स्टोन स्पेस

टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक स्टोन स्पेस, जिसे प्रोफिनिट स्पेस के रूप में भी जाना जाता हैया प्रोफिनिट सेट, एक कॉम्पैक्ट जगह है जो हॉसडॉर्फ स्पेस को पूरी तरह से डिस्कनेक्ट कर देता है। स्टोन स्पेस का नाम मार्शल हार्वे स्टोन के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 1930 के दशक में बूलियन बीजगणित (संरचना) की अपनी जांच के दौरान उन्हें पेश किया और उनका अध्ययन किया, जिसकी परिणति बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय में हुई।

समतुल्य शर्तें

टोपोलॉजिकल स्पेस पर निम्नलिखित शर्तें $X$ समतुल्य हैं:

• $X$ एक स्टोन स्पेस है;
• $X$ परिमित असतत स्थान की व्युत्क्रम प्रणाली की व्युत्क्रम सीमा (टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में) के लिए होमोमोर्फिज्म है;
• $X$ कॉम्पैक्ट और कनेक्टेड स्पेस है#डिस्कनेक्टेड स्पेस;
• $X$ कॉम्पैक्ट है, कोलमोगोरोव स्पेस|टी₀, और शून्य-आयामी स्थान | शून्य-आयामी (छोटे आगमनात्मक आयाम के अर्थ में);
• $X$ वर्णक्रमीय स्थान और हौसडॉर्फ है।

उदाहरण

स्टोन स्पेस के महत्वपूर्ण उदाहरणों में परिमित असतत स्पेस, कैंटर सेट और स्पेस शामिल हैं $\mathbb {Z} _{p}$ पी-एडिक पूर्णांकों का |$p$-एडिक पूर्णांक, जहां $p$ कोई अभाज्य संख्या है। इन उदाहरणों को सामान्य करते हुए, परिमित असतत स्थानों का कोई भी उत्पाद टोपोलॉजी एक स्टोन स्पेस है, और किसी भी अनंत समूह के अंतर्गत आने वाला टोपोलॉजिकल स्पेस एक स्टोन स्पेस है। असतत टोपोलॉजी, या वास्तव में किसी भी असतत स्थान के साथ प्राकृतिक संख्याओं का स्टोन-चेक संघनन, एक स्टोन स्पेस है।

== बूलियन बीजगणित == के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय

Main article: Stone's representation theorem for Boolean algebras

प्रत्येक बूलियन बीजगणित (संरचना) के लिए $B$ हम एक स्टोन स्पेस को जोड़ सकते हैं $S(B)$ इस प्रकार है: के तत्व $S(B)$ ultrafilter चालू हैं $B,$ और टोपोलॉजी चालू है $S(B),$ बुलाया the Stone topology, फॉर्म के सेट द्वारा उत्पन्न होता है $\{F\in S(B):b\in F\},$ कहाँ $b\in B.$ बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय कहता है कि प्रत्येक बूलियन बीजगणित स्टोन स्पेस के क्लोपेन सेट के बूलियन बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है $S(B)$; और इसके अलावा, हर स्टोन स्पेस $X$ के क्लोपेन सेट के बूलियन बीजगणित से संबंधित स्टोन स्पेस के लिए होमियोमॉर्फिक है $X.$ ये असाइनमेंट परिचालक हैं, और हम एक दोहरी श्रेणी प्राप्त करते हैं। बूलियन बीजगणित की श्रेणी (आकारिकी के रूप में समरूपता के साथ) और स्टोन रिक्त स्थान की श्रेणी (आकारिकी के रूप में निरंतर मानचित्र के साथ) के बीच श्रेणी-सैद्धांतिक द्वंद्व।

स्टोन के प्रमेय ने कई समान द्वैतताओं को जन्म दिया, जिन्हें अब सामूहिक रूप से स्टोन द्वैत के रूप में जाना जाता है।

संघनित गणित

निरंतर मानचित्रों के साथ स्टोन स्पेस की श्रेणी परिमित सेट की श्रेणी की प्रो-श्रेणी के लिए श्रेणियों की समतुल्यता है, जो अनंत सेट शब्द की व्याख्या करती है। परिमित सेट संघनित गणित की परियोजना के केंद्र में हैं, जिसका उद्देश्य संघनित सेटों के साथ टोपोलॉजिकल स्पेस को बदलना है, जहाँ एक टोपोलॉजिकल स्पेस X को फ़ंक्टर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जो एक अनंत सेट S को S से X तक निरंतर मानचित्रों के सेट तक ले जाता है। .

यह भी देखें

• Stone–Čech compactification#Construction using ultrafilters
• Filters in topology
• Type (model theory)

अग्रिम पठन

• Johnstone, Peter (1982). Stone Spaces. Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33779-8.