टोपोस सिद्धांत का इतिहास

यह लेख topos के गणितीय विचार के लिए कुछ बहुत ही सामान्य पृष्ठभूमि देता है। यह श्रेणी सिद्धांत का एक पहलू है, और इसकी दुरूह होने की प्रतिष्ठा है। शामिल अमूर्तता के स्तर को एक निश्चित बिंदु से कम नहीं किया जा सकता है; लेकिन दूसरी ओर संदर्भ दिया जा सकता है। यह आंशिक रूप से ऐतिहासिक विकास के संदर्भ में है, लेकिन कुछ हद तक श्रेणी सिद्धांत के प्रति अलग-अलग दृष्टिकोणों की व्याख्या भी है।

== ग्रोथेंडिक == के स्कूल में 1950 के दशक के उत्तरार्ध के दौरान, बीजगणितीय ज्यामिति की नींव फिर से लिखी जा रही थी; और यहीं पर टोपोस की अवधारणा के मूल का पता चलता है। उस समय वेइल अनुमान अनुसंधान के लिए एक उत्कृष्ट प्रेरणा थे। जैसा कि अब हम जानते हैं, उनके प्रमाण और अन्य अग्रिमों का मार्ग ईटेल कोहोलॉजी के निर्माण में निहित है।

पश्चदृष्टि के लाभ के साथ, यह कहा जा सकता है कि बीजगणितीय ज्यामिति लंबे समय से दो समस्याओं से जूझ रही थी। पहला अपने 'बिंदुओं' के साथ करना था: प्रक्षेपी ज्यामिति के दिनों में यह स्पष्ट था कि बीजगणितीय विविधता पर 'पर्याप्त' बिंदुओं की अनुपस्थिति एक अच्छा ज्यामितीय सिद्धांत होने में बाधा थी (जिसमें यह कुछ हद तक था एक कॉम्पैक्ट जगह मैनिफोल्ड की तरह)। एक कठिनाई यह भी थी, जो बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में टोपोलॉजी के रूप में स्पष्ट हो गई थी, कि बीजगणितीय किस्मों की टोपोलॉजी में 'बहुत कम' ओपन सेट थे।

1950 तक अंकों का प्रश्न संकल्प के करीब था; अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने एक व्यापक कदम उठाया (योनेदा लेम्मा का आह्वान करते हुए) जिसने इसका निपटान किया - स्वाभाविक रूप से एक कीमत पर, कि हर किस्म या अधिक सामान्य स्कीम (गणित) एक मज़ेदार बन जाए। हालांकि, खुले सेटों को जोड़ना संभव नहीं था। आगे का रास्ता अलग था।

टोपोस की परिभाषा पहली बार 1960 में या उसके आसपास कुछ तिरछी दिखाई दी थी। बीजगणितीय ज्यामिति में तथाकथित 'डिसेंट (श्रेणी सिद्धांत)' की सामान्य समस्याओं पर उसी अवधि में विचार किया गया था, जब मौलिक समूह को बीजगणितीय ज्यामिति सेटिंग के लिए सामान्यीकृत किया गया था (एक के रूप में) समर्थक परिमित समूह)। बाद के कार्य (सी. 1970) के प्रकाश में, 'डिसेंट' कोमोनैड्स के सिद्धांत का हिस्सा है; यहाँ हम एक तरीका देख सकते हैं जिसमें ग्रोथेंडिक स्कूल अपने दृष्टिकोण में 'शुद्ध' श्रेणी के सिद्धांतकारों से अलग हो जाता है, एक ऐसा विषय जो इस बात को समझने के लिए महत्वपूर्ण है कि बाद में टोपोस अवधारणा को कैसे व्यवहार किया गया।

शायद एक अधिक प्रत्यक्ष मार्ग उपलब्ध था: एबेलियन श्रेणी की अवधारणा को ग्रोथेंडिक द्वारा होमोलॉजिकल बीजगणित पर अपने मूलभूत कार्य में पेश किया गया था, एबेलियन समूहों के शीफ (गणित) और मॉड्यूल (गणित) की श्रेणियों को एकजुट करने के लिए। एक एबेलियन श्रेणी को कुछ श्रेणी-सैद्धांतिक संचालन के तहत बंद माना जाता है - इस तरह की परिभाषा का उपयोग करके पूरी तरह से संरचना पर ध्यान केंद्रित किया जा सकता है, इसमें शामिल वस्तुओं की प्रकृति के बारे में कुछ भी नहीं कहा जा सकता है। इस प्रकार की परिभाषा को एक पंक्ति में 1930 के दशक की जाली (आदेश) अवधारणा के लिए खोजा जा सकता है। 1957 के आसपास, 'सेट' के शीफ (गणित) की श्रेणियों के विशुद्ध रूप से श्रेणी-सैद्धांतिक लक्षण वर्णन के लिए यह एक संभावित प्रश्न था, एबेलियन समूहों के शेवों का मामला ग्रोथेंडिक के काम (तोहोकू पेपर | तोहोकू पेपर)।

टोपोस की ऐसी परिभाषा अंततः पांच साल बाद, 1962 के आसपास, ग्रोथेंडिक और जीन लुइस वेर्डियर द्वारा दी गई थी (वर्डियर के निकोलस बोरबाकी संगोष्ठी विश्लेषण साइटस देखें)। लक्षण वर्णन 'पर्याप्त कोलिमिट्स के साथ' श्रेणियों के माध्यम से किया गया था, और जिसे अब ग्रोथेंडिक टोपोस कहा जाता है, पर लागू होता है। सिद्धांत को यह स्थापित करके समाप्त कर दिया गया था कि ग्रोथेंडिक टोपोस शीशों की एक श्रेणी थी, जहां अब 'शेफ' शब्द ने एक विस्तारित अर्थ हासिल कर लिया था, क्योंकि इसमें ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी शामिल थी।

जॉन टेट (गणितज्ञ) द्वारा ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी (जिसे साइट के रूप में भी जाना जाता है) के विचार को रीमैन सतह की दो इंद्रियों पर एक साहसिक वाक्य के रूप में चित्रित किया गया है। तकनीकी रूप से बोलते हुए यह मांग के बाद ईटेल कोहोलॉजी (साथ ही अन्य परिष्कृत सिद्धांतों जैसे कि फ्लैट कोहोलॉजी और क्रिस्टलीय कोहोलॉजी) के निर्माण को सक्षम