घूर्णन का तल

ज्यामिति में, घूर्णन का एक तल एक अमूर्त वस्तु है जिसका उपयोग अंतरिक्ष में घूर्णन (गणित) का वर्णन या कल्पना करने के लिए किया जाता है। तीन आयामों में यह एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने का एक विकल्प है, लेकिन घूर्णन अक्ष के विपरीत इसका उपयोग अन्य आयामों में किया जा सकता है, जैसे दो आयाम, चार-आयामी स्थान या अधिक आयाम।

गणितीय रूप से ऐसे विमानों का वर्णन कई तरीकों से किया जा सकता है। उन्हें समतल (ज्यामिति) और घूर्णन कोण के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। उन्हें ज्यामितीय बीजगणित के द्विवेक्टरों से जोड़ा जा सकता है। वे एक रोटेशन मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​और eigenvectors से संबंधित हैं। और विशेष आयामों में वे अन्य बीजगणितीय और ज्यामितीय गुणों से संबंधित हैं, जिन्हें फिर अन्य आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

दो और तीन आयामों में घूर्णन के तलों का अधिक उपयोग नहीं किया जाता है, क्योंकि दो आयामों में केवल एक ही तल होता है इसलिए घूर्णन के तल की पहचान करना तुच्छ है और शायद ही कभी किया जाता है, जबकि तीन आयामों में घूर्णन की धुरी एक ही उद्देश्य को पूरा करती है और यह अधिक स्थापित दृष्टिकोण है। उनका मुख्य उपयोग उच्च आयामों में अधिक जटिल घुमावों का वर्णन करने में है, जहां उनका उपयोग घुमावों को सरल भागों में तोड़ने के लिए किया जा सकता है। यह ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग करके किया जा सकता है, बीजगणित में bivector #सिंपल बाइवेक्टर से जुड़े घूर्णन के विमानों के साथ।

परिभाषाएँ

विमान

इस लेख के लिए, सभी समतल (ज्यामिति) मूल बिंदु (गणित) से गुजरने वाले तल हैं, अर्थात उनमें शून्य वेक्टर होता है। एन-आयामी अंतरिक्ष में ऐसा विमान|n-आयामी अंतरिक्ष अंतरिक्ष का एक द्वि-आयामी रैखिक उपस्थान है। यह पूरी तरह से विमान में स्थित किन्हीं दो गैर-शून्य और गैर-समानांतर वैक्टर द्वारा निर्दिष्ट है, अर्थात किन्हीं दो वैक्टर द्वारा a और b, ऐसा है कि

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \neq 0,$

कहाँ ∧ बाहरी बीजगणित या ज्यामितीय बीजगणित से बाहरी उत्पाद है (तीन आयामों में क्रॉस उत्पाद का उपयोग किया जा सकता है)। अधिक सटीक रूप से, मात्रा a ∧ b द्वारा निर्दिष्ट विमान से जुड़ा बायवेक्टर है a और b, और परिमाण है |a| |b| sin φ, कहाँ φ सदिशों के बीच का कोण है; इसलिए आवश्यकता है कि सदिश अशून्य और असमानांतर हों। यदि बायवेक्टर a ∧ b लिखा है B, तो स्थिति यह है कि एक बिंदु संबद्ध तल पर स्थित है B सादा है

$\mathbf {x} \wedge \mathbf {B} =0.$

यह सभी आयामों में सत्य है, और इसे समतल पर परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है। विशेष रूप से, बाहरी उत्पाद के गुणों से यह दोनों संतुष्ट हैं a और b, और इसी तरह फॉर्म के किसी भी वेक्टर द्वारा

$\mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ,$

साथ λ और μ वास्तविक संख्या। जैसा λ और μ सभी वास्तविक संख्याओं की सीमा, c पूरे तल पर व्याप्त है, इसलिए इसे तल की एक और परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है।

घूर्णन तल

किसी विशेष घूर्णन (गणित) के लिए घूर्णन का एक तल एक ऐसा तल है जो घूर्णन द्वारा अपने आप में रैखिक मानचित्र होता है। समतल निश्चित नहीं है, लेकिन समतल के सभी सदिशों को घूर्णन द्वारा उसी तल के अन्य सदिशों से मैप किया जाता है। विमान का अपने आप में यह परिवर्तन हमेशा मूल बिंदु के चारों ओर एक कोण के माध्यम से एक घूर्णन होता है, जो विमान के लिए घूर्णन का कोण होता है।

