खुले और बंद मानचित्र

गणित में, विशेष रूप से टोपोलॉजी में, विवृत मानचित्र दो टोपोलॉजिकल समष्टि के मध्य फलन (गणित) है जो संवृत समुच्चय को संवृत समुच्चय में मैप करता है।^[1]^[2]^[3] अर्थात फलन $f:X\to Y$ यदि किसी संवृत समुच्चय के लिए विवृत है $U$ में $X,$ छवि (गणित) $f(U)$ में विवृत है $Y.$ इसी प्रकार, विवृत मानचित्र ऐसा फलन है जो विवृत समुच्चय को विवृत समुच्चयों में मैप करता है।^[3]^[4] मानचित्र विवृत, दोनों या भी नहीं हो सकता है;^[5] विशेष रूप से, संवृत मानचित्र को विवृत करने की आवश्यकता नहीं है।

इसके विपरीत^[6]विवृत^[7]^[8] मानचित्र आवश्यक रूप से सतत फलन (टोपोलॉजी) नहीं हैं।^[4]इसके अतिरिक्त, निरंतरता सामान्य स्तिथि में संवृत और विवृतता से स्वतंत्र है और निरंतर फलन में, दोनों, या कोई भी गुण नहीं हो सकता है;^[3]यह तथ्य तब भी सत्य रहता है, जब कोई स्वयं को मीट्रिक समष्टि तक सीमित रखता है।^[9] चूँकि उनकी परिभाषाएँ अधिक स्वाभाविक लगती हैं, संवृत और विवृत मानचित्र निरंतर मानचित्रों की तुलना में अधिक कम महत्वपूर्ण हैं।

परिभाषा के अनुसार, फलन $f:X\to Y$ यदि प्रत्येक संवृत समुच्चय की पूर्वछवि निरंतर है $Y$ में विवृत है $X.$ ^[2](समान रूप से, यदि प्रत्येक विवृत समुच्चय की प्रीइमेज $Y$ में विवृत है $X$ ) संवृत मानचित्रों का प्रारंभिक अध्ययन सिमिओन स्टोइलो और गॉर्डन थॉमस व्हाईबर्न द्वारा किया गया था।^[10]

परिभाषाएँ और लक्षण वर्णन

यदि $S$ टोपोलॉजिकल समष्टि का उपसमुच्चय है तो मान लीजिये ${\overline {S}}$ और $\operatorname {Cl} S$ (सम्मान $\operatorname {Int} S$ ) समापन (टोपोलॉजी) (संबंधितआंतरिक (टोपोलॉजी) ) को दर्शाता है $S$ उस समष्टि में मान लीजिये $f:X\to Y$ टोपोलॉजिकल रिक्त समष्टि के मध्य फलन बनें। यदि $S$ तो क्या कोई समुच्चय है $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ की छवि कहलाती है $S$ अंतर्गत $f.$

प्रतिस्पर्धी परिभाषाएँ

दो भिन्न-भिन्न प्रतिस्पर्धी, किंतु सूक्ष्मता से संबंधित परिभाषाएँ हैं open map जिसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जहां इन दोनों परिभाषाओं को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है: यह मानचित्र है जो संवृत समुच्चय को संवृत समुच्चय में भेजता है। निम्नलिखित शब्दावली का उपयोग कभी-कभी दो परिभाषाओं के मध्य अंतर करने के लिए किया जाता है।

मानचित्र $f:X\to Y$ a कहा जाता है

Strongly open map यदि जब भी $U$ डोमेन का विवृत समुच्चय है $X$ तब $f(U)$ का विवृत उपसमुच्चय है $f$ का कोडोमेन $Y.$
Relatively open map यदि जब भी $U$ डोमेन का विवृत उपसमूह है $X$ तब $f(U)$ का विवृत उपसमुच्चय है $f$ की छवि (गणित) $\operatorname {Im} f:=f(X),$ जहां सैदव, यह समुच्चय इसके द्वारा प्रेरित उप-समष्टि टोपोलॉजी से संपन्न है $f$ का कोडोमेन $Y.$ ^[11]

प्रत्येक स्थिरता से विवृत मानचित्र अपेक्षाकृत विवृत मानचित्र होता है। चूँकि, ये परिभाषाएँ सामान्य रूप से समकक्ष नहीं हैं।

चेतावनी: कई लेखक संवृत मानचित्र को इस अर्थ में परिभाषित करते हैं relatively विवृत मानचित्र (उदाप्रत्येकण के लिए, गणित का विश्वकोश) जबकि अन्य संवृत मानचित्र को अर्थ के रूप में परिभाषित करते हैं strongly मानचित्र सामान्यतः, ये परिभाषाएँ हैं not समतुल्य इसलिए यह सलाह दी जाती है कि सदैव यह परीक्षण कि लेखक संवृत मानचित्र की किस परिभाषा का उपयोग कर रहा है।

विशेषण फलन मानचित्र अपेक्षाकृत विवृत होता है यदि और केवल यदि यह दृढ़ता से विवृत हो; इसलिए इस महत्वपूर्ण विशेष स्तिथि के लिए परिभाषाएँ समतुल्य हैं। अधिक सामान्यतः, मानचित्र $f:X\to Y$ अपेक्षाकृत विवृत है यदि और केवल यदि विशेषण फलन $f:X\to f(X)$ दृढ़ता से विवृत मानचित्र है.

