प्रस्तावात्मक कलन

Not to be confused with Propositional analysis.

प्रोपोज़िशनल कैलकुलस तर्क की एक शाखा है। इसे प्रोपोज़िशनल लॉजिक, स्टेटमेंट लॉजिक, सेंटेंशियल कैलकुलस, सेंटेंशियल लॉजिक या कभी-कभी शून्य-क्रम तर्क भी कहा जाता है। यह प्रस्तावों (जो सही या गलत हो सकता है) और प्रस्तावों के बीच संबंधों से संबंधित है, जिसमें उनके आधार पर तर्कों का निर्माण भी शामिल है। यौगिक तर्कवाक्यों का निर्माण तार्किक संयोजकों द्वारा तर्कवाक्यों को जोड़ने से होता है। जिन प्रस्तावों में कोई तार्किक संयोजक नहीं होता, उन्हें परमाणु प्रस्ताव कहा जाता है।

प्रथम-क्रम तर्क के विपरीत, प्रस्तावात्मक तर्क गैर-तार्किक वस्तुओं से निपटता नहीं है, उनके बारे में भविष्यवाणी नहीं करता है, या परिमाणक (तर्क)तर्क) नहीं करता है। हालाँकि, प्रस्तावात्मक तर्क की सभी मशीनरी प्रथम-क्रम तर्क और उच्च-क्रम तर्क में शामिल है। इस अर्थ में, प्रस्तावात्मक तर्क प्रथम-क्रम तर्क और उच्च-क्रम तर्क की नींव है।

स्पष्टीकरण

तार्किक संयोजक प्राकृतिक भाषाओं में पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, अंग्रेजी में, कुछ उदाहरण हैं और (तार्किक संयोजन), या (तार्किक विच्छेदन), नहीं (नकारात्मक) और यदि (लेकिन केवल जब सामग्री सशर्त को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है)।

निम्नलिखित प्रस्तावात्मक तर्क के दायरे में एक बहुत ही सरल अनुमान का एक उदाहरण है:

परिसर 1: यदि बारिश हो रही है तो बादल छाए हुए हैं।

परिसर 2: बारिश हो रही है.

निष्कर्ष: बादल छाए हुए हैं।

परिसर और निष्कर्ष दोनों ही प्रस्ताव हैं। परिसर को मान लिया गया है, और मूड सेट करना (एक अनुमान नियम) के आवेदन के साथ, निष्कर्ष निम्नानुसार है।

चूँकि प्रस्तावात्मक तर्क उस बिंदु से परे प्रस्तावों की संरचना से संबंधित नहीं है, जहाँ उन्हें तार्किक संयोजकों द्वारा विघटित नहीं किया जा सकता है, इस अनुमान को उन परमाणु कथनों को कथन पत्रों के साथ प्रतिस्थापित करके पुनः स्थापित किया जा सकता है, जिन्हें कथनों का प्रतिनिधित्व करने वाले चर के रूप में व्याख्या की जाती है:

परिसर 1: $P\to Q$

परिसर 2: $P$

निष्कर्ष: $Q$

इसे निम्नलिखित तरीके से संक्षेप में कहा जा सकता है:

${\frac {P\to Q,P}{Q}}$

कब P की व्याख्या इस प्रकार की जाती है कि बारिश हो रही है और Q चूँकि बादल छाए हुए हैं इसलिए उपरोक्त प्रतीकात्मक अभिव्यक्तियाँ प्राकृतिक भाषा में मूल अभिव्यक्ति के बिल्कुल अनुरूप देखी जा सकती हैं। इतना ही नहीं, बल्कि वे इस फॉर्म के किसी अन्य अनुमान के अनुरूप भी होंगे, जो उसी आधार पर मान्य होगा जिस आधार पर यह अनुमान है।

प्रस्ताव संबंधी तर्क का अध्ययन एक औपचारिक प्रणाली के माध्यम से किया जा सकता है जिसमें प्रस्तावों का प्रतिनिधित्व करने के लिए औपचारिक भाषा के सुव्यवस्थित सूत्र की व्याख्या (तर्क) की जा सकती है। अभिगृहीतों और अनुमान के नियम की एक निगमनात्मक प्रणाली कुछ सूत्रों को प्राप्त करने की अनुमति देती है। इन व्युत्पन्न सूत्रों को प्रमेय कहा जाता है और इनकी व्याख्या सच्चे प्रस्तावों के रूप में की जा सकती है। ऐसे सूत्रों के निर्मित अनुक्रम को औपचारिक प्रमाण या सबूत के रूप में जाना जाता है और अनुक्रम का अंतिम सूत्र प्रमेय है। व्युत्पत्ति की व्याख्या प्रमेय द्वारा प्रस्तुत प्रस्ताव के प्रमाण के रूप में की जा सकती है।

जब औपचारिक तर्क का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक औपचारिक प्रणाली का उपयोग किया जाता है, तो केवल कथन अक्षर (आमतौर पर बड़े रोमन अक्षर जैसे $P$, $Q$ और $R$) का प्रत्यक्ष प्रतिनिधित्व किया जाता है। प्राकृतिक भाषा के जो प्रस्ताव तब सामने आते हैं जब उनकी व्याख्या की जाती है, वे सिस्टम के दायरे से बाहर होते हैं, और औपचारिक प्रणाली और इसकी व्याख्या के बीच का संबंध भी औपचारिक प्रणाली के बाहर होता है।

शास्त्रीय सत्य-कार्यात्मक प्रस्ताव तर्क में, सूत्रों की व्याख्या दो संभावित सत्य मूल्यों में से एक के रूप में की जाती है, सत्य का सत्य मान या गलत का सत्य मान। द्विसंयोजकता के सिद्धांत और बहिष्कृत मध्य के नियम को बरकरार रखा गया है। सत्य-कार्यात्मक प्रस्तावात्मक तर्क को इस प्रकार परिभाषित किया गया है और सिस्टम समरूपता को शून्य-क्रम तर्क माना जाता है। हालाँकि, वैकल्पिक प्रस्तावात्मक तर्क भी संभव हैं। अधिक जानकारी के लिए, नीचे प्रोपोज़िशनल कैलकुलस#वैकल्पिक कैलकुलस देखें।

इतिहास

Main article: History of logic

हालाँकि प्रस्तावात्मक तर्क (जो प्रस्तावक कलन के साथ विनिमेय है) का संकेत पहले के दार्शनिकों द्वारा दिया गया था, इसे तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में क्रिसिपस द्वारा एक औपचारिक तर्क (स्टोइक तर्क) में विकसित किया गया था। और उनके उत्तराधिकारी स्टोइक्स द्वारा इसका विस्तार किया गया। तर्क प्रस्तावों पर केंद्रित था। यह उन्नति पारंपरिक सिलोगिज्म से अलग थी, जो सिलोगिज्म में सिलोगिज्म#शर्तों पर केंद्रित थी। हालाँकि, अधिकांश मूल रचनाएँ खो गईं और स्टोइक्स द्वारा विकसित प्रस्तावात्मक तर्क को बाद में प्राचीन काल में नहीं समझा गया था।परिणामस्वरूप, 12वीं शताब्दी में पीटर एबेलार्ड द्वारा इस प्रणाली का अनिवार्य रूप से पुनरुद्धार किया गया था। प्रस्तावात्मक तर्क को अंततः प्रतीकात्मक तर्क का उपयोग करके परिष्कृत किया गया। 17वीं/18वीं सदी के गणितज्ञ गॉटफ्राइड लीबनिज को गणना कैलकुलेटर के साथ उनके काम के लिए प्रतीकात्मक तर्क के संस्थापक होने का श्रेय दिया गया है। हालाँकि उनका काम अपनी तरह का पहला था, लेकिन यह बड़े तार्किक समुदाय के लिए अज्ञात था। नतीजतन, लाइबनिज द्वारा हासिल की गई कई प्रगति जॉर्ज बूले और ऑगस्टस डीमॉर्गन जैसे तर्कशास्त्रियों द्वारा फिर से बनाई गई - जो कि लाइबनिज से पूरी तरह स्वतंत्र थे। जिस प्रकार प्रस्तावात्मक तर्क को पहले के सिलेगिस्टिक तर्क से उन्नति माना जा सकता है, उसी प्रकार गोटलोब फ़्रीज|गोटलोब फ़्रीज के विधेय तर्क को भी पहले के प्रस्तावात्मक तर्क से उन्नति माना जा सकता है। एक लेखक ने विधेय तर्क को सिलेगिस्टिक तर्क और प्रस्तावात्मक तर्क की विशिष्ट विशेषताओं के संयोजन के रूप में वर्णित किया है। परिणामस्वरूप, विधेय तर्क ने तर्क के इतिहास में एक नए युग की शुरुआत की; हालाँकि, फ़्रीज के बाद भी प्रस्तावात्मक तर्क में प्रगति हुई, जिसमें प्राकृतिक कटौती, विश्लेषणात्मक झांकी की विधि और सत्य-सारणी शामिल हैं। प्राकृतिक कटौती का आविष्कार गेरहार्ड जेंटज़न और स्टैनिस्लाव जस्कॉव्स्की ने किया था। सत्य वृक्षों का आविष्कार एवर्ट विलेम बेथ ने किया था। हालाँकि, सत्य तालिकाओं का आविष्कार अनिश्चित कारण वाला है।

फ़्रीज द्वारा कार्यों के भीतर और बर्ट्रेंड रसेल, सत्य तालिकाओं के आविष्कार के लिए विचार प्रभावशाली हैं। वास्तविक सारणीबद्ध संरचना (एक तालिका के रूप में स्वरूपित की जा रही है), का श्रेय आम तौर पर या तो लुडविग विट्गेन्स्टाइन या एमिल पोस्ट (या दोनों, स्वतंत्र रूप से) को दिया जाता है।फ़्रीज और रसेल के अलावा, जिन अन्य लोगों को सत्य सारणी से पहले के विचार रखने का श्रेय दिया जाता है उनमें फिलो, बूले, चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स शामिल हैं। और अर्न्स्ट श्रोडर (गणितज्ञ)|अर्नस्ट श्रोडर। सारणीबद्ध संरचना का श्रेय देने वाले अन्य लोगों में जान लुकासिविक्ज़, अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड, विलियम स्टेनली जेवन्स, जॉन वेन और क्लेरेंस इरविंग लुईस शामिल हैं।अंततः, जॉन शोस्की जैसे कुछ लोगों ने यह निष्कर्ष निकाला है कि यह स्पष्ट नहीं है कि किसी एक व्यक्ति को सत्य-सारणी के 'आविष्कारक' की उपाधि दी जानी चाहिए। .

शब्दावली

सामान्य शब्दों में, कैलकुलस एक औपचारिक प्रणाली है जिसमें वाक्यात्मक अभिव्यक्तियों (अच्छी तरह से गठित सूत्र) का एक सेट, इन अभिव्यक्तियों (स्वयंसिद्ध) का एक विशिष्ट उपसमूह, साथ ही औपचारिक नियमों का एक सेट होता है जो एक विशिष्ट बाइनरी संबंध को परिभाषित करता है, जिसका उद्देश्य अभिव्यक्ति के स्थान पर तार्किक तुल्यता के रूप में व्याख्या की जानी चाहिए।

जब औपचारिक प्रणाली को एक तार्किक प्रणाली बनाने का इरादा होता है, तो अभिव्यक्तियों की व्याख्या बयानों के रूप में की जाती है, और नियम, जिन्हें अनुमान नियम के रूप में जाना जाता है, आमतौर पर सत्य-संरक्षण के लिए होते हैं। इस सेटिंग में, नियम, जिसमें स्वयंसिद्ध बातें शामिल हो सकती हैं, का उपयोग सच्चे कथनों का प्रतिनिधित्व करने वाले सूत्रों को प्राप्त करने (अनुमान लगाने) के लिए किया जा सकता है - सच्चे कथनों का प्रतिनिधित्व करने वाले दिए गए सूत्रों से।

स्वयंसिद्धों का सेट खाली हो सकता है, एक गैर-रिक्त परिमित सेट, या एक गणनीय अनंत सेट (स्वयंसिद्ध योजना देखें)। एक औपचारिक व्याकरण औपचारिक भाषा के भावों और सुगठित सूत्रों को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित करता है। इसके अलावा एक शब्दार्थ दिया जा सकता है जो सत्य और मूल्यांकन (तर्क) (या व्याख्या (तर्क)) को परिभाषित करता है।

प्रस्तावक कलन की औपचारिक भाषा में शामिल हैं

1. आदिम प्रतीकों का एक सेट, जिसे विभिन्न रूप से परमाणु सूत्र, प्लेसहोल्डर, प्रस्ताव पत्र या चर कहा जाता है, और
2. ऑपरेटर प्रतीकों का एक सेट, जिसे विभिन्न प्रकार से तार्किक ऑपरेटरों या तार्किक संयोजकों के रूप में व्याख्यायित किया जाता है।

एक सुगठित सूत्र कोई भी परमाणु सूत्र है, या कोई भी सूत्र जिसे व्याकरण के नियमों के अनुसार ऑपरेटर प्रतीकों के माध्यम से परमाणु सूत्रों से बनाया जा सकता है।

गणितज्ञ कभी-कभी प्रस्तावात्मक स्थिरांक, प्रस्तावात्मक चर और स्कीमाटा के बीच अंतर करते हैं। प्रस्तावात्मक स्थिरांक कुछ विशेष प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि प्रस्तावात्मक चर सभी परमाणु प्रस्तावों के सेट पर होते हैं। हालाँकि, स्कीमाटा सभी प्रस्तावों पर आधारित है। प्रस्तावित स्थिरांकों को इसके द्वारा निरूपित करना आम बात है A, B, और C, प्रस्तावात्मक चर द्वारा P, Q, और R, और योजनाबद्ध अक्षर प्रायः ग्रीक अक्षर होते हैं φ, ψ, और χ.

