4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन

गणित में, चार-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घूमने के समूह (गणित) को SO(4) कहा जाता है। यह नाम इस तथ्य से आया है कि यह क्रम 4 का विशेष ऑर्थोगोनल समूह है।

इस लेख में रोटेशन (गणित) का अर्थ घूर्णी विस्थापन है। विशिष्टता के लिए, घूर्णन कोणों को खंड में माना जाता है [0, π] सिवाय इसके कि जहां संदर्भ में अन्यथा उल्लेख किया गया हो या स्पष्ट रूप से निहित हो।

एक निश्चित विमान एक ऐसा विमान है जिसके लिए विमान में प्रत्येक वेक्टर घूर्णन के बाद अपरिवर्तित रहता है। एक अपरिवर्तनीय विमान एक ऐसा विमान है जिसके लिए विमान में प्रत्येक वेक्टर, हालांकि यह घूर्णन से प्रभावित हो सकता है, घूर्णन के बाद विमान में रहता है।

4डी घुमावों की ज्यामिति

चार-आयामी घुमाव दो प्रकार के होते हैं: सरल घुमाव और दोहरा घुमाव।

सरल घुमाव

एक साधारण घुमाव R एक घूर्णन केंद्र के बारे में O एक पूरा विमान छोड़ देता है A के माध्यम से O (अक्ष-तल) स्थिर। हर विमान B वह पूरी तरह से रूढ़िवादिता है को A प्रतिच्छेद करता है A एक निश्चित बिंदु पर P. ऐसे प्रत्येक बिंदु के लिए P द्वारा प्रेरित 2डी घूर्णन का केंद्र है R में B. इन सभी 2D घुमावों का घूर्णन कोण समान होता है α.

रे (ज्यामिति)|आधी रेखाएँ से O अक्ष-तल में A विस्थापित नहीं हैं; से आधी पंक्तियाँ O ऑर्थोगोनल से A के माध्यम से विस्थापित किया जाता है α; अन्य सभी अर्ध-रेखाएँ इससे कम कोण से विस्थापित होती हैं α.

दोहरा घुमाव

Tesseract, त्रिविम प्रक्षेपण में, डबल रोटेशन में

[[File:Torus vectors oblique.jpg|thumb|left|3डी में स्टीरियोग्राफिक रूप से प्रक्षेपित एक 4डी [[क्लिफोर्ड टोरस्र्स ]] एक टोरस जैसा दिखता है, और उस टोरस पर एक दोहरे घुमाव को एक पेचदार पथ के रूप में देखा जा सकता है। ऐसे घूर्णन के लिए जिसके दो घूर्णन कोणों का तर्कसंगत अनुपात होता है, पथ अंततः पुनः जुड़ जाएंगे; जबकि एक अतार्किक अनुपात के लिए वे ऐसा नहीं करेंगे। एक समद्विबाहु घुमाव टोरस पर एक विलार्सेउ वृत्त बनाएगा, जबकि एक साधारण घुमाव केंद्रीय अक्ष के समानांतर या लंबवत एक वृत्त बनाएगा।]]प्रत्येक घुमाव के लिए R 4-स्पेस (मूल को निश्चित करते हुए) में, ऑर्थोगोनैलिटी 2-प्लेन की कम से कम एक जोड़ी होती है A और B जिनमें से प्रत्येक अपरिवर्तनीय है और जिसका प्रत्यक्ष योग है A ⊕ B सभी 4-स्पेस का है। इस तरह R इनमें से किसी भी विमान पर संचालन करने से उस विमान का एक सामान्य घूर्णन उत्पन्न होता है। लगभग सभी के लिए R (3-आयामी उपसमुच्चय को छोड़कर घूर्णन के सभी 6-आयामी सेट), घूर्णन कोण α हवाई जहाज में A और β हवाई जहाज में B - दोनों को गैर-शून्य माना जाता है - अलग हैं। असमान घूर्णन कोण α और β संतुष्टि देने वाला −π < α, β < π लगभग हैं द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया गया R. यह मानते हुए कि 4-स्थान उन्मुख है, तो 2-तलों का अभिविन्यास A और B को इस अभिविन्यास के अनुरूप दो तरीकों से चुना जा सकता है। यदि घूर्णन कोण असमान हैं (α ≠ β), R को कभी-कभी दोहरा घूर्णन कहा जाता है।

दोहरे घूर्णन की उस स्थिति में, A और B अपरिवर्तनीय विमानों की एकमात्र जोड़ी है, और रे (ज्यामिति) | मूल से आधी रेखाएं A, B के माध्यम से विस्थापित किया जाता है α और β क्रमशः, और मूल से आधी पंक्तियाँ अंदर नहीं A या B सख्ती से बीच के कोणों के माध्यम से विस्थापित होते हैं α और β.