क्योंकि $X$ सदैव विवृत उपसमुच्चय होता है $X,$ छवि $f(X)=\operatorname {Im} f$ दृढ़ता से संवृत मानचित्र का $f:X\to Y$ इसके कोडोमेन का विवृत उपसमुच्चय होना चाहिए $Y.$ वास्तव में, अपेक्षाकृत विवृत मानचित्र दृढ़ता से विवृत मानचित्र होता है यदि और केवल तभी जब इसकी छवि इसके कोडोमेन का विवृत उपसमुच्चय हो। सारांश में,

मानचित्र दृढ़ता से विवृत होता है यदि और केवल तभी जब वह अपेक्षाकृत विवृत हो और उसकी छवि उसके कोडोमेन का विवृत उपसमुच्चय हो।

इस लक्षण वर्णन का उपयोग करके, संवृत मानचित्र की इन दो परिभाषाओं में से से जुड़े परिणामों को दूसरी परिभाषा से जुड़ी स्थिति में प्रारम्भ करना प्रायः सरल होता है।

उपरोक्त वर्णन विवृत मानचित्रों पर भी प्रारम्भ होगी यदि संवृत शब्द के प्रत्येक उदाप्रत्येकण को विवृत शब्द से परवर्तित कर दिया जाए।

मानचित्र संवृत

मानचित्र $f:X\to Y$ कहा जाता है open map या a strongly open map यदि यह निम्नलिखित समकक्ष नियम में से किसी को पूर्ण करता है:

परिभाषा: $f:X\to Y$ इसके डोमेन के संवृत उपसमुच्चय को इसके कोडोमेन के संवृत उपसमुच्चय के साथ मैप करता है; अर्थात्, किसी भी संवृत उपसमुच्चय के लिए $U$ का $X$ , $f(U)$ का विवृत उपसमुच्चय $Y.$ है।
$f:X\to Y$ यह अपेक्षाकृत विवृत मानचित्र और उसकी छवि है $\operatorname {Im} f:=f(X)$ इसके कोडोमेन का विवृत उपसमुच्चय $Y.$ है।
प्रत्येक के लिए $x\in X$ $x\in X$ और प्रत्येक पड़ोस (टोपोलॉजी) $N$ $N$ का $x$ $x$ (चूँकि छोटा), $f(N)$ $f(N)$ का पड़ोस है $f(x)$ $f(x)$ हम इस स्थिति में पड़ोस शब्द के पहले या दोनों उदाप्रत्येकणों को संवृत पड़ोस से परवर्तित कर सकते हैं और परिणाम अभी भी समकक्ष स्थिति होगी:
- प्रत्येक $x\in X$ और $N$ का $x$ , $f(N)$ का पड़ोस $f(x)$ है।
- प्रत्येक $x\in X$ और $N$ का $x$ , $f(N)$ का विवृत पड़ोस $f(x)$ है।
$f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))$ $f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))$ सभी उपसमुच्चय के लिए $A$ $A$ का $X,$ $X,$ जहाँ $\operatorname {Int}$ $\operatorname {Int}$ समुच्चय के टोपोलॉजिकल इंटीरियर को दर्शाता है।
जब भी $C$ $C$ का विवृत समुच्चय है $X$ $X$ फिर समुच्चय $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ का विवृत उपसमुच्चय $Y.$ $Y.$ है।
- यह निर्धारित पहचान और संबंधों की सूची का परिणाम है $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ जो सभी उपसमुच्चय के लिए $R\subseteq X.$ मान्य है।

यदि ${\mathcal {B}}$ के लिए आधार (टोपोलॉजी) है $X$ तो निम्नलिखित को इस सूची में जोड़ा जा सकता है:

$f$ इसके कोडोमेन में बेसिक संवृत समुच्चय को संवृत समुच्चय में मैप करता है (अर्थात, किसी भी बेसिक संवृत समुच्चय के लिए $B\in {\mathcal {B}},$ $f(B)$ का विवृत उपसमुच्चय है $Y$ ).

