आयाम (वेक्टर अंतरिक्ष)

गणित में, एक सदिश स्थल V का आयाम अपने आधार क्षेत्र (गणित) पर V के आधार (रैखिक बीजगणित) के प्रमुखता (यानी, वैक्टर की संख्या) है। इसे कभी -कभी हेमेल डाइमेंशन (जॉर्ज हामेल के बाद) या बीजीय आयाम कहा जाता है ताकि इसे अन्य प्रकार के आयाम से अलग किया जा सके।

प्रत्येक वेक्टर स्थान के लिए एक आधार मौजूद है, और एक वेक्टर अंतरिक्ष के सभी ठिकानों में समान कार्डिनलिटी होती है; नतीजतन, एक वेक्टर अंतरिक्ष का आयाम विशिष्ट रूप से परिभाषित है।हम कहते हैं $V$ हैfinite-dimensionalअगर का आयाम $V$ विक्टिकरी है: परिमित, औरinfinite-dimensionalयदि इसका आयाम अनंत है।

वेक्टर अंतरिक्ष का आयाम $V$ मैदान पर $F$ के रूप में लिखा जा सकता है $\dim _{F}(V)$ या के रूप में $[V:F],$ का आयाम पढ़ें $V$ ऊपर $F$।कब $F$ संदर्भ से अनुमान लगाया जा सकता है, $\dim(V)$ आमतौर पर लिखा जाता है।

उदाहरण

वेक्टर स्पेस $\mathbb {R} ^{3}$ है

$$\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}$$

एक मानक आधार के रूप में, और इसलिए $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.$ आम तौर पर अधिक, $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,$ और और भी आम तौर पर, $\dim _{F}(F^{n})=n$ किसी भी क्षेत्र के लिए (गणित) $F.$ जटिल संख्या $\mathbb {C}$ दोनों एक वास्तविक और जटिल वेक्टर स्थान हैं;अपने पास $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2$ तथा $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.$ तो आयाम आधार क्षेत्र पर निर्भर करता है।

आयाम के साथ एकमात्र वेक्टर स्थान $0$ है $\{0\},$ वेक्टर स्थान केवल इसके शून्य तत्व से युक्त है।

गुण

यदि $W$ का एक रैखिक उप -स्थान है $V$ फिर $\dim(W)\leq \dim(V).$ यह दिखाने के लिए कि दो परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान समान हैं, निम्न मानदंड का उपयोग किया जा सकता है: यदि $V$ एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष है और $W$ का एक रैखिक उप -स्थान है $V$ साथ $\dim(W)=\dim(V),$ फिर $W=V.$ अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{n}$ मानक आधार है $\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},$ कहाँ पे $e_{i}$ है $i$इसी पहचान मैट्रिक्स का स्तंभ।इसलिए, $\mathbb {R} ^{n}$ आयाम है $n.$ किसी भी दो परिमित आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर $F$ एक ही आयाम के साथ आइसोमॉर्फिक हैं।उनके ठिकानों के बीच किसी भी द्वैध मानचित्र को वेक्टर रिक्त स्थान के बीच एक द्विध्रुवीय रैखिक मानचित्र तक विशिष्ट रूप से बढ़ाया जा सकता है।यदि $B$ कुछ सेट है, आयाम के साथ एक वेक्टर स्थान $|B|$ ऊपर $F$ निम्नानुसार बनाया जा सकता है: सेट लें $F(B)$ सभी कार्यों का $f:B\to F$ ऐसा है कि $f(b)=0$ सभी के लिए लेकिन बहुत से कई $b$ में $B.$ इन कार्यों को जोड़ा जा सकता है और के तत्वों के साथ गुणा किया जा सकता है $F$ वांछित प्राप्त करने के लिए $F$-सदिश स्थल।

आयामों के बारे में एक महत्वपूर्ण परिणाम रैखिक मानचित्रों के लिए रैंक -अशुद्धि प्रमेय द्वारा दिया गया है।

यदि $F/K$ एक क्षेत्र विस्तार है, फिर $F$ विशेष रूप से एक वेक्टर स्थान पर है $K.$ इसके अलावा, हर $F$-सदिश स्थल $V$ एक भी है $K$-सदिश स्थल।आयाम सूत्र से संबंधित हैं

$$\dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V).$$

विशेष रूप से, आयाम के प्रत्येक जटिल वेक्टर स्थान $n$ आयाम का एक वास्तविक वेक्टर स्थान है $2n.$ कुछ सूत्र एक वेक्टर अंतरिक्ष के आयाम से संबंधित हैं, जो आधार क्षेत्र के कार्डिनलिटी और अंतरिक्ष के कार्डिनैलिटी के साथ ही हैं। यदि $V$ एक क्षेत्र पर एक वेक्टर स्थान है $F$ तब और अगर का आयाम $V$ द्वारा निरूपित किया गया है $\dim V,$ फिर:

अगर मंद $V$ फिर परिमित है $|V|=|F|^{\dim V}.$

अगर मंद $V$ तब अनंत है $|V|=\max(|F|,\dim V).$

सामान्यीकरण

एक वेक्टर स्थान को एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है, और बाद में आयाम की एक अच्छी तरह से परिभाषित धारणा है।एक मॉड्यूल की लंबाई और एक एबेलियन समूह की रैंक दोनों में वेक्टर रिक्त स्थान के आयाम के समान कई गुण होते हैं।

वोल्फगैंग क्रुल (1899 & ndash; 1971) के नाम पर एक कम्यूटेटिव रिंग (बीजगणित) का KRULL आयाम, रिंग में प्रमुख आदर्शों की बढ़ती श्रृंखला में सख्त समावेशन की अधिकतम संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है।

ट्रेस

See also: Trace (linear algebra)

वेक्टर स्पेस के आयाम को वैकल्पिक रूप से पहचान ऑपरेटर के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के रूप में चित्रित किया जा सकता है।उदाहरण के लिए,

$\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ यह एक गोलाकार परिभाषा प्रतीत होती है, लेकिन यह उपयोगी सामान्यीकरण की अनुमति देता है।

सबसे पहले, यह आयाम की एक धारणा की परिभाषा के लिए अनुमति देता है जब किसी के पास एक ट्रेस होता है लेकिन आधार की प्राकृतिक भावना नहीं होती है।उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र पर एक बीजगणित हो सकता है $A$ नक्शे के साथ $\eta :K\to A$ (स्केलर का समावेश, जिसे यूनिट कहा जाता है) और एक नक्शा $\epsilon :A\to K$ (ट्रेस के अनुरूप, कहा जाता है)।रचना $\epsilon \circ \eta :K\to K$ एक स्केलर है (1-आयामी स्थान पर एक रैखिक ऑपरेटर होने के नाते) पहचान के ट्रेस से मेल खाता है, और एक अमूर्त बीजगणित के लिए आयाम की धारणा देता है।व्यवहार में, Bialgebras में, इस मानचित्र को पहचान होना आवश्यक है, जिसे आयाम द्वारा विभाजित करके काउंसिट को सामान्य करके प्राप्त किया जा सकता है ($\epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr}$), इसलिए इन मामलों में सामान्यीकरण निरंतर आयाम से मेल खाता है।

वैकल्पिक रूप से, एक अनंत-आयामी स्थान पर ऑपरेटरों का निशान लेना संभव हो सकता है;इस मामले में एक (परिमित) ट्रेस को परिभाषित किया गया है, भले ही कोई (परिमित) आयाम मौजूद नहीं है, और ऑपरेटर के आयाम की धारणा देता है।ये एक हिल्बर्ट स्पेस पर ट्रेस क्लास ऑपरेटरों के रूब्रिक के नीचे आते हैं, या आम तौर पर परमाणु ऑपरेटर एक बानाच स्पेस पर होते हैं।

एक उप -सामान्यीकरण ऑपरेटरों के एक परिवार के एक प्रकार के मुड़ आयाम के रूप में विचार करना है।यह प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण रूप से होता है, जहां एक प्रतिनिधित्व का चरित्र (गणित) प्रतिनिधित्व का पता है, इसलिए एक समूह (गणित) पर एक स्केलर-मूल्यवान कार्य है। $\chi :G\to K,$ जिसका मूल्य पहचान पर है $1\in G$ प्रतिनिधित्व का आयाम है, जैसा कि एक प्रतिनिधित्व समूह में पहचान मैट्रिक्स को पहचान भेजता है: $\chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.$ अन्य मान $\chi (g)$ चरित्र को मुड़ आयामों के रूप में देखा जा सकता है, और वर्णों या अभ्यावेदन के बारे में बयानों के आयामों के बारे में बयानों के एनालॉग्स या सामान्यीकरण को खोजते हैं।इसका एक परिष्कृत उदाहरण राक्षसी चांदनी के सिद्धांत में होता है: जे-इनवेरिएंट |$j$-इनवेरिएंट राक्षस समूह के एक अनंत-आयामी वर्गीकृत प्रतिनिधित्व का वर्गीकृत आयाम है, और चरित्र के साथ आयाम को बदलने से राक्षस समूह के प्रत्येक तत्व के लिए मैकके-थॉम्पसन श्रृंखला मिलती है।

यह भी देखें

• Fractal dimension
• Krull dimension
• Matroid rank
• Rank (linear algebra)
• Topological dimension, लेबेसग को कवरिंग आयाम भी कहा जाता है

स्रोत

• Axler, Sheldon (2015). रैखिक बीजगणित ने सही किया. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.

इस पृष्ठ में गुम आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• अनंतता
• द्विभाजित
• रेखीय मानचित्र
• क्रुल डाइमेंशन
• परिपक्वता
• प्रधान आदर्श
• पहचान प्रचालक
• एक क्षेत्र पर बीजगणित
• कूड़ेदान
• बियालजबरा
• परमाणु प्रचालक
• एक प्रकार की चांदनी
• मॉन्स्टर ग्रुप

बाहरी संबंध

• MIT Linear Algebra Lecture on Independence, Basis, and Dimension by Gilbert Strang at MIT OpenCourseWare

]