योग (यानी ⋁, OR) प्रत्येक के अलग-अलग तार्किक योग को दर्शाता है। लेकिन पीएम ने इन दोनों को ❋9 के छह आदिम प्रस्तावों से प्राप्त किया है, जिसे पीएम के दूसरे संस्करण में खारिज कर दिया गया है और ❋8 के चार नए पीपी (आदिम सिद्धांतों) के साथ प्रतिस्थापित किया गया है (विशेष रूप से ❋8.2 देखें, और हिल्बर्ट ने अपने से पहला प्राप्त किया है) उनके 1927 में तार्किक ε-स्वयंसिद्ध और दूसरे का उल्लेख नहीं है। हिल्बर्ट और गोडेल ने इन दोनों को स्वयंसिद्धों के रूप में कैसे अपनाया यह स्पष्ट नहीं है।

विधेय पर लागू होने वाले पृथक्करण (मोडस पोनेन्स) के दो और नियम भी आवश्यक हैं।

टार्स्की (1946): लीबनिज़ का नियम

अल्फ्रेड टार्स्की ने अपने 1946 (द्वितीय संस्करण) इंट्रोडक्शन टू लॉजिक एंड टू द मेथडोलॉजी ऑफ द डिडक्टिव साइंसेज में सेंटेंशियल कैलकुलस के कई सार्वभौमिक कानूनों, अनुमान के तीन नियमों और पहचान के एक मौलिक कानून का हवाला दिया है (जिससे वह प्राप्त करते हैं) चार और कानून)। विचारों के पारंपरिक नियम उनके कानूनों और नियमों की लंबी सूची में शामिल हैं। उनका उपचार, जैसा कि उनकी पुस्तक के शीर्षक से पता चलता है, निगमनात्मक विज्ञान की पद्धति तक ही सीमित है।

तर्क: अपने परिचय (द्वितीय संस्करण) में उन्होंने देखा कि गणित में तर्क के अनुप्रयोग के साथ जो शुरू हुआ वह संपूर्ण मानव ज्ञान तक फैल गया है:

[मैं प्रस्तुत करना चाहता हूं] समकालीन विचार की उस शक्तिशाली प्रवृत्ति का एक स्पष्ट विचार जो आधुनिक तर्क के बारे में केंद्रित है। यह प्रवृत्ति मूल रूप से गणित की नींव को स्थिर करने के कुछ हद तक सीमित कार्य से उत्पन्न हुई। हालाँकि, अपने वर्तमान चरण में, इसके बहुत व्यापक लक्ष्य हैं। क्योंकि यह एक एकीकृत वैचारिक तंत्र बनाना चाहता है जो संपूर्ण मानव ज्ञान के लिए एक सामान्य आधार प्रदान करेगा। .

पहचान का नियम (लीबनिज़ का नियम, समानता)

प्रस्तावित कलन में समानता की धारणा जोड़ने के लिए (इस नई धारणा को ↔, ⇄, यदि और केवल यदि (आईएफएफ), द्विशर्त, आदि के प्रतीक तार्किक तुल्यता के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए) टार्स्की (सीएफ पी54-57) उसका प्रतीक है लीबनिज़ के नियम को प्रतीक = के साथ कहते हैं। यह प्रवचन के क्षेत्र (ब्रह्मांड) और कार्यों के प्रकारों को संख्याओं और गणितीय सूत्रों तक विस्तारित करता है (क्लीन 1967:148एफएफ, टार्स्की 1946:54एफएफ)।

संक्षेप में: यह देखते हुए कि x में वह सभी गुण हैं जो y में हैं, हम x = y लिख सकते हैं, और इस सूत्र में सत्य या असत्य का सत्य मान होगा। टार्स्की ने लीबनिज़ के इस नियम को इस प्रकार बताया है:

• I. लीबनिज़ का नियम: x = y, यदि, और केवल यदि, x के पास वह सभी संपत्ति है जो y के पास है, और y के पास वह सभी संपत्ति है जो x के पास है।

फिर वह इस कानून से कुछ अन्य कानून प्राप्त करता है:

• द्वितीय. रिफ्लेक्सिविटी का नियम: हर चीज़ अपने आप में बराबर है: x = x। [PM ❋13.15 पर सिद्ध]
• तृतीय. समरूपता का नियम: यदि x = y, तो y = x. [PM ❋13.16 पर सिद्ध]
• चतुर्थ. परिवर्तनशीलता का नियम: यदि x = y और y = z, तो x = z. [PM ❋13.17 पर सिद्ध]
• वी. यदि x = z और y = z, तो x = y. [पीएम ❋13.172 पर सिद्ध]

प्रिंसिपिया मैथमैटिका समानता की धारणा को इस प्रकार परिभाषित करती है (आधुनिक प्रतीकों में); ध्यान दें कि सभी के लिए सामान्यीकरण विधेय-कार्यों f( ) तक फैला हुआ है:

