हाइपरइलास्टिक सामग्री

विभिन्न हाइपरइलास्टिक सामग्री मॉडल के लिए तनाव-तनाव वक्र।

एक हाइपरइलास्टिक या हरा लोचदार पदार्थ आदर्श रूप से लोचदार (ठोस यांत्रिकी) सामग्री के लिए एक प्रकार का संवैधानिक समीकरण है जिसके लिए तनाव-खिंचाव संबंध एक तनाव ऊर्जा घनत्व फ़ंक्शन से प्राप्त होता है। हाइपरइलास्टिक सामग्री कॉची लोचदार सामग्री का एक विशेष मामला है।

कई सामग्रियों के लिए, रैखिक लोच मॉडल प्रेक्षित सामग्री व्यवहार का सटीक वर्णन नहीं करते हैं। इस प्रकार की सामग्री का सबसे आम उदाहरण रबर है, जिसका [[तनाव (भौतिकी)]]-तनाव (भौतिकी) संबंध को गैर-रैखिक रूप से लोचदार, समदैशिक और असम्पीडित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरइलास्टिसिटी ऐसी सामग्रियों के तनाव-तनाव व्यवहार को मॉडलिंग करने का एक साधन प्रदान करती है। अपूर्ण, vulcanized इलास्टोमर्स का व्यवहार अक्सर हाइपरलास्टिक आदर्श के अनुरूप होता है। भरे हुए इलास्टोमर्स और जैविक ऊतक इन्हें अक्सर हाइपरइलास्टिक आदर्शीकरण के माध्यम से भी तैयार किया जाता है।

रोनाल्ड रिवलिन और मेल्विन मूनी ने पहला हाइपरलास्टिक मॉडल, नियो-हुकियन ठोस|नियो-हुकियन और मूनी-रिवलिन सॉलिड|मूनी-रिवलिन सॉलिड विकसित किया। तब से कई अन्य हाइपरलास्टिक मॉडल विकसित किए गए हैं। अन्य व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले हाइपरलास्टिक सामग्री मॉडल में ओग्डेन (हाइपरलास्टिक मॉडल) मॉडल और अरुडा-बॉयस मॉडल शामिल हैं।

हाइपरलास्टिक सामग्री मॉडल

सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल

सबसे सरल हाइपरलास्टिक सामग्री मॉडल सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल है जो ज्यामितीय रूप से रैखिक लोचदार सामग्री मॉडल का ज्यामितीय रूप से गैर-रेखीय शासन का विस्तार है। इस मॉडल में क्रमशः सामान्य रूप और आइसोट्रोपिक रूप है

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}&={\boldsymbol {C}}:{\boldsymbol {E}}\\{\boldsymbol {S}}&=\lambda ~{\text{tr}}({\boldsymbol {E}}){\boldsymbol {\mathit {I}}}+2\mu {\boldsymbol {E}}{\text{.}}\end{aligned}}$$

कहाँ $\mathbin {:}$ टेंसर संकुचन है, ${\boldsymbol {S}}$ दूसरा पियोला-किरचॉफ तनाव है, ${\boldsymbol {C}}:\mathbb {R} ^{3\times 3}\to \mathbb {R} ^{3\times 3}$ एक चौथा क्रम कठोरता टेंसर है और ${\boldsymbol {E}}$ लैग्रेंजियन ग्रीन स्ट्रेन द्वारा दिया गया है

$$\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{\textsf {T}}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{\textsf {T}}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\,\!$$

$\lambda$ और $\mu$ लंगड़ा स्थिरांक हैं|लम स्थिरांक, और ${\boldsymbol {\mathit {I}}}$ दूसरे क्रम की इकाई टेंसर है।

सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल के लिए तनाव-ऊर्जा घनत्व फ़ंक्शन है

$$W({\boldsymbol {E}})={\frac {\lambda }{2}}[{\text{tr}}({\boldsymbol {E}})]^{2}+\mu {\text{tr}}{\mathord {\left({\boldsymbol {E}}^{2}\right)}}$$

और दूसरा पियोला-किरचॉफ तनाव संबंध से प्राप्त किया जा सकता है

$${\boldsymbol {S}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}~.$$

हाइपरइलास्टिक सामग्री मॉडल का वर्गीकरण

हाइपरलास्टिक सामग्री मॉडल को इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है:

1. प्रेक्षित व्यवहार का घटनात्मक मॉडल विवरण
   • मुलायम ऊतक#फंग-लोचदार सामग्री
   • मूनी-रिवलिन ठोस|मूनी-रिवलिन
   • ओग्डेन (हाइपरइलास्टिक मॉडल)
   • बहुपद (हाइपरइलास्टिक मॉडल)
   • सेंट वेनेंट-किरचॉफ
   • येओह (हाइपरइलास्टिक मॉडल)
   • मार्लो (हाइपरइलास्टिक मॉडल)
2. सामग्री की अंतर्निहित संरचना के बारे में तर्कों से प्राप्त रबर की लोच
   • अरुडा-बॉयस मॉडल
   • नियो-हुकियन सॉलिड|नियो-हुकियन मॉडल#* बीच-सिल्बरस्टीन मॉडल
3. घटनात्मक और यंत्रवत मॉडल के संकर
   • जेंट (हाइपरइलास्टिक मॉडल)
   • वैन डेर वाल्स (हाइपरलाटिक मॉडल)

आम तौर पर, एक हाइपरलास्टिक मॉडल को ड्रकर स्थिरता मानदंड को पूरा करना चाहिए। कुछ हाइपरलास्टिक मॉडल वैलानिस-लैंडेल परिकल्पना को संतुष्ट करते हैं जिसमें कहा गया है कि तनाव ऊर्जा फ़ंक्शन को प्रमुख हिस्सों के अलग-अलग कार्यों के योग में अलग किया जा सकता है $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$:

$$W=f(\lambda _{1})+f(\lambda _{2})+f(\lambda _{3})\,.$$

तनाव-तनाव संबंध

संपीड़ित हाइपरइलास्टिक सामग्री

पहला पियोला-किरचॉफ तनाव

अगर $W({\boldsymbol {F}})$ तनाव ऊर्जा घनत्व फ़ंक्शन है, पियोला-किरचॉफ तनाव टेंसर|प्रथम पियोला-किरचॉफ तनाव टेंसर की गणना हाइपरलास्टिक सामग्री के लिए की जा सकती है

$${\boldsymbol {P}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}={\frac {\partial W}{\partial F_{iK}}}.$$

कहाँ ${\boldsymbol {F}}$ विरूपण प्रवणता है. परिमित तनाव सिद्धांत के संदर्भ में#परिमित तनाव टेंसर (${\boldsymbol {E}}$)

$${\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}=F_{iL}~{\frac {\partial W}{\partial E_{LK}}}~.$$

परिमित तनाव सिद्धांत के संदर्भ में | सही कॉची-हरा विरूपण टेंसर (${\boldsymbol {C}}$)

$${\boldsymbol {P}}=2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}=2~F_{iL}~{\frac {\partial W}{\partial C_{LK}}}~.$$

दूसरा पियोला-किरचॉफ तनाव

अगर ${\boldsymbol {S}}$ पियोला-किरचॉफ तनाव टेंसर है| दूसरा पियोला-किरचॉफ तनाव टेंसर है

$${\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}{\frac {\partial W}{\partial F_{kJ}}}~.$$

परिमित तनाव सिद्धांत के संदर्भ में#परिमित तनाव टेंसर

$${\boldsymbol {S}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}={\frac {\partial W}{\partial E_{IJ}}}~.$$

परिमित तनाव सिद्धांत के संदर्भ में | सही कॉची-हरा विरूपण टेंसर

$${\boldsymbol {S}}=2~{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}=2~{\frac {\partial W}{\partial C_{IJ}}}~.$$

उपरोक्त संबंध को सामग्री विन्यास में डॉयल-एरिक्सन सूत्र के रूप में भी जाना जाता है।

कॉची तनाव

इसी प्रकार, तनाव (भौतिकी) द्वारा दिया जाता है

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{J}}~{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}~;~~J:=\det {\boldsymbol {F}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {1}{J}}~{\frac {\partial W}{\partial F_{iK}}}~F_{jK}~.$$

परिमित तनाव सिद्धांत के संदर्भ में#परिमित तनाव टेंसर

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {1}{J}}~F_{iK}~{\frac {\partial W}{\partial E_{KL}}}~F_{jL}~.$$

परिमित तनाव सिद्धांत के संदर्भ में | सही कॉची-हरा विरूपण टेंसर

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {2}{J}}~F_{iK}~{\frac {\partial W}{\partial C_{KL}}}~F_{jL}~.$$