विवृत मानचित्र

मानचित्र $f:X\to Y$ a कहा जाता है relatively closed map यदि जब भी $C$ डोमेन का विवृत समुच्चय है $X$ तब $f(C)$ का विवृत उपसमुच्चय है $f$ की छवि (गणित) $\operatorname {Im} f:=f(X),$ जहां सदैव, यह समुच्चय इसके द्वारा प्रेरित उप-समष्टि टोपोलॉजी से संपन्न है।

$f$ का कोडोमेन $Y.$ मानचित्र $f:X\to Y$ a कहा जाता है closed map या a strongly closed map यदि यह निम्नलिखित समकक्ष नियमों में से किसी को पूर्ण करता है:

परिभाषा: $f:X\to Y$ इसके डोमेन के विवृत उपसमुच्चय को इसके कोडोमेन के विवृत उपसमुच्चय से मैप करता है; अर्थात्, किसी भी विवृत उपसमुच्चय के लिए $C$ का $X,$ $f(C)$ का विवृत उपसमुच्चय $Y.$ है।
$f:X\to Y$ यह अपेक्षाकृत विवृत मानचित्र और उसकी छवि है $\operatorname {Im} f:=f(X)$ इसके कोडोमेन का विवृत उपसमुच्चय $Y.$ है।
${\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)$ प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $A\subseteq X.$ है।
${\overline {f(C)}}\subseteq f(C)$ प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय के लिए $C\subseteq X.$ है।
${\overline {f(C)}}=f(C)$ प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय के लिए $C\subseteq X.$ है।
जब भी $U$ का विवृत उपसमुच्चय है $X$ फिर समुच्चय $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}$ का विवृत उपसमुच्चय $Y.$ है।
यदि $x_{\bullet }$ में नेट (गणित) है $X$ और $y\in Y$ बिंदु ऐसा है $f\left(x_{\bullet }\right)\to y$ में $Y,$ तब $x_{\bullet }$ में त्रित हो जाता है $X$ समुच्चय पर $f^{-1}(y).$ *अभिसरण $x_{\bullet }\to f^{-1}(y)$ इसका तात्पर्य है कि प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय $X$ उसमें $f^{-1}(y)$ सम्मिलित है $x_{j}$ सभी पर्याप्त बड़े सूचकांकों के लिए $j.$ है।

विशेषण फलन मानचित्र दृढ़ता से विवृत होता है यदि और केवल यदि यह अपेक्षाकृत विवृत होता है। तो इस महत्वपूर्ण विशेष स्तिथि के लिए, दोनों परिभाषाएँ समतुल्य हैं। परिभाषा के अनुसार, मानचित्र $f:X\to Y$ अपेक्षाकृत विवृत मानचित्र है यदि और केवल यदि विशेषण फलन $f:X\to \operatorname {Im} f$ दृढ़ता से विवृत मानचित्र है।

यदि सतत फलन का संवृत समुच्चय परिभाषा में (जो कि कथन है: संवृत समुच्चय की प्रत्येक प्रीइमेज संवृत है), संवृत शब्द के दोनों उदाप्रत्येकणों को विवृत के साथ परिवर्तित दिया जाता है, तो परिणामों का विवरण (विवृत समुच्चय की प्रत्येक प्रीइमेज विवृत है) है equivalent निरंतरता के लिए संवृत मानचित्र की परिभाषा के साथ ऐसा नहीं होता है (जो है: संवृत समुच्चय की प्रत्येक छवि संवृत है) क्योंकि यह कथन (विवृत समुच्चय की प्रत्येक छवि विवृत है) विवृत मानचित्र की परिभाषा है, जो सामान्य रूप से है not संवृत के समान है। ऐसे संवृत मानचित्र भी उपस्थित हैं जो विवृत नहीं हैं और ऐसे विवृत मानचित्र भी उपस्थित हैं जो संवृत नहीं हैं। संवृत/विवृत मानचित्रों और सतत मानचित्रों के मध्य यह अंतर अंततः किसी भी समुच्चय के कारण होता है $S,$ केवल $f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)$ सामान्यतः इसका आश्वासन होता है, जबकि पूर्वछवियों के लिए समानता का आश्वासन होता है $f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)$ सदैव धारण करता है।

उदाप्रत्येकण

आश्वासनफलन $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ द्वारा परिभाषित $f(x)=x^{2}$ निरंतर, विवृत और अपेक्षाकृत विवृत है, किंतु (दृढ़ता से) विवृत नहीं है। इसका कारण यह है कि यदि $U=(a,b)$ में कोई विवृत अंतराल है $f$ का डोमेन $\mathbb {R}$ वैसा करता है not रोकना $0$ तब $f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2},b^{2}\}),$ जहां यह विवृत अंतराल दोनों का विवृत उपसमुच्चय है $\mathbb {R}$ और $\operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).$ चूँकि, यदि $U=(a,b)$ में कोई विवृत अंतराल है $\mathbb {R}$ उसमें सम्मिलित है $0$ तब $f(U)=[0,\max\{a^{2},b^{2}\}),$ जो कि विवृत उपसमुच्चय नहीं है $f$ का कोडोमेन $\mathbb {R}$ किंतु is का विवृत उपसमुच्चय $\operatorname {Im} f=[0,\infty ).$ क्योंकि सभी संवृत अंतरालों का समुच्चय $\mathbb {R}$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी के लिए आधार (टोपोलॉजी) है $\mathbb {R} ,$ इससे ज्ञात होता है कि $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ अपेक्षाकृत विवृत है किंतु (दृढ़ता से) विवृत नहीं है।