पहचान तत्व रोटेशन (मैट्रिक्स पहचान मैट्रिक्स के साथ) को छोड़कर प्रत्येक रोटेशन में रोटेशन का कम से कम एक विमान होता है, और तक

$\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor$

घूर्णन के तल, कहाँ n आयाम है. आठ आयामों तक के विमानों की अधिकतम संख्या इस तालिका में दिखाई गई है:

Dimension	2	3	4	5	6	7	8
Number of planes	1	1	2	2	3	3	4

जब किसी घूर्णन में घूर्णन के कई तल होते हैं तो वे हमेशा एक-दूसरे के लंबवत होते हैं, केवल मूल बिंदु समान होता है। यह कहने से कहीं अधिक मजबूत स्थिति है कि विमान समकोण पर हैं; इसके बजाय इसका मतलब यह है कि विमानों में कोई गैर-शून्य वेक्टर समान नहीं है, और एक विमान में प्रत्येक वेक्टर दूसरे विमान में प्रत्येक वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल है। यह केवल चार या अधिक आयामों में ही हो सकता है। दो आयामों में केवल एक ही तल होता है, जबकि तीन आयामों में सभी तलों के समतल (ज्यामिति)#दो तलों के बीच प्रतिच्छेदन रेखा के अनुदिश कम से कम एक अशून्य सदिश समान होता है। तीन से अधिक आयामों में घूर्णन के तल हमेशा अद्वितीय नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए चार आयामों में पहचान मैट्रिक्स का नकारात्मक (एक बिंदु में व्युत्क्रम),

${\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},$

चार आयामों में एक घूर्णन का वर्णन करता है जिसमें मूल बिंदु के माध्यम से प्रत्येक तल एक कोण के माध्यम से घूर्णन का एक तल है π, इसलिए ऑर्थोगोनल विमानों का कोई भी जोड़ा घूर्णन उत्पन्न करता है। लेकिन एक सामान्य घूर्णन के लिए ऑर्थोगोनल विमानों के एक अनूठे सेट की पहचान करना कम से कम सैद्धांतिक रूप से संभव है, जिनमें से प्रत्येक बिंदु एक कोण के माध्यम से घूमता है, इसलिए विमानों और कोणों का सेट पूरी तरह से रोटेशन की विशेषता बताता है।

दो आयाम

द्वि-आयामी अंतरिक्ष में घूर्णन का केवल एक ही तल होता है, अंतरिक्ष का तल। कार्तीय समन्वय प्रणाली में यह कार्तीय तल है, सम्मिश्र संख्याओं में यह सम्मिश्र तल है। इसलिए कोई भी घूर्णन संपूर्ण तल का होता है, अर्थात अंतरिक्ष का, केवल मूल (गणित) को स्थिर रखते हुए। यह उदाहरण के लिए, सीमा में, घूर्णन के हस्ताक्षरित कोण द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट है -π को π. तो यदि कोण है θ जटिल तल में घूर्णन यूलर के सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta },\,$

जबकि कार्तीय तल में घूर्णन किसके द्वारा दिया जाता है? 2 × 2 रोटेशन मैट्रिक्स:

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.$

तीन आयाम

एक त्रि-आयामी घूर्णन, घूर्णन अक्ष के साथ z-अक्ष और घूर्णन का एक तल xy-विमान

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में घूर्णन के विमानों की अनंत संख्या होती है, जिनमें से केवल एक ही किसी दिए गए घूर्णन में शामिल होता है। अर्थात्, एक सामान्य घूर्णन के लिए वास्तव में एक विमान होता है जो इसके साथ जुड़ा होता है या जिसमें घूर्णन होता है। एकमात्र अपवाद पहचान मैट्रिक्स के अनुरूप तुच्छ घूर्णन है, जिसमें कोई घूर्णन नहीं होता है।

