इकाई (अंगूठी सिद्धांत)

Not to be confused with Unit ring.

बीजगणित में, एक अंगूठी (गणित) की एक इकाई रिंग के गुणन के लिए एक उल्टा तत्व है।वह है, एक तत्व u एक अंगूठी का R एक इकाई है अगर वहाँ मौजूद है v में R ऐसा है कि

$$vu=uv=1,$$

कहाँ 1 गुणक पहचान है;तत्व v इस संपत्ति के लिए अद्वितीय है और इसे गुणक उलटा कहा जाता है u. की इकाइयों का सेट R एक समूह (गणित) बनाता है R^× गुणन के तहत, इकाइयों या इकाई समूह को समूह कहा जाता है R. यूनिट समूह के लिए अन्य नोटेशन हैं R^∗, U(R), और E(R) (जर्मन शब्द से Einheit)।

आमतौर पर, शब्द इकाई को कभी -कभी तत्व को संदर्भित करने के लिए उपयोग किया जाता है 1 रिंग में, एक यूनिट या यूनिट रिंग के साथ रिंग जैसे अभिव्यक्तियों में, और एकक मैट्रिक्स भी।इस अस्पष्टता के कारण, 1 आमतौर पर एकता या रिंग की पहचान कहा जाता है, और वाक्यांशों को एकता के साथ रिंग या पहचान के साथ एक अंगूठी का उपयोग इस बात पर जोर देने के लिए किया जा सकता है कि कोई आरएनजी (बीजगणित) के बजाय एक अंगूठी पर विचार कर रहा है।

उदाहरण

गुणक पहचान 1 और इसके योज्य उलटा −1 हमेशा इकाइयाँ हैं।अधिक आम तौर पर, एक अंगूठी में एकता की कोई जड़ R एक इकाई है: अगर rⁿ = 1, तब r^n − 1 का एक गुणक व्युत्क्रम है r। एक शून्य अंगूठी में, योजक पहचान एक इकाई नहीं है, इसलिए R^× इसके अलावा बंद नहीं है। एक नॉनज़ेरो रिंग R जिसमें प्रत्येक नॉनज़ेरो तत्व एक इकाई है (यानी, R^× = R −{0}) को एक विभाजन की अंगूठी (या एक तिरछा-क्षेत्र) कहा जाता है।एक कम्यूटेटिव डिवीजन रिंग को एक फील्ड (गणित) कहा जाता है।उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का इकाई समूह R है R − {0}।

पूर्णांक रिंग

पूर्णांक की अंगूठी में Z, केवल इकाइयाँ हैं 1 और −1।

रिंग में Z/nZ मॉड्यूलर अंकगणित#पूर्णांक modulo n | पूर्णांक modulo n, इकाइयां बधाई कक्षाएं हैं (mod n) पूर्णांक द्वारा प्रतिनिधित्व किया गया n।वे पूर्णांक modulo n के गुणक समूह का गठन करते हैं। पूर्णांक modulo के गुणक समूह n।

एक संख्या क्षेत्र के पूर्णांक की अंगूठी

रिंग में Z[√3] द्विघात पूर्णांक से सटे हुए √3 को Z, किसी के पास (2 + √3)(2 − √3) = 1, इसलिए 2 + √3 एक इकाई है, और इसलिए इसकी शक्तियां हैं, इसलिए Z[√3] असीम रूप से कई इकाइयाँ हैं।

अधिक आम तौर पर, पूर्णांक की अंगूठी के लिए R एक संख्या क्षेत्र में F, डिरिचलेट की इकाई प्रमेय बताता है कि R^× समूह के लिए आइसोमोर्फिक है

$$\mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}$$

कहाँ $\mu _{R}$ में एकता की जड़ों का (परिमित, चक्रीय) समूह है R और n, यूनिट समूह के एक मॉड्यूल की रैंक है

$$n=r_{1}+r_{2}-1,$$

कहाँ $r_{1},r_{2}$ वास्तविक एम्बेडिंग की संख्या और जटिल एम्बेडिंग के जोड़े की संख्या है F, क्रमश।

यह ठीक हो जाता है Z[√3] उदाहरण: एक वास्तविक द्विघात क्षेत्र (पूर्णांक की अंगूठी) की इकाई समूह रैंक 1 के बाद से अनंत है $r_{1}=2,r_{2}=0$।

बहुपद और बिजली श्रृंखला

एक कम्यूटेटिव रिंग के लिए R, बहुपद रिंग की इकाइयाँ R[x] बहुपद हैं

$$p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$$

ऐसा है कि $a_{0}$ में एक इकाई है R और शेष गुणांक $a_{1},\dots ,a_{n}$ निलपोटेंट हैं, यानी, संतुष्ट हैं $a_{i}^{N}=0$ कुछ एन के लिए। विशेष रूप से, अगर R एक डोमेन (रिंग सिद्धांत) है, फिर इकाइयाँ R[x] की इकाइयाँ हैं R। बिजली श्रृंखला की अंगूठी की इकाइयाँ $R[[x]]$ पावर सीरीज़ हैं

$$p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}$$

ऐसा है कि $a_{0}$ में एक इकाई है R.