यदि $Y$ असतत टोपोलॉजी है (अर्थात, सभी उपसमुच्चय संवृत और विवृत हैं) फिर प्रत्येक फलन $f:X\to Y$ विवृत और विवृत दोनों है (किंतु जरूरी नहीं कि निरंतर हो)। उदाप्रत्येकण के लिए, वास्तविक संख्या से फ्लोर फलन $\mathbb {R}$ पूर्णांक तक $\mathbb {Z}$ विवृत है, किंतु निरंतर नहीं। यह उदाप्रत्येकण दिखाता है कि संवृत या विवृत मानचित्र के नीचे जुड़े समष्टि की छवि को कनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है।

जब भी हमारे पास टोपोलॉजिकल समष्टि का उत्पाद टोपोलॉजी होता है $X=\prod X_{i},$ प्राकृतिक अनुमान $p_{i}:X\to X_{i}$ संवृत हैं^[12]^[13] (साथ ही निरंतर)। चूंकि फाइबर बंडल और कवरिंग मानचित्र के प्रक्षेपण उत्पादों के रूप से प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं, इसलिए ये संवृत मानचित्र भी हैं। चूँकि अनुमानों को विवृत करने की आवश्यकता नहीं है। उदाप्रत्येकण के लिए प्रक्षेपण पर विचार करें $p_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ पहले घटक पर; फिर समुच्चय $A=\{(x,1/x):x\neq 0\}$ में विवृत है $\mathbb {R} ^{2},$ किंतु $p_{1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{0\}$ में विवृत नहीं है $\mathbb {R} .$ चूँकि, कॉम्पैक्ट समष्टि के लिए $Y,$ प्रक्षेपण $X\times Y\to X$ विवृत है। यह मूलतः ट्यूब लेम्मा है।

इकाई चक्र के प्रत्येक बिंदु पर हम सकारात्मक कोण को जोड़ सकते हैं $x$ -बिंदु को मूल बिंदु से जोड़ने वाली किरण के साथ अक्ष यूनिट सर्कल से आधे संवृत अंतराल (गणित) तक यह फलन विशेषण, विवृत और विवृत है, किंतु निरंतर नहीं है। यह दर्शाता है कि संवृत या विवृत मानचित्र के नीचे सघन समष्टि की छवि को कॉम्पैक्ट होने की आवश्यकता नहीं है। यह भी ध्यान दें कि यदि हम इसे इकाई वृत्त से वास्तविक संख्याओं तक का फलन मानें, तो यह न तो विवृत है और न ही विवृत है। कोडोमेन निर्दिष्ट करना आवश्यक है।

पर्याप्त स्थितियाँ

प्रत्येक होमियोमोर्फिज्म विवृत, संवृत और निरंतर है। वास्तव में, विशेषण सतत मानचित्र समरूपता है यदि केवल यह विवृत है, या समकक्ष रूप से, यदि केवल यदि यह संवृत है।

दो (दृढ़ता से) संवृत मानचित्रों की फलनात्मक संरचना विवृत मानचित्र है और दो (दृढ़ता से) विवृत मानचित्रों की संरचना विवृत मानचित्र है।^[14]^[15] चूँकि, दो अपेक्षाकृत संवृत मानचित्रों की संरचना को अपेक्षाकृत विवृत होने की आवश्यकता नहीं है और इसी प्रकार, दो अपेक्षाकृत विवृत मानचित्रों की संरचना को अपेक्षाकृत विवृत करने की आवश्यकता नहीं है। यदि $f:X\to Y$ दृढ़ता से विवृत है (क्रमशः, दृढ़ता से विवृत) और $g:Y\to Z$ तब अपेक्षाकृत विवृत (क्रमशः, अपेक्षाकृत विवृत) है $g\circ f:X\to Z$ अपेक्षाकृत विवृत है (क्रमशः, अपेक्षाकृत विवृत)।

मान लीजिये $f:X\to Y$ मानचित्र हो कोई उपसमुच्चय दिया गया है $T\subseteq Y,$ यदि $f:X\to Y$ पेक्षाकृत विवृत (क्रमशः, अपेक्षाकृत विवृत, दृढ़ता से विवृत, दृढ़ता से विवृत, निरंतर, विशेषण फलन) मानचित्र है तो इसके प्रतिबंध के बारे में भी यही सत्य है

f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T

संतृप्त समुच्चय के लिए

f

-संतृप्त उपसमुच्चय

f^{-1}(T).