तीन आयामों में किसी भी घूर्णन में हमेशा एक निश्चित अक्ष, घूर्णन की धुरी होती है। घूर्णन का वर्णन इस अक्ष को देकर किया जा सकता है, उस कोण के साथ जिसके माध्यम से घूर्णन इसके चारों ओर घूमता है; यह एक घूर्णन का अक्ष कोण प्रतिनिधित्व है। घूर्णन का तल इस अक्ष के लिए लंबवत समतल है, इसलिए अक्ष समतल की एक सामान्य सतह है। फिर घूर्णन इस विमान को उसी कोण से घुमाता है जिस कोण से यह अपनी धुरी के चारों ओर घूमता है, अर्थात विमान में सब कुछ मूल के चारों ओर एक ही कोण से घूमता है।

एक उदाहरण आरेख में दिखाया गया है, जहां घूर्णन होता है z-एक्सिस। घूर्णन का तल है xy-तल, इसलिए उस तल में मौजूद हर चीज़ को घूर्णन द्वारा समतल में रखा जाता है। इसे निम्नलिखित मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसमें घूर्णन एक कोण के माध्यम से होता है θ (अक्ष के बारे में या समतल में):

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}.$

पृथ्वी अपनी धुरी और घूर्णन के तल को दिखा रही है, दोनों अक्षीय झुकाव पृथ्वी की कक्षा के तल और लंबवत के सापेक्ष है

दूसरा उदाहरण पृथ्वी का घूर्णन है। घूर्णन की धुरी उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव को जोड़ने वाली रेखा है और घूर्णन का तल उत्तरी गोलार्ध और दक्षिणी गोलार्ध के बीच भूमध्य रेखा से होकर गुजरने वाला समतल है। अन्य उदाहरणों में जाइरोस्कोप या चक्का जैसे यांत्रिक उपकरण शामिल हैं जो आमतौर पर घूर्णन के विमान के साथ द्रव्यमान में घूर्णी ऊर्जा संग्रहीत करते हैं।

किसी भी त्रि-आयामी घूर्णन में घूर्णन का तल विशिष्ट रूप से परिभाषित होता है। घूर्णन के कोण के साथ-साथ यह घूर्णन का पूर्ण वर्णन करता है। या लगातार घूमने वाली वस्तु में घूर्णन की दर जैसे घूर्णन गुणों को घूर्णन के विमान के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। यह लंबवत है, और इसलिए इसे घूर्णन की धुरी द्वारा परिभाषित किया गया है, इसलिए घूर्णन के विमान के संदर्भ में घूर्णन के किसी भी विवरण को घूर्णन की धुरी के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, और इसके विपरीत। लेकिन घूर्णन की धुरी के विपरीत विमान अन्य, विशेष रूप से उच्च, आयामों में सामान्यीकृत होता है।

चार आयाम

Main article: Rotations in 4-dimensional Euclidean space

चार-आयामी अंतरिक्ष में एक सामान्य घूर्णन का केवल एक निश्चित बिंदु होता है, मूल बिंदु। इसलिए घूर्णन अक्ष का उपयोग चार आयामों में नहीं किया जा सकता है। लेकिन घूर्णन के विमानों का उपयोग किया जा सकता है, और चार आयामों में प्रत्येक गैर-तुच्छ घूर्णन में घूर्णन के एक या दो विमान होते हैं।

सरल घुमाव

घूर्णन के केवल एक तल वाला घूर्णन एक SO(4)#सरल घूर्णन है। एक साधारण घूर्णन में एक निश्चित तल होता है, और कहा जा सकता है कि घूर्णन इस तल के चारों ओर होता है, इसलिए घूमने पर बिंदु इस तल से अपनी दूरी नहीं बदलते हैं। घूर्णन का तल इस तल के लिए ओर्थोगोनल है, और कहा जा सकता है कि घूर्णन इसी तल में होता है।

उदाहरण के लिए निम्नलिखित मैट्रिक्स ठीक करता है xy-तल: उस तल में और केवल उस तल में बिंदु अपरिवर्तित हैं। घूर्णन का तल है zw-तल, इस तल में बिंदु एक कोण से घूमते हैं θ. एक सामान्य बिंदु केवल में घूमता है zw-प्लेन, अर्थात यह चारों ओर घूमता है xy-प्लेन केवल इसका परिवर्तन करके z और w निर्देशांक.

