अलेफ नंबर

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अलेफ-नॉट, एलेफ-जीरो, या एलेफ-नल, सबसे छोटा अनंत कार्डिनल नंबर

गणित में, विशेष रूप से सेट सिद्धांत में, अलेफ संख्याएं अनंत सेटों के प्रमुखता (या आकार) का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली संख्याओं का एक अनुक्रम हैं जिन्हें अच्छी तरह से आदेश दिया जा सकता है।उन्हें गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर द्वारा पेश किया गया था[1] और उस प्रतीक के नाम पर रखा गया है जिसे वह उन्हें निरूपित करता था, एलेफ अक्षर Aleph ()।[2][lower-alpha 1]

प्राकृतिक संख्याओं की कार्डिनलिटी है तब और इसी तरह।इस तरीके से जारी रखते हुए, बुनियादी संख्या को परिभाषित करना संभव है हर अध्यादेश संख्या के लिए नीचे में वर्णित किया गया है।

अवधारणा और संकेतन जॉर्ज कैंटर के कारण हैं,[5] जिन्होंने कार्डिनलिटी की धारणा को परिभाषित किया और महसूस किया कि जॉर्ज कैंटर का पहला सेट सिद्धांत लेख है।

एलेफ संख्या विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा से भिन्न होती है () आमतौर पर बीजगणित और कैलकुलस में पाया जाता है, जिसमें अलेफ्स सेट के आकार को मापते हैं, जबकि इन्फिनिटी को आमतौर पर या तो वास्तविक संख्या रेखा (एक फ़ंक्शन (गणित) या अनुक्रम पर लागू होने वाली एक चरम सीमा (गणित) के रूप में परिभाषित किया जाता है जो कि विचलन श्रृंखला के लिए है।अनंत या बिना बाध्य के बढ़ता है), या विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा के चरम बिंदु के रूप में।

Aleph-nought

(एलेफ-नॉट, एलेफ-जीरो या एलेफ-नल) सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट की कार्डिनैलिटी है, और एक ट्रांसफ़िनाइट संख्या है।सभी परिमित ऑर्डिनल नंबर का सेट, जिसे कहा जाता हैया(कहाँ लोअरकेस ग्रीक लेटर ओमेगा है), कार्डिनैलिटी है ।एक सेट में कार्डिनैलिटी है यदि और केवल अगर यह गिनती से अनंत है, तो, वह है, इसके और प्राकृतिक संख्याओं के बीच एक बायजमेंट (एक-से-एक पत्राचार) है।ऐसे सेटों के उदाहरण हैं

ये अनंत अध्यादेश: और एप्सिलॉन नंबर (गणित) |अनगिनत अनंत सेटों में से हैं।[6] उदाहरण के लिए, अनुक्रम (अध्यादेश के साथ) ) सभी सकारात्मक विषम पूर्णांक के बाद सभी सकारात्मक भी पूर्णांक

सेट का एक आदेश है (कार्डिनलिटी के साथ ) सकारात्मक पूर्णांक का।

यदि काउंटेबल चॉइस का स्वयंसिद्ध (पसंद के स्वयंसिद्ध का एक कमजोर संस्करण) है, तो किसी भी अन्य अनंत कार्डिनल से छोटा है।