बुनियादी अवधारणाएँ

निम्नलिखित एक मानक प्रस्तावात्मक कलन की रूपरेखा प्रस्तुत करता है। कई अलग-अलग फॉर्मूलेशन मौजूद हैं जो कमोबेश समान हैं, लेकिन विवरण में भिन्न हैं:

1. उनकी भाषा (यानी, आदिम प्रतीकों और ऑपरेटर प्रतीकों का विशेष संग्रह),
2. स्वयंसिद्धों, या विशिष्ट सूत्रों का सेट, और
3. अनुमान नियमों का सेट.

किसी भी दिए गए प्रस्ताव को एक अक्षर से दर्शाया जा सकता है जिसे 'प्रस्तावात्मक स्थिरांक' कहा जाता है, जो गणित में एक अक्षर द्वारा किसी संख्या को दर्शाने के समान है (उदाहरण के लिए, a = 5). सभी प्रस्तावों के लिए दो सत्य-मूल्यों में से एक की आवश्यकता होती है: सत्य या असत्य। उदाहरण के लिए, चलो P यह प्रस्ताव हो कि बाहर बारिश हो रही है। यह सच होगा (P) यदि बाहर बारिश हो रही है, और अन्यथा झूठी (¬P).

• फिर हम सत्य-कार्यात्मक ऑपरेटरों को परिभाषित करते हैं, जो निषेध से शुरू होते हैं। ¬P के निषेध का प्रतिनिधित्व करता है P, जिसे इनकार के रूप में सोचा जा सकता है P. उपरोक्त उदाहरण में, ¬P व्यक्त करता है कि बाहर बारिश नहीं हो रही है, या अधिक मानक रीडिंग द्वारा: ऐसा मामला नहीं है कि बाहर बारिश हो रही है। कब P क्या सच है, ¬P गलत है; और जब P गलत है, ¬P क्या सच है। नतीजतन, ¬ ¬P का सत्य-मूल्य सदैव समान होता है P.
• संयोजन एक सत्य-कार्यात्मक संयोजक है जो दो सरल प्रस्तावों से एक प्रस्ताव बनाता है, उदाहरण के लिए, P और Q. का संयोजन P और Q लिखा है P ∧ Q, और व्यक्त करता है कि प्रत्येक सत्य है। हम पढ़ते है P ∧ Q जैसाP और Q . किन्हीं दो प्रस्तावों के लिए, सत्य मूल्यों के चार संभावित कार्य हैं:
  1. P सत्य है और Q क्या सच है
  2. P सत्य है और Q गलत है
  3. P गलत है और Q क्या सच है
  4. P गलत है और Q गलत है

का संयोजन P और Q स्थिति 1 में सत्य है, और अन्यथा असत्य है। कहाँ P यह प्रस्ताव है कि बाहर बारिश हो रही है और Q यह प्रस्ताव है कि कंसास के ऊपर एक शीत-मोर्चा है, P ∧ Q यह सच है जब बाहर बारिश हो रही हो और कंसास में ठंडी हवा चल रही हो। अगर बाहर बारिश नहीं हो रही है तो P ∧ Q गलत है; और यदि कान्सास के ऊपर कोई शीत-वाताग्र नहीं है, तो P ∧ Q भी गलत है.

• वियोजन संयोजन के समान होता है क्योंकि यह दो सरल प्रस्तावों से एक प्रस्ताव बनाता है। हम इसे लिखते हैं P ∨ Q, और इसे पढ़ा जाता हैP या Q . यह या तो व्यक्त करता है P या Q क्या सच है। इस प्रकार, ऊपर सूचीबद्ध मामलों में, का विच्छेदन P साथ Q सभी मामलों में सत्य है - मामले 4 को छोड़कर। उपरोक्त उदाहरण का उपयोग करते हुए, विच्छेदन व्यक्त करता है कि या तो बाहर बारिश हो रही है, या कंसास के ऊपर ठंडी हवा चल रही है। (ध्यान दें, विच्छेदन का यह प्रयोग अंग्रेजी शब्द या के उपयोग जैसा माना जाता है। हालांकि, यह अंग्रेजी समावेशी विच्छेदन या के समान है, जिसका उपयोग दो प्रस्तावों में से कम से कम एक की सच्चाई को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। यह नहीं है अंग्रेजी अनन्य विच्छेद या की तरह, जो दो प्रस्तावों में से एक की सच्चाई को व्यक्त करता है। दूसरे शब्दों में, एक्सक्लूसिव या गलत है जब दोनों P और Q सत्य हैं (केस 1), और इसी तरह दोनों गलत हैं P और Q ग़लत हैं (केस 4)। विशिष्ट या का एक उदाहरण है: आपके पास बैगेल या पेस्ट्री हो सकता है, लेकिन दोनों नहीं। अक्सर प्राकृतिक भाषा में, उपयुक्त संदर्भ को देखते हुए, परिशिष्ट को छोड़ दिया जाता है, लेकिन दोनों को नहीं, बल्कि निहित किया जाता है। हालाँकि, गणित में, या हमेशा समावेशी होता है या; यदि विशिष्ट या अभिप्राय है तो इसे संभवतः xor द्वारा निर्दिष्ट किया जाएगा।)
• सामग्री सशर्त भी दो सरल प्रस्तावों से जुड़ती है, और हम लिखते हैं P → Q, जो यदि पढ़ा जाता है P तब Q . तीर के बाईं ओर के प्रस्ताव को पूर्ववर्ती कहा जाता है, और दाईं ओर के प्रस्ताव को परिणामी कहा जाता है। (संयोजन या विच्छेदन के लिए ऐसा कोई पदनाम नहीं है, क्योंकि वे क्रमविनिमेय संपत्ति संचालन हैं।) यह व्यक्त करता है कि Q जब भी सत्य है P क्या सच है। इस प्रकार P → Q केस 2 को छोड़कर उपरोक्त प्रत्येक मामले में सत्य है, क्योंकि यह एकमात्र मामला है जब P सत्य है लेकिन Q क्या नहीं है। उदाहरण का उपयोग करते हुए, यदि P तब Q व्यक्त करता है कि यदि बाहर बारिश हो रही है, तो कान्सास के ऊपर एक ठंडा मोर्चा है। भौतिक सशर्त को अक्सर भौतिक कारण के साथ भ्रमित किया जाता है। हालाँकि, भौतिक सशर्त, केवल दो प्रस्तावों को उनके सत्य-मूल्यों से जोड़ता है - जो कारण और प्रभाव का संबंध नहीं है। साहित्य में यह विवादास्पद है कि क्या भौतिक निहितार्थ तार्किक कारण का प्रतिनिधित्व करता है।
• बाइकंडीशनल दो सरल प्रस्तावों को जोड़ता है, और हम लिखते हैं P ↔ Q, जो पढ़ा जाता हैP अगर और केवल अगर Q . यह उसे व्यक्त करता है P और Q का सत्य-मूल्य समान है, और मामले 1 और 4 में।'P सत्य है यदि और केवल यदि Q' सत्य है, अन्यथा असत्य है।

इन विभिन्न ऑपरेटरों के लिए सत्य तालिकाओं के साथ-साथ विश्लेषणात्मक झांकी की विधि को देखना बहुत उपयोगी है।

संचालन के अंतर्गत समापन

प्रस्तावात्मक तर्क सत्य-कार्यात्मक संयोजकों के अंतर्गत समापन (गणित) है। कहने का तात्पर्य यह है कि किसी भी प्रस्ताव के लिए φ, ¬φ भी एक प्रस्ताव है. इसी तरह, किसी भी प्रस्ताव के लिए φ और ψ, φ ∧ ψ एक प्रस्ताव है, और इसी तरह विच्छेदन, सशर्त और द्विशर्त के लिए भी। इसका तात्पर्य यह है कि, उदाहरण के लिए, φ ∧ ψ एक प्रस्ताव है, और इसलिए इसे दूसरे प्रस्ताव के साथ जोड़ा जा सकता है। इसे दर्शाने के लिए, हमें यह इंगित करने के लिए कोष्ठकों का उपयोग करने की आवश्यकता है कि कौन सा प्रस्ताव किसके साथ जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, P ∧ Q ∧ R एक सुगठित सूत्र नहीं है, क्योंकि हम नहीं जानते कि हम जुड़ रहे हैं या नहीं P ∧ Q साथ R या यदि हम जुड़ रहे हैं P साथ Q ∧ R. इस प्रकार हमें या तो लिखना चाहिए (P ∧ Q) ∧ R पूर्व का प्रतिनिधित्व करने के लिए, या P ∧ (Q ∧ R) उत्तरार्द्ध का प्रतिनिधित्व करने के लिए। सत्य स्थितियों का मूल्यांकन करके, हम देखते हैं कि दोनों अभिव्यक्तियों में समान सत्य स्थितियाँ हैं (समान मामलों में सत्य होंगी), और इसके अलावा, मनमाने संयोजनों द्वारा गठित किसी भी प्रस्ताव में समान सत्य स्थितियाँ होंगी, कोष्ठक के स्थान की परवाह किए बिना। इसका मतलब यह है कि संयोजन सहयोगी संपत्ति है, हालांकि, किसी को यह नहीं मानना ​​चाहिए कि कोष्ठक कभी भी किसी उद्देश्य की पूर्ति नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, वाक्य P ∧ (Q ∨ R) की सत्य स्थितियाँ समान नहीं हैं (P ∧ Q) ∨ R, इसलिए वे अलग-अलग वाक्य हैं जो केवल कोष्ठक द्वारा ही पहचाने जाते हैं। कोई इसे ऊपर उल्लिखित सत्य-तालिका विधि द्वारा सत्यापित कर सकता है।

नोट: प्रस्तावित स्थिरांक की किसी भी मनमानी संख्या के लिए, हम मामलों की एक सीमित संख्या बना सकते हैं जो उनके संभावित सत्य-मूल्यों को सूचीबद्ध करते हैं। इसे उत्पन्न करने का एक सरल तरीका सत्य-सारणी है, जिसमें कोई लिखता है P, Q, ..., Z, किसी भी सूची के लिए k प्रस्तावात्मक स्थिरांक—अर्थात्, प्रस्तावात्मक स्थिरांकों की कोई भी सूची k प्रविष्टियाँ। इस सूची के नीचे एक व्यक्ति लिखता है 2^k पंक्तियाँ, और नीचे P पंक्तियों के पहले आधे हिस्से को सत्य (या टी) से और दूसरे आधे हिस्से को गलत (या एफ) से भरता है। नीचे Q कोई एक-चौथाई पंक्तियों को T से भरता है, फिर एक-चौथाई को F से, फिर एक-चौथाई को T से और अंतिम तिमाही को F से भरता है। अगला कॉलम पंक्तियों के प्रत्येक आठवें भाग के लिए सत्य और असत्य के बीच वैकल्पिक होता है, फिर सोलहवें , और इसी तरह, जब तक कि अंतिम प्रस्ताव स्थिरांक प्रत्येक पंक्ति के लिए टी और एफ के बीच भिन्न न हो जाए। यह उन प्रस्तावित स्थिरांकों के लिए संभावित मामलों या सत्य-मूल्य असाइनमेंट की पूरी सूची देगा।

तर्क

प्रस्तावात्मक कैलकुलस तब तर्क को प्रस्तावों की एक सूची के रूप में परिभाषित करता है। एक वैध तर्क प्रस्तावों की एक सूची है, जिनमें से अंतिम बाकी से आता है या निहित है। अन्य सभी तर्क अमान्य हैं. सबसे सरल वैध तर्क मूड सेट करना है, जिसका एक उदाहरण प्रस्तावों की निम्नलिखित सूची है:

${\begin{array}{rl}1.&P\to Q\\2.&P\\\hline \therefore &Q\end{array}}$

यह तीन प्रस्तावों की एक सूची है, प्रत्येक पंक्ति एक प्रस्ताव है, और अंतिम बाकी से अनुसरण करता है। पहली दो पंक्तियों को परिसर और अंतिम पंक्ति को निष्कर्ष कहा जाता है। हम कहते हैं कि कोई भी प्रस्ताव C प्रस्तावों के किसी भी सेट से अनुसरण करता है $(P_{1},...,P_{n})$, अगर C सेट का प्रत्येक सदस्य सत्य होना चाहिए $(P_{1},...,P_{n})$ क्या सच है। उपरोक्त तर्क में, किसी के लिए भी P और Q, जब कभी भी P → Q और P आवश्यक रूप से सत्य हैं Q क्या सच है। ध्यान दें कि, कब P सत्य है, हम मामले 3 और 4 (सत्य तालिका से) पर विचार नहीं कर सकते। कब P → Q सत्य है, हम केस 2 पर विचार नहीं कर सकते। इससे केवल केस 1 बचता है, जिसमें Q भी सत्य है. इस प्रकार Q परिसर द्वारा निहित है.