${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

दो और तीन आयामों में सभी घूर्णन सरल होते हैं, जिसमें उनके घूर्णन का केवल एक ही तल होता है। केवल चार या अधिक आयामों में ही ऐसे घुमाव होते हैं जो साधारण घुमाव नहीं होते हैं। विशेष रूप से चार आयामों में दोहरे और समद्विबाहु घुमाव भी होते हैं।

दोहरा घुमाव

SO(4)#डबल रोटेशन में रोटेशन के दो विमान होते हैं, कोई निश्चित विमान नहीं होता है, और एकमात्र निश्चित बिंदु मूल बिंदु होता है। ऐसा कहा जा सकता है कि घूर्णन घूर्णन के दोनों तलों में होता है, क्योंकि उनमें बिंदु तलों के भीतर घूमते हैं। ये तल ऑर्थोगोनल हैं, अर्थात इनमें कोई भी सदिश समान नहीं है इसलिए एक तल का प्रत्येक सदिश दूसरे तल के प्रत्येक सदिश के समकोण पर है। दो घूर्णन तल चार-आयामी अंतरिक्ष में फैले हुए हैं, इसलिए अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को दो बिंदुओं द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, प्रत्येक तल पर एक।

दोहरे घूर्णन में घूर्णन के दो कोण होते हैं, घूर्णन के प्रत्येक तल के लिए एक। घूर्णन को दो तलों और दो गैर-शून्य कोणों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, α और β (यदि कोई भी कोण शून्य है तो घूर्णन सरल है)। पहले तल के बिंदु घूमते हैं α, जबकि दूसरे तल के बिंदु घूमते हैं β. अन्य सभी बिंदु बीच के कोण से घूमते हैं α और β, इसलिए एक अर्थ में वे मिलकर घूर्णन की मात्रा निर्धारित करते हैं। सामान्य दोहरे घूर्णन के लिए घूर्णन तल और कोण अद्वितीय होते हैं, और सामान्य घूर्णन को देखते हुए उनकी गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए का एक घूर्णन α में xy-प्लेन और β में zw-प्लेन मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0&0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0&0\\0&0&\cos \beta &-\sin \beta \\0&0&\sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}.$

आइसोक्लिनिक घुमाव

आइसोक्लिनिक घुमाव के साथ टेसेरेक्ट का प्रक्षेपण।

दोहरे घूर्णन का एक विशेष मामला तब होता है जब कोण बराबर होते हैं, अर्थात यदि α = β ≠ 0. इसे SO(4)#Isoclinic घुमाव कहा जाता है, और यह कई मायनों में सामान्य दोहरे घुमाव से भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, एक समद्विबाहु घूर्णन में, सभी गैर-शून्य बिंदु एक ही कोण से घूमते हैं, α. सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि घूर्णन के तलों की विशिष्ट रूप से पहचान नहीं की जाती है। इसके बजाय ऑर्थोगोनल विमानों के जोड़े की अनंत संख्या है जिन्हें घूर्णन के विमानों के रूप में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी भी बिंदु को लिया जा सकता है, और जिस तल पर वह घूमता है, उसके ऑर्थोगोनल तल के साथ उसे घूर्णन के दो तलों के रूप में उपयोग किया जा सकता है।

उच्च आयाम

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है कि घूर्णन के विमानों की अधिकतम संख्या n आयाम है

$\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,$

इसलिए चार से अधिक आयामों के साथ जटिलता तेजी से बढ़ती है और उपरोक्त के अनुसार घूर्णन को वर्गीकृत करना व्यावहारिक होने के लिए बहुत जटिल हो जाता है, लेकिन कुछ अवलोकन किए जा सकते हैं।

सरल घुमावों को सभी आयामों में पहचाना जा सकता है, जैसे कि घूर्णन के केवल एक तल के साथ घुमाव। में एक साधारण घुमाव n आयाम लगभग (जो कि एक निश्चित दूरी पर है) से होता है (n − 2)-रोटेशन के तल के लिए आयामी उपस्थान ओर्थोगोनल।