अलेफ-वन

कहा जाता है या कभी -कभी ।यह अपने आप में एक ऑर्डिनल नंबर है जो सभी गिनती करने योग्य लोगों की तुलना में बड़ा है, इसलिए यह एक बेशुमार सेट है।इसलिए, से अलग है ।की परिभाषा तात्पर्य (ZF में, Zermelo -fraenkel सेट थ्योरी विदाउट चॉइस के बिना) कि कोई कार्डिनल नंबर के बीच नहीं है और ।यदि पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग किया जाता है, तो यह आगे साबित किया जा सकता है कि कार्डिनल नंबरों का वर्ग पूरी तरह से ऑर्डर किया गया है, और इस प्रकार दूसरा सबसे छोटा अनंत कार्डिनल नंबर है।पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हुए, कोई सेट के सबसे उपयोगी गुणों में से एक दिखा सकता है : का कोई भी गिनती करने योग्य सबसेट में एक ऊपरी सीमा है ।(यह इस तथ्य से निम्नानुसार है कि गणना योग्य सेटों की एक गणना योग्य संख्या का संघ स्वयं गिनती योग्य है - पसंद के स्वयंसिद्ध के सबसे आम अनुप्रयोगों में से एक।) यह तथ्य स्थिति के अनुरूप है  : प्राकृतिक संख्याओं के प्रत्येक परिमित सेट में एक अधिकतम होता है जो एक प्राकृतिक संख्या भी है, और परिमित यूनियनों परिमित सेट परिमित होते हैं।

वास्तव में एक उपयोगी अवधारणा है, अगर कुछ हद तक विदेशी-साउंडिंग।एक उदाहरण एप्लिकेशन काउंटेबल ऑपरेशंस के संबंध में बंद हो रहा है;उदा।, सिग्मा-बीजगणित का स्पष्ट रूप से वर्णन करने की कोशिश कर रहा है।यह बीजगणित (वेक्टर रिक्त स्थान, समूह सिद्धांत, आदि) में पीढ़ी के सबसे स्पष्ट विवरणों की तुलना में कठिन है क्योंकि उन मामलों में हमें केवल परिमित संचालन - रकम, उत्पाद और इस तरह के संबंध में बंद करना होगा।इस प्रक्रिया में प्रत्येक गिनती करने योग्य ऑर्डिनल के लिए, ट्रांसफ़िनाइट इंडक्शन के माध्यम से, सभी संभावित काउंट करने योग्य यूनियनों और पूरक में फेंककर एक सेट को परिभाषित करना शामिल है, और उन सभी के संघ को ले जाना है।

निरंतर परिकल्पना

वास्तविक संख्याओं के सेट की कार्डिनलिटी (सातत्य की कार्डिनलिटी) है यह ZFC (Zermelo -Fraenkel सेट सिद्धांत को पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ संवर्धित) से निर्धारित नहीं किया जा सकता है, जहां यह संख्या Aleph संख्या पदानुक्रम में बिल्कुल फिट बैठती है, लेकिन यह ZFC से अनुसरण करता है कि निरंतरता परिकल्पना, CH, पहचान के बराबर है

[7]

सीएच में कहा गया है कि कोई सेट नहीं है जिसका कार्डिनलिटी पूर्णांक और वास्तविक संख्याओं के बीच कड़ाई से है।[8] CH ZFC से स्वतंत्र है: यह उस स्वयंसिद्ध प्रणाली के संदर्भ में न तो सिद्ध हो सकता है और न ही अस्वीकृत हो सकता है (बशर्ते कि ZFC स्थिरता है)।यह सीएच ZFC के अनुरूप है, 1940 में कर्ट गोडेल द्वारा प्रदर्शित किया गया था, जब उन्होंने दिखाया कि इसकी उपेक्षा ZFC का एक प्रमेय नहीं है।यह ZFC से स्वतंत्र है, 1963 में पॉल कोहेन द्वारा प्रदर्शित किया गया था, जब उन्होंने इसके विपरीत दिखाया कि CH स्वयं ZFC का एक प्रमेय नहीं है-(तब-उपन्यास) (गणित) की (गणित) की विधि द्वारा।[7]


अलेफ-ओमेगा

अलेफ-ओमेगा है

जहां सबसे छोटा अनंत अध्यादेश को निरूपित किया जाता है ω।वह है, कार्डिनल नंबर कम से कम ऊपरी सीमा है