यह योजनाबद्ध रूप से सामान्यीकरण करता है। इस प्रकार, कहाँ φ और ψ कोई भी प्रस्ताव हो सकता है,

${\begin{array}{rl}1.&\varphi \to \psi \\2.&\varphi \\\hline \therefore &\psi \end{array}}$

अन्य तर्क प्रपत्र सुविधाजनक हैं, लेकिन आवश्यक नहीं हैं। स्वयंसिद्धों के एक पूरे सेट को देखते हुए (ऐसे एक सेट के लिए नीचे देखें), मोडस पोनेन्स प्रस्तावात्मक तर्क में अन्य सभी तर्क रूपों को साबित करने के लिए पर्याप्त है, इस प्रकार उन्हें व्युत्पन्न माना जा सकता है। ध्यान दें, यह प्रथम-क्रम तर्क जैसे अन्य तर्कों के लिए प्रस्तावात्मक तर्क के विस्तार के बारे में सच नहीं है। प्रथम-क्रम तर्क को पूर्णता (तर्क) प्राप्त करने के लिए अनुमान के कम से कम एक अतिरिक्त नियम की आवश्यकता होती है।

औपचारिक तर्क में तर्क का महत्व यह है कि व्यक्ति स्थापित सत्यों से नए सत्य प्राप्त कर सकता है। उपरोक्त पहले उदाहरण में, दो आधारों को देखते हुए, की सच्चाई Q अभी तक ज्ञात या बताया नहीं गया है। तर्क-वितर्क हो जाने के बाद, Qका अनुमान लगाया जाता है. इस तरह, हम कटौती प्रणाली को उन सभी प्रस्तावों के एक सेट के रूप में परिभाषित करते हैं जिन्हें प्रस्तावों के दूसरे सेट से निकाला जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्रस्तावों का सेट दिया गया है $A=\{P\lor Q,\neg Q\land R,(P\lor Q)\to R\}$, हम एक कटौती प्रणाली को परिभाषित कर सकते हैं, Γ, जो कि अनुसरण करने वाले सभी प्रस्तावों का समूह है A. निगमन प्रमेय#अनुमान के आभासी नियम हमेशा माने जाते हैं, इसलिए $P\lor Q,\neg Q\land R,(P\lor Q)\to R\in \Gamma$. इसके अलावा, के पहले तत्व से A, अंतिम तत्व, साथ ही विधि सेट करना, R एक परिणाम है, इत्यादि $R\in \Gamma$. हालाँकि, हमने पर्याप्त रूप से पूर्ण स्वयंसिद्धों को शामिल नहीं किया है, इसलिए और कुछ भी निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है। इस प्रकार, भले ही प्रस्तावात्मक तर्क में अध्ययन की गई अधिकांश कटौती प्रणालियाँ निष्कर्ष निकालने में सक्षम हैं $(P\lor Q)\leftrightarrow (\neg P\to Q)$, यह इस तरह के प्रस्ताव को साबित करने के लिए बहुत कमजोर है।

प्रस्तावित कलन का सामान्य विवरण

प्रस्तावात्मक कलन एक औपचारिक प्रणाली है ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}\left(\mathrm {A} ,\ \Omega ,\ \mathrm {Z} ,\ \mathrm {I} \right)$, कहाँ:

• The alpha set $\mathrm {A}$ is a countably infinite set of elements called proposition symbols or propositional variables. Syntactically speaking, these are the most basic elements of the formal language ${\mathcal {L}}$, otherwise referred to as atomic formulas or terminal elements. In the examples to follow, the elements of $\mathrm {A}$ are typically the letters p, q, r, and so on.
• The omega set Ω is a finite set of elements called operator symbols or logical connectives. The set Ω is partitioned into disjoint subsets as follows:

  $\Omega =\Omega _{0}\cup \Omega _{1}\cup \cdots \cup \Omega _{j}\cup \cdots \cup \Omega _{m}.$

  In this partition, $\Omega _{j}$ is the set of operator symbols of arity j.

  In the more familiar propositional calculi, Ω is typically partitioned as follows:

  $\Omega _{1}=\{\lnot \},$

  $\Omega _{2}\subseteq \{\land ,\lor ,\to ,\leftrightarrow \}.$

  A frequently adopted convention treats the constant logical values as operators of arity zero, thus:

  $\Omega _{0}=\{\bot ,\top \}.$

  Some writers use the tilde (~), or N, instead of ¬; and some use v instead of $\vee$ as well as the ampersand (&), the prefixed K, or $\cdot$ instead of $\wedge$. Notation varies even more for the set of logical values, with symbols like {false, true}, {F, T}, or {0, 1} all being seen in various contexts instead of $\{\bot ,\top \}$.
• The zeta set $\mathrm {Z}$ is a finite set of transformation rules that are called inference rules when they acquire logical applications.
• The iota set $\mathrm {I}$ is a countable set of initial points that are called axioms when they receive logical interpretations.

की भाषा ${\mathcal {L}}$, जिसे इसके सूत्रों के सेट, सुगठित सूत्रों के रूप में भी जाना जाता है, निम्नलिखित नियमों द्वारा आगमनात्मक परिभाषा है:

1. आधार: अल्फा सेट का कोई भी तत्व $\mathrm {A}$ का एक सूत्र है ${\mathcal {L}}$.
2. अगर $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{j}$ सूत्र हैं और $f$ में है $\Omega _{j}$, तब $\left(fp_{1}p_{2}\ldots p_{j}\right)$ एक सूत्र है.
3. बंद: और कुछ नहीं का सूत्र है ${\mathcal {L}}$.

इन नियमों को बार-बार लागू करने से जटिल सूत्रों के निर्माण की अनुमति मिलती है। उदाहरण के लिए:

• नियम 1 के अनुसार, p एक सूत्र है.
• नियम 2 के अनुसार, $\neg p$ एक सूत्र है.
• नियम 1 के अनुसार, q एक सूत्र है.
• नियम 2 के अनुसार, $(\neg p\lor q)$ एक सूत्र है.

उदाहरण 1. सरल स्वयंसिद्ध प्रणाली

होने देना ${\mathcal {L}}_{1}={\mathcal {L}}(\mathrm {A} ,\Omega ,\mathrm {Z} ,\mathrm {I} )$, कहाँ $\mathrm {A}$, $\Omega$, $\mathrm {Z}$, $\mathrm {I}$ निम्नानुसार परिभाषित हैं:

• सेट $\mathrm {A}$, प्रतीकों का अनगिनत अनंत सेट जो तार्किक प्रस्तावों का प्रतिनिधित्व करने के लिए काम करता है:

  $\mathrm {A} =\{p,q,r,s,t,u,p_{2},\ldots \}.$

• कार्यात्मक रूप से पूर्ण सेट $\Omega$ तार्किक संचालकों (तार्किक संयोजक और निषेध) की संख्या इस प्रकार है। संयोजन, विच्छेद और निहितार्थ के लिए तीन संयोजकों में से ($\wedge ,\lor$, और →), एक को आदिम के रूप में लिया जा सकता है और अन्य दो को इसके और निषेध के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है (¬). वैकल्पिक रूप से, सभी तार्किक ऑपरेटरों को एकमात्र पर्याप्त ऑपरेटर के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, जैसे शेफ़र लाइन (नंद)। द्विशर्तीय ($a\leftrightarrow b$) को निश्चित रूप से संयोजन और निहितार्थ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $(a\to b)\land (b\to a)$.
  प्रस्तावक कलन के दो आदिम संक्रियाओं के रूप में निषेध और निहितार्थ को अपनाना ओमेगा सेट के समान है $\Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}$ विभाजन इस प्रकार है:

  $\Omega _{1}=\{\lnot \},$

  $\Omega _{2}=\{\to \}.$

तब $a\lor b$ परिभाषित किया जाता है $\neg a\to b$, और $a\land b$ परिभाषित किया जाता है $\neg (a\to \neg b)$.

• सेट $\mathrm {I}$ (तार्किक कटौती के प्रारंभिक बिंदुओं का सेट, यानी, तार्किक स्वयंसिद्ध) जान लुकासिविक्ज़ द्वारा प्रस्तावित स्वयंसिद्ध प्रणाली है, और हिल्बर्ट प्रणाली के प्रस्ताव-कैलकुलस भाग के रूप में उपयोग किया जाता है। स्वयंसिद्ध सभी प्रतिस्थापन उदाहरण हैं:
  • $p\to (q\to p)$
  • $(p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))$
  • $(\neg p\to \neg q)\to (q\to p)$
• सेट $\mathrm {Z}$ परिवर्तन नियमों (अनुमान के नियम) का एकमात्र नियम मोडस पोनेंस है (यानी, फॉर्म के किसी भी सूत्र से) $\varphi$ और $(\varphi \to \psi )$, अनुमान $\psi$).

इस प्रणाली का उपयोग मेटामैथ set.mm औपचारिक प्रमाण डेटाबेस में किया जाता है।

उदाहरण 2. प्राकृतिक कटौती प्रणाली

होने देना ${\mathcal {L}}_{2}={\mathcal {L}}(\mathrm {A} ,\Omega ,\mathrm {Z} ,\mathrm {I} )$, कहाँ $\mathrm {A}$, $\Omega$, $\mathrm {Z}$, $\mathrm {I}$ निम्नानुसार परिभाषित हैं:

• अल्फा सेट $\mathrm {A}$, प्रतीकों का एक अनगिनत अनंत सेट है, उदाहरण के लिए:

  $\mathrm {A} =\{p,q,r,s,t,u,p_{2},\ldots \}.$

• ओमेगा सेट $\Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}$ विभाजन इस प्रकार हैं:

  $\Omega _{1}=\{\lnot \},$

  $\Omega _{2}=\{\land ,\lor ,\to ,\leftrightarrow \}.$

प्रस्तावित कलन के निम्नलिखित उदाहरण में, परिवर्तन नियमों को तथाकथित प्राकृतिक कटौती प्रणाली के अनुमान नियमों के रूप में व्याख्या करने का इरादा है। यहां प्रस्तुत विशेष प्रणाली में कोई प्रारंभिक बिंदु नहीं है, जिसका अर्थ है कि तार्किक अनुप्रयोगों के लिए इसकी व्याख्या एक खाली स्वयंसिद्ध सेट से इसके प्रमेय प्राप्त करती है।

• प्रारंभिक बिंदुओं का सेट खाली है, अर्थात, $\mathrm {I} =\varnothing$.
• परिवर्तन नियमों का सेट, $\mathrm {Z}$, इस प्रकार वर्णित है:

हमारे प्रस्तावित कलन में ग्यारह अनुमान नियम हैं। ये नियम हमें सूत्रों के एक सेट को देखते हुए अन्य सच्चे सूत्रों को प्राप्त करने की अनुमति देते हैं जिन्हें सत्य माना जाता है। पहले दस बस यह बताते हैं कि हम अन्य सुगठित सूत्रों से कुछ सुगठित सूत्रों का अनुमान लगा सकते हैं। हालाँकि अंतिम नियम इस अर्थ में काल्पनिक तर्क का उपयोग करता है कि नियम के आधार पर हम अस्थायी रूप से एक (अप्रमाणित) परिकल्पना को अनुमानित सूत्रों के सेट का हिस्सा मानते हैं, यह देखने के लिए कि क्या हम एक निश्चित अन्य सूत्र का अनुमान लगा सकते हैं। चूँकि पहले दस नियम ऐसा नहीं करते हैं इसलिए उन्हें आमतौर पर गैर-काल्पनिक नियम के रूप में वर्णित किया जाता है, और अंतिम को एक काल्पनिक नियम के रूप में वर्णित किया जाता है।

परिवर्तन नियमों का वर्णन करते समय, हम एक धातुभाषा प्रतीक का परिचय दे सकते हैं $\vdash$. यह मूलतः अनुमान लगाने के लिए एक सुविधाजनक आशुलिपि है। प्रारूप है $\Gamma \vdash \psi$, जिसमें Γ सूत्रों का एक (संभवतः खाली) सेट है जिसे परिसर कहा जाता है, और ψ एक सूत्र है जिसे निष्कर्ष कहते हैं। परिवर्तन नियम $\Gamma \vdash \psi$ इसका मतलब है कि अगर हर प्रस्ताव में Γ तो फिर एक प्रमेय है (या इसका सत्य मान स्वयंसिद्धों के समान ही है)। ψ भी एक प्रमेय है. ध्यान दें कि निम्नलिखित नियम संयोजन परिचय पर विचार करने पर हमें जब भी पता चलेगा Γ में एक से अधिक सूत्र हैं, हम हमेशा संयोजन का उपयोग करके इसे सुरक्षित रूप से एक सूत्र में कम कर सकते हैं। तो संक्षेप में, उस समय से हम प्रतिनिधित्व कर सकते हैं Γ एक सेट के बजाय एक सूत्र के रूप में। सुविधा के लिए एक और चूक है जब Γ ऐसी स्थिति में, एक खाली सेट है Γ प्रकट नहीं हो सकता.