आइसोक्लिनिक घुमाव

यदि दोहरे घूर्णन के घूर्णन कोण समान हों तो केवल दो के बजाय अनंत रूप से कई अपरिवर्तनीय (गणितीय) विमान होते हैं, और सभी किरण (ज्यामिति) | अर्ध-रेखाएं O एक ही कोण से विस्थापित होते हैं। ऐसे घुमावों को आइसोक्लिनिक या समकोणीय घुमाव या क्लिफ़ोर्ड विस्थापन कहा जाता है। सावधान: सभी विमान नहीं गुजरते O आइसोक्लिनिक घुमावों के तहत अपरिवर्तनीय हैं; केवल वे तल जो अर्ध-रेखा द्वारा फैले हुए हैं और संबंधित विस्थापित अर्ध-रेखा अपरिवर्तनीय हैं।

यह मानते हुए कि 4-आयामी अंतरिक्ष के लिए एक निश्चित अभिविन्यास चुना गया है, आइसोक्लिनिक 4डी घुमावों को दो श्रेणियों में रखा जा सकता है। इसे देखने के लिए, एक समद्विबाहु घूर्णन पर विचार करें R, और एक ओरिएंटेशन-संगत आदेशित सेट लें OU, OX, OY, OZपरस्पर लंबवत अर्ध-रेखाओं का O (इस रूप में घोषित किया गया OUXYZ) ऐसा है कि OU और OX एक अपरिवर्तनीय विमान का विस्तार करें, और इसलिए OY और OZ एक अपरिवर्तनीय तल का भी विस्तार करता है। अब मान लीजिए कि केवल घूर्णन कोण है α निर्दिष्ट किया जाता है। फिर समतलों में सामान्यतः चार समद्विबाहु घुमाव होते हैं OUX और OYZ घूर्णन कोण के साथ α, घूर्णन इंद्रियों पर निर्भर करता है OUX और OYZ.

हम वह परिपाटी बनाते हैं जिससे घूर्णन का बोध होता है OU को OX और से OY को OZ सकारात्मक माने गए हैं। फिर हमारे पास चार घुमाव हैं R₁ = (+α, +α), R₂ = (−α, −α), R₃ = (+α, −α) और R₄ = (−α, +α). R₁ और R₂ एक दूसरे के व्युत्क्रम फलन हैं; तो हैं R₃ और R₄. जब तक कि α 0 और के बीच स्थित है π, ये चार घुमाव अलग-अलग होंगे।

समान संकेतों वाले आइसोक्लिनिक घुमावों को बाएं-आइसोक्लिनिक के रूप में दर्शाया जाता है; जिनके विपरीत चिह्न दाएं-आइसोक्लिनिक हैं। बाएँ और दाएँ-आइसोक्लिनिक घुमावों को क्रमशः बाएँ- और दाएँ-गुणन द्वारा इकाई चतुर्भुज द्वारा दर्शाया जाता है; नीचे चतुर्भुज से संबंध पैराग्राफ देखें।

यदि को छोड़कर चारों घुमाव जोड़ीवार भिन्न हैं α = 0 या α = π. कोना α = 0 पहचान रोटेशन से मेल खाती है; α = π पहचान मैट्रिक्स के नकारात्मक द्वारा दिए गए एक बिंदु में व्युत्क्रम से मेल खाता है। SO(4) के ये दो तत्व ही एकमात्र ऐसे तत्व हैं जो एक साथ बाएँ और दाएँ-समद्विबाहु हैं।

जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है बाएँ और दाएँ-आइसोक्लिनी इस बात पर निर्भर करते हैं कि किस विशिष्ट आइसोक्लिनिक रोटेशन का चयन किया गया था। हालाँकि, जब एक और समद्विबाहु घूर्णन होता है R′ अपनी स्वयं की कुल्हाड़ियों के साथ OU′, OX′, OY′, OZ′ का चयन किया जाता है, तो कोई हमेशा सम क्रमपरिवर्तन चुन सकता है U′, X′, Y′, Z′ ऐसा है कि OUXYZ में रूपांतरित किया जा सकता है OU′X′Y′Z′ घूर्णन-प्रतिबिंब के बजाय घूर्णन द्वारा (अर्थात, क्रमबद्ध आधार OU′, OX′, OY′, OZ′ भी अभिविन्यास के उसी निश्चित विकल्प के अनुरूप है OU, OX, OY, OZ). इसलिए, एक बार जब किसी ने एक अभिविन्यास (अर्थात, एक प्रणाली) का चयन कर लिया है OUXYZ कुल्हाड़ियों को सार्वभौमिक रूप से दाएं हाथ के रूप में दर्शाया जाता है), कोई एक विशिष्ट आइसोक्लिनिक रोटेशन के बाएं या दाएं चरित्र को निर्धारित कर सकता है।

===SO(4)=== की समूह संरचना SO(4) एक गैर-अनुवांशिक सघन स्थान 6-आयाम#मैनिफोल्ड्स लाई समूह है।

प्रत्येक तल घूर्णन केंद्र के माध्यम से O SO(2) के समरूपी क्रमविनिमेय उपसमूह का अक्ष-तल है। ये सभी उपसमूह SO(4) में यूक्लिडियन अंतरिक्ष में आइसोमेट्री के पारस्परिक संयुग्मन हैं।

पूरी तरह से ऑर्थोगोनलिटी विमानों की प्रत्येक जोड़ी के माध्यम से O SO(4) समरूपी के एक क्रमविनिमेय उपसमूह के अपरिवर्तनीय (गणित) विमानों की जोड़ी है SO(2) × SO(2).

