हार्टोग्स नंबर

गणित में, विशेष रूप से स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में, एक हार्टोग्स नंबर एक सेट के साथ जुड़ा एक क्रमसूचक संख्या है।विशेष रूप से, यदि x कोई भी सेट (गणित) है, तो x का हार्टोग्स संख्या कम से कम ऑर्डिनल नंबर α है जैसे कि α से x में कोई इंजेक्शन कार्य नहीं है।यदि x को अच्छी तरह से आदेश दिया जा सकता है, तो α का कार्डिनल संख्या x की तुलना में अधिक न्यूनतम कार्डिनल है।यदि x को अच्छी तरह से आदेश नहीं दिया जा सकता है, तो x से α तक इंजेक्शन नहीं हो सकता है।हालांकि, α का कार्डिनल संख्या अभी भी एक न्यूनतम कार्डिनल है 'x' 'की कार्डिनलिटी से कम या उसके बराबर नहीं है।(यदि हम अच्छी तरह से ऑर्डर करने योग्य सेटों के बुनियादी संख्याों को प्रतिबंधित करते हैं, तो α सबसे छोटा है जो x से कम या उसके बराबर नहीं है।) नक्शा (गणित) x को α तक ले जाता है।कभी -कभी हार्टोग्स का कार्य कहा जाता है।इस मैपिंग का उपयोग एलेफ नंबरों के निर्माण के लिए किया जाता है, जो कि अनंत अच्छी तरह से ऑर्डर करने योग्य सेट के सभी कार्डिनल नंबर हैं।

हार्टोग्स नंबर का अस्तित्व 1915 में फ्रेडरिक हार्टोग्स द्वारा साबित किया गया था, अकेले ज़रमेलो -फ्रेनकेल सेट थ्योरी का उपयोग करके (यानी, पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग किए बिना)।

हार्टोग्स का प्रमेय

Not to be confused with the result in complex analysis, Hartogs's theorem.

हार्टोग्स के प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी सेट एक्स के लिए, एक क्रमिक α मौजूद है जैसे कि $|\alpha |\not \leq |X|$;यही है, जैसे कि α से X तक कोई इंजेक्शन नहीं है। जैसा कि ऑर्डिनल को अच्छी तरह से ऑर्डर किया जाता है, यह तुरंत किसी भी सेट एक्स के लिए एक हार्टोग्स नंबर के अस्तित्व का अर्थ है।

प्रूफ

देखना Goldrei 1996।

होने देना $\alpha =\{\beta \in {\textrm {Ord}}\mid \exists i:\beta \hookrightarrow X\}$ सभी ऑर्डिनल नंबरों का वर्ग (सेट थ्योरी) बनें, जिसके लिए एक इंजेक्टिव फ़ंक्शन β से एक्स में मौजूद है।

सबसे पहले, हम सत्यापित करते हैं कि α एक सेट है।

1. X & समय;X एक सेट है, जैसा कि सत्ता स्थापित#परिणामों के स्वयंसिद्ध में देखा जा सकता है।
2. X & टाइम्स का पावर सेट;X एक सेट है, पावर सेट के स्वयंसिद्ध द्वारा।
3. एक्स के सबसेट के सभी रिफ्लेक्टिव रिलेशनशिप वेलिंग ऑफ़ आदेश प्रकार क्लास डब्ल्यू पूर्ववर्ती सेट का एक निश्चित उपवर्ग है, इसलिए यह पृथक्करण के स्वयंसिद्ध स्कीमा द्वारा एक सेट है।
4. डब्ल्यू में सभी ऑर्डर प्रकार के अच्छी तरह से ऑर्डरिंग का वर्ग प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध स्कीमा द्वारा एक सेट है, जैसा कि

   :( डोमेन (डब्ल्यू), डब्ल्यू) $\cong$ (,, of)

   एक साधारण सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

लेकिन यह अंतिम सेट बिल्कुल α है।अब, क्योंकि ऑर्डिनल्स का एक संक्रमणीय सेट फिर से एक ऑर्डिनल है, α एक ऑर्डिनल है।इसके अलावा, α से x में कोई इंजेक्शन नहीं है, क्योंकि अगर वहाँ थे, तो हमें विरोधाभास मिलेगा कि α α α।और अंत में, α एक्स में कोई इंजेक्शन के साथ कम से कम इस तरह के ऑर्डिनल है। यह सच है, क्योंकि α एक ऑर्डिनल है, किसी भी α <α, β α α के लिए इसलिए β से X में एक इंजेक्शन है।

ऐतिहासिक टिप्पणी

1915 में, Hartogs न तो ordinal_number#von_neumann_definition_of_ordinals का उपयोग कर सकता है। वॉन न्यूमैन-ऑर्डिनल्स और न ही प्रतिस्थापन स्वयंसिद्ध, और इसलिए उसका परिणाम ज़रमेलो सेट सिद्धांत में से एक है और ऊपर आधुनिक एक्सपोजिशन से अलग दिखता है।इसके बजाय, उन्होंने एक्स के सुव्यवस्थित उपसमूह आज्ञा का आदेश वर्गों के सेट पर विचार किया और जिस संबंध में बी के पूर्व का वर्ग है कि बी का ऑर्डर है।एक्स के किसी भी अच्छी तरह से आदेशित उपसमूह से अधिक ऑर्डर करना (यह ऐतिहासिक रूप से एक बेशुमार सेट-ऑर्डरिंग का पहला वास्तविक निर्माण रहा होगा।) हालांकि, उनके योगदान का मुख्य उद्देश्य यह दिखाना था कि कार्डिनल नंबरों के लिए ट्राइकोटॉमी का तात्पर्य है (फिर (फिर (11 साल पुराना) अच्छी तरह से सिद्धांत (और, इसलिए, पसंद का स्वयंसिद्ध)।

यह भी देखें

• उत्तराधिकारी कार्डिनल
• अलेफ नंबर

संदर्भ

• Goldrei, Derek (1996). Classic Set Theory. Chapman & Hall.
• Hartogs, Fritz (1915). "Über das Problem der Wohlordnung". Mathematische Annalen (in German). 76 (4): 438–443. doi:10.1007/BF01458215. JFM 45.0125.01. S2CID 121598654.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Charles Morgan. "Axiomatic set theory" (PDF). Course Notes. University of Bristol. Retrieved 2010-04-10.