निषेध परिचयः से $(p\to q)$ और $(p\to \neg q)$, अनुमान $\neg p$.

वह है, $\{(p\to q),(p\to \neg q)\}\vdash \neg p$.

निषेध उन्मूलनः से $\neg p$, अनुमान $(p\to r)$.

वह है, $\{\neg p\}\vdash (p\to r)$.

दोहरा निषेध उन्मूलन

से $\neg \neg p$, अनुमान p.

वह है, $\neg \neg p\vdash p$.

संयुक्त परिचय

से p और q, अनुमान लगाएं $(p\land q)$.

वह है, $\{p,q\}\vdash (p\land q)$.

संधि विलोपन

से $(p\land q)$, अनुमान p.

से $(p\land q)$, अनुमान q.

वह है, $(p\land q)\vdash p$ और $(p\land q)\vdash q$.

विभक्ति परिचयः से p, अनुमान लगाएं $(p\lor q)$.

से q, अनुमान लगाएं $(p\lor q)$.

वह है, $p\vdash (p\lor q)$ और $q\vdash (p\lor q)$.

वियोग निवारणः से $(p\lor q)$ और $(p\to r)$ और $(q\to r)$, अनुमान r.

वह है, $\{p\lor q,p\to r,q\to r\}\vdash r$.

द्विशर्तीय परिचय

से $(p\to q)$ और $(q\to p)$, अनुमान $(p\leftrightarrow q)$.

वह है, $\{p\to q,q\to p\}\vdash (p\leftrightarrow q)$.

द्वि-शर्तीय उन्मूलन

से $(p\leftrightarrow q)$, अनुमान $(p\to q)$.

से $(p\leftrightarrow q)$, अनुमान $(q\to p)$.

वह है, $(p\leftrightarrow q)\vdash (p\to q)$ और $(p\leftrightarrow q)\vdash (q\to p)$.

मोडस सेटिंग (सशर्त उन्मूलन)

से p और $(p\to q)$, अनुमान q.

वह है, $\{p,p\to q\}\vdash q$.

सशर्त प्रमाण (सशर्त परिचय)

से [स्वीकार करना p के प्रमाण की अनुमति देता है q], अनुमान लगाएं $(p\to q)$.

वह है, $(p\vdash q)\vdash (p\to q)$.

बुनियादी और व्युत्पन्न तर्क प्रपत्र

Name	Sequent	Description
Modus Ponens	$((p\to q)\land p)\vdash q$	If p then q; p; therefore q
Modus Tollens	$((p\to q)\land \neg q)\vdash \neg p$	If p then q; not q; therefore not p
Hypothetical Syllogism	$((p\to q)\land (q\to r))\vdash (p\to r)$	If p then q; if q then r; therefore, if p then r
Disjunctive Syllogism	$((p\lor q)\land \neg p)\vdash q$	Either p or q, or both; not p; therefore, q
Constructive Dilemma	$((p\to q)\land (r\to s)\land (p\lor r))\vdash (q\lor s)$	If p then q; and if r then s; but p or r; therefore q or s
Destructive Dilemma	$((p\to q)\land (r\to s)\land (\neg q\lor \neg s))\vdash (\neg p\lor \neg r)$	If p then q; and if r then s; but not q or not s; therefore not p or not r
Bidirectional Dilemma	$((p\to q)\land (r\to s)\land (p\lor \neg s))\vdash (q\lor \neg r)$	If p then q; and if r then s; but p or not s; therefore q or not r
Simplification	$(p\land q)\vdash p$	p and q are true; therefore p is true
Conjunction	$p,q\vdash (p\land q)$	p and q are true separately; therefore they are true conjointly
Addition	$p\vdash (p\lor q)$	p is true; therefore the disjunction (p or q) is true
Composition	$((p\to q)\land (p\to r))\vdash (p\to (q\land r))$	If p then q; and if p then r; therefore if p is true then q and r are true
De Morgan's Theorem (1)	$\neg (p\land q)\dashv \vdash (\neg p\lor \neg q)$	The negation of (p and q) is equiv. to (not p or not q)
De Morgan's Theorem (2)	$\neg (p\lor q)\dashv \vdash (\neg p\land \neg q)$	The negation of (p or q) is equiv. to (not p and not q)
Commutation (1)	$(p\lor q)\dashv \vdash (q\lor p)$	(p or q) is equiv. to (q or p)
Commutation (2)	$(p\land q)\dashv \vdash (q\land p)$	(p and q) is equiv. to (q and p)
Commutation (3)	$(p\leftrightarrow q)\vdash (q\leftrightarrow p)$	(p iff q) is equiv. to (q iff p)
Association (1)	$(p\lor (q\lor r))\dashv \vdash ((p\lor q)\lor r)$	p or (q or r) is equiv. to (p or q) or r
Association (2)	$(p\land (q\land r))\dashv \vdash ((p\land q)\land r)$	p and (q and r) is equiv. to (p and q) and r
Distribution (1)	$(p\land (q\lor r))\dashv \vdash ((p\land q)\lor (p\land r))$	p and (q or r) is equiv. to (p and q) or (p and r)
Distribution (2)	$(p\lor (q\land r))\vdash ((p\lor q)\land (p\lor r))$	p or (q and r) is equiv. to (p or q) and (p or r)
Double Negation	$p\dashv \vdash \neg \neg p$	p is equivalent to the negation of not p
Transposition	$(p\to q)\dashv \vdash (\neg q\to \neg p)$	If p then q is equiv. to if not q then not p
Material Implication	$(p\to q)\dashv \vdash (\neg p\lor q)$	If p then q is equiv. to not p or q
Material Equivalence (1)	$(p\leftrightarrow q)\dashv \vdash ((p\to q)\land (q\to p))$	(p iff q) is equiv. to (if p is true then q is true) and (if q is true then p is true)
Material Equivalence (2)	$(p\leftrightarrow q)\dashv \vdash ((p\land q)\lor (\neg p\land \neg q))$	(p iff q) is equiv. to either (p and q are true) or (both p and q are false)
Material Equivalence (3)	$(p\leftrightarrow q)\dashv \vdash ((p\lor \neg q)\land (\neg p\lor q))$	(p iff q) is equiv to., both (p or not q is true) and (not p or q is true)
Exportation	$((p\land q)\to r)\vdash (p\to (q\to r))$	from (if p and q are true then r is true) we can prove (if q is true then r is true, if p is true)
Importation	$(p\to (q\to r))\dashv \vdash ((p\land q)\to r)$	If p then (if q then r) is equivalent to if p and q then r
Tautology (1)	$p\dashv \vdash (p\lor p)$	p is true is equiv. to p is true or p is true
Tautology (2)	$p\dashv \vdash (p\land p)$	p is true is equiv. to p is true and p is true
Tertium non datur (Law of Excluded Middle)	$\vdash (p\lor \neg p)$	p or not p is true
Law of Non-Contradiction	$\vdash \neg (p\land \neg p)$	p and not p is false, is a true statement

प्रस्तावित कलन में प्रमाण

तार्किक अनुप्रयोगों के लिए जब व्याख्या की जाती है, तो प्रस्तावात्मक कलन का एक मुख्य उपयोग प्रस्तावात्मक सूत्रों के बीच तार्किक तुल्यता के संबंधों को निर्धारित करना है। ये रिश्ते उपलब्ध परिवर्तन नियमों के माध्यम से निर्धारित होते हैं, जिनके अनुक्रम को व्युत्पत्ति या प्रमाण कहा जाता है।

अनुसरण करने वाली चर्चा में, एक प्रमाण को क्रमांकित पंक्तियों के अनुक्रम के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसमें प्रत्येक पंक्ति में एक एकल सूत्र होता है जिसके बाद उस सूत्र को पेश करने का कारण या औचित्य होता है। तर्क का प्रत्येक आधार, यानी, तर्क की परिकल्पना के रूप में पेश की गई एक धारणा, अनुक्रम की शुरुआत में सूचीबद्ध होती है और अन्य औचित्य के बदले में एक आधार के रूप में चिह्नित की जाती है। निष्कर्ष अंतिम पंक्ति में सूचीबद्ध है। यदि परिवर्तन नियम के सही अनुप्रयोग द्वारा प्रत्येक पंक्ति पिछले वाले से अनुसरण करती है तो एक प्रमाण पूरा हो जाता है। (विपरीत दृष्टिकोण के लिए, विश्लेषणात्मक झांकी की विधि देखें|प्रूफ़-ट्रीज़)।

प्राकृतिक कटौती प्रणाली में प्रमाण का उदाहरण

• वो दिखाना है A → A.
• इसका एक संभावित प्रमाण (जो वैध होते हुए भी, आवश्यकता से अधिक कदम रखता है) को निम्नानुसार व्यवस्थित किया जा सकता है:

Example of a proof

Number	Formula	Reason
1	$A$	premise
2	$A\lor A$	From (1) by disjunction introduction
3	$(A\lor A)\land A$	From (1) and (2) by conjunction introduction
4	$A$	From (3) by conjunction elimination
5	$A\vdash A$	Summary of (1) through (4)
6	$\vdash A\to A$	From (5) by conditional proof

व्याख्या $A\vdash A$ मान कर A, अनुमान लगाएं A . पढ़ना $\vdash A\to A$ जैसे कि कुछ भी न मानकर, उसका अनुमान लगाएं A तात्पर्य A , या यह एक तनातनी है कि A तात्पर्य A , या यह सदैव सत्य है A तात्पर्य A .

शास्त्रीय प्रस्तावक कलन प्रणाली में प्रमाण का उदाहरण

अब हम उसी प्रमेय को सिद्ध करते हैं $A\to A$ ऊपर वर्णित जान लुकासिविक्ज़ द्वारा स्वयंसिद्ध प्रणाली में, जो शास्त्रीय प्रस्तावक कलन के लिए हिल्बर्ट-शैली निगमनात्मक प्रणाली का एक उदाहरण है।

अभिगृहीत हैं:

(ए1) $(p\to (q\to p))$

(आआ) $((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))$

(आ) $((\neg p\to \neg q)\to (q\to p))$

और प्रमाण इस प्रकार है:

1. $A\to ((B\to A)\to A)$ ((A1) का उदाहरण)
2. $(A\to ((B\to A)\to A))\to ((A\to (B\to A))\to (A\to A))$ ((A2 का उदाहरण))
3. $(A\to (B\to A))\to (A\to A)$ (सेटिंग विधि द्वारा (1) और (2) से)
4. $A\to (B\to A)$ ((A1) का उदाहरण)
5. $A\to A$ (सेटिंग विधि द्वारा (4) और (3) से)

नियमों की सुदृढ़ता एवं पूर्णता

नियमों के इस सेट का महत्वपूर्ण गुण यह है कि वे सुदृढ़ और पूर्ण हैं। अनौपचारिक रूप से इसका मतलब है कि नियम सही हैं और किसी अन्य नियम की आवश्यकता नहीं है। इन दावों को निम्नानुसार अधिक औपचारिक बनाया जा सकता है। ध्यान दें कि प्रस्तावात्मक तर्क की सुदृढ़ता और पूर्णता के प्रमाण स्वयं प्रस्तावात्मक तर्क में प्रमाण नहीं हैं; ये ZFC में प्रमेय हैं जिनका उपयोग मेटाथ्योरी#गणित में प्रस्तावात्मक तर्क के गुणों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।

हम एक सत्य असाइनमेंट को एक फ़ंक्शन (गणित) के रूप में परिभाषित करते हैं जो प्रस्तावात्मक चर को 'सही' या 'गलत' पर मैप करता है। अनौपचारिक रूप से इस तरह के सत्य असाइनमेंट को संभावित मामलों की स्थिति (दर्शन) (या संभावित दुनिया) के विवरण के रूप में समझा जा सकता है जहां कुछ कथन सत्य हैं और अन्य नहीं हैं। सूत्रों के शब्दार्थ को यह परिभाषित करके औपचारिक रूप दिया जा सकता है कि किस स्थिति के लिए उन्हें सत्य माना जाता है, जो कि निम्नलिखित परिभाषा द्वारा किया जाता है।

हम परिभाषित करते हैं कि ऐसा सत्य कार्य कब होता है A निम्नलिखित नियमों के साथ एक निश्चित सुगठित सूत्र को संतुष्ट करता है:

• A प्रस्तावात्मक चर को संतुष्ट करता है P अगर और केवल अगर A(P) = true
• A संतुष्ट करता है ¬φ अगर और केवल अगर A संतुष्ट नहीं करता φ
• A संतुष्ट करता है (φ ∧ ψ) अगर और केवल अगर A दोनों को संतुष्ट करता है φ और ψ
• A संतुष्ट करता है (φ ∨ ψ) अगर और केवल अगर A इनमें से कम से कम एक को संतुष्ट करता है φ या ψ
• A संतुष्ट करता है (φ → ψ) यदि और केवल यदि ऐसा नहीं है A संतुष्ट करता है φ लेकिन नहीं ψ
• A संतुष्ट करता है (φ ↔ ψ) अगर और केवल अगर A दोनों को संतुष्ट करता है φ और ψया उनमें से किसी को भी संतुष्ट नहीं करता

इस परिभाषा के साथ अब हम यह औपचारिक कर सकते हैं कि किसी सूत्र के लिए इसका क्या अर्थ है φ एक निश्चित सेट द्वारा निहित होना S सूत्रों का. अनौपचारिक रूप से यह सच है यदि सूत्रों के सेट को देखते हुए सभी दुनिया में यह संभव है S सूत्र φ भी धारण करता है। इससे निम्नलिखित औपचारिक परिभाषा प्राप्त होती है: हम कहते हैं कि एक समुच्चय S अच्छी तरह से गठित सूत्रों का अर्थपूर्ण रूप से एक निश्चित अच्छी तरह से गठित सूत्र शामिल (या तात्पर्य) होता है φ यदि सभी सत्य कार्य जो सभी सूत्रों को संतुष्ट करते हैं S भी संतुष्ट करें φ.