उपरोक्त अभिव्यक्तियाँ अनिसोट्रोपिक मीडिया के लिए भी मान्य हैं (जिस स्थिति में, संभावित कार्य को प्रारंभिक फाइबर अभिविन्यास जैसे संदर्भ दिशात्मक मात्राओं पर अंतर्निहित रूप से निर्भर माना जाता है)। आइसोट्रॉपी के विशेष मामले में, कॉची तनाव को बाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {B}}}}\cdot ~{\boldsymbol {B}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {2}{J}}~B_{ik}~{\frac {\partial W}{\partial B_{kj}}}~.$$

असंपीड्य हाइपरइलास्टिक सामग्री

एक असंपीड्य सामग्री के लिए $J:=\det {\boldsymbol {F}}=1$. इसलिए असंपीड्यता बाधा है $J-1=0$. हाइपरइलास्टिक सामग्री की असंपीड्यता सुनिश्चित करने के लिए, तनाव-ऊर्जा फ़ंक्शन को इस रूप में लिखा जा सकता है:

$$W=W({\boldsymbol {F}})-p~(J-1)$$

जहां हाइड्रोस्टेटिक दबाव $p$ असंपीड्यता बाधा को लागू करने के लिए लैग्रेंज गुणक के रूप में कार्य करता है। पहला पियोला-किरचॉफ तनाव अब बन गया है

$${\boldsymbol {P}}=-p~J{\boldsymbol {F}}^{-{\textsf {T}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}=-p~{\boldsymbol {F}}^{-{\textsf {T}}}+{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}=-p~{\boldsymbol {F}}^{-{\textsf {T}}}+2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}~.$$

यह तनाव टेंसर बाद में किसी भी अन्य पारंपरिक तनाव टेंसर में तनाव (भौतिकी) हो सकता है, जैसे कॉची तनाव टेंसर जो द्वारा दिया गया है

$${\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}~.$$

कॉची तनाव के लिए अभिव्यक्ति

संपीड़ित आइसोट्रोपिक हाइपरइलास्टिक सामग्री

आइसोट्रोपिक हाइपरइलास्टिक सामग्रियों के लिए, कॉची तनाव को परिमित तनाव सिद्धांत # लेफ्ट कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर | बाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर (या परिमित तनाव सिद्धांत # दायां कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर | दायां कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर) के अपरिवर्तनीयों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। यदि तनाव ऊर्जा घनत्व फ़ंक्शन है

$$W({\boldsymbol {F}})={\hat {W}}(I_{1},I_{2},I_{3})={\bar {W}}({\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J)={\tilde {W}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}),$$

तब

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\frac {2}{\sqrt {I_{3}}}}\left[\left({\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2{\sqrt {I_{3}}}~{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\\[5pt]&={\frac {2}{J}}\left[{\frac {1}{J^{2/3}}}\left({\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\frac {1}{J^{4/3}}}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial J}}-{\frac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\\[5pt]&={\frac {2}{J}}\left[\left({\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\bar {\boldsymbol {B}}}-{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]+\left[{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial J}}-{\frac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\\[5pt]&={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~{\frac {\partial {\tilde {W}}}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~{\frac {\partial {\tilde {W}}}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~{\frac {\partial {\tilde {W}}}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\end{aligned}}$$

(इन प्रतीकों की परिभाषा के लिए परिमित तनाव सिद्धांत#द लेफ्ट कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर|लेफ्ट कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर पर पृष्ठ देखें)।

Proof 1

The second Piola–Kirchhoff stress tensor for a hyperelastic material is given by

$${\boldsymbol {S}}=2~{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}$$

where ${\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}$ is the right Cauchy–Green deformation tensor and ${\boldsymbol {F}}$ is the deformation gradient. The Cauchy stress is given by

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}$$

where $J=\det {\boldsymbol {F}}$. Let $I_{1},I_{2},I_{3}$ be the three principal invariants of ${\boldsymbol {C}}$. Then

$${\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}~.$$

The derivatives of the invariants of the symmetric tensor ${\boldsymbol {C}}$ are

$${\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}~;~~{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}=I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {C}}~;~~{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}=\det({\boldsymbol {C}})~{\boldsymbol {C}}^{-1}$$

Therefore, we can write

$${\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})+{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~I_{3}~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~.$$

Plugging into the expression for the Cauchy stress gives

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~\left[{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}-{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T})+{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~I_{3}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\right]$$

Using the left Cauchy–Green deformation tensor ${\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}$ and noting that $I_{3}=J^{2}$, we can write

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{\sqrt {I_{3}}}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~{\sqrt {I_{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.$$

For an incompressible material $I_{3}=1$ and hence $W=W(I_{1},I_{2})$.Then

$${\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})$$

Therefore, the Cauchy stress is given by

$${\boldsymbol {\sigma }}=2\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.$$

where $p$ is an undetermined pressure which acts as a Lagrange multiplier to enforce the incompressibility constraint.

