सामान्य संचालिका

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण, एक जटिल हिल्बर्ट अंतरिक्ष H पर एक सामान्य ऑपरेटर एक सतत कार्य (टोपोलॉजी) रैखिक ऑपरेटर N : H → H है जो इसके कम्यूटेटर के साथ हर्मिटियन संलग्न एन*, वह है: एनएन* = एन*एन। सामान्य संकारक महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वर्णक्रमीय प्रमेय उनके लिए मान्य है। सामान्य ऑपरेटरों की कक्षा अच्छी तरह से समझी जाती है। सामान्य ऑपरेटरों के उदाहरण हैं

• एकात्मक संचालक: एन * = एन^-1
• हर्मिटियन संकारक (अर्थात, स्व-आसन्न संकारक): N* = N
• तिरछा-हर्मिटियन संकारक: N* = -N
• सकारात्मक संकारक: N = MM* कुछ M के लिए (इसलिए N स्व-आसन्न है)।

एक सामान्य मैट्रिक्स हिल्बर्ट स्पेस 'C' पर एक सामान्य ऑपरेटर की मैट्रिक्स अभिव्यक्ति है।^एन.

गुण

सामान्य ऑपरेटरों को वर्णक्रमीय प्रमेय द्वारा चित्रित किया जाता है। हिल्बर्ट स्पेस पर एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर (विशेष रूप से, परिमित-आयामी रैखिक स्थान पर एक सामान्य ऑपरेटर) एकात्मक रूप से विकर्ण है। होने देना $T$ एक बाध्य ऑपरेटर बनें। निम्नलिखित समकक्ष हैं।

• $T$ यह सामान्य है।
• $T^{*}$ यह सामान्य है।
• $\|Tx\|=\|T^{*}x\|$ सबके लिए $x$ (उपयोग $\|Tx\|^{2}=\langle T^{*}Tx,x\rangle =\langle TT^{*}x,x\rangle =\|T^{*}x\|^{2}$).
• स्व-संलग्न और विरोधी स्वयं के आसन्न भाग $T$ आना-जाना। यानी अगर $T$ के रूप में लिखा गया है $T=T_{1}+iT_{2}$ साथ $T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}$ और $i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},$ तब $T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.$

यदि $N$ एक सामान्य ऑपरेटर है, तो $N$ और $N^{*}$ एक ही कर्नेल और एक ही रेंज है। नतीजतन, की सीमा $N$ घना है अगर और केवल अगर $N$ इंजेक्शन है। दूसरे तरीके से रखें, एक सामान्य ऑपरेटर का कर्नेल इसकी सीमा का ऑर्थोगोनल पूरक है। यह इस प्रकार है कि ऑपरेटर का कर्नेल $N^{k}$ से मेल खाता है $N$ किसी के लिए $k.$ इस प्रकार एक सामान्य संकारक का प्रत्येक सामान्यीकृत ईजेनवेल्यू वास्तविक होता है। $\lambda$ एक सामान्य संकारक का आइगेन मान है $N$ अगर और केवल अगर यह जटिल संयुग्म है ${\overline {\lambda }}$ का आइगेनवैल्यू है $N^{*}.$ अलग-अलग eigenvalues ​​​​के अनुरूप एक सामान्य ऑपरेटर के eigenvectors ओर्थोगोनल हैं, और एक सामान्य ऑपरेटर अपने प्रत्येक eigenspaces के ऑर्थोगोनल पूरक को स्थिर करता है। इसका तात्पर्य सामान्य वर्णक्रमीय प्रमेय से है: परिमित-आयामी स्थान पर प्रत्येक सामान्य ऑपरेटर एक एकात्मक ऑपरेटर द्वारा विकर्ण करने योग्य होता है। प्रक्षेपण-मूल्यवान उपायों के संदर्भ में व्यक्त वर्णक्रमीय प्रमेय का एक अनंत-आयामी संस्करण भी है। एक सामान्य ऑपरेटर का अवशिष्ट स्पेक्ट्रम खाली होता है।

यात्रा करने वाले सामान्य ऑपरेटरों का उत्पाद फिर से सामान्य है; यह गैर-तुच्छ है, लेकिन फुग्लेडे के प्रमेय से सीधे अनुसरण करता है, जो बताता है (पुटनम द्वारा सामान्यीकृत रूप में):

यदि $N_{1}$ और $N_{2}$ सामान्य ऑपरेटर हैं और यदि $A$ एक परिबद्ध रेखीय संकारक है जैसे कि $N_{1}A=AN_{2},$ तब $N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}$.