अंत में हम वाक्य-विन्यास को इस प्रकार परिभाषित करते हैं φ वाक्यात्मक रूप से शामिल है S यदि और केवल यदि हम इसे उन अनुमान नियमों के साथ प्राप्त कर सकते हैं जो ऊपर चरणों की एक सीमित संख्या में प्रस्तुत किए गए थे। यह हमें यह स्पष्ट करने की अनुमति देता है कि अनुमान नियमों के सेट के सही और पूर्ण होने का वास्तव में क्या मतलब है:

सुदृढ़ता: यदि सुगठित सूत्रों का समुच्चय हो S वाक्यात्मक रूप से सुगठित सूत्र शामिल होता है φ तब S शब्दार्थ रूप से शामिल है φ.

पूर्णता: यदि सुगठित सूत्रों का समुच्चय हो S शब्दार्थ रूप से सुगठित सूत्र पर जोर देता है φ तब S वाक्यात्मक रूप से शामिल है φ.

उपरोक्त नियमों के सेट के लिए वास्तव में यही स्थिति है।

एक सुदृढ़ता प्रमाण का स्केच

(अधिकांश तार्किक प्रणालियों के लिए, यह प्रमाण की तुलनात्मक रूप से सरल दिशा है)

सांकेतिक परंपराएँ: चलो Gवाक्यों के सेट पर परिवर्तनशील होना। होने देना A, B और C वाक्यों की सीमा। के लिएG वाक्यात्मक रूप से शामिल है A हम लिखते हैंG सिद्ध होता है A . के लिएG शब्दार्थ रूप से शामिल है A हम लिखते हैंG तात्पर्य A .

हम दिखाना चाहते हैं: (A)(G) (अगर G सिद्ध होता है A, तब G तात्पर्य A).

हमने ध्यान दिया किG सिद्ध होता है A की एक आगमनात्मक परिभाषा है, और यह हमें फॉर्म इफ के दावों को प्रदर्शित करने के लिए तत्काल संसाधन प्रदान करती है G सिद्ध होता है A, तब ... । तो हमारा प्रमाण प्रेरण द्वारा आगे बढ़ता है।

1. Basis. Show: If A is a member of G, then G implies A.
2. Basis. Show: If A is an axiom, then G implies A.
3. Inductive step (induction on n, the length of the proof):
   1. Assume for arbitrary G and A that if G proves A in n or fewer steps, then G implies A.
   2. For each possible application of a rule of inference at step n + 1, leading to a new theorem B, show that G implies B.

ध्यान दें कि प्राकृतिक कटौती प्रणालियों के लिए आधार चरण II को छोड़ा जा सकता है क्योंकि उनमें कोई स्वयंसिद्ध नहीं है। जब उपयोग किया जाता है, तो चरण II में यह दिखाना शामिल होता है कि प्रत्येक स्वयंसिद्ध एक (अर्थ संबंधी) तार्किक सत्य है।

आधार चरण प्रदर्शित करते हैं कि सबसे सरल सिद्ध वाक्य G द्वारा भी निहित हैं G, किसी के लिए G. (प्रमाण सरल है, क्योंकि यह अर्थपूर्ण तथ्य कि एक सेट अपने किसी भी सदस्य को दर्शाता है, भी तुच्छ है।) आगमनात्मक कदम व्यवस्थित रूप से आगे के सभी वाक्यों को कवर करेगा जो कि सिद्ध हो सकते हैं - प्रत्येक मामले पर विचार करके जहां हम तार्किक निष्कर्ष पर पहुंच सकते हैं एक अनुमान नियम का उपयोग करते हुए—और दिखाता है कि यदि कोई नया वाक्य सिद्ध करने योग्य है, तो यह तार्किक रूप से निहित भी है। (उदाहरण के लिए, हमारे पास एक नियम हो सकता है जो हमें बताए कि सेA हम प्राप्त कर सकते हैंA या B . III.a में हम मानते हैं कि यदि A यह सिद्ध करने योग्य है यह निहित है। हम यह भी जानते हैं कि अगर A तो सिद्ध हैA या B सिद्ध है. फिर हमें वो दिखाना होगाA या B भी निहित है. हम ऐसा अर्थ संबंधी परिभाषा और हमारे द्वारा अभी बनाई गई धारणा के आधार पर करते हैं। A से सिद्ध होता है G, हम यह मानते है कि। तो यह भी निहित है G. तो कोई भी अर्थपूर्ण मूल्यांकन सब कुछ बना रहा है G सच बनाता है A सत्य। लेकिन कोई भी मूल्यांकन करना A सच बनाता हैA या B सत्य, या के लिए परिभाषित शब्दार्थ द्वारा। तो कोई भी मूल्यांकन जो सब कुछ बनाता है G सच बनाता हैA या B सत्य। इसलिएA या B निहित है।) आम तौर पर, आगमनात्मक चरण में अनुमान के सभी नियमों का केस-दर-केस विश्लेषण का एक लंबा लेकिन सरल प्रमाण शामिल होगा, जिसमें दिखाया जाएगा कि प्रत्येक अर्थ संबंधी निहितार्थ को बरकरार रखता है।

साध्यता की परिभाषा के अनुसार, सदस्य होने के अलावा कोई भी वाक्य सिद्ध करने योग्य नहीं है G, एक स्वयंसिद्ध, या किसी नियम का पालन करना; इसलिए यदि उन सभी को शब्दार्थ रूप से निहित किया गया है, तो कटौती गणना सही है।

पूर्णता प्रमाण का रेखाचित्र

(यह आमतौर पर प्रमाण की बहुत कठिन दिशा है।)

हम ऊपर दी गई समान सांकेतिक परंपराओं को अपनाते हैं।

हम दिखाना चाहते हैं: यदि G तात्पर्य A, तब G सिद्ध होता है A. हम विरोधाभास द्वारा आगे बढ़ते हैं: हम इसके बजाय दिखाते हैं कि यदि G सिद्ध नहीं होता A तब G का तात्पर्य नहीं है A. यदि हम दिखाएँ कि वहाँ एक गणितीय मॉडल है Aबावजूद नहीं टिकता G सच है, तो जाहिर है G का तात्पर्य नहीं है A. विचार यह है कि हमारी इसी धारणा के आधार पर एक ऐसा मॉडल तैयार किया जाए G सिद्ध नहीं होता A.

1. G does not prove A. (Assumption)
2. If G does not prove A, then we can construct an (infinite) Maximal Set, G^∗, which is a superset of G and which also does not prove A.
   1. Place an ordering (with order type ω) on all the sentences in the language (e.g., shortest first, and equally long ones in extended alphabetical ordering), and number them (E₁, E₂, ...)
   2. Define a series G_n of sets (G₀, G₁, ...) inductively:
      1. $G_{0}=G$
      2. If $G_{k}\cup \{E_{k+1}\}$ proves A, then $G_{k+1}=G_{k}$
      3. If $G_{k}\cup \{E_{k+1}\}$ does not prove A, then $G_{k+1}=G_{k}\cup \{E_{k+1}\}$
   3. Define G^∗ as the union of all the G_n. (That is, G^∗ is the set of all the sentences that are in any G_n.)
   4. It can be easily shown that
      1. G^∗ contains (is a superset of) G (by (b.i));
      2. G^∗ does not prove A (because the proof would contain only finitely many sentences and when the last of them is introduced in some G_n, that G_n would prove A contrary to the definition of G_n); and
      3. G^∗ is a Maximal Set with respect to A: If any more sentences whatever were added to G^∗, it would prove A. (Because if it were possible to add any more sentences, they should have been added when they were encountered during the construction of the G_n, again by definition)
3. If G^∗ is a Maximal Set with respect to A, then it is truth-like. This means that it contains C if and only if it does not contain ¬C; If it contains C and contains "If C then B" then it also contains B; and so forth. In order to show this, one has to show the axiomatic system is strong enough for the following:
   • For any formulas C and D, if it proves both C and ¬C, then it proves D. From this it follows, that a Maximal Set with respect to A cannot prove both C and ¬C, as otherwise it would prove A.
   • For any formulas C and D, if it proves both C→D and ¬C→D, then it proves D. This is used, together with the deduction theorem, to show that for any formula, either it or its negation is in G^∗: Let B be a formula not in G^∗; then G^∗ with the addition of B proves A. Thus from the deduction theorem it follows that G^∗ proves B→A. But suppose ¬B were also not in G^∗, then by the same logic G^∗ also proves ¬B→A; but then G^∗ proves A, which we have already shown to be false.
   • For any formulas C and D, if it proves C and D, then it proves C→D.
   • For any formulas C and D, if it proves C and ¬D, then it proves ¬(C→D).
   • For any formulas C and D, if it proves ¬C, then it proves C→D.
   If additional logical operation (such as conjunction and/or disjunction) are part of the vocabulary as well, then there are additional requirement on the axiomatic system (e.g. that if it proves C and D, it would also prove their conjunction).
4. If G^∗ is truth-like there is a G^∗-Canonical valuation of the language: one that makes every sentence in G^∗ true and everything outside G^∗ false while still obeying the laws of semantic composition in the language. Note that the requirement that it is truth-like is needed to guarantee that the laws of semantic composition in the language will be satisfied by this truth assignment.
5. A G^∗-canonical valuation will make our original set G all true, and make A false.
6. If there is a valuation on which G are true and A is false, then G does not (semantically) imply A.

इस प्रकार प्रत्येक प्रणाली जिसमें एक अनुमान नियम के रूप में मोडस पोनेन्स होता है, और निम्नलिखित प्रमेयों (उनके प्रतिस्थापन सहित) को सिद्ध करता है, पूर्ण है:

• $p\to (\neg p\to q)$
• $(p\to q)\to ((\neg p\to q)\to q)$
• $p\to (q\to (p\to q))$
• $p\to (\neg q\to \neg (p\to q))$
• $\neg p\to (p\to q)$
• $p\to p$
• $p\to (q\to p)$
• $(p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))$

पहले पांच का उपयोग उपरोक्त चरण III में पांच शर्तों की संतुष्टि के लिए किया जाता है, और अंतिम तीन का उपयोग कटौती प्रमेय को साबित करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण

एक उदाहरण के रूप में, यह दिखाया जा सकता है कि किसी भी अन्य टॉटोलॉजी की तरह, पहले वर्णित शास्त्रीय प्रस्तावक कैलकुलस प्रणाली के तीन सिद्धांतों को किसी भी प्रणाली में सिद्ध किया जा सकता है जो उपरोक्त को संतुष्ट करता है, अर्थात् जिसमें एक अनुमान नियम के रूप में मोडस पोनेन्स होता है, और उपरोक्त साबित होता है आठ प्रमेय (उनके प्रतिस्थापन सहित)। आठ प्रमेयों में से, अंतिम दो तीन स्वयंसिद्धों में से दो हैं; तीसरा स्वयंसिद्ध, $(\neg q\to \neg p)\to (p\to q)$, सिद्ध भी किया जा सकता है, जैसा कि अब हम दिखाते हैं।

प्रमाण के लिए हम हाइपोथेटिकल सिलोगिज्म#प्रूफ 2 (इस स्वयंसिद्ध प्रणाली के लिए प्रासंगिक रूप में) का उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि यह केवल उन दो सिद्धांतों पर निर्भर करता है जो पहले से ही आठ प्रमेयों के उपरोक्त सेट में हैं। तो प्रमाण इस प्रकार है:

1. $q\to (p\to q)$ (सातवें प्रमेय का उदाहरण)
2. $(q\to (p\to q))\to ((\neg q\to \neg p)\to (q\to (p\to q)))$ (सातवें प्रमेय का उदाहरण)
3. $(\neg q\to \neg p)\to (q\to (p\to q))$ (सेटिंग विधि द्वारा (1) और (2) से)
4. $(\neg p\to (p\to q))\to ((\neg q\to \neg p)\to (\neg q\to (p\to q)))$ (काल्पनिक सिलोगिज्म प्रमेय का उदाहरण)
5. $(\neg p\to (p\to q))$ (5वें प्रमेय का उदाहरण)
6. $(\neg q\to \neg p)\to (\neg q\to (p\to q))$ (सेटिंग विधि द्वारा (5) और (4) से)
7. $(q\to (p\to q))\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q))$ (दूसरे प्रमेय का उदाहरण)
8. $((q\to (p\to q))\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q)))\to ((\neg q\to \neg p)\to ((q\to (p\to q))\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q))))$ (सातवें प्रमेय का उदाहरण)
9. $(\neg q\to \neg p)\to ((q\to (p\to q))\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q)))$ (सेटिंग विधि द्वारा (7) और (8) से)
10. $((\neg q\to \neg p)\to ((q\to (p\to q))\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q))))\to$

    $(((\neg q\to \neg p)\to (q\to (p\to q)))\to ((\neg q\to \neg p)\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q))))$ (आठवें प्रमेय का उदाहरण)

11. $((\neg q\to \neg p)\to (q\to (p\to q)))\to ((\neg q\to \neg p)\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q)))$ (सेटिंग विधि द्वारा (9) और (10) से)
12. $(\neg q\to \neg p)\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q))$ (सेटिंग विधि द्वारा (3) और (11) से)
13. $((\neg q\to \neg p)\to ((\neg q\to (p\to q))\to (p\to q)))\to (((\neg q\to \neg p)\to (\neg q\to (p\to q)))\to ((\neg q\to \neg p)\to (p\to q)))$ (आठवें प्रमेय का उदाहरण)
14. $((\neg q\to \neg p)\to (\neg q\to (p\to q)))\to ((\neg q\to \neg p)\to (p\to q))$ (मोड सेट करके (12) और (13) से)
15. $(\neg q\to \neg p)\to (p\to q)$ (मोड सेट करके (6) और (14) से)

शास्त्रीय प्रस्तावक कलन प्रणाली के लिए पूर्णता का सत्यापन

अब हम सत्यापित करते हैं कि पहले वर्णित शास्त्रीय प्रस्तावात्मक कलन प्रणाली वास्तव में ऊपर उल्लिखित आवश्यक आठ प्रमेयों को सिद्ध कर सकती है। हम सिद्ध हिल्बर्ट प्रणाली के कई लेम्मा का उपयोग करते हैं#कुछ उपयोगी प्रमेय और उनके प्रमाण:

(DN1) $\neg \neg p\to p$ - दोहरा निषेध#शास्त्रीय प्रस्तावक कलन प्रणाली में (एक दिशा)

(DN2) $p\to \neg \neg p$ - दोहरा निषेध (दूसरी दिशा)

(HS1) $(q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))$ - हाइपोथेटिकल सिलोगिज़्म का एक रूप#वैकल्पिक रूप

(एचएस2) $(p\to q)\to ((q\to r)\to (p\to r))$ - हाइपोथेटिकल सिलोगिज़्म का दूसरा रूप

(TR1) $(p\to q)\to (\neg q\to \neg p)$ - ट्रांसपोज़िशन (तर्क)#शास्त्रीय प्रस्तावक कलन प्रणाली में

(TR2) $(\neg p\to q)\to (\neg q\to p)$ - ट्रांसपोज़िशन का दूसरा रूप।

(एल1) $p\to ((p\to q)\to q)$

(एस) $(\neg p\to p)\to p$

हम कई प्रमाण चरणों के लिए शॉर्टहैंड के रूप में हाइपोथेटिकल सिलोगिज्म#मेटाथ्योरम की विधि का भी उपयोग करते हैं।

• $p\to (\neg p\to q)$ - सबूत:
  1. $p\to (\neg q\to p)$ ((A1) का उदाहरण)
  2. $(\neg q\to p)\to (\neg p\to \neg \neg q)$ ((TR1 का उदाहरण))
  3. $p\to (\neg p\to \neg \neg q)$ ((1) और (2) से काल्पनिक सिलोगिज्म मेटाथ्योरम का उपयोग करते हुए)
  4. $\neg \neg q\to q$ ((DN1 का उदाहरण))
  5. $(\neg \neg q\to q)\to ((\neg p\to \neg \neg q)\to (\neg p\to q))$ ((एचएस1) का उदाहरण)
  6. $(\neg p\to \neg \neg q)\to (\neg p\to q)$ ((4) और (5) से मोडस पोनेन्स का उपयोग करके)
  7. $p\to (\neg p\to q)$ ((3) और (6) से काल्पनिक सिलोगिज्म मेटाथ्योरम का उपयोग करते हुए)
• $(p\to q)\to ((\neg p\to q)\to q)$ - सबूत:
  1. $(p\to q)\to ((\neg q\to p)\to (\neg q\to q))$ ((एचएस1) का उदाहरण)
  2. $(\neg q\to q)\to q$ ((L3 का उदाहरण))
  3. $((\neg q\to q)\to q)\to (((\neg q\to p)\to (\neg q\to q))\to ((\neg q\to p)\to q))$ ((एचएस1) का उदाहरण)
  4. $((\neg q\to p)\to (\neg q\to q))\to ((\neg q\to p)\to q)$ (सेटिंग विधि द्वारा (2) और (3) से)
  5. $(p\to q)\to ((\neg q\to p)\to q)$ ((1) और (4) से काल्पनिक सिलोगिज्म मेटाथ्योरम का उपयोग करते हुए)
  6. $(\neg p\to q)\to (\neg q\to p)$ ((TR2 का उदाहरण))
  7. $((\neg p\to q)\to (\neg q\to p))\to (((\neg q\to p)\to q)\to ((\neg p\to q)\to q))$ ((HS2 का उदाहरण))
  8. $((\neg q\to p)\to q)\to ((\neg p\to q)\to q)$ ((6) और (7) से मोडस पोनेन्स का उपयोग करके)
  9. $(p\to q)\to ((\neg p\to q)\to q)$ ((5) और (8) से काल्पनिक सिलोगिज्म मेटाथ्योरम का उपयोग करते हुए)
• $p\to (q\to (p\to q))$ - सबूत:
  1. $q\to (p\to q)$ ((A1) का उदाहरण)
  2. $(q\to (p\to q))\to (p\to (q\to (p\to q)))$ ((A1) का उदाहरण)
  3. $p\to (q\to (p\to q))$ ((1) और (2) से मोडस पोनेन्स का उपयोग करके)
• $p\to (\neg q\to \neg (p\to q))$ - सबूत:
  1. $p\to ((p\to q)\to q)$ ((L1 का उदाहरण))
  2. $((p\to q)\to q)\to (\neg q\to \neg (p\to q))$ ((TR1 का उदाहरण))
  3. $p\to (\neg q\to \neg (p\to q))$ ((1) और (2) से काल्पनिक सिलोगिज्म मेटाथ्योरम का उपयोग करते हुए)
• $\neg p\to (p\to q)$ - सबूत:
  1. $\neg p\to (\neg q\to \neg p)$ ((A1) का उदाहरण)
  2. $(\neg q\to \neg p)\to (p\to q)$ ((A3) का उदाहरण)
  3. $\neg p\to (p\to q)$ ((1) और (2) से काल्पनिक सिलोगिज्म मेटाथ्योरम का उपयोग करते हुए)
• $p\to p$ - प्रपोजल कैलकुलस में दिया गया प्रमाण#शास्त्रीय प्रपोजल कैलकुलस प्रणाली में प्रमाण का उदाहरण
• $p\to (q\to p)$ - अभिगृहीत (A1)
• $(p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))$ - स्वयंसिद्ध (एए)

पूर्णता प्रमाण के लिए एक और रूपरेखा

यदि कोई सूत्र एक टॉटोलॉजी (तर्क) है, तो उसके लिए एक सत्य तालिका है जो दर्शाती है कि प्रत्येक मूल्यांकन सूत्र के लिए सही मान उत्पन्न करता है। ऐसे मूल्यांकन पर विचार करें. उपसूत्रों की लंबाई पर गणितीय प्रेरण द्वारा, दिखाएं कि उपसूत्र की सत्यता या असत्यता उपसूत्र में प्रत्येक प्रस्तावित चर की सत्यता या असत्यता (मूल्यांकन के लिए उपयुक्त) से होती है। फिर सत्य तालिका की पंक्तियों को एक समय में दो का उपयोग करके एक साथ जोड़ें (P सत्य है इसका तात्पर्य है S) तात्पर्य ((P गलत है तात्पर्य S) तात्पर्य S) . इसे तब तक दोहराते रहें जब तक कि प्रस्तावात्मक चरों पर सभी निर्भरताएँ समाप्त न हो जाएँ। परिणाम यह है कि हमने दी गई टॉटोलॉजी को सिद्ध कर दिया है। चूँकि प्रत्येक तनातनी सिद्ध करने योग्य है, तर्क पूर्ण है।

सत्य-क्रियात्मक प्रस्तावक कलन की व्याख्या

सत्य-कार्यात्मक प्रस्तावक कलन की व्याख्या ${\mathcal {P}}$ के प्रत्येक प्रस्तावक चर के लिए एक असाइनमेंट (गणितीय तर्क) है ${\mathcal {P}}$ सत्य में से एक या दूसरे (लेकिन दोनों नहीं) सत्य (टी) और झूठ (तर्क) (एफ) को महत्व देते हैं, और तार्किक संयोजन के लिए एक असाइनमेंट ${\mathcal {P}}$ उनके सामान्य सत्य-कार्यात्मक अर्थों के बारे में। सत्य-कार्यात्मक प्रस्तावात्मक कलन की व्याख्या सत्य तालिकाओं के संदर्भ में भी व्यक्त की जा सकती है। के लिए $n$ वहां अलग-अलग प्रस्तावात्मक प्रतीक मौजूद हैं $2^{n}$ अलग-अलग संभावित व्याख्याएँ। किसी विशेष प्रतीक के लिए $a$, उदाहरण के लिए, वहाँ हैं $2^{1}=2$ संभावित व्याख्याएँ:

1. $a$ टी सौंपा गया है, या
2. $a$ एफ सौंपा गया है।

जोड़ी के लिए $a$, $b$ वहाँ हैं $2^{2}=4$ संभावित व्याख्या:

1. दोनों को सौंपा गया है,
2. दोनों को F सौंपा गया है,
3. $a$ टी और सौंपा गया है $b$ के लिए नियुक्त किया गया है
4. $a$ एफ और सौंपा गया है $b$ टी सौंपा गया है।

तब से ${\mathcal {P}}$ है $\aleph _{0}$, अर्थात, असंख्यात अनंत अनेक प्रस्तावात्मक चिह्न हैं $2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$, और इसलिए सातत्य की कार्डिनैलिटी की संभावित व्याख्याएं अलग-अलग हैं ${\mathcal {P}}$.

सत्य-क्रियात्मक प्रस्तावक तर्क वाक्य की व्याख्या

Main article: Interpretation (logic)

अगर φ और ψ के सूत्र (गणितीय तर्क) हैं ${\mathcal {P}}$ और ${\mathcal {I}}$ की एक व्याख्या है ${\mathcal {P}}$ तो निम्नलिखित परिभाषाएँ लागू होती हैं:

• प्रस्तावात्मक तर्क का एक वाक्य व्याख्या के अंतर्गत सत्य होता है ${\mathcal {I}}$ अगर ${\mathcal {I}}$ उस वाक्य को सत्य मान T निर्दिष्ट करता है। यदि किसी व्याख्या के अंतर्गत कोई वाक्य तार्किक सत्य है तो उस व्याख्या को उस वाक्य का मॉडल कहा जाता है।
• φ एक व्याख्या के तहत गलत है ${\mathcal {I}}$ अगर φ के अंतर्गत सत्य नहीं है ${\mathcal {I}}$.*प्रस्तावात्मक तर्क का एक वाक्य तार्किक रूप से मान्य है यदि यह प्रत्येक व्याख्या के तहत सत्य है।

  $\models$ φ मतलब कि φ तार्किक रूप से मान्य है.