If, in addition, $I_{1}=I_{2}$, we have $W=W(I_{1})$ and hence

$${\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}$$

In that case the Cauchy stress can be expressed as

$${\boldsymbol {\sigma }}=2{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.$$

Proof 2

The isochoric deformation gradient is defined as ${\bar {\boldsymbol {F}}}:=J^{-1/3}{\boldsymbol {F}}$, resulting in the isochoric deformation gradient having a determinant of 1, in other words it is volume stretch free. Using this one can subsequently define the isochoric left Cauchy–Green deformation tensor ${\bar {\boldsymbol {B}}}:={\bar {\boldsymbol {F}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {F}}}^{T}=J^{-2/3}{\boldsymbol {B}}$. The invariants of ${\bar {\boldsymbol {B}}}$ are

$${\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&={\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}})=J^{-2/3}{\text{tr}}({\boldsymbol {B}})=J^{-2/3}I_{1}\\{\bar {I}}_{2}&={\frac {1}{2}}\left({\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}})^{2}-{\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}}^{2})\right)={\frac {1}{2}}\left(\left(J^{-2/3}{\text{tr}}({\boldsymbol {B}})\right)^{2}-{\text{tr}}(J^{-4/3}{\boldsymbol {B}}^{2})\right)=J^{-4/3}I_{2}\\{\bar {I}}_{3}&=\det({\bar {\boldsymbol {B}}})=J^{-6/3}\det({\boldsymbol {B}})=J^{-2}I_{3}=J^{-2}J^{2}=1\end{aligned}}$$

The set of invariants which are used to define the distortional behavior are the first two invariants of the isochoric left Cauchy–Green deformation tensor tensor, (which are identical to the ones for the right Cauchy Green stretch tensor), and add $J$ into the fray to describe the volumetric behaviour.

To express the Cauchy stress in terms of the invariants ${\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J$ recall that

$${\bar {I}}_{1}=J^{-2/3}~I_{1}=I_{3}^{-1/3}~I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}=J^{-4/3}~I_{2}=I_{3}^{-2/3}~I_{2}~;~~J=I_{3}^{1/2}~.$$

The chain rule of differentiation gives us

$${\begin{aligned}{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}&={\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}~{\frac {\partial {\bar {I}}_{1}}{\partial I_{1}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\frac {\partial {\bar {I}}_{2}}{\partial I_{1}}}+{\frac {\partial W}{\partial J}}~{\frac {\partial J}{\partial I_{1}}}\\&=I_{3}^{-1/3}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}=J^{-2/3}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}\\{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}&={\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}~{\frac {\partial {\bar {I}}_{1}}{\partial I_{2}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\frac {\partial {\bar {I}}_{2}}{\partial I_{2}}}+{\frac {\partial W}{\partial J}}~{\frac {\partial J}{\partial I_{2}}}\\&=I_{3}^{-2/3}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}=J^{-4/3}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\\{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}&={\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}~{\frac {\partial {\bar {I}}_{1}}{\partial I_{3}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\frac {\partial {\bar {I}}_{2}}{\partial I_{3}}}+{\frac {\partial W}{\partial J}}~{\frac {\partial J}{\partial I_{3}}}\\&=-{\frac {1}{3}}~I_{3}^{-4/3}~I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}-{\frac {2}{3}}~I_{3}^{-5/3}~I_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}+{\frac {1}{2}}~I_{3}^{-1/2}~{\frac {\partial W}{\partial J}}\\&=-{\frac {1}{3}}~J^{-8/3}~J^{2/3}~{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}-{\frac {2}{3}}~J^{-10/3}~J^{4/3}~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}+{\frac {1}{2}}~J^{-1}~{\frac {\partial W}{\partial J}}\\&=-{\frac {1}{3}}~J^{-2}~\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}~J^{-1}~{\frac {\partial W}{\partial J}}\end{aligned}}$$

Recall that the Cauchy stress is given by

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{\sqrt {I_{3}}}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~{\sqrt {I_{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.$$

In terms of the invariants ${\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J$ we have

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+J^{2/3}~{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~J~{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.$$

Plugging in the expressions for the derivatives of $W$ in terms of ${\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J$, we have