ये समूह SO(4) के अधिकतम टोरस हैं, जो सभी SO(4) में परस्पर संयुग्मित हैं। क्लिफोर्ड टोरस भी देखें।

सभी बाएं-आइसोक्लिनिक घुमाव एक गैर-अनुवांशिक उपसमूह बनाते हैं S³_LSO(4) का, जो गुणक समूह के लिए समरूपी है S³ इकाई चतुर्भुज का। सभी समद्विबाहु घुमाव भी इसी प्रकार एक उपसमूह बनाते हैं S³_RSO(4) का समरूपी S³. दोनों S³_L और S³_RSO(4) के अधिकतम उपसमूह हैं।

प्रत्येक बाएँ-आइसोक्लिनिक घूर्णन प्रत्येक दाएँ-आइसोक्लिनिक घूर्णन के साथ क्रमविनिमेय होता है। इसका तात्पर्य यह है कि समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद मौजूद है S³_L × S³_R सामान्य उपसमूहों के साथ S³_L और S³_R; दोनों संबंधित कारक समूह प्रत्यक्ष उत्पाद के अन्य कारक के लिए आइसोमोर्फिक हैं, यानी आइसोमोर्फिक हैं S³. (यह SO(4) या इसका उपसमूह नहीं है, क्योंकि S³_L और S³_R असंयुक्त नहीं हैं: तादात्म्य I और केंद्रीय व्युत्क्रमण −I प्रत्येक दोनों का है S³_L और S³_R.)

प्रत्येक 4डी रोटेशन A दो तरह से बाएँ और दाएँ-आइसोक्लिनिक घुमावों का उत्पाद है A_L और A_R. A_L और A_R केंद्रीय व्युत्क्रम तक एक साथ निर्धारित होते हैं, यानी जब दोनों A_L और A_R को उनके उत्पाद के केंद्रीय व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है A दोबारा।

इसका अर्थ यह है कि S³_L × S³_RSO(4) का सार्वभौमिक आवरण समूह है - इसका अद्वितीय दोहरा आवरण समूह - और वह S³_L और S³_RSO(4) के सामान्य उपसमूह हैं। पहचान चक्र I और केंद्रीय व्युत्क्रमण −I एक समूह बनाएं C₂ क्रम 2 का, जो SO(4) और दोनों के समूह का केंद्र है S³_L और S³_R. किसी समूह का केंद्र उस समूह का एक सामान्य उपसमूह होता है। C का कारक समूह₂ SO(4) में SO(3)×SO(3) का समरूपी है। के कारक समूह S³_L सी द्वारा₂ और का S³_R सी द्वारा₂ प्रत्येक SO(3) के समरूपी हैं। इसी प्रकार, SO(4) के कारक समूह S³_L और SO(4) द्वारा S³_R प्रत्येक SO(3) के समरूपी हैं।

SO(4) की टोपोलॉजी लाई समूह के समान ही है SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2), अर्थात् स्थान $\mathbb {P} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}$ कहाँ $\mathbb {P} ^{3}$ आयाम 3 का वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान है $\mathbb {S} ^{3}$ 3-गोला है. हालाँकि, यह उल्लेखनीय है कि, एक लाई समूह के रूप में, SO(4) लाई समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद नहीं है, और इसलिए यह समरूपी नहीं है SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2).

सामान्य तौर पर घूर्णन समूहों के बीच SO(4) की विशेष संपत्ति

विषम-आयामी घूर्णन समूहों में केंद्रीय व्युत्क्रम नहीं होता है और ये सरल समूह होते हैं।

सम-आयामी घूर्णन समूहों में केंद्रीय व्युत्क्रमण होता है −I और समूह है C₂ = {I, −I} एक समूह के उनके केंद्र के रूप में। सम n ≥ 6 के लिए, SO(n) लगभग सरल है क्योंकि कारक समूह SO(n)/C₂ इसके केंद्र से SO(n) एक सरल समूह है।