• एक वाक्य {{mvar|ψ}प्रस्तावात्मक तर्क का } एक वाक्य का तार्किक परिणाम है φयदि जिसके अंतर्गत कोई व्याख्या नहीं है φ सत्य है और ψ गलत है।
• प्रस्तावात्मक तर्क का एक वाक्य संगति है यदि यह कम से कम एक व्याख्या के तहत सत्य है। यदि यह सुसंगत नहीं है तो यह असंगत है।

इन परिभाषाओं के कुछ परिणाम:

• किसी भी व्याख्या के लिए दिया गया सूत्र या तो सत्य है या ग़लत।* कोई भी सूत्र एक ही व्याख्या के तहत सत्य और असत्य दोनों नहीं है।* φ किसी दी गई व्याख्या के लिए गलत है iff $\neg \phi$ उस व्याख्या के लिए सत्य है; और φ एक व्याख्या के तहत सत्य है iff $\neg \phi$ उस व्याख्या के तहत गलत है।* अगर φ और $(\phi \to \psi )$ तो फिर, किसी दी गई व्याख्या के तहत दोनों सत्य हैं ψ उस व्याख्या के अंतर्गत सत्य है।* अगर $\models _{\mathrm {P} }\phi$ और $\models _{\mathrm {P} }(\phi \to \psi )$, तब $\models _{\mathrm {P} }\psi$.* $\neg \phi$ के अंतर्गत सत्य है ${\mathcal {I}}$ iff φ के अंतर्गत सत्य नहीं है ${\mathcal {I}}$.
• $(\phi \to \psi )$ के अंतर्गत सत्य है ${\mathcal {I}}$ iff दोनों में से एक φ के अंतर्गत सत्य नहीं है ${\mathcal {I}}$ या ψ के अंतर्गत सत्य है ${\mathcal {I}}$.* एक वाक्य ψप्रस्तावात्मक तर्क एक वाक्य का शब्दार्थ परिणाम है φ iff $(\phi \to \psi )$ तार्किक रूप से मान्य है, अर्थात, $\phi \models _{\mathrm {P} }\psi$ iff $\models _{\mathrm {P} }(\phi \to \psi )$.

वैकल्पिक कलन

प्रोपोज़िशनल कैलकुलस के दूसरे संस्करण को परिभाषित करना संभव है, जो स्वयंसिद्धों के माध्यम से तार्किक ऑपरेटरों के अधिकांश वाक्यविन्यास को परिभाषित करता है, और जो केवल एक अनुमान नियम का उपयोग करता है।

अभिगृहीत

होने देना φ, χ, और ψ अच्छी तरह से निर्मित सूत्रों के लिए खड़ा है। (अच्छी तरह से बनाए गए सूत्रों में स्वयं कोई ग्रीक अक्षर नहीं होगा, बल्कि केवल बड़े रोमन अक्षर, संयोजक ऑपरेटर और कोष्ठक होंगे।) फिर स्वयंसिद्ध इस प्रकार हैं:

Axioms

Name	Axiom Schema	Description
THEN-1	$\phi \to (\chi \to \phi )$	Add hypothesis χ, implication introduction
THEN-2	$(\phi \to (\chi \to \psi ))\to ((\phi \to \chi )\to (\phi \to \psi ))$	Distribute hypothesis $\phi$ over implication
AND-1	$\phi \land \chi \to \phi$	Eliminate conjunction
AND-2	$\phi \land \chi \to \chi$
AND-3	$\phi \to (\chi \to (\phi \land \chi ))$	Introduce conjunction
OR-1	$\phi \to \phi \lor \chi$	Introduce disjunction
OR-2	$\chi \to \phi \lor \chi$
OR-3	$(\phi \to \psi )\to ((\chi \to \psi )\to (\phi \lor \chi \to \psi ))$	Eliminate disjunction
NOT-1	$(\phi \to \chi )\to ((\phi \to \neg \chi )\to \neg \phi )$	Introduce negation
NOT-2	$\phi \to (\neg \phi \to \chi )$	Eliminate negation
NOT-3	$\phi \lor \neg \phi$	Excluded middle, classical logic
IFF-1	$(\phi \leftrightarrow \chi )\to (\phi \to \chi )$	Eliminate equivalence
IFF-2	$(\phi \leftrightarrow \chi )\to (\chi \to \phi )$
IFF-3	$(\phi \to \chi )\to ((\chi \to \phi )\to (\phi \leftrightarrow \chi ))$	Introduce equivalence

• स्वयंसिद्ध THEN-2 को निहितार्थ के संबंध में निहितार्थ की एक वितरणात्मक संपत्ति माना जा सकता है।
• स्वसिद्धांत AND-1 और AND-2 संयोजन विलोपन के अनुरूप है। के बीच संबंध AND-1 और AND-2 संयोजन संचालिका की क्रमपरिवर्तनशीलता को दर्शाता है।
• स्वयंसिद्ध AND-3 संयोजन परिचय से मेल खाता है।
• स्वसिद्धांत OR-1 और OR-2विच्छेद परिचय के अनुरूप है। के बीच संबंध OR-1 और OR-2 डिसजंक्शन ऑपरेटर की क्रमपरिवर्तनशीलता को दर्शाता है।
• स्वयंसिद्ध NOT-1 बेतुकेपन में कमी से मेल खाता है।
• स्वयंसिद्ध NOT-2कहता है कि विरोधाभास से कुछ भी निष्कर्ष निकाला जा सकता है।
• स्वयंसिद्ध NOT-3 को बहिष्कृत मध्य का नियम कहा जाता है|टर्टियम नॉन-डेटुर (लैटिन: एक तिहाई नहीं दिया गया है) और प्रस्तावक सूत्रों के अर्थपूर्ण मूल्यांकन को दर्शाता है: एक सूत्र में सत्य या गलत का सत्य-मूल्य हो सकता है। कोई तीसरा सत्य-मूल्य नहीं है, कम से कम शास्त्रीय तर्क में तो नहीं। अंतर्ज्ञानवादी तर्कशास्त्री स्वयंसिद्ध को स्वीकार नहीं करते हैं NOT-3.

अनुमान नियम

अनुमान नियम है modus ponens:

${\frac {\phi ,\ \phi \to \chi }{\chi }}$.

मेटा-अनुमान नियम

मान लीजिए कि एक प्रदर्शन को एक अनुक्रम द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें टर्नस्टाइल (प्रतीक) के बाईं ओर परिकल्पनाएं और टर्नस्टाइल के दाईं ओर निष्कर्ष होता है। तब कटौती प्रमेय को इस प्रकार बताया जा सकता है:

यदि क्रम

$\phi _{1},\ \phi _{2},\ ...,\ \phi _{n},\ \chi \vdash \psi$

प्रदर्शित किया गया है, तो अनुक्रम प्रदर्शित करना भी संभव है

$\phi _{1},\ \phi _{2},\ ...,\ \phi _{n}\vdash \chi \to \psi$.

यह कटौती प्रमेय (डीटी) स्वयं प्रस्तावित कलन के साथ तैयार नहीं किया गया है: यह प्रस्तावात्मक कलन का एक प्रमेय नहीं है, बल्कि प्रस्तावात्मक कलन के बारे में एक प्रमेय है। इस अर्थ में, यह एक मेटा-प्रमेय है, जो प्रस्तावित कलन की सुदृढ़ता या पूर्णता के बारे में प्रमेयों से तुलनीय है।

दूसरी ओर, डीटी वाक्यात्मक प्रमाण प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए इतना उपयोगी है कि इसे मॉडस पोनेंस के साथ एक अन्य अनुमान नियम के रूप में माना और उपयोग किया जा सकता है। इस अर्थ में, डीटी प्राकृतिक सशर्त प्रमाण अनुमान नियम से मेल खाता है जो इस लेख में पेश किए गए प्रस्तावक कलन के पहले संस्करण का हिस्सा है।

DT का व्युत्क्रम भी मान्य है:

यदि क्रम

$\phi _{1},\ \phi _{2},\ ...,\ \phi _{n}\vdash \chi \to \psi$

प्रदर्शित किया गया है, तो अनुक्रम प्रदर्शित करना भी संभव है

$\phi _{1},\ \phi _{2},\ ...,\ \phi _{n},\ \chi \vdash \psi$

वास्तव में, डीटी के विपरीत की वैधता डीटी की तुलना में लगभग तुच्छ है:

अगर

$\phi _{1},\ ...,\ \phi _{n}\vdash \chi \to \psi$

तब

1: $\phi _{1},\ ...,\ \phi _{n},\ \chi \vdash \chi \to \psi$

2: $\phi _{1},\ ...,\ \phi _{n},\ \chi \vdash \chi$

और (1) और (2) से अनुमान लगाया जा सकता है

3: $\phi _{1},\ ...,\ \phi _{n},\ \chi \vdash \psi$

मोडस पोनेन्स के माध्यम से, Q.E.D.

डीटी के व्युत्क्रम के शक्तिशाली निहितार्थ हैं: इसका उपयोग एक स्वयंसिद्ध को अनुमान नियम में बदलने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अभिगृहीत AND-1 द्वारा हमारे पास है,

$\vdash \phi \wedge \chi \to \phi ,$

जिसे निगमन प्रमेय के व्युत्क्रम के माध्यम से रूपांतरित किया जा सकता है

$\phi \wedge \chi \vdash \phi ,$

जो हमें बताता है कि अनुमान नियम

${\frac {\phi \wedge \chi }{\phi }}$

स्वीकार्य नियम है. यह अनुमान नियम संयोजन विलोपन है, जो प्रस्तावक कलन के पहले संस्करण (इस आलेख में) में उपयोग किए गए दस अनुमान नियमों में से एक है।

प्रमाण का उदाहरण

निम्नलिखित एक (वाक्यविन्यास) प्रदर्शन का एक उदाहरण है, जिसमें केवल स्वयंसिद्ध शब्द शामिल हैं THEN-1 और THEN-2:

सिद्ध करना: $A\to A$ (निहितार्थ की संवेदनशीलता)।

सबूत:

1. $(A\to ((B\to A)\to A))\to ((A\to (B\to A))\to (A\to A))$

   स्वयंसिद्ध THEN-2 साथ $\phi =A,\chi =B\to A,\psi =A$

2. $A\to ((B\to A)\to A)$

   स्वयंसिद्ध THEN-1 साथ $\phi =A,\chi =B\to A$

3. $(A\to (B\to A))\to (A\to A)$

   सेटिंग विधि द्वारा (1) और (2) से।

4. $A\to (B\to A)$

   स्वयंसिद्ध THEN-1 साथ $\phi =A,\chi =B$

5. $A\to A$

   (3) और (4) से रखकर

समीकरणीय तर्क की समतुल्यता

पूर्ववर्ती वैकल्पिक कलन हिल्बर्ट-शैली कटौती प्रणाली का एक उदाहरण है। प्रस्तावक प्रणालियों के मामले में स्वयंसिद्ध शब्द तार्किक संयोजकों के साथ निर्मित होते हैं और एकमात्र अनुमान नियम मोडस पोनेन्स होता है। हाई स्कूल बीजगणित में मानक रूप से अनौपचारिक रूप से उपयोग किया जाने वाला समीकरणीय तर्क हिल्बर्ट सिस्टम से एक अलग प्रकार का कैलकुलस है। इसके प्रमेय समीकरण हैं और इसके अनुमान नियम समानता के गुणों को व्यक्त करते हैं, अर्थात् यह उन पदों पर एक सर्वांगसमता है जो प्रतिस्थापन को स्वीकार करता है।

जैसा कि ऊपर वर्णित है, शास्त्रीय प्रस्तावात्मक कलन बूलियन बीजगणित (तर्क) के समतुल्य है, जबकि अंतर्ज्ञानवादी तर्क हेयटिंग बीजगणित के समतुल्य है। संबंधित प्रणालियों के प्रमेयों की प्रत्येक दिशा में अनुवाद द्वारा तुल्यता दिखाई जाती है। प्रमेयों $\phi$ शास्त्रीय या अंतर्ज्ञानवादी प्रस्तावक कलन को समीकरणों के रूप में अनुवादित किया जाता है $\phi =1$ क्रमशः बूलियन या हेयटिंग बीजगणित का। इसके विपरीत प्रमेय $x=y$ बूलियन या हेयटिंग बीजगणित को प्रमेय के रूप में अनुवादित किया जाता है $(x\to y)\land (y\to x)$ जिसके लिए क्रमशः शास्त्रीय या अंतर्ज्ञानवादी कलन का $x\equiv y$ एक मानक संक्षिप्त रूप है. बूलियन बीजगणित के मामले में $x=y$ के रूप में भी अनुवाद किया जा सकता है $(x\land y)\lor (\neg x\land \neg y)$, लेकिन यह अनुवाद अंतर्ज्ञान की दृष्टि से गलत है।

बूलियन और हेयटिंग बीजगणित दोनों में, असमानता $x\leq y$ समानता के स्थान पर प्रयोग किया जा सकता है। समानता $x=y$ असमानताओं की एक जोड़ी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $x\leq y$ और $y\leq x$. इसके विपरीत असमानता $x\leq y$ समानता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $x\land y=x$, या जैसे $x\lor y=y$. हिल्बर्ट-शैली प्रणालियों के लिए असमानता का महत्व यह है कि यह बाद के कटौती या प्रवेश प्रतीक से मेल खाती है $\vdash$. एक आकर्षण

$\phi _{1},\ \phi _{2},\ \dots ,\ \phi _{n}\vdash \psi$

बीजगणितीय ढांचे के असमानता संस्करण में अनुवादित किया गया है

$\phi _{1}\ \land \ \phi _{2}\ \land \ \dots \ \land \ \phi _{n}\ \ \leq \ \ \psi$

इसके विपरीत बीजगणितीय असमानता $x\leq y$ प्रवेश के रूप में अनुवादित किया गया है

$x\ \vdash \ y$.