दो संवृत मानचित्रों का स्पष्ट योग विवृत है, या दो विवृत मानचित्रों का विवृत है।^[15] दो संवृत मानचित्रों का श्रेणीबद्ध उत्पाद (टोपोलॉजी) विवृत है, चूँकि, दो विवृत मानचित्रों के श्रेणीबद्ध उत्पाद को विवृत करने की आवश्यकता नहीं है।^[14]^[15] विशेषण मानचित्र तभी विवृत होता है जब वह विवृत हो। विशेषण सतत मानचित्र का व्युत्क्रम विशेषण विवृत/विवृत मानचित्र है (और इसके विपरीत)। विशेषण विवृत मानचित्र आवश्यक रूप से विवृत मानचित्र नहीं होता है, और इसी प्रकार, विशेषण विवृत मानचित्र आवश्यक रूप से विवृत मानचित्र नहीं होता है। सभी समष्टिीय होमोमोर्फिज्म, जिसमें कई गुना सभी समन्वय चार्ट और सभी कवरिंग मानचित्र सम्मिलित हैं, संवृत मानचित्र हैं।

Closed map lemma — प्रत्येक सतत फलन $f:X\to Y$ कॉम्पैक्ट समष्टि से $X$ हौसडॉर्फ़ समष्टि के लिए $Y$ विवृत है और उचित मानचित्र (जिसका अर्थ है कि कॉम्पैक्ट सेट की प्रीइमेज कॉम्पैक्ट हैं)।

विवृत मानचित्र लेम्मा का प्रकार बताता है कि यदि समष्टि रूप समष्टिीय रूप से सघन समष्टि हॉसडॉर्फ रिक्त समष्टि के मध्य सतत फलन उचित है तो यह भी विवृत है।

समष्टि विश्लेषण में, समान रूप से नामित संवृत मैपिंग प्रमेय (समष्टि विश्लेषण) बताता है कि समष्टि विमान के कनेक्टेड समष्टि संवृत उपसमुच्चय पर परिभाषित प्रत्येक गैर-स्थिर होलोमोर्फिक फलन विवृत मानचित्र है।

डोमेन प्रमेय का अपरिवर्तन बताता है कि दो के मध्य सतत और समष्टिीय रूप से इंजेक्शन फलन $n$ -डायमेंशनल मैनिफोल्ड विवृत होना चाहिए।

Invariance of domain — यदि $U$ का संवृत उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ और $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ तो फिर, इंजेक्टिव निरंतर मानचित्र है $V:=f(U)$ में संवृत है $\mathbb {R} ^{n}$ और $f$ के मध्य होमोमोर्फिज्म है $U$ और $V.$

फलनात्मक विश्लेषण में, संवृत मैपिंग प्रमेय (फलनात्मक विश्लेषण) बताता है कि बानाच रिक्त समष्टि के मध्य प्रत्येक विशेषण निरंतर रैखिक ऑपरेटर विवृत मानचित्र है। इस प्रमेय को केवल बानाच रिक्त समष्टि से परे टोपोलॉजिकल वेक्टर समष्टि समष्टि के लिए सामान्यीकृत किया गया है।

विशेषण मानचित्र $f:X\to Y$ कहा जाता है almost open map यदि प्रत्येक के लिए $y\in Y$ वहाँ कुछ उपस्थित है $x\in f^{-1}(y)$ ऐसा है कि $x$ है point of openness के लिए $f,$ जिसका परिभाषा के अनुसार अर्थ यह है कि प्रत्येक संवृत पड़ोस के लिए $U$ का $x,$ $f(U)$ का पड़ोस (टोपोलॉजी) है $f(x)$ में $Y$ (ध्यान दें कि पड़ोस $f(U)$ होना आवश्यक नहीं है open अड़ोस-पड़ोस)। प्रत्येक विशेषण विवृत मानचित्र लगभग विवृत मानचित्र होता है किंतु सामान्य तौर पर, इसका विपरीत आवश्यक रूप से सत्य नहीं होता है। यदि अनुमान $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ लगभग विवृत मानचित्र है तो यह विवृत मानचित्र होगा यदि यह निम्नलिखित नियम को पूर्ण करता है (नियम जो करता है not किसी भी प्रकार से निर्भर रहें $Y$ की टोपोलॉजी $\sigma$ ):

जब कभी भी

m,n\in X

के ही फाइबर (गणित) से संबंधित हैं

f

(वह है,

f(m)=f(n)

) फिर प्रत्येक पड़ोस के लिए

U\in \tau

का

m,

वहाँ कुछ पड़ोस उपस्थित है

V\in \tau

का

n

ऐसा है कि

F(V)\subseteq F(U).