SO(4) अलग है: SO(4) के किसी भी तत्व द्वारा यूक्लिडियन अंतरिक्ष में आइसोमेट्री का कोई संयुग्मन नहीं है जो बाएँ और दाएँ-आइसोक्लिनिक घुमाव को एक दूसरे में बदल देता है। परावर्तन (गणित) संयुग्मन द्वारा बाएं-आइसोक्लिनिक घुमाव को दाएं-आइसोक्लिनिक में बदल देता है, और इसके विपरीत। इसका तात्पर्य यह है कि निश्चित बिंदु वाले सभी आइसोमेट्री के समूह O(4) के अंतर्गत O विशिष्ट उपसमूह S³_L और S³_R एक दूसरे से संयुग्मी हैं, और इसलिए O(4) के सामान्य उपसमूह नहीं हो सकते। 5D रोटेशन समूह SO(5) और सभी उच्च रोटेशन समूहों में O(4) के समरूपी उपसमूह शामिल हैं। SO(4) की तरह, सभी सम-आयामी घूर्णन समूहों में आइसोक्लिनिक घूर्णन होते हैं। लेकिन SO(4) के विपरीत, SO(6) और सभी उच्च सम-आयामी घूर्णन समूहों में एक ही कोण के माध्यम से कोई भी दो समद्विबाहु घुमाव संयुग्मित होते हैं। सभी आइसोक्लिनिक घुमावों का सेट SO(2) का उपसमूह भी नहीं हैN), एक सामान्य उपसमूह की तो बात ही छोड़ दें।

4डी घुमावों का बीजगणित

एसओ(4) को आमतौर पर अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) के समूह के साथ पहचाना जाता है - वास्तविक संख्याओं पर आंतरिक उत्पाद के साथ 4डी सदिश स्थल की आइसोमेट्री रैखिक मैपिंग को संरक्षित करना।

ऐसे स्थान में ऑर्थोनॉर्मल आधार (रैखिक बीजगणित) के संबंध में SO(4) को निर्धारक +1 के साथ वास्तविक चौथे क्रम के ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के समूह के रूप में दर्शाया जाता है।

आइसोक्लिनिक अपघटन

इसके मैट्रिक्स द्वारा दिया गया 4D घुमाव बाएँ-आइसोक्लिनिक और दाएँ-आइसोक्लिनिक घुमाव में विघटित हो जाता है निम्नलिखित नुसार:

होने देना

$A={\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}$

एक मनमाना ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में इसका मैट्रिक्स बनें।

इससे तथाकथित सहयोगी मैट्रिक्स की गणना करें

$M={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}a_{00}+a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{10}-a_{01}-a_{32}+a_{23}&+a_{20}+a_{31}-a_{02}-a_{13}&+a_{30}-a_{21}+a_{12}-a_{03}\\a_{10}-a_{01}+a_{32}-a_{23}&-a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{30}-a_{21}-a_{12}+a_{03}&-a_{20}-a_{31}-a_{02}-a_{13}\\a_{20}-a_{31}-a_{02}+a_{13}&-a_{30}-a_{21}-a_{12}-a_{03}&-a_{00}+a_{11}-a_{22}+a_{33}&+a_{10}+a_{01}-a_{32}-a_{23}\\a_{30}+a_{21}-a_{12}-a_{03}&+a_{20}-a_{31}+a_{02}-a_{13}&-a_{10}-a_{01}-a_{32}-a_{23}&-a_{00}+a_{11}+a_{22}-a_{33}\end{pmatrix}}$

M की रैंक (रैखिक बीजगणित) एक है और यह 16डी वेक्टर के रूप में इकाई यूक्लिडियन मानदंड का है यदि और केवल यदि A वास्तव में एक 4डी रोटेशन मैट्रिक्स है। इस मामले में वास्तविक संख्याएँ मौजूद हैं a, b, c, d और p, q, r, s ऐसा है कि

$M={\begin{pmatrix}ap&aq&ar&as\\bp&bq&br&bs\\cp&cq&cr&cs\\dp&dq&dr&ds\end{pmatrix}}$

और

$(ap)^{2}+\cdots +(ds)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}\right)=1.$

के बिल्कुल दो सेट हैं a, b, c, d और p, q, r, s ऐसा है कि a² + b² + c² + d² = 1 और p² + q² + r² + s² = 1. वे एक-दूसरे के विपरीत हैं।

फिर रोटेशन मैट्रिक्स बराबर हो जाता है

${\begin{aligned}A&={\begin{pmatrix}ap-bq-cr-ds&-aq-bp+cs-dr&-ar-bs-cp+dq&-as+br-cq-dp\\bp+aq-dr+cs&-bq+ap+ds+cr&-br+as-dp-cq&-bs-ar-dq+cp\\cp+dq+ar-bs&-cq+dp-as-br&-cr+ds+ap+bq&-cs-dr+aq-bp\\dp-cq+br+as&-dq-cp-bs+ar&-dr-cs+bp-aq&-ds+cr+bq+ap\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

यह सूत्र वान एल्फ्रिन्खोफ़ (1897) की देन है।

इस अपघटन में पहला कारक बाएं-आइसोक्लिनिक घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है, दूसरा कारक दाएं-आइसोक्लिनिक घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है। कारकों को नकारात्मक चौथे क्रम की पहचान मैट्रिक्स, यानी केंद्रीय व्युत्क्रम तक निर्धारित किया जाता है।

चतुर्भुज से संबंध

कार्तीय निर्देशांक के साथ 4-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु (u, x, y, z) को चतुर्भुज द्वारा दर्शाया जा सकता है P = u + xi + yj + zk.