पहला बेशुमार कार्डिनल नंबर है जिसे Zermelo -Fraenkel सेट सिद्धांत के भीतर प्रदर्शित किया जा सकता है, जो सभी वास्तविक संख्याओं के सेट के कार्डिनिटी के बराबर नहीं है;किसी भी सकारात्मक पूर्णांक n के लिए हम लगातार मान सकते हैं और इसके अलावा यह मान लेना संभव है हम जितना चाहें उतना बड़ा है।हम केवल इसे कुछ विशेष कार्डिनल्स को कोफ़िनिटी के साथ सेट करने से बचने के लिए मजबूर हैं मतलब वहाँ से एक अनबाउंड फ़ंक्शन है इसके लिए (ईस्टन का प्रमेय देखें)।

== सामान्य α == के लिए Aleph-α परिभाषित करने के लिए मनमाना अध्यादेश संख्या के लिए हमें उत्तराधिकारी कार्डिनल को परिभाषित करना चाहिए, जो किसी भी कार्डिनल नंबर को असाइन करता है अगला बड़ा अच्छी तरह से आदेशित कार्डिनल (यदि पसंद का स्वयंसिद्ध धारण करता है, तो यह अगला बड़ा कार्डिनल है)।

हम तब अलेफ नंबरों को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

 : और के लिए λ, एक अनंत सीमा अध्यादेश,
Α-th अनंत प्रारंभिक क्रम लिखा है ।इसकी कार्डिनैलिटी लिखी गई है ZFC में, अलेफ फ़ंक्शन ऑर्डिनल्स से अनंत कार्डिनल्स तक एक बायजेक्शन है।[9]


ओमेगा के निश्चित बिंदु

किसी भी अध्यादेश α के लिए हमारे पास है

कई मामलों में की तुलना में सख्ती से अधिक है α।उदाहरण के लिए, किसी भी उत्तराधिकारी ऑर्डिनल नंबर α के लिए यह धारण करता है।हालांकि, कुछ सीमा क्रम हैं जो ओमेगा फ़ंक्शन के निश्चित बिंदु (गणित) हैं, क्योंकि सामान्य कार्यों के लिए निश्चित बिंदु लेम्मा के कारण।पहला ऐसा अनुक्रम की सीमा है
कोई भी दुर्गम कार्डिनल भी अलेफ फ़ंक्शन का एक निश्चित बिंदु है।[10] यह ZFC में निम्नानुसार दिखाया जा सकता है।कल्पना करना एक कमजोर रूप से दुर्गम कार्डिनल है।अगर उत्तराधिकारी थे, तब एक उत्तराधिकारी कार्डिनल होगा और इसलिए कमजोर रूप से दुर्गम नहीं होगा।अगर एक सीमा से कम सीमा थी फिर इसकी कोफ़िनिटी (और इस प्रकार की कोफ़िनिटी ) से कम होगा इसलिए नियमित नहीं होगा और इस तरह कमजोर रूप से दुर्गम नहीं होगा।इस प्रकार और इसके परिणामस्वरूप जो इसे एक निश्चित बिंदु बनाता है।

पसंद के स्वयंसिद्ध की भूमिका

किसी भी अनंत ऑर्डिनल नंबर की कार्डिनलिटी एक एलेफ नंबर है।हर अलेफ कुछ ऑर्डिनल की कार्डिनैलिटी है।इनमें से कम से कम इसका प्रारंभिक अध्यादेश है।कोई भी सेट जिसका कार्डिनलिटी एक अलेफ है, एक क्रमिक के साथ विषम है और इस प्रकार अच्छी तरह से आदेश योग्य है।

प्रत्येक परिमित सेट अच्छी तरह से आदेश योग्य है, लेकिन इसके कार्डिनैलिटी के रूप में एक अलेफ नहीं है।