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\frac {2}{J}}~\left[\left(J^{-2/3}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+J^{-2/3}~{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-J^{-4/3}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\\&\qquad 2~J~\left[-{\frac {1}{3}}~J^{-2}~\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}~J^{-1}~{\frac {\partial W}{\partial J}}\right]~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\end{aligned}}$$

or,

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\frac {2}{J}}~\left[{\frac {1}{J^{2/3}}}~\left({\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {1}{J^{4/3}}}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]\\&\qquad +\left[{\frac {\partial W}{\partial J}}-{\frac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}\end{aligned}}$$

In terms of the deviatoric part of ${\boldsymbol {B}}$, we can write

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\frac {2}{J}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]\\&\qquad +\left[{\frac {\partial W}{\partial J}}-{\frac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}\end{aligned}}$$

For an incompressible material $J=1$ and hence $W=W({\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2})$.Then the Cauchy stress is given by

$${\boldsymbol {\sigma }}=2\left[\left({\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.$$

where $p$ is an undetermined pressure-like Lagrange multiplier term. In addition, if ${\bar {I}}_{1}={\bar {I}}_{2}$, we have $W=W({\bar {I}}_{1})$ and hence the Cauchy stress can be expressed as

$${\boldsymbol {\sigma }}=2{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.$$

Proof 3

To express the Cauchy stress in terms of the stretches $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ recall that

$${\frac {\partial \lambda _{i}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {1}{2\lambda _{i}}}~{\boldsymbol {R}}^{T}\cdot (\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})\cdot {\boldsymbol {R}}~;~~i=1,2,3~.$$

The chain rule gives

$${\begin{aligned}{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}&={\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~{\frac {\partial \lambda _{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~{\frac {\partial \lambda _{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~{\frac {\partial \lambda _{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\\&={\boldsymbol {R}}^{T}\cdot \left[{\frac {1}{2\lambda _{1}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\frac {1}{2\lambda _{2}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\frac {1}{2\lambda _{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\right]\cdot {\boldsymbol {R}}\end{aligned}}$$

The Cauchy stress is given by

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\frac {2}{J}}~({\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {R}})\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot ({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {V}})$$

Plugging in the expression for the derivative of $W$ leads to

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {V}}\cdot \left[{\frac {1}{2\lambda _{1}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\frac {1}{2\lambda _{2}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\frac {1}{2\lambda _{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\right]\cdot {\boldsymbol {V}}$$

Using the spectral decomposition of ${\boldsymbol {V}}$ we have

$${\boldsymbol {V}}\cdot (\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})\cdot {\boldsymbol {V}}=\lambda _{i}^{2}~\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}~;~~i=1,2,3.$$

Also note that

$$J=\det({\boldsymbol {F}})=\det({\boldsymbol {V}})\det({\boldsymbol {R}})=\det({\boldsymbol {V}})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}~.$$

Therefore, the expression for the Cauchy stress can be written as

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~\left[\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\right]$$

For an incompressible material $\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1$ and hence $W=W(\lambda _{1},\lambda _{2})$. Following Ogden p. 485, we may write

$${\boldsymbol {\sigma }}=\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~$$

Some care is required at this stage because, when an eigenvalue is repeated, it is in general only Gateaux differentiable, but not Fréchet differentiable. A rigorous tensor derivative can only be found by solving another eigenvalue problem.

If we express the stress in terms of differences between components,

$$\sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}$$

If in addition to incompressibility we have $\lambda _{1}=\lambda _{2}$ then a possible solution to the problem requires $\sigma _{11}=\sigma _{22}$ and we can write the stress differences as

$$\sigma _{11}-\sigma _{33}=\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}$$

असंपीड्य आइसोट्रोपिक हाइपरइलास्टिक सामग्री

असम्पीडित आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक सामग्रियों के लिए, तनाव ऊर्जा घनत्व फ़ंक्शन है $W({\boldsymbol {F}})={\hat {W}}(I_{1},I_{2})$. इसके बाद कॉची तनाव दिया जाता है

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2\left[\left({\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]\\&=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2\left[\left({\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]\\&=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\end{aligned}}$$

कहाँ $p$ एक अनिर्धारित दबाव है. तनाव मतभेद के संदर्भ में

$$\sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}$$

यदि इसके अतिरिक्त $I_{1}=I_{2}$, तब

$${\boldsymbol {\sigma }}=2{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.$$

अगर $\lambda _{1}=\lambda _{2}$, तब

$$\sigma _{11}-\sigma _{33}=\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}$$