एक बाएँ-आइसोक्लिनिक घुमाव को एक इकाई चतुर्भुज द्वारा बाएँ-गुणन द्वारा दर्शाया जाता है Q_L = a + bi + cj + dk. मैट्रिक्स-वेक्टर भाषा में यह है

${\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.$

इसी तरह, एक दाएँ-आइसोक्लिनिक घुमाव को एक इकाई चतुर्भुज द्वारा दाएँ-गुणन द्वारा दर्शाया जाता है Q_R = p + qi + rj + sk, जो मैट्रिक्स-वेक्टर रूप में है

${\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.$

पिछले अनुभाग (#आइसोक्लिनिक अपघटन) में यह दिखाया गया है कि कैसे एक सामान्य 4डी रोटेशन को बाएँ और दाएँ-आइसोक्लिनिक कारकों में विभाजित किया जाता है।

क्वाटरनियन भाषा में वान एल्फ्रिंखोफ़ का सूत्र पढ़ता है

$u'+x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(u+xi+yj+zk)(p+qi+rj+sk),$

या, प्रतीकात्मक रूप में,

$P'=Q_{\mathrm {L} }PQ_{\mathrm {R} }.\,$

जर्मन गणितज्ञ फ़ेलिक्स क्लेन के अनुसार यह सूत्र 1854 में केली को पहले से ही ज्ञात था।.

चतुर्भुज गुणन साहचर्य है। इसलिए,

$P'=\left(Q_{\mathrm {L} }P\right)Q_{\mathrm {R} }=Q_{\mathrm {L} }\left(PQ_{\mathrm {R} }\right),\,$

जो दर्शाता है कि बाएं-आइसोक्लिनिक और दाएं-आइसोक्लिनिक घुमाव चलते हैं।

4डी रोटेशन मैट्रिक्स के स्वदेशी मान

4डी रोटेशन मैट्रिक्स के चार आइगेनवैल्यू आम तौर पर इकाई परिमाण की जटिल संख्याओं के दो संयुग्मी जोड़े के रूप में होते हैं। यदि एक eigenvalue वास्तविक है, तो यह ±1 होना चाहिए, क्योंकि घूर्णन एक वेक्टर के परिमाण को अपरिवर्तित छोड़ देता है। उस eigenvalue का संयुग्मन भी एकता है, जिससे eigenvectors की एक जोड़ी मिलती है जो एक निश्चित विमान को परिभाषित करती है, और इसलिए रोटेशन सरल है। चतुर्धातुक संकेतन में, SO(4) में एक उचित (अर्थात्, गैर-इनवर्टिंग) घूर्णन एक उचित सरल घूर्णन है यदि और केवल यदि इकाई चतुर्भुज के वास्तविक हिस्से हों Q_L और Q_R परिमाण में समान हैं और समान चिह्न रखते हैं। यदि वे दोनों शून्य हैं, तो घूर्णन के सभी eigenvalues ​​​​एकता हैं, और घूर्णन शून्य घूर्णन है। यदि के वास्तविक भाग Q_L और Q_R समान नहीं हैं तो सभी eigenvalues ​​जटिल हैं, और घूर्णन एक दोहरा घूर्णन है।

3डी घुमाव के लिए यूलर-रोड्रिग्स फॉर्मूला

हमारे साधारण 3D स्पेस को आसानी से समन्वय प्रणाली 0XYZ के साथ 4D स्पेस के समन्वय प्रणाली UXYZ के साथ उप-स्थान के रूप में माना जाता है। इसके घूर्णन समूह SO(3) की पहचान आव्यूहों से युक्त SO(4) के उपसमूह से की जाती है

${\begin{pmatrix}1&\,\,0&\,\,0&\,\,0\\0&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}.$

पिछले उपधारा में वान एल्फ्रिंखोफ़ के सूत्र में यह तीन आयामों पर प्रतिबंध की ओर ले जाता है p = a, q = −b, r = −c, s = −d, या चतुर्धातुक प्रतिनिधित्व में: Q_R = Q_L′ = Q_L⁻¹. 3डी रोटेशन मैट्रिक्स तब 3डी रोटेशन के लिए यूलर-रोड्रिग्स फॉर्मूला बन जाता है

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}},$

जो इसके यूलर-रोड्रिग्स मापदंडों द्वारा 3डी रोटेशन का प्रतिनिधित्व है: a, b, c, d.

संगत चतुर्भुज सूत्र P′ = QPQ⁻¹, कहाँ Q = Q_L, या, विस्तारित रूप में:

$x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(xi+yj+zk)(a-bi-cj-dk)$

विलियम रोवन हैमिल्टन-आर्थर केली फॉर्मूला के रूप में जाना जाता है।

हॉपफ निर्देशांक

हाइपरस्फेरिकल निर्देशांक के उपयोग से 3डी अंतरिक्ष में घूर्णन को गणितीय रूप से अधिक सुव्यवस्थित बनाया जाता है। 3डी में किसी भी घूर्णन को घूर्णन के एक निश्चित अक्ष और उस अक्ष के लंबवत एक अपरिवर्तनीय विमान द्वारा चित्रित किया जा सकता है। व्यापकता की हानि के बिना, हम इसे ले सकते हैं xy-अपरिवर्तनीय विमान के रूप में विमान और z-अक्ष स्थिर अक्ष के रूप में। चूँकि रेडियल दूरियाँ घूर्णन से प्रभावित नहीं होती हैं, इसलिए हम निश्चित अक्ष और अपरिवर्तनीय तल को संदर्भित गोलाकार निर्देशांक द्वारा इकाई क्षेत्र (2-गोले) पर इसके प्रभाव से घूर्णन को चिह्नित कर सकते हैं:

${\begin{aligned}x&=\sin \theta \cos \phi \\y&=\sin \theta \sin \phi \\z&=\cos \theta \end{aligned}}$

क्योंकि x² + y² + z² = 1, बिंदु 2-गोले पर स्थित हैं। पर एक बिंदु {θ₀, φ₀} एक कोण से घुमाया गया φ के बारे में z-अक्ष को सरलता से निर्दिष्ट किया जाता है {θ₀, φ₀ + φ}. जबकि हाइपरस्फेरिकल निर्देशांक 4D घुमावों से निपटने में भी उपयोगी होते हैं, 4D के लिए और भी अधिक उपयोगी समन्वय प्रणाली 3-गोलाकार # हॉपफ निर्देशांक द्वारा प्रदान की जाती है {ξ₁, η, ξ₂}, जो तीन कोणीय निर्देशांकों का एक सेट है जो 3-गोले पर एक स्थिति निर्दिष्ट करता है। उदाहरण के लिए:

${\begin{aligned}u&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\z&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\y&=\sin \xi _{2}\cos \eta \end{aligned}}$

क्योंकि u² + x² + y² + z² = 1, बिंदु 3-गोले पर स्थित हैं।

4D अंतरिक्ष में, मूल बिंदु के चारों ओर प्रत्येक घूर्णन में दो अपरिवर्तनीय तल होते हैं जो एक दूसरे के लिए पूरी तरह से लंबकोणीय होते हैं और मूल बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, और दो स्वतंत्र कोणों द्वारा घूमते हैं ξ₁ और ξ₂. व्यापकता की हानि के बिना, हम क्रमशः चुन सकते हैं uz- और xy-इन अपरिवर्तनीय विमानों के रूप में विमान। एक बिंदु का 4डी में घूमना {ξ₁₀, η₀, ξ₂₀} कोणों के माध्यम से ξ₁ और ξ₂ को फिर हॉपफ निर्देशांक में बस इस प्रकार व्यक्त किया जाता है {ξ₁₀ + ξ₁, η₀, ξ₂₀ + ξ₂}.

4डी घुमावों का विज़ुअलाइज़ेशन

क्लिफोर्ड टोरस पर एक बिंदु के प्रक्षेप पथ:
चित्र 1: सरल घुमाव (काला) और बाएँ और दाएँ समद्विबाहु घुमाव (लाल और नीला)
चित्र 2: 1:5
के अनुपात में कोणीय विस्थापन के साथ एक सामान्य घूर्णन चित्र 3: 5:1 के अनुपात में कोणीय विस्थापन के साथ एक सामान्य घूर्णन सभी छवियाँ त्रिविम प्रक्षेपण हैं।

3डी अंतरिक्ष में प्रत्येक घूर्णन में घूर्णन द्वारा अपरिवर्तित एक निश्चित अक्ष होता है। घूर्णन की धुरी और उस अक्ष के चारों ओर घूर्णन के कोण को निर्दिष्ट करके घूर्णन को पूरी तरह से निर्दिष्ट किया जाता है। व्यापकता की हानि के बिना, इस अक्ष को चुना जा सकता है z-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का अक्ष, जो घूर्णन के सरल दृश्य की अनुमति देता है।

3डी अंतरिक्ष में, गोलाकार निर्देशांक {θ, φ} को 2-गोले की पैरामीट्रिक अभिव्यक्ति के रूप में देखा जा सकता है। तय के लिए θ वे 2-गोले पर वृत्तों का वर्णन करते हैं जो लंबवत हैं z-अक्ष और इन वृत्तों को गोले पर एक बिंदु के प्रक्षेप पथ के रूप में देखा जा सकता है। एक बिंदु {θ₀, φ₀} गोले पर, के चारों ओर एक घूर्णन के तहत z-अक्ष, एक प्रक्षेप पथ का अनुसरण करेगा {θ₀, φ₀ + φ} कोण के रूप में φ बदलता रहता है. प्रक्षेपवक्र को समय में घूर्णन पैरामीट्रिक के रूप में देखा जा सकता है, जहां घूर्णन का कोण समय में रैखिक होता है: φ = ωt, साथ ω कोणीय वेग होना।