एक सामान्य घूर्णन सरल नहीं है, और इसमें घूर्णन के तलों की अधिकतम संख्या होती है जैसा कि ऊपर दिया गया है। सामान्य स्थिति में इन तलों में घूर्णन के कोण अलग-अलग होते हैं और तल विशिष्ट रूप से परिभाषित होते हैं। यदि कोई भी कोण समान है तो विमान अद्वितीय नहीं हैं, जैसे कि समद्विबाहु घूर्णन के साथ चार आयामों में।

सम आयामों में (n = 2, 4, 6...) तक हैं n/2 घूर्णन के तल अंतरिक्ष को फैलाते हैं, इसलिए एक सामान्य घूर्णन मूल बिंदु को छोड़कर सभी बिंदुओं को घुमाता है जो एकमात्र निश्चित बिंदु है। विषम आयामों में (n = 3, 5, 7, ...) वहाँ हैं n − 1/2 समतल और घूर्णन के कोण, एक निचले सम आयाम के समान। ये अंतरिक्ष को नहीं फैलाते हैं, लेकिन एक रेखा छोड़ते हैं जो घूमती नहीं है - जैसे तीन आयामों में एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन, सिवाय इसके कि घूर्णन इस रेखा के चारों ओर नहीं होता है, बल्कि इसके लंबवत कई विमानों में होता है।

गणितीय गुण

ऊपर दिए गए उदाहरणों को घूर्णन के स्पष्ट और सरल उदाहरण के रूप में चुना गया था, जिसमें विमान आम तौर पर तीन और चार आयामों में समन्वय अक्षों के समानांतर होते हैं। लेकिन यह आम तौर पर मामला नहीं है: विमान आमतौर पर अक्षों के समानांतर नहीं होते हैं, और आव्यूहों को आसानी से लिखा नहीं जा सकता है। सभी आयामों में घुमावों को घूर्णन के विमानों और उनके संबंधित कोणों द्वारा पूरी तरह से वर्णित किया गया है, इसलिए उन्हें निर्धारित करने में सक्षम होना उपयोगी है, या कम से कम गणितीय रूप से उनका वर्णन करने के तरीके ढूंढना उपयोगी है।

प्रतिबिंब

फ़ाइल:Simx2=rotOK.svg|right|thumb|200px|दो आयामों में दो अलग-अलग प्रतिबिंब एक घूर्णन उत्पन्न करते हैं। प्रत्येक साधारण घुमाव दो प्रतिबिंब (गणित) द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। प्रतिबिंबों को निर्दिष्ट किया जा सकता है n एक देकर आयाम (n − 1)-आयामी उपस्थान में प्रतिबिंबित करने के लिए, इसलिए एक द्वि-आयामी प्रतिबिंब एक रेखा में होता है, एक त्रि-आयामी प्रतिबिंब एक विमान में होता है, और इसी तरह। लेकिन इसे उच्च आयामों में लागू करना कठिन होता जा रहा है, इसलिए इसके बजाय निम्नानुसार वैक्टर का उपयोग करना बेहतर है।

में एक प्रतिबिंब n आयाम एक वेक्टर लंबवत द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है (n − 1)-आयामी उपस्थान. सरल घुमाव उत्पन्न करने के लिए केवल उन प्रतिबिंबों की आवश्यकता होती है जो मूल को ठीक करते हैं, इसलिए वेक्टर की कोई स्थिति नहीं होती, केवल दिशा होती है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इसका सामना किस दिशा में हो रहा है: परिणाम को बदले बिना इसे इसके नकारात्मक से बदला जा सकता है। इसी प्रकार गणनाओं को सरल बनाने के लिए इकाई वेक्टर का उपयोग किया जा सकता है।

तो एक में प्रतिबिंब (n − 1)-आयामी स्थान इसके लंबवत इकाई वेक्टर द्वारा दिया जाता है, m, इस प्रकार:

$\mathbf {x} '=-\mathbf {mxm} \,$

जहां उत्पाद ज्यामितीय बीजगणित से ज्यामितीय उत्पाद है।

अगर x′ दूसरे में परिलक्षित होता है, विशिष्ट, (n − 1)-आयामी स्थान, एक इकाई वेक्टर द्वारा वर्णित n इसके लंबवत, परिणाम है

