झूठ सिद्धांत

गणित में, गणितज्ञ सोफस झूठ (/liː/ LEE) अंतर समीकरणों, परिवर्तन समूहों, और क्षेत्रों के संपर्क (गणित) के एकीकरण से जुड़े अध्ययन की आरंभिक पंक्तियाँ जिन्हें लाई थ्योरी कहा जाने लगा है। उदाहरण के लिए, बाद वाला विषय झूठ क्षेत्र ज्यामिति है। यह लेख परिवर्तन समूहों के प्रति उनके दृष्टिकोण को संबोधित करता है, जो गणित के क्षेत्रों में से एक है, और विल्हेम हत्या और एली कार्टन द्वारा तैयार किया गया था।

लाइ थ्योरी की नींव लाई समूहों के लिए लाई बीजगणित से संबंधित घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) है जिसे लाइ समूह-लाई बीजगणित पत्राचार कहा जाता है। यह विषय अंतर ज्यामिति का हिस्सा है क्योंकि लाइ ग्रुप अलग करने योग्य कई गुना हैं। झूठ समूह पहचान (1) से विकसित होते हैं और स्पर्शरेखा वैक्टर एक-पैरामीटर समूह | एक-पैरामीटर उपसमूह झूठ बीजगणित उत्पन्न करते हैं। लाई समूह की संरचना इसके बीजगणित में निहित है, और लाई बीजगणित की संरचना मूल प्रक्रिया और जड़ तिथि द्वारा व्यक्त की जाती है।

लाई सिद्धांत गणितीय भौतिकी में विशेष रूप से उपयोगी रहा है क्योंकि यह मानक परिवर्तन समूहों का वर्णन करता है: गैलीलियन समूह, लोरेंत्ज़ समूह, पॉइनकेयर समूह और स्पेसटाइम का अनुरूप समूह।

प्राथमिक झूठ सिद्धांत

एक-पैरामीटर समूह झूठ सिद्धांत का पहला उदाहरण हैं। कॉम्पैक्ट जगह केस जटिल विमान में यूलर के सूत्र के माध्यम से उत्पन्न होता है। अन्य एक-पैरामीटर समूह विभाजित-जटिल संख्या प्लेन में इकाई अतिपरवलय के रूप में होते हैं

$\lbrace \exp(jt)=\cosh(t)+j\sinh(t):t\in R\rbrace ,\quad j^{2}=+1$

और रेखा के रूप में दोहरी संख्या विमान में $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace \quad \varepsilon ^{2}=0.$ इन मामलों में झूठ बीजगणित पैरामीटर के नाम हैं: कोण, अतिशयोक्तिपूर्ण कोण, और ढलान। कोण की ये प्रजातियां ध्रुवीय अपघटन # वैकल्पिक प्लानर अपघटन प्रदान करने के लिए उपयोगी हैं जो 2 x 2 वास्तविक आव्यूहों के उप-बीजगणित का वर्णन करती हैं। एक शास्त्रीय 3-पैरामीटर लाइ समूह और बीजगणित जोड़ी है: छंद जिसे 3-गोले के साथ पहचाना जा सकता है। इसका लाई बीजगणित चतुर्धातुक सदिशों की उपसमष्टि है। चूँकि कम्यूटेटर ij - ji = 2k, इस बीजगणित में लाइ ब्रैकेट सामान्य वेक्टर विश्लेषण के क्रॉस उत्पाद का दोगुना है।

एक अन्य प्रारंभिक 3-पैरामीटर उदाहरण हाइजेनबर्ग समूह और उसके लाई बीजगणित द्वारा दिया गया है। झूठ सिद्धांत के मानक उपचार अक्सर शास्त्रीय समूहों से शुरू होते हैं।

इतिहास और दायरा

1888 से 1896 तक फ्रेडरिक एंगेल (गणितज्ञ) और जॉर्ज शेफ़र्स के साथ सोफ़स ली द्वारा रचित पुस्तकों में लाई सिद्धांत की प्रारंभिक अभिव्यक्तियाँ पाई जाती हैं।

ली के शुरुआती काम में, फेलिक्स क्लेन और हेनरी पॉइनकेयर के हाथों मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत में विकसित असतत समूहों के सिद्धांत को पूरक करने के लिए निरंतर समूहों के सिद्धांत का निर्माण करने का विचार था। लाई के मन में जो प्रारंभिक अनुप्रयोग था वह अवकल समीकरणों के सिद्धांत के लिए था। गैलोज़ सिद्धांत और बहुपद समीकरणों के मॉडल पर, ड्राइविंग अवधारणा समरूपता के अध्ययन से सामान्य अंतर समीकरणों के पूरे क्षेत्र को एकीकृत करने में सक्षम सिद्धांत की थी।

इतिहासकार थॉमस डब्ल्यू. हॉकिन्स के अनुसार, यह एली कार्टन था जिसने लाई सिद्धांत बनाया कि यह क्या है:

जबकि ली के पास कई उर्वर विचार थे, कार्टन मुख्य रूप से अपने सिद्धांत के विस्तार और अनुप्रयोगों के लिए जिम्मेदार थे जिन्होंने इसे आधुनिक गणित का एक बुनियादी घटक बना दिया है। यह वह था, जिसने हरमन वेइल की कुछ मदद से, विल्हेम किलिंग के मौलिक, अनिवार्य रूप से बीजगणितीय विचारों को संरचना के सिद्धांत में विकसित किया और सेमीसिंपल लाइ अलजेब्रस का प्रतिनिधित्व किया जो वर्तमान समय के झूठ सिद्धांत में इस तरह की मौलिक भूमिका निभाता है। और यद्यपि ली ने ज्यामिति के लिए अपने सिद्धांत के अनुप्रयोगों की कल्पना की थी, यह कार्टन था जिसने वास्तव में उन्हें बनाया था, उदाहरण के लिए सममित और सामान्यीकृत रिक्त स्थान के अपने सिद्धांतों के माध्यम से, जिसमें सभी सहायक उपकरण (चलती फ्रेम, बाहरी अंतर रूप, आदि) शामिल हैं।

झूठ के तीन प्रमेय

परिवर्तन समूहों पर अपने काम में, सोफस ली ने अपने नाम वाले समूहों और बीजगणित से संबंधित तीन प्रमेयों को सिद्ध किया। पहले प्रमेय ने बीजगणित के आधार को अत्यल्प परिवर्तनों के माध्यम से प्रदर्शित किया। दूसरे प्रमेय ने बीजगणित में कम्यूटेटर#रिंग सिद्धांत के परिणाम के रूप में बीजगणित के संरचना स्थिरांक प्रदर्शित किए। लाई के तीसरे प्रमेय ने दिखाया कि ये स्थिरांक सममित विरोधी हैं और जैकोबी पहचान को संतुष्ट करते हैं। जैसा कि रॉबर्ट गिलमोर ने लिखा है:

झूठ के तीन प्रमेय किसी भी झूठ समूह से जुड़े झूठ बीजगणित के निर्माण के लिए एक तंत्र प्रदान करते हैं। वे झूठ बीजगणित के गुणों को भी चित्रित करते हैं। ¶ लाई के तीन प्रमेय विपरीत करते हैं: वे लाई समूह को किसी भी परिमित आयामी लाई बीजगणित के साथ जोड़ने के लिए एक तंत्र की आपूर्ति करते हैं ... टेलर का प्रमेय लाई से एक विहित विश्लेषणात्मक संरचना फ़ंक्शन φ(β,α) के निर्माण की अनुमति देता है बीजगणित। ¶ ये सात प्रमेय - झूठ के तीन प्रमेय और उनके बातचीत, और टेलर के प्रमेय - झूठ समूहों और बीजगणित के बीच एक आवश्यक समानता प्रदान करते हैं।

झूठ के सिद्धांत के पहलू

झूठ सिद्धांत अक्सर शास्त्रीय रेखीय बीजगणितीय समूहों के अध्ययन पर बनाया गया है। विशेष शाखाओं में वेइल समूह, कॉक्सेटर समूह और बिल्डिंग (गणित) शामिल हैं। शास्त्रीय विषय को झूठ प्रकार का समूह तक बढ़ा दिया गया है।

1900 में डेविड हिल्बर्ट ने पेरिस में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में पेश अपनी हिल्बर्ट की पांचवीं समस्या के साथ लाई सिद्धांतकारों को चुनौती दी।

यह भी देखें

• बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र
• झूठ बोलने वाले समूहों के विषयों की सूची
• लेट ग्रुप इंटीग्रेटर

नोट्स और संदर्भ

• जॉन ए. कोलमैन (1989) द ग्रेटेस्ट मैथमेटिकल पेपर ऑफ ऑल टाइम, गणितीय बुद्धिजीवी 11(3): 29-38।

अग्रिम पठन

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  • Nijenhuis, Albert (1959). "Review: Lie groups, by P. M. Cohn". Bulletin of the American Mathematical Society. 65 (6): 338–341. doi:10.1090/s0002-9904-1959-10358-x.
• J. L. Coolidge (1940) A History of Geometrical Methods, pp 304–17, Oxford University Press (Dover Publications 2003).
• Robert Gilmore (2008) Lie groups, physics, and geometry: an introduction for physicists, engineers and chemists, Cambridge University Press ISBN 9780521884006 .
• F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Academic Press, ISBN 0-12-329650-1 .
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Hawkins, Thomas (2000). Emergence of the Theory of Lie Groups: an essay in the history of mathematics, 1869–1926. Springer. ISBN 0-387-98963-3.
• Sattinger, David H.; Weaver, O. L. (1986). Lie groups and algebras with applications to physics, geometry, and mechanics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-96240-9.
• Stillwell, John (2008). Naive Lie Theory. Springer. ISBN 978-0-387-98289-2.
• Heldermann Verlag Journal of Lie Theory

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