यदि मानचित्र निरंतर है तो मानचित्र के संवृत होने के लिए भी उपरोक्त नियम आवश्यक है। अर्थात यदि

f:X\to Y

यदि यह सतत प्रक्षेपण है तो यह विवृत मानचित्र है यदि केवल यह लगभग विवृत है और यह उपरोक्त नियम को पूर्ण करता है।

गुण

संवृत या विवृत मानचित्र जो निरंतर हैं

यदि $f:X\to Y$ सतत मानचित्र है जो विवृत भी है or फिर विवृत:

यदि $f$ $f$ अनुमान है तो यह भागफल मानचित्र (टोपोलॉजी) है और यहां तक कि आनुवंशिक रूप से भागफल मानचित्र भी है,
- विशेषण मानचित्र $f:X\to Y$ कहा जाता है hereditarily quotient यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $T\subseteq Y,$ प्रतिबंध $f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T$ भागफल मानचित्र है।
यदि $f$ यह इंजेक्शन का फलन है तो यह टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग है।
यदि $f$ यह आक्षेप है तो यह समरूपता है।

पहले दो स्थितियों में, विवृत या संवृत होना आगे आने वाले निष्कर्ष के लिए पर्याप्त नियम मात्र है।तीसरी स्थिति में भी यह आवश्यक नियम है।

निरंतर मानचित्र संवृत

यदि $f:X\to Y$ सतत (दृढ़ता से) विवृत मानचित्र है, $A\subseteq X,$ और $S\subseteq Y,$ तब:

f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)

\operatorname {Bd}

सीमा (टोपोलॉजी)

f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}

{\overline {S}}

यदि ${\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},$ जहाँ $\operatorname {Int}$ तब, समुच्चय के इंटीरियर (टोपोलॉजी) को दर्शाता है: ${\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}={\overline {f(A)}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}}\right)}}$ यह समुच्चय कहां है ${\overline {f(A)}}$ यह भी आवश्यक रूप से नियमित विवृत समुच्चय (में) है $Y$ ) विशेषकर, यदि $A$ यह नियमित विवृत समुच्चय है तो ऐसा ही है ${\overline {f(A)}}.$ और यदि $A$ नियमित विवृत समुच्चय है तो ऐसा ही है $Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.$
यदि निरंतर विवृत मानचित्र $f:X\to Y$ तब यह भी विशेषण है $\operatorname {Int} _{X}f^{-1}(S)=f^{-1}\left(\operatorname {Int} _{Y}S\right)$ और इसके अतिरिक्त, $S$ नियमित विवृत है (सम्मानित नियमित विवृत) का भाग $Y$ यदि और केवल यदि $f^{-1}(S)$ का नियमित विवृत (सम्मानित नियमित विवृत) उपसमुच्चय $X.$ है।
यदि नेट (गणित) $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}$ अभिसारी जाल में $Y$ स्तर तक $y\in Y$ और यदि निरंतर विवृत मानचित्र $f:X\to Y$ विशेषण है, फिर किसी के लिए $x\in f^{-1}(y)$ वहाँ जाल उपस्थित है $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ में $X$ (कुछ निर्देशित समुच्चय द्वारा अनुक्रमित $A$ ) ऐसा है कि $x_{\bullet }\to x$ में $X$ और $f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}$ का सबनेट (गणित) है $y_{\bullet }.$ इसके अतिरिक्त, अनुक्रमण समुच्चय $A$ माना जा सकता है $A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}$ उत्पाद ऑर्डर के साथ जहां ${\mathcal {N}}_{x}$ का कोई पड़ोस $x$ निर्देशक $\,\supseteq .\,$ आधार है।

यह भी देखें

लगभग संवृत मानचित्र
विवृत मानचित्र
विवृत रैखिक ऑपरेटर
स्थानीय समरूपता
अर्ध-संवृत मानचित्र
भागफल मानचित्र (टोपोलॉजी)
उत्तम मानचित्र
उचित मानचित्र – Map between topological spaces with the property that the preimage of every compact is compact
मानचित्र को कवर करने वाला अनुक्रम