यह धारणा कि प्रत्येक अनंत सेट की कार्डिनैलिटी एक अलेफ संख्या है, जो हर सेट के एक सुव्यवस्थित ऑर्डरिंग के अस्तित्व के लिए ZF के बराबर है, जो बदले में पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर है।ZFC सेट थ्योरी, जिसमें पसंद का स्वयंसिद्ध शामिल है, का अर्थ है कि प्रत्येक अनंत सेट में कार्डिनलिटी के रूप में एक अलेफ नंबर होता है (यानी इसके प्रारंभिक अध्यादेश के साथ विषम है), और इस प्रकार अलेफ नंबरों के प्रारंभिक अध्यादेश सभी के लिए प्रतिनिधियों के एक वर्ग के रूप में काम करते हैं।संभावित अनंत कार्डिनल नंबर।

जब कार्डिनलिटी का अध्ययन ZF में पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना किया जाता है, तो यह साबित करना संभव नहीं है कि प्रत्येक अनंत सेट में कुछ अलेफ संख्या है जो कि कार्डिनलिटी के रूप में है;जिन सेटों का कार्डिनलिटी एक एलेफ नंबर है, वे बिल्कुल अनंत सेट हैं जिन्हें अच्छी तरह से आदेश दिया जा सकता है।स्कॉट की चाल की विधि का उपयोग कभी -कभी ZF की सेटिंग में कार्डिनल नंबरों के लिए प्रतिनिधियों के निर्माण के लिए एक वैकल्पिक तरीके के रूप में किया जाता है।उदाहरण के लिए, कोई परिभाषित कर सकता है card(S) एक ही कार्डिनैलिटी के साथ सेट का सेट होना S न्यूनतम संभव रैंक की।यह संपत्ति है कि card(S) = card(T) अगर और केवल अगर S और T एक ही कार्डिनैलिटी है।(सेट card(S) का एक ही कार्डिनैलिटी नहीं है S सामान्य तौर पर, लेकिन इसके सभी तत्व करते हैं।)

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. In older mathematics books, the letter aleph is often printed upside down by accident – for example, in Sierpiński (1958)[3]: 402  the letter aleph appears both the right way up and upside down – partly because a monotype matrix for aleph was mistakenly constructed the wrong way up.[4]


उद्धरण

  1. "Aleph". Encyclopedia of Mathematics.
  2. Weisstein, Eric W. "Aleph". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-12.
  3. Sierpiński, Wacław (1958). Cardinal and Ordinal Numbers. Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne. Vol. 34. Warsaw, PL: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. MR 0095787.
  4. Swanson, Ellen; O'Sean, Arlene Ann; Schleyer, Antoinette Tingley (1999) [1979]. Mathematics into type: Copy editing and proofreading of mathematics for editorial assistants and authors (updated ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. p. 16. ISBN 0-8218-0053-1. MR 0553111.
  5. Miller, Jeff. "Earliest uses of symbols of set theory and logic". jeff560.tripod.com. Retrieved 2016-05-05; who quotes Dauben, Joseph Warren (1990). Georg Cantor: His mathematics and philosophy of the infinite. ISBN 9780691024479. His new numbers deserved something unique. ... Not wishing to invent a new symbol himself, he chose the aleph, the first letter of the Hebrew alphabet ... the aleph could be taken to represent new beginnings ...
  6. Jech, Thomas (2003). Set Theory. Springer Monographs in Mathematics. Berlin, New York: Springer-Verlag.
  7. 7.0 7.1 Szudzik, Mattew (31 July 2018). "Continuum Hypothesis". Wolfram Mathworld. Wolfram Web Resources. Retrieved 15 August 2018.
  8. Weisstein, Eric W. "Continuum Hypothesis". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-12.
  9. aleph numbers at PlanetMath.
  10. Harris, Kenneth A. (April 6, 2009). "Lecture 31" (PDF). Department of Mathematics. kaharris.org. Intro to Set Theory. University of Michigan. Math 582. Archived from the original (PDF) on March 4, 2016. Retrieved September 1, 2012.


बाहरी संबंध