$\mathbf {x} ''=-\mathbf {nx} '\mathbf {n} =-\mathbf {n} (-\mathbf {mxm} )\mathbf {n} =\mathbf {nmxmn}$

यह एक साधारण घुमाव है n आयाम, उप-स्थानों के बीच के कोण से दोगुना, जो सदिशों m और के बीच का कोण भी है n. ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग करके इसकी जाँच की जा सकती है कि यह एक घूर्णन है, और यह अपेक्षा के अनुरूप सभी सदिशों को घुमाता है।

मात्रा mn एक रोटर (गणित) है, और nm इसका व्युत्क्रम है

$(\mathbf {mn} )(\mathbf {nm} )=\mathbf {mnnm} =\mathbf {mm} =1$

तो रोटेशन लिखा जा सकता है

$\mathbf {x} ''=R\mathbf {x} R^{-1}$

कहाँ R = mn रोटर है.

घूर्णन का तल युक्त तल है m और n, जो अलग-अलग होना चाहिए अन्यथा प्रतिबिंब समान होंगे और कोई घूर्णन नहीं होगा। चूंकि किसी भी वेक्टर को उसके ऋणात्मक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, इसलिए उनके बीच का कोण हमेशा तीव्र या अधिकतम हो सकता है π/2. घूर्णन सदिशों के बीच के कोण से दोगुने तक होता है π या आधा मोड़। परिभ्रमण का अर्थ है से घूमना m की ओर n: ज्यामितीय उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है इसलिए उत्पाद nm व्युत्क्रम घूर्णन है, से बोध के साथ n को m.

इसके विपरीत, सभी सरल घुमावों को इस तरह से उत्पन्न किया जा सकता है, दो प्रतिबिंबों के साथ, रोटेशन के विमान में दो यूनिट वैक्टर द्वारा, जो रोटेशन के वांछित कोण के आधे से अलग होते हैं। तक का उपयोग करके इन्हें अधिक सामान्य घुमाव उत्पन्न करने के लिए तैयार किया जा सकता है n प्रतिबिंब यदि आयाम n सम है, n − 2 अगर n घूर्णन के प्रत्येक तल में दो सदिशों द्वारा दिए गए प्रतिबिंबों के जोड़े को चुनकर, अजीब है।

बायवेक्टर्स

बायवेक्टर ज्यामितीय बीजगणित, क्लिफोर्ड बीजगणित और बाहरी बीजगणित से मात्राएँ हैं, जो वैक्टर के विचार को दो आयामों में सामान्यीकृत करते हैं। जैसे सदिश रेखाओं के लिए होते हैं, वैसे ही द्विभाजक समतलों के लिए होते हैं। इसलिए प्रत्येक तल (किसी भी आयाम में) एक बायवेक्टर से जुड़ा हो सकता है, और प्रत्येक बायवेक्टर#सरल बायवेक्टर एक तल से जुड़ा होता है। यह उन्हें घूर्णन के विमानों का वर्णन करने के लिए उपयुक्त बनाता है।

घूर्णन में प्रत्येक घूर्णन तल के साथ एक सरल द्विभाजक जुड़ा होता है। यह समतल के समानांतर है और इसका परिमाण समतल में घूर्णन कोण के बराबर है। इन बाइवेक्टरों को पूरे रोटेशन के लिए एक एकल, आम तौर पर गैर-सरल, बाइवेक्टर बनाने के लिए सारांशित किया जाता है। यह घातांक प्रकार्य के माध्यम से एक रोटर (गणित) उत्पन्न कर सकता है, जिसका उपयोग किसी वस्तु को घुमाने के लिए किया जा सकता है।

बायवेक्टर घातीय मानचित्र के माध्यम से रोटर्स से संबंधित होते हैं (जो बायवेक्टर पर लागू होता है, डी मोइवर के सूत्र का उपयोग करके रोटर्स और रोटेशन उत्पन्न करता है)। विशेष रूप से कोई बायवेक्टर दिया गया Bइसके साथ जुड़ा रोटर है

$R_{\mathbf {B} }=e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}.$

यदि बायवेक्टर सरल है तो यह एक साधारण घूर्णन है, अन्यथा अधिक सामान्य घूर्णन है। जब चुकता किया जाए,