3डी मामले के अनुरूप, 4डी अंतरिक्ष में प्रत्येक घूर्णन में कम से कम दो अपरिवर्तनीय अक्ष-तल होते हैं जो घूर्णन द्वारा अपरिवर्तनीय छोड़ दिए जाते हैं और पूरी तरह से ऑर्थोगोनल होते हैं (यानी वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं)। घूर्णन को अक्ष तलों और उनके चारों ओर घूर्णन के कोणों को निर्दिष्ट करके पूरी तरह से निर्दिष्ट किया जाता है। व्यापकता की हानि के बिना, इन अक्ष विमानों को चुना जा सकता है uz- और xy-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के समतल, जो घूर्णन के सरल दृश्य की अनुमति देते हैं।

4डी अंतरिक्ष में, हॉपफ कोण {ξ₁, η, ξ₂} 3-गोले को पैरामीटराइज़ करें। तय के लिए η वे पैरामीटरयुक्त टोरस का वर्णन करते हैं ξ₁ और ξ₂, साथ η = π/4 क्लिफ़र्ड टोरस का विशेष मामला होने के नाते xy- और uz-विमान. ये टोरी 3डी-स्पेस में पाई जाने वाली सामान्य टोरी नहीं हैं। हालाँकि वे अभी भी 2डी सतहें हैं, वे 3-गोले में अंतर्निहित हैं। 3-गोले को पूरे यूक्लिडियन 3डी-स्पेस पर प्रक्षेपित स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण किया जा सकता है, और फिर इन तोरी को क्रांति की सामान्य तोरी के रूप में देखा जाता है। यह देखा जा सकता है कि एक बिंदु निर्दिष्ट है {ξ₁₀, η₀, ξ₂₀} के साथ एक घूर्णन से गुजर रहा है uz- और xy-विमान अपरिवर्तनीय द्वारा निर्दिष्ट टोरस पर बने रहेंगे η₀. किसी बिंदु के प्रक्षेपवक्र को समय के फलन के रूप में लिखा जा सकता है {ξ₁₀ + ω₁t, η₀, ξ₂₀ + ω₂t} और इसके संबंधित टोरस पर स्टीरियोग्राफिक रूप से प्रक्षेपित किया गया है, जैसा कि नीचे दिए गए आंकड़ों में है। इन आंकड़ों में शुरुआती बिंदु यही माना गया है {0, π/4, 0}, यानी क्लिफोर्ड टोरस पर। चित्र 1 में, दो सरल घूर्णन प्रक्षेप पथ को काले रंग में दिखाया गया है, जबकि एक बाएँ और दाएँ समद्विबाहु प्रक्षेप पथ को क्रमशः लाल और नीले रंग में दिखाया गया है। चित्र 2 में, एक सामान्य घुमाव जिसमें ω₁ = 1 और ω₂ = 5 दिखाया गया है, जबकि चित्र 3 में, एक सामान्य घुमाव है ω₁ = 5 और ω₂ = 1 दिखाई जा रही है।

4डी रोटेशन मैट्रिसेस उत्पन्न करना

चार-आयामी घुमाव रोड्रिग्स के रोटेशन सूत्र और केली सूत्र से प्राप्त किए जा सकते हैं। होने देना A एक 4×4 तिरछा-सममित मैट्रिक्स बनें। तिरछा-सममित मैट्रिक्स A को विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है

$A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}$

दो तिरछा-सममित आव्यूहों में A₁ और A₂ गुणों को संतुष्ट करना A₁A₂ = 0, A₁³ = −A₁ और A₂³ = −A₂, कहाँ ∓θ₁i और ∓θ₂i के eigenvalues ​​हैं A. फिर, 4D रोटेशन मैट्रिक्स को तिरछा-सममित मैट्रिक्स से प्राप्त किया जा सकता है A₁ और A₂ रोड्रिग्स के घूर्णन सूत्र और केली सूत्र द्वारा। होने देना A eigenvalues ​​​​के सेट के साथ एक 4 × 4 गैर-शून्य तिरछा-सममित मैट्रिक्स बनें

$\left\{\theta _{1}i,-\theta _{1}i,\theta _{2}i,-\theta _{2}i:{\theta _{1}}^{2}+{\theta _{2}}^{2}>0\right\}.$

तब A के रूप में विघटित किया जा सकता है

$A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}$

कहाँ A₁ और A₂ गुणों को संतुष्ट करने वाले तिरछे-सममित आव्यूह हैं

$A_{1}A_{2}=A_{2}A_{1}=0,\qquad {A_{1}}^{3}=-A_{1},\quad {\text{and}}\quad {A_{2}}^{3}=-A_{2}.$

इसके अलावा, तिरछा-सममित मैट्रिक्स A₁ और A₂ के रूप में विशिष्ट रूप से प्राप्त किए जाते हैं

$A_{1}={\frac {{\theta _{2}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{1}\left({\theta _{2}}^{2}-{\theta _{1}}^{2}\right)}}$

और

$A_{2}={\frac {{\theta _{1}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{2}\left({\theta _{1}}^{2}-{\theta _{2}}^{2}\right)}}.$

तब,

$R=e^{A}=I+\sin \theta _{1}A_{1}+\left(1-\cos \theta _{1}\right){A_{1}}^{2}+\sin \theta _{2}A_{2}+\left(1-\cos \theta _{2}\right){A_{2}}^{2}$