मैट्रिक्स के छल्ले

रिंग का यूनिट समूह M_n(R) वर्ग मैट्रिक्स का |n × n एक अंगूठी के ऊपर मैट्रिस R समूह है GL_n(R) उल्टा मैट्रिक्स की।एक कम्यूटेटिव रिंग के लिए R, तत्व A का M_n(R) यदि और केवल अगर निर्धारक है तो उल्टा है A में उल्टा है R।उस मामले में, A⁻¹ adjugate मैट्रिक्स के संदर्भ में स्पष्ट रूप से दिया जा सकता है।

सामान्य रूप से

तत्वों के लिए x और y एक अंगूठी में R, अगर $1-xy$ फिर इनवर्टिबल है, फिर $1-yx$ उलटा के साथ उल्टा है $1+y(1-xy)^{-1}x$; इस सूत्र का अनुमान लगाया जा सकता है, लेकिन यह साबित नहीं किया जा सकता है, निम्नलिखित गणना द्वारा नॉनकम्यूटेटिव पावर सीरीज़ की एक अंगूठी में:

$$(1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.$$

इसी तरह के परिणामों के लिए हुआ की पहचान देखें।

इकाइयों का समूह

एक कम्यूटेटिव रिंग एक स्थानीय रिंग है अगर R − R^× एक अधिकतम आदर्श है।

जैसा कि यह पता चला है, अगर R − R^× एक आदर्श है, तो यह आवश्यक रूप से एक अधिकतम आदर्श है और आर स्थानीय अंगूठी है क्योंकि एक अधिकतम आदर्श से अलग है R^×।

अगर R एक परिमित क्षेत्र है, फिर R^× आदेश का एक चक्रीय समूह है $|R|-1$।

हर रिंग समरूपता f : R → S एक समूह समरूपता को प्रेरित करता है R^× → S^×, तब से f इकाइयों को मानचित्र।वास्तव में, यूनिट समूह का गठन एक फंक्टर को रिंग की श्रेणी से समूहों की श्रेणी तक परिभाषित करता है।इस फ़ंक्शन में एक बायाँ निकट है जो अभिन्न समूह की अंगूठी निर्माण है। समूह योजना $\operatorname {GL} _{1}$ गुणक समूह योजना के लिए आइसोमोर्फिक है $\mathbb {G} _{m}$ किसी भी आधार पर, इसलिए किसी भी कम्यूटेटिव रिंग के लिए R, समूह $\operatorname {GL} _{1}(R)$ और $\mathbb {G} _{m}(R)$ कैनोनिक रूप से आइसोमॉर्फिक हैं $U(R)$।ध्यान दें कि फंक्टर $\mathbb {G} _{m}$ (वह है, $R\mapsto U(R)$) अर्थ में प्रतिनिधित्व योग्य है: $\mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)$ कम्यूटेटिव रिंग्स के लिए R (उदाहरण के लिए यह समूह रिंग निर्माण के साथ उपरोक्त आसन्न संबंध से अनुसरण करता है)।स्पष्ट रूप से इसका मतलब है कि रिंग होमोमोर्फिज़्म के सेट के बीच एक स्वाभाविक जीव है $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R$ और के इकाई तत्वों का सेट R (इसके विपरीत, $\mathbb {Z} [t]$ एडिटिव समूह का प्रतिनिधित्व करता है $\mathbb {G} _{a}$, एबेलियन समूहों की श्रेणी में कम्यूटेटिव रिंग्स की श्रेणी से भुलक्कड़ फंक्टर)।

संबद्धता

लगता है कि R कम्यूटेटिव है।तत्वों r और s का R कहा जाता हैassociateयदि कोई इकाई मौजूद है u में R ऐसा है कि r = us;फिर लिखना r ∼ s।किसी भी अंगूठी में, एडिटिव व्युत्क्रम तत्वों के जोड़े x और −x संबंधित तत्व हैं।उदाहरण के लिए, 6 और −6 में सहयोगी हैं Z।सामान्य रूप में, ~ पर एक समानता संबंध है R।

समूह कार्रवाई (गणित) के संदर्भ में भी संबद्धता का वर्णन किया जा सकता है R^× पर R गुणन के माध्यम से: के दो तत्व R यदि वे समान हैं तो सहयोगी हैं R^× -orbit (समूह सिद्धांत)।

एक अभिन्न डोमेन में, किसी दिए गए नॉनज़ेरो तत्व के सहयोगियों के सेट में समान प्रमुखता होती है R^×।

समतुल्यता संबंध ~ ग्रीन के संबंधों में से किसी एक के रूप में देखा जा सकता है। ग्रीन के सेमिग्रुप संबंध एक कम्यूटेटिव रिंग के गुणक सेमिग्रुप के लिए विशिष्ट हैं R।

यह भी देखें

• एस-यूनिट्स
• एक अंगूठी और एक मॉड्यूल का स्थानीयकरण

स्रोत

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). अमूर्त बीजगणित (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
• Jacobson, Nathan (2009). बुनियादी बीजगणित 1 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Lang, Serge (2002). बीजगणित. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.
• Watkins, John J. (2007), Topics in commutative ring theory, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, MR 2330411
• Weil, André (1974). मूल संख्या सिद्धांत. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 144 (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58655-5.

श्रेणी: 1 (संख्या) श्रेणी: बीजगणितीय संख्या सिद्धांत श्रेणी: समूह सिद्धांत श्रेणी: रिंग सिद्धांत श्रेणी: तत्वों के बीजगणितीय गुण