${R_{\mathbf {B} }}^{2}=e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}e^{\frac {\mathbf {B} }{2}}=e^{\mathbf {B} },$

यह एक रोटर देता है जो दोगुने कोण से घूमता है। अगर B सरल है तो यह वही घूर्णन है जो उत्पाद के रूप में दो प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होता है mn सदिशों के बीच के कोण से दोगुने कोण पर घूर्णन देता है। इन्हें बराबर किया जा सकता है,

$\mathbf {mn} =e^{\mathbf {B} },$

जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि बायवेक्टर घूर्णन के तल से जुड़ा होता है m और n जो घूमता है m को n है

$\mathbf {B} =\log(\mathbf {mn} ).$

यह एक सरल द्विभाजक है, जो वर्णित सरल घूर्णन से संबद्ध है। चार या अधिक आयामों में अधिक सामान्य घुमाव सरल बायवेक्टरों के योग से जुड़े होते हैं, घूर्णन के प्रत्येक तल के लिए एक, जैसा कि ऊपर गणना की गई है।

उदाहरणों में ऊपर दिए गए चार आयामों में दो घुमाव शामिल हैं। में सरल घुमाव zw-एक कोण से समतल θ में बायवेक्टर है e₃₄θ, एक सरल बायवेक्टर। द्वारा दोहरा घुमाव α और β में xy-प्लेन और zw-प्लेन में बाइवेक्टर होता है e₁₂α + e₃₄β, दो सरल द्विभाजक का योग e₁₂α और e₃₄β जो घूर्णन के दो तलों के समानांतर हैं और जिनका परिमाण घूर्णन के कोणों के बराबर है।

किसी रोटर को देखते हुए उससे जुड़े बायवेक्टर को रोटर का लघुगणक लेकर पुनर्प्राप्त किया जा सकता है, जिसे फिर रोटेशन के विमानों को निर्धारित करने के लिए सरल बायवेक्टर में विभाजित किया जा सकता है, हालांकि व्यवहार में सबसे सरल मामलों को छोड़कर सभी मामलों में यह अव्यावहारिक हो सकता है। लेकिन सरल बायवेक्टर को देखते हुए ज्यामितीय बीजगणित उपरोक्त की तरह बीजगणित का उपयोग करके घूर्णन के विमानों का अध्ययन करने के लिए एक उपयोगी उपकरण है।

आइजेनवैल्यू और आइजेन प्लेन

eigenvalues ​​​​का उपयोग करके किसी विशेष घूर्णन के लिए घूर्णन के तल। में एक सामान्य रोटेशन मैट्रिक्स दिया गया है n आयाम इसके धर्मनिरपेक्ष समीकरण में या तो एक (विषम आयाम में) या शून्य (सम आयाम में) वास्तविक जड़ें होती हैं। अन्य जड़ें बिल्कुल जटिल संयुग्मी जोड़े में हैं

$\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,$

ऐसी जोड़ियां. ये घूर्णन के विमानों, मैट्रिक्स के स्वयं की योजना के अनुरूप हैं, जिनकी गणना बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करके की जा सकती है। इसके अलावा जटिल जड़ों के तर्क (जटिल विश्लेषण) घूर्णन के विमानों से जुड़े बायवेक्टर के परिमाण हैं। विशेषता समीकरण का रूप विमानों से संबंधित है, जिससे इसके बीजगणितीय गुणों जैसे बार-बार जड़ों को बायवेक्टर से जोड़ना संभव हो जाता है, जहां दोहराए गए बायवेक्टर परिमाण की विशेष ज्यामितीय व्याख्याएं होती हैं।

यह भी देखें

• SO(3) पर चार्ट
• गिवेंस रोटेशन
• चतुर्भुज
• रोटेशन समूह SO(3)
• 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन

संदर्भ

• Hestenes, David (1999). New Foundations for Classical Mechanics (2nd ed.). Kluwer. ISBN 0-7923-5302-1.
• Lounesto, Pertti (2001). Clifford algebras and spinors. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00551-7.
• Dorst, Leo; Doran, Chris; Lasenby, Joan (2002). Applications of geometric algebra in computer science and engineering. Birkhäuser. ISBN 0-8176-4267-6.