में एक रोटेशन मैट्रिक्स है E⁴, जो रॉड्रिग्स के रोटेशन फॉर्मूला द्वारा आइगेनवैल्यू के सेट के साथ उत्पन्न होता है

$\left\{e^{\theta _{1}i},e^{-\theta _{1}i},e^{\theta _{2}i},e^{-\theta _{2}i}\right\}.$

भी,

$R=(I+A)(I-A)^{-1}=I+{\frac {2\theta _{1}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}A_{1}+{\frac {2{\theta _{1}}^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}{A_{1}}^{2}+{\frac {2\theta _{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}A_{2}+{\frac {2{\theta _{2}}^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}{A_{2}}^{2}$

में एक रोटेशन मैट्रिक्स है E⁴, जो केली के घूर्णन सूत्र द्वारा उत्पन्न होता है, जैसे कि eigenvalues ​​​​का सेट R है,

$\left\{{\frac {\left(1+\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1+\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}\right\}.$

जनरेटिंग रोटेशन मैट्रिक्स को मूल्यों के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है θ₁ और θ₂ निम्नलिखित नुसार:

1. अगर θ₁ = 0 और θ₂ ≠ 0 या इसके विपरीत, तब सूत्र सरल घुमाव उत्पन्न करते हैं;
2. अगर θ₁ और θ₂ अशून्य हैं और θ₁ ≠ θ₂, तो सूत्र दोहरे घुमाव उत्पन्न करते हैं;
3. अगर θ₁ और θ₂ अशून्य हैं और θ₁ = θ₂, तो सूत्र आइसोक्लिनिक घुमाव उत्पन्न करते हैं।

यह भी देखें

• लाप्लास-रंज-लेन्ज़ वेक्टर
• लोरेंत्ज़ समूह
• ओर्थोगोनल समूह
• ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स
• घूर्णन का तल
• पोंकारे समूह
• चतुर्भुज और स्थानिक घूर्णन

ग्रन्थसूची

• L. van Elfrinkhof: Eene eigenschap van de orthogonale substitutie van de vierde orde. Handelingen van het 6e Nederlandsch Natuurkundig en Geneeskundig Congres, Delft, 1897.
• Felix Klein: Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis. Translated by E.R. Hedrick and C.A. Noble. The Macmillan Company, New York, 1932.
• Henry Parker Manning: Geometry of four dimensions. The Macmillan Company, 1914. Republished unaltered and unabridged by Dover Publications in 1954. In this monograph four-dimensional geometry is developed from first principles in a synthetic axiomatic way. Manning's work can be considered as a direct extension of the works of Euclid and Hilbert to four dimensions.
• J. H. Conway and D. A. Smith: On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry. A. K. Peters, 2003.
• Hathaway, Arthur S. (1902). "Quaternion Space". Transactions of the American Mathematical Society. 3 (1): 46–59. doi:10.1090/S0002-9947-1902-1500586-2. JSTOR 1986315.
• Johan Ernest Mebius (2005). "A matrix-based proof of the quaternion representation theorem for four-dimensional rotations". arXiv:math/0501249.
• Johan Ernest Mebius (2007). "Derivation of the Euler-Rodrigues formula for three-dimensional rotations from the general formula for four-dimensional rotations". arXiv:math/0701759.
• P.H.Schoute: Mehrdimensionale Geometrie. Leipzig: G.J.Göschensche Verlagshandlung. Volume 1 (Sammlung Schubert XXXV): Die linearen Räume, 1902. Volume 2 (Sammlung Schubert XXXVI): Die Polytope, 1905.
• Stringham, Irving (1901). "On the geometry of planes in a parabolic space of four dimensions". Transactions of the American Mathematical Society. 2 (2): 183–214. doi:10.1090/s0002-9947-1901-1500564-2. JSTOR 1986218.
• Erdoğdu, Melek; Özdemi̇r, Mustafa (2020). "Simple, Double and Isoclinic Rotations with Applications". Mathematical Sciences and Applications E-Notes. doi:10.36753/mathenot.642208.
• Mortari, Daniele (July 2001). "On the Rigid Rotation Concept in n-Dimensional Spaces" (PDF). Journal of the Astronautical Sciences. 49 (3): 401–420. Bibcode:2001JAnSc..49..401M. doi:10.1007/BF03546230. S2CID 16952309. Archived from the original (PDF) on 17 February 2019.
• Kim, Heuna; Rote, G. (2016). "Congruence Testing of Point Sets in 4 Dimensions". arXiv:1603.07269 [cs.CG].
• Zamboj, Michal (8 January 2021). "Synthetic construction of the Hopf fibration in a double orthogonal projection of 4-space". Journal of Computational Design and Engineering. 8 (3): 836–854. arXiv:2003.09236. doi:10.1093/jcde/qwab018.
• Dorst, Leo (2019). "Conformal Villarceau Rotors". Advances in Applied Clifford Algebras. 29 (44). doi:10.1007/s00006-019-0960-5. S2CID 253592159.