एक सामान्य संकारक का संकारक मानदण्ड उसके संख्यात्मक त्रिज्या के बराबर होता है और वर्णक्रमीय त्रिज्या।

एक सामान्य संकारक अपने Aluthge रूपांतरण के साथ मेल खाता है।

परिमित-आयामी मामले में गुण

एक परिमित आयामी वास्तविक पर एक सामान्य ऑपरेटर टी या जटिल हिल्बर्ट स्पेस (आंतरिक उत्पाद स्थान) H एक उप-स्थान V को स्थिर करता है, फिर यह इसके ऑर्थोगोनल पूरक V को भी स्थिर करता है^{⊥</सुप>। (यह कथन उस मामले में तुच्छ है जहां T स्व-संयोजित है।)}

सबूत। चलो पी_VV पर ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन हो। फिर V पर ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन^⊥ 1 है_H-पी_V. तथ्य यह है कि T V को स्थिर करता है ('1' के रूप में व्यक्त किया जा सकता है_H-पी_V) टी.पी_V= 0, या टी.पी_V= पी_Vटी.पी_V. लक्ष्य यह दिखाना है कि पी_Vटी('1'_H-पी_V) = 0।

माना X = P_Vटी('1'_H-पी_V). चूंकि (ए, बी) ↦ tr(AB*) H के एंडोमोर्फिज्म के स्थान पर एक आंतरिक उत्पाद है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि tr(XX*) = 0. पहले हम ध्यान दें कि

${\begin{aligned}XX^{*}&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}\\&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}\\&=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}.\end{aligned}}$

अब हमारे पास ट्रेस (रैखिक बीजगणित) और ऑर्थोगोनल अनुमानों के गुणों का उपयोग करना:

${\begin{aligned}\operatorname {tr} (XX^{*})&=\operatorname {tr} \left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}\right)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})&&{\text{using the hypothesis that }}T{\text{ stabilizes }}V\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}T^{*}T)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))\\&=0.\end{aligned}}$

अनंत आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान में कॉम्पैक्ट सामान्य ऑपरेटरों के लिए एक ही तर्क जाता है, जहां कोई हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक उत्पाद का उपयोग करता है, जिसे tr(AB*) द्वारा परिभाषित किया गया है। हालांकि, बाध्य सामान्य ऑपरेटरों के लिए, स्थिर उप-स्थान के लिए ऑर्थोगोनल पूरक स्थिर नहीं हो सकता है। यह इस प्रकार है कि हिल्बर्ट अंतरिक्ष सामान्य रूप से एक सामान्य ऑपरेटर के eigenvectors द्वारा फैलाया नहीं जा सकता। उदाहरण के लिए, द्विपक्षीय बदलाव (या दो तरफा बदलाव) पर विचार करें $\ell ^{2}$, जो कि सामान्य है, लेकिन इसका कोई आइगेनवैल्यू नहीं है।

हार्डी स्पेस पर अभिनय करने वाली एक शिफ्ट के अपरिवर्तनीय उपस्थानों को बेर्लिंग के प्रमेय द्वारा वर्णित किया गया है।

बीजगणित के सामान्य तत्व

सामान्य संकारकों की धारणा एक समावेशी बीजगणित के लिए सामान्यीकृत होती है:

एक समावेशी बीजगणित का एक तत्व x को सामान्य कहा जाता है यदि xx* = x*x।

स्व-संलग्न और एकात्मक तत्व सामान्य हैं।

सबसे महत्वपूर्ण मामला तब होता है जब ऐसा बीजगणित C*-बीजगणित होता है।

असीमित सामान्य ऑपरेटर

सामान्य ऑपरेटरों की परिभाषा स्वाभाविक रूप से असीमित ऑपरेटरों के कुछ वर्ग को सामान्यीकृत करती है। स्पष्ट रूप से, एक बंद संकारक N को सामान्य कहा जाता है यदि

$N^{*}N=NN^{*}.$

यहां, आसन्न N* के अस्तित्व के लिए आवश्यक है कि N का डोमेन सघन हो, और समानता में यह अभिकथन शामिल है कि N*N का डोमेन NN* के डोमेन के बराबर है, जो सामान्य रूप से आवश्यक नहीं है।

समतुल्य रूप से सामान्य संकारक वही होते हैं जिनके लिए

$\|Nx\|=\|N^{*}x\|\qquad$ साथ

${\mathcal {D}}(N)={\mathcal {D}}(N^{*}).$

स्पेक्ट्रल प्रमेय अभी भी असीमित (सामान्य) ऑपरेटरों के लिए है। प्रूफ बाउंडेड (नॉर्मल) ऑपरेटर्स में कमी के द्वारा काम करते हैं।

सामान्यीकरण

सामान्य संचालकों के सिद्धांत की सफलता ने क्रमविनिमेयता की आवश्यकता को कमजोर करके सामान्यीकरण के लिए कई प्रयास किए। ऑपरेटरों की कक्षाएं जिनमें सामान्य ऑपरेटर शामिल हैं (शामिल करने के क्रम में)

• हाइपोनॉर्मल ऑपरेटर्स
• नॉर्मलॉइड
• पैरानॉर्मल ऑपरेटर्स
• क्वासिनॉर्मल ऑपरेटर्स
• असामान्य ऑपरेटर

यह भी देखें

• Continuous linear operator
• Contraction (operator theory)