रेखीय लोच के साथ संगति

रैखिक लोच के साथ संगति का उपयोग अक्सर हाइपरलास्टिक सामग्री मॉडल के कुछ मापदंडों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। इन स्थिरता की स्थितियों को हुक के नियम की तुलना छोटे उपभेदों पर रैखिककृत हाइपरइलास्टिकिटी के साथ करके पाया जा सकता है।

आइसोट्रोपिक हाइपरइलास्टिक मॉडल के लिए संगति की स्थिति

आइसोट्रोपिक हाइपरइलास्टिक सामग्रियों को आइसोट्रोपिक रैखिक लोच के अनुरूप बनाने के लिए, तनाव-तनाव संबंध का अनंतिम तनाव सिद्धांत सीमा में निम्नलिखित रूप होना चाहिए:

$${\boldsymbol {\sigma }}=\lambda ~\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}$$

कहाँ $\lambda ,\mu$ लैमे स्थिरांक हैं। तनाव ऊर्जा घनत्व फ़ंक्शन जो उपरोक्त संबंध से मेल खाता है

$$W={\tfrac {1}{2}}\lambda ~[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}+\mu ~\mathrm {tr} {\mathord {\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2}\right)}}$$

एक असंपीड्य सामग्री के लिए $\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=0$ और हमारे पास है

$$W=\mu ~\mathrm {tr} {\mathord {\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2}\right)}}$$

किसी भी तनाव ऊर्जा घनत्व फ़ंक्शन के लिए $W(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ छोटे उपभेदों के लिए उपरोक्त रूपों को कम करने के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा

$${\begin{aligned}&W(1,1,1)=0~;~~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}(1,1,1)=0\\&{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}\partial \lambda _{j}}}(1,1,1)=\lambda +2\mu \delta _{ij}\end{aligned}}$$

यदि सामग्री असम्पीडित है तो उपरोक्त स्थितियों को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$${\begin{aligned}&W(1,1,1)=0\\&{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}(1,1,1)={\frac {\partial W}{\partial \lambda _{j}}}(1,1,1)~;~~{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}^{2}}}(1,1,1)={\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{j}^{2}}}(1,1,1)\\&{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}\partial \lambda _{j}}}(1,1,1)=\mathrm {independentof} ~i,j\neq i\\&{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}^{2}}}(1,1,1)-{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}\partial \lambda _{j}}}(1,1,1)+{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}(1,1,1)=2\mu ~~(i\neq j)\end{aligned}}$$

इन स्थितियों का उपयोग किसी दिए गए हाइपरइलास्टिक मॉडल के मापदंडों और कतरनी और थोक मॉड्यूल के बीच संबंध खोजने के लिए किया जा सकता है।

असम्पीडित के लिए संगति की शर्तें I₁ आधारित रबर सामग्री

कई इलास्टोमर्स को तनाव ऊर्जा घनत्व फ़ंक्शन द्वारा पर्याप्त रूप से मॉडल किया जाता है जो केवल पर निर्भर करता है $I_{1}$. ऐसी सामग्रियों के लिए हमारे पास है $W=W(I_{1})$. असंपीड्य सामग्रियों के लिए स्थिरता की स्थिति $I_{1}=3,\lambda _{i}=\lambda _{j}=1$ फिर इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$$\left.W(I_{1})\right|_{I_{1}=3}=0\quad {\text{and}}\quad \left.{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}\right|_{I_{1}=3}={\frac {\mu }{2}}\,.$$

उपरोक्त दूसरी संगति स्थिति को नोट करके प्राप्त किया जा सकता है

$${\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}{\frac {\partial I_{1}}{\partial \lambda _{i}}}=2\lambda _{i}{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}\partial \lambda _{j}}}=2\delta _{ij}{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+4\lambda _{i}\lambda _{j}{\frac {\partial ^{2}W}{\partial I_{1}^{2}}}\,.$$

फिर इन संबंधों को आइसोट्रोपिक असंपीड्य हाइपरलास्टिक सामग्रियों के लिए स्थिरता की स्थिति में प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

यह भी देखें

• कौशी लोचदार सामग्री
• सातत्यक यांत्रिकी
• विरूपण (यांत्रिकी)
• परिमित तनाव सिद्धांत
• ओग्डेन-रॉक्सबर्ग मॉडल
• रबर लोच
• तनाव के उपाय
• तनाव (यांत्रिकी)

श्रेणी: सातत्य यांत्रिकी श्रेणी:लोच (भौतिकी) श्रेणी:रबर गुण श्रेणी:ठोस यांत्रिकी