निहितार्थ के बीच अंतर $x\to y$ और असमानता या प्रवेश $x\leq y$ या $x\ \vdash \ y$ यह है कि पूर्व तर्क के लिए आंतरिक है जबकि बाद वाला बाहरी है। दो शब्दों के बीच आंतरिक निहितार्थ उसी प्रकार का एक और शब्द है। दो शब्दों के बीच बाहरी निहितार्थ के रूप में प्रवेश तर्क की भाषा के बाहर एक मेटाट्रूथ को व्यक्त करता है, और इसे धातुभाषा का हिस्सा माना जाता है। यहां तक ​​कि जब अध्ययन के तहत तर्क अंतर्ज्ञानवादी है, तब भी प्रवेश को आमतौर पर शास्त्रीय रूप से दो-मूल्य के रूप में समझा जाता है: या तो बाईं ओर शामिल होता है, या दाईं ओर से कम या बराबर होता है, या यह नहीं होता है।

जैसा कि ऊपर वर्णित है और अनुक्रमिक कलन के लिए, बीजगणितीय तर्कशास्त्र के समान लेकिन अधिक जटिल अनुवाद प्राकृतिक कटौती प्रणालियों के लिए संभव हैं। उत्तरार्द्ध की जटिलताओं की व्याख्या दो-मूल्य के रूप में की जा सकती है, लेकिन अधिक व्यावहारिक व्याख्या एक सेट के रूप में है, जिसके तत्वों को एक श्रेणी (गणित) के रूपवाद के रूप में व्यवस्थित अमूर्त प्रमाण के रूप में समझा जा सकता है। इस व्याख्या में अनुक्रमिक कलन का कट नियम श्रेणी में रचना से मेल खाता है। बूलियन और हेयटिंग बीजगणित इस तस्वीर को विशेष श्रेणियों के रूप में दर्ज करते हैं, जिसमें प्रति होमसेट अधिकतम एक रूपवाद होता है, यानी, प्रति प्रवेश एक प्रमाण, इस विचार के अनुरूप कि प्रमाणों का अस्तित्व ही मायने रखता है: कोई भी प्रमाण काम करेगा और उन्हें अलग करने का कोई मतलब नहीं है .

ग्राफ़िकल कैल्कुली

गणितीय संरचनाओं के कई अन्य सेटों को शामिल करने के लिए एक सीमित आधार पर परिमित अनुक्रमों के एक सेट से औपचारिक भाषा की परिभाषा को सामान्य बनाना संभव है, जब तक कि वे परिमित सामग्रियों से परिमित साधनों द्वारा निर्मित होते हैं। इसके अलावा, औपचारिक संरचनाओं के इन परिवारों में से कई तर्क में उपयोग के लिए विशेष रूप से उपयुक्त हैं।

उदाहरण के लिए, ग्राफ (अलग-अलग गणित) के कई परिवार हैं जो औपचारिक भाषाओं के इतने करीब हैं कि कैलकुलस की अवधारणा काफी आसानी से और स्वाभाविक रूप से उन तक फैली हुई है। ग्राफ़ की कई प्रजातियाँ पाठ संरचनाओं के संबंधित परिवारों के वाक्यात्मक विश्लेषण में पार्स ग्राफ़ के रूप में उत्पन्न होती हैं। औपचारिक भाषाओं पर व्यावहारिक गणना की अनिवार्यताएं अक्सर यह मांग करती हैं कि टेक्स्ट स्ट्रिंग्स को पार्स ग्राफ़ के सूचक संरचना प्रतिपादन में परिवर्तित किया जाए, बस यह जांचने के लिए कि स्ट्रिंग्स अच्छी तरह से गठित सूत्र हैं या नहीं। एक बार यह हो जाने के बाद, स्ट्रिंग्स पर कैलकुलस के ग्राफिकल एनालॉग को विकसित करने से कई फायदे प्राप्त होंगे। स्ट्रिंग्स से पार्स ग्राफ़ तक मैपिंग को पदच्छेद कहा जाता है और पार्स ग्राफ़ से स्ट्रिंग्स तक व्युत्क्रम मैपिंग एक ऑपरेशन द्वारा प्राप्त की जाती है जिसे ग्राफ़ ट्रैवर्सल ग्राफ़ कहा जाता है।

अन्य तार्किक गणना

प्रोपोज़िशनल कैलकुलस वर्तमान उपयोग में आने वाले सबसे सरल प्रकार के तार्किक कैलकुलस के बारे में है। इसे कई तरह से बढ़ाया जा सकता है. (टर्म लॉजिक|अरिस्टोटेलियन सिलोजिस्टिक कैलकुलस, जिसे आधुनिक तर्क में बड़े पैमाने पर प्रतिस्थापित किया गया है, कुछ मायनों में सरल है - लेकिन अन्य मायनों में प्रस्तावात्मक कैलकुलस की तुलना में अधिक जटिल है।) अधिक जटिल तार्किक कैलकुलस विकसित करने का सबसे तात्कालिक तरीका उन नियमों को पेश करना है जो उपयोग किए जा रहे वाक्यों के अधिक सूक्ष्म विवरणों के प्रति संवेदनशील हैं।

प्रथम-क्रम तर्क (a.k.a. प्रथम-क्रम विधेय तर्क) का परिणाम तब होता है जब प्रस्तावक तर्क के परमाणु वाक्यों को एकवचन पद, चर (गणित), विधेय (तर्क), और क्वांटिफ़ायर (तर्क) में तोड़ दिया जाता है, सभी नियमों को ध्यान में रखते हुए कुछ नये तर्कों के साथ प्रस्तावात्मक तर्क प्रस्तुत किये गये। (उदाहरण के लिए, सभी कुत्ते स्तनधारी हैं से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यदि रोवर एक कुत्ता है तो रोवर एक स्तनपायी है।) प्रथम-क्रम तर्क के उपकरणों के साथ कई सिद्धांतों को तैयार करना संभव है, या तो स्पष्ट सिद्धांतों के साथ या नियमों के द्वारा अनुमान, जिसे स्वयं तार्किक गणना के रूप में माना जा सकता है। अंकगणित इनमें से सबसे प्रसिद्ध है; अन्य में सेट सिद्धांत और मेरियोलॉजी शामिल हैं। द्वितीय-क्रम तर्क और अन्य उच्च-क्रम तर्क प्रथम-क्रम तर्क के औपचारिक विस्तार हैं। इस प्रकार, इन तर्कों के साथ तुलना करने पर प्रस्तावात्मक तर्क को शून्य-क्रम तर्क के रूप में संदर्भित करना समझ में आता है।

मॉडल तर्क भी विभिन्न प्रकार के अनुमान प्रस्तुत करता है जिन्हें प्रस्तावात्मक कैलकुलस में कैद नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आवश्यक रूप से p हम इसका अनुमान लगा सकते हैं p. से pहम अनुमान लगा सकते हैं कि यह संभव है p . मोडल लॉजिक्स और बीजगणितीय लॉजिक्स के बीच अनुवाद शास्त्रीय और अंतर्ज्ञानवादी तर्कों से संबंधित है, लेकिन बूलियन या हेयटिंग बीजगणित पर एक यूनरी ऑपरेटर की शुरूआत के साथ, बूलियन ऑपरेशंस से अलग, संभावना पद्धति की व्याख्या करना, और हेयटिंग बीजगणित के मामले में आवश्यकता की व्याख्या करने वाला दूसरा ऑपरेटर (बूलियन बीजगणित के लिए यह अनावश्यक है क्योंकि आवश्यकता संभावना का डी मॉर्गन द्वैत है)। पहला ऑपरेटर 0 और वियोजन को सुरक्षित रखता है जबकि दूसरा 1 और संयोजन को सुरक्षित रखता है।

बहु-मूल्यवान तर्क वे हैं जो वाक्यों को सत्य और असत्य के अलावा अन्य मान रखने की अनुमति देते हैं। (उदाहरण के लिए, इनमें से कोई भी और दोनों मानक अतिरिक्त मान नहीं हैं; सातत्य तर्क प्रत्येक वाक्य को सत्य और असत्य के बीच सत्य की अनंत कोटि में से किसी एक को रखने की अनुमति देता है।) इन तर्कों के लिए अक्सर प्रस्तावात्मक कलन से बिल्कुल अलग गणनात्मक उपकरणों की आवश्यकता होती है। जब मान एक बूलियन बीजगणित बनाते हैं (जिसमें दो से अधिक या यहां तक ​​कि अनंत रूप से कई मान हो सकते हैं), तो कई-मूल्यवान तर्क शास्त्रीय तर्क में कम हो जाते हैं; बहु-मूल्यवान तर्क केवल तभी स्वतंत्र हित के होते हैं जब मान एक बीजगणित बनाते हैं जो बूलियन नहीं है।

समाधानकर्ता

प्रस्तावित कलन और विधेय कलन के बीच एक उल्लेखनीय अंतर यह है कि प्रस्ताव सूत्र की संतुष्टि निर्णय लेने योग्य सेट है। प्रस्तावित तर्क सूत्रों की संतुष्टि तय करना एक एनपी-पूर्ण समस्या है। हालाँकि, व्यावहारिक विधियाँ मौजूद हैं (उदाहरण के लिए, डीपीएलएल एल्गोरिदम, 1962; भूसा एल्गोरिथ्म, 2001) जो कई उपयोगी मामलों के लिए बहुत तेज़ हैं। हाल के कार्य ने अंकगणितीय अभिव्यक्तियों वाले प्रस्तावों के साथ काम करने के लिए SAT सॉल्वर एल्गोरिदम का विस्तार किया है; ये श्रीमती सॉल्वर हैं।

यह भी देखें

उच्च तार्किक स्तर

• प्रथम-क्रम तर्क
• दूसरे क्रम का प्रस्तावात्मक तर्क
• दूसरे क्रम का तर्क
• उच्च-क्रम तर्क

संबंधित विषय

• बूलियन बीजगणित (तर्क)
• बूलियन बीजगणित (संरचना)
• बूलियन बीजगणित विषय
• बूलियन डोमेन
• बूलियन फ़ंक्शन
• बूलियन-मूल्यवान फ़ंक्शन
• श्रेणीबद्ध तर्क
• संयुक्त तर्क
• संयोजन तर्क
• वैचारिक ग्राफ
• विच्छेदनात्मक न्यायवाक्य
• एंटिटेटिव ग्राफ़
• समतामूलक तर्क
• अस्तित्वगत ग्राफ
• फ़्रीज का प्रस्तावात्मक कलन
• निहितार्थ प्रस्तावात्मक कलन
• अंतर्ज्ञानवादी प्रस्तावात्मक कलन
• जीन बुरिडन
• रूप के नियम
• तर्क प्रतीकों की सूची
• तार्किक ग्राफ
• तार्किक न ही
• तार्किक मूल्य
• गणितीय तर्क
• ऑपरेशन (गणित)
• वेनिस के पॉल
• पीयर्स का नियम
• स्पेन के पीटर (लेखक)
• प्रस्तावात्मक सूत्र
• सममित अंतर
• टॉटोलॉजी (अनुमान का नियम)
• सत्य कार्य
• ट्रुथ टेबल
• वाल्टर बर्ली
• शेरवुड के विलियम

अग्रिम पठन

• Brown, Frank Markham (2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY.
• Chang, C.C. and Keisler, H.J. (1973), Model Theory, North-Holland, Amsterdam, Netherlands.
• Kohavi, Zvi (1978), Switching and Finite Automata Theory, 1st edition, McGraw–Hill, 1970. 2nd edition, McGraw–Hill, 1978.
• Korfhage, Robert R. (1974), Discrete Computational Structures, Academic Press, New York, NY.
• Lambek, J. and Scott, P.J. (1986), Introduction to Higher Order Categorical Logic, Cambridge University Press, Cambridge, UK.
• Mendelson, Elliot (1964), Introduction to Mathematical Logic, D. Van Nostrand Company.

संबंधित कार्य

• Hofstadter, Douglas (1979). Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. Basic Books. ISBN 978-0-465-02656-2.

बाहरी संबंध

• Klement, Kevin C. (2006), "Propositional Logic", in James Fieser and Bradley Dowden (eds.), Internet Encyclopedia of Philosophy, Eprint.
• Formal Predicate Calculus, contains a systematic formal development along the lines of Alternative calculus
• forall x: an introduction to formal logic, by P.D. Magnus, covers formal semantics and proof theory for sentential logic.
• Chapter 2 / Propositional Logic from Logic In Action
• Propositional sequent calculus prover on Project Nayuki. (note: implication can be input in the form !X|Y, and a sequent can be a single formula prefixed with > and having no commas)
• Propositional Logic - A Generative Grammar