❋13.01. एक्स = वाई =_def ∀f:(f(x) → f(y)) (यह परिभाषा बताती है कि x और y को समान कहा जाएगा जब x से संतुष्ट प्रत्येक विधेय फ़ंक्शन y से संतुष्ट हो

हिल्बर्ट 1927:467 समानता के केवल दो सिद्धांत जोड़ता है, पहला है x = x, दूसरा है (x = y) → ((f(x) → f(y)); सभी के लिए f गायब है (या निहित है) . गोडेल 1930 पीएम के समान समानता को परिभाषित करता है:❋13.01। क्लेन 1967 ने हिल्बर्ट 1927 से दो और दो को अपनाया (क्लेन 1967:387)।

जॉर्ज स्पेंसर-ब्राउन (1969): फॉर्म के नियम

जॉर्ज स्पेंसर-ब्राउन ने अपने 1969 स्वरूप के नियम (एलओएफ) में सबसे पहले यह मानकर शुरुआत की है कि हम भेद किए बिना कोई संकेत नहीं दे सकते। इसलिए, यह बहिष्कृत मध्य के नियम की परिकल्पना करता है। फिर वह दो सिद्धांतों को परिभाषित करने के लिए आगे बढ़ता है, जो बताता है कि भेद (एक सीमा) और संकेत (एक कॉल) कैसे काम करते हैं:

• अभिगृहीत 1. कॉलिंग का नियम: दोबारा की गई कॉल का मूल्य ही कॉल का मूल्य है।
• अभिगृहीत 2. क्रॉसिंग का नियम: दोबारा किए गए (सीमा) क्रॉसिंग का मूल्य क्रॉसिंग का मूल्य नहीं है।

ये सिद्धांत क्रमशः पहचान के नियम और गैर-विरोधाभास के नियम से मिलते जुलते हैं। हालाँकि, पहचान का नियम एलओएफ के ढांचे के भीतर एक प्रमेय (फॉर्म के नियमों में प्रमेय 4.5) के रूप में सिद्ध होता है। सामान्य तौर पर, LoF के प्रतीकों और मूल्यों को विशिष्ट व्याख्याएं निर्दिष्ट करके LoF को प्रथम-क्रम तर्क, प्रस्ताव तर्क और दूसरे-क्रम तर्क के रूप में पुनर्व्याख्यायित किया जा सकता है।

समसामयिक विकास

तर्क की उपरोक्त सभी प्रणालियों को शास्त्रीय अर्थ प्रस्ताव माना जाता है और विधेय अभिव्यक्तियाँ दो-मूल्य वाली होती हैं, या तो सत्य मूल्य सत्य या मिथ्या, लेकिन दोनों नहीं (क्लीन 1967:8 और 83)। जबकि अंतर्ज्ञानवादी तर्क शास्त्रीय श्रेणी में आता है, यह सभी ऑपरेटरों के लिए बहिष्कृत मध्य के कानून तक विस्तार करने पर आपत्ति करता है; यह कानून के उदाहरणों की अनुमति देता है, लेकिन प्रवचन के अनंत क्षेत्र में इसके सामान्यीकरण की नहीं।

अंतर्ज्ञानवादी तर्क

'अंतर्ज्ञानवादी तर्क', जिसे कभी-कभी आमतौर पर रचनात्मक तर्क भी कहा जाता है, एक परापूर्ण गणितीय तर्क है जो रचनात्मक प्रमाण की अवधारणा के साथ सत्य की पारंपरिक अवधारणा को प्रतिस्थापित करके शास्त्रीय तर्क से भिन्न होता है।

बहिष्कृत मध्य का सामान्यीकृत कानून अंतर्ज्ञानवादी तर्क के निष्पादन का हिस्सा नहीं है, लेकिन न ही इसे नकारा गया है। अंतर्ज्ञानवादी तर्क केवल रचनात्मक प्रमाण के रूप में परिभाषित ऑपरेशन के हिस्से के रूप में ऑपरेशन के उपयोग को रोकता है, जो इसे अमान्य प्रदर्शित करने के समान नहीं है (यह एक विशेष भवन शैली के उपयोग के बराबर है जिसमें पेंच निषिद्ध हैं और केवल नाखून हैं अनुमति है; यह आवश्यक रूप से स्क्रू के अस्तित्व या उपयोगिता को अस्वीकार नहीं करता है या उस पर सवाल भी नहीं उठाता है, बल्कि केवल यह दर्शाता है कि उनके बिना क्या बनाया जा सकता है)।