उद्धरण

↑ Munkres, James R. (2000). टोपोलॉजी (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
↑ ^2.0 ^2.1 Mendelson, Bert (1990) [1975]. टोपोलॉजी का परिचय (Third ed.). Dover. p. 89. ISBN 0-486-66352-3. It is important to remember that Theorem 5.3 says that a function $f$ is continuous if and only if the inverse image of each open set is open. This characterization of continuity should not be confused with another property that a function may or may not possess, the property that the image of each open set is an open set (such functions are called open mappings).
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 Lee, John M. (2003). स्मूथ मैनिफोल्ड्स का परिचय. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218. Springer Science & Business Media. p. 550. ISBN 9780387954486. A map $F:X\to Y$ (continuous or not) is said to be an open map if for every closed subset $U\subseteq X,$ $F(U)$ is open in $Y,$ and a closed map if for every closed subset $K\subseteq U,$ $F(K)$ is closed in $Y.$ Continuous maps may be open, closed, both, or neither, as can be seen by examining simple examples involving subsets of the plane.
↑ ^4.0 ^4.1 Ludu, Andrei (15 January 2012). समोच्चों और बंद सतहों पर अरेखीय तरंगें और सॉलिटॉन. Springer Series in Synergetics. p. 15. ISBN 9783642228940. An open map is a function between two topological spaces which maps open sets to open sets. Likewise, a closed map is a function which maps closed sets to closed sets. The open or closed maps are not necessarily continuous.
↑ Sohrab, Houshang H. (2003). बुनियादी वास्तविक विश्लेषण. Springer Science & Business Media. p. 203. ISBN 9780817642112. Now we are ready for our examples which show that a function may be open without being closed or closed without being open. Also, a function may be simultaneously open and closed or neither open nor closed. (The quoted statement in given in the context of metric spaces but as topological spaces arise as generalizations of metric spaces, the statement holds there as well.)
↑ Naber, Gregory L. (2012). यूक्लिडियन स्पेस में टोपोलॉजिकल तरीके. Dover Books on Mathematics (reprint ed.). Courier Corporation. p. 18. ISBN 9780486153445. Exercise 1-19. Show that the projection map $\pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ π₁:X₁ × ··· × X_k → X_i is an open map, but need not be a closed map. Hint: The projection of R² onto $\mathbb {R}$ is not closed. Similarly, a closed map need not be open since any constant map is closed. For maps that are one-to-one and onto, however, the concepts of 'open' and 'closed' are equivalent.
↑ Mendelson, Bert (1990) [1975]. टोपोलॉजी का परिचय (Third ed.). Dover. p. 89. ISBN 0-486-66352-3. There are many situations in which a function $f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)$ has the property that for each open subset $A$ of $X,$ the set $f(A)$ is an open subset of $Y,$ and yet $f$ is not continuous.
↑ Boos, Johann (2000). सारांश में शास्त्रीय और आधुनिक तरीके. Oxford University Press. p. 332. ISBN 0-19-850165-X. Now, the question arises whether the last statement is true in general, that is whether closed maps are continuous. That fails in general as the following example proves.
↑ Kubrusly, Carlos S. (2011). संचालक सिद्धांत के तत्व. Springer Science & Business Media. p. 115. ISBN 9780817649982. In general, a map $F:X\to Y$ of a metric space $X$ into a metric space $Y$ may possess any combination of the attributes 'continuous', 'open', and 'closed' (that is, these are independent concepts).
↑ Hart, K. P.; Nagata, J.; Vaughan, J. E., eds. (2004). सामान्य टोपोलॉजी का विश्वकोश. Elsevier. p. 86. ISBN 0-444-50355-2. It seems that the study of open (interior) maps began with papers [13,14] by S. Stoïlow. Clearly, openness of maps was first studied extensively by G.T. Whyburn [19,20].
↑ Narici & Beckenstein 2011, pp. 225–273.
↑ Willard, Stephen (1970). सामान्य टोपोलॉजी. Addison-Wesley. ISBN 0486131785.
↑ Lee, John M. (2012). स्मूथ मैनिफोल्ड्स का परिचय. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218 (Second ed.). p. 606. doi:10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5. Exercise A.32. Suppose $X_{1},\ldots ,X_{k}$ are topological spaces. Show that each projection $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ is an open map.
↑ ^14.0 ^14.1 Baues, Hans-Joachim; Quintero, Antonio (2001). अनंत समरूपता सिद्धांत. K-Monographs in Mathematics. Vol. 6. p. 53. ISBN 9780792369820. A composite of open maps is open and a composite of closed maps is closed. Also, a product of open maps is open. In contrast, a product of closed maps is not necessarily closed,...
↑ ^15.0 ^15.1 ^15.2 James, I. M. (1984). सामान्य टोपोलॉजी और होमोटोपी सिद्धांत. Springer-Verlag. p. 49. ISBN 9781461382836. ...let us recall that the composition of open maps is open and the composition of closed maps is closed. Also that the sum of open maps is open and the sum of closed maps is closed. However, the product of closed maps is not necessarily closed, although the product of open maps is open.

संदर्भ

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Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

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[mendelson-2] 2.0 ^2.1 Mendelson, Bert (1990) [1975]. टोपोलॉजी का परिचय (Third ed.). Dover. p. 89. ISBN 0-486-66352-3. It is important to remember that Theorem 5.3 says that a function $f$ is continuous if and only if the inverse image of each open set is open. This characterization of continuity should not be confused with another property that a function may or may not possess, the property that the image of each open set is an open set (such functions are called open mappings).