विरोधाभासी तर्क

'पैराकॉन्सिस्टेंट लॉजिक' तथाकथित विरोधाभास-सहिष्णु तार्किक प्रणालियों को संदर्भित करता है जिसमें विरोधाभास जरूरी नहीं कि तुच्छता में परिणत हो। दूसरे शब्दों में विस्फोट का सिद्धांत ऐसे तर्कों में मान्य नहीं है। कुछ (अर्थात् द्वंद्ववादी) तर्क देते हैं कि गैर-विरोधाभास के नियम को द्वंद्वात्मक तर्क द्वारा नकार दिया जाता है। वे कुछ विरोधाभासों से प्रेरित होते हैं जो गैर-विरोधाभास के कानून की एक सीमा को दर्शाते हैं, अर्थात् झूठा विरोधाभास। एक तुच्छ तार्किक प्रणाली से बचने के लिए और फिर भी कुछ विरोधाभासों को सत्य होने देने के लिए, द्वैतवादी किसी प्रकार के असंगत तर्क का उपयोग करेंगे।

तीन-मूल्यवान तर्क

टीबीडी सीएफ तीन-मूल्यवान तर्क ये कोशिश करें एक टर्नेरी अंकगणित और तर्क - सिमेंटिक स्कॉलर

मॉडल प्रस्तावात्मक गणना

(सीएफ क्लेन 1967:49): इन मोडल तर्क में प्रतीक ⎕A शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि A आवश्यक है और ◊A का अर्थ है A संभव है। क्लेन का कहना है कि:

ये धारणाएँ सोच के क्षेत्रों में प्रवेश करती हैं जहाँ दो अलग-अलग प्रकार के सत्य समझे जाते हैं, एक दूसरे की तुलना में अधिक सार्वभौमिक या सम्मोहक ... एक प्राणीविज्ञानी घोषणा कर सकता है कि यह असंभव है कि सैलामैंडर या कोई अन्य जीवित प्राणी आग से बच सकते हैं; लेकिन संभव है (यद्यपि असत्य) कि यूनिकॉर्न अस्तित्व में हैं, और संभव है (यद्यपि असंभव है) कि घृणित हिममानव मौजूद हैं।

फ़ज़ी लॉजिक

'फ़ज़ी लॉजिक' [[बहु-मूल्यवान तर्क]] का एक रूप है; यह ऐसे तर्क से संबंधित है जो निश्चित और सटीक होने के बजाय अनुमानित है।

यह भी देखें

• अवधारणाओं का बीजगणित

संदर्भ

• Aristotle, "The Categories", Harold P. Cooke (trans.), pp. 1–109 in Aristotle, Vol. 1, Loeb Classical Library, William Heinemann, London, UK, 1938.
• Aristotle, "On Interpretation", Harold P. Cooke (trans.), pp. 111–179 in Aristotle, Vol. 1, Loeb Classical Library, William Heinemann, London, UK, 1938.
• Aristotle, "Prior Analytics", Hugh Tredennick (trans.), pp. 181–531 in Aristotle, Vol. 1, Loeb Classical Library, William Heinemann, London, UK, 1938.
• Boole, George, An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities, Macmillan, 1854. Reprinted with corrections, Dover Publications, New York, NY, 1958.
• Louis Couturat, translated by Lydia Gillingham Robinson, 1914, The Algebra of Logic, The Open Court Publishing Company, Chicago and London. Downloaded via googlebooks.
• Gödel 1944 Russell's mathematical logic in Kurt Gödel: Collected Works Volume II, Oxford University Press, New York, NY, ISBN 978-0-19-514721-6
• Sir William Hamilton, 9th Baronet, (Henry L. Mansel and John Veitch, ed.), 1860 Lectures on Metaphysics and Logic, in Two Volumes. Vol. II. Logic, Boston: Gould and Lincoln. Downloaded via googlebooks.
• Stephen Cole Kleene, 1967, Mathematical Logic reprint 2002, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, ISBN 0-486-42533-9 (pbk.)
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• Bertrand Russell, The Problems of Philosophy (1912), Oxford University Press, New York, 1997, ISBN 0-19-511552-X.
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• Emil Post, 1921, Introduction to a general theory of elementary propositions with commentary by van Heijenoort, pages 264ff
• David Hilbert, 1927, The foundations of mathematics with commentary by van Heijenoort, pages 464ff
• Kurt Gödel, 1930a, The completeness of the axioms of the functional calculus of logic with commentary by van Heijenoort, pages 592ff.

• Alfred North Whitehead, Bertrand Russell. Principia Mathematica, 3 vols, Cambridge University Press, 1910, 1912, and 1913. Second edition, 1925 (Vol. 1), 1927 (Vols 2, 3). Abridged as Principia Mathematica to *56 (2nd edition), Cambridge University Press, 1962, no LCCCN or ISBN

बाहरी संबंध

• James Danaher, "The Laws of Thought", The Philosopher, Volume LXXXXII No. 1
• Peter Suber, "Non-Contradiction and Excluded Middle Archived 2011-08-04 at the Wayback Machine", Earlham College