[lee550-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Lee, John M. (2003). स्मूथ मैनिफोल्ड्स का परिचय. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218. Springer Science & Business Media. p. 550. ISBN 9780387954486. A map $F:X\to Y$ (continuous or not) is said to be an open map if for every closed subset $U\subseteq X,$ $F(U)$ is open in $Y,$ and a closed map if for every closed subset $K\subseteq U,$ $F(K)$ is closed in $Y.$ Continuous maps may be open, closed, both, or neither, as can be seen by examining simple examples involving subsets of the plane.

[ludu15-4] 4.0 ^4.1 Ludu, Andrei (15 January 2012). समोच्चों और बंद सतहों पर अरेखीय तरंगें और सॉलिटॉन. Springer Series in Synergetics. p. 15. ISBN 9783642228940. An open map is a function between two topological spaces which maps open sets to open sets. Likewise, a closed map is a function which maps closed sets to closed sets. The open or closed maps are not necessarily continuous.

[5] Sohrab, Houshang H. (2003). बुनियादी वास्तविक विश्लेषण. Springer Science & Business Media. p. 203. ISBN 9780817642112. Now we are ready for our examples which show that a function may be open without being closed or closed without being open. Also, a function may be simultaneously open and closed or neither open nor closed. (The quoted statement in given in the context of metric spaces but as topological spaces arise as generalizations of metric spaces, the statement holds there as well.)

[6] Naber, Gregory L. (2012). यूक्लिडियन स्पेस में टोपोलॉजिकल तरीके. Dover Books on Mathematics (reprint ed.). Courier Corporation. p. 18. ISBN 9780486153445. Exercise 1-19. Show that the projection map $\pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ π₁:X₁ × ··· × X_k → X_i is an open map, but need not be a closed map. Hint: The projection of R² onto $\mathbb {R}$ is not closed. Similarly, a closed map need not be open since any constant map is closed. For maps that are one-to-one and onto, however, the concepts of 'open' and 'closed' are equivalent.

[mendelson2-7] Mendelson, Bert (1990) [1975]. टोपोलॉजी का परिचय (Third ed.). Dover. p. 89. ISBN 0-486-66352-3. There are many situations in which a function $f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)$ has the property that for each open subset $A$ of $X,$ the set $f(A)$ is an open subset of $Y,$ and yet $f$ is not continuous.

[8] Boos, Johann (2000). सारांश में शास्त्रीय और आधुनिक तरीके. Oxford University Press. p. 332. ISBN 0-19-850165-X. Now, the question arises whether the last statement is true in general, that is whether closed maps are continuous. That fails in general as the following example proves.

[9] Kubrusly, Carlos S. (2011). संचालक सिद्धांत के तत्व. Springer Science & Business Media. p. 115. ISBN 9780817649982. In general, a map $F:X\to Y$ of a metric space $X$ into a metric space $Y$ may possess any combination of the attributes 'continuous', 'open', and 'closed' (that is, these are independent concepts).

[10] Hart, K. P.; Nagata, J.; Vaughan, J. E., eds. (2004). सामान्य टोपोलॉजी का विश्वकोश. Elsevier. p. 86. ISBN 0-444-50355-2. It seems that the study of open (interior) maps began with papers [13,14] by S. Stoïlow. Clearly, openness of maps was first studied extensively by G.T. Whyburn [19,20].

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011225.E2.80.93273-11] Narici & Beckenstein 2011, pp. 225–273.

[12] Willard, Stephen (1970). सामान्य टोपोलॉजी. Addison-Wesley. ISBN 0486131785.

[13] Lee, John M. (2012). स्मूथ मैनिफोल्ड्स का परिचय. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218 (Second ed.). p. 606. doi:10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5. Exercise A.32. Suppose $X_{1},\ldots ,X_{k}$ are topological spaces. Show that each projection $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ is an open map.

[baues55-14] 14.0 ^14.1 Baues, Hans-Joachim; Quintero, Antonio (2001). अनंत समरूपता सिद्धांत. K-Monographs in Mathematics. Vol. 6. p. 53. ISBN 9780792369820. A composite of open maps is open and a composite of closed maps is closed. Also, a product of open maps is open. In contrast, a product of closed maps is not necessarily closed,...

[james49-15] 15.0 ^15.1 ^15.2 James, I. M. (1984). सामान्य टोपोलॉजी और होमोटोपी सिद्धांत. Springer-Verlag. p. 49. ISBN 9781461382836. ...let us recall that the composition of open maps is open and the composition of closed maps is closed. Also that the sum of open maps is open and the sum of closed maps is closed. However, the product of closed maps is not necessarily closed, although the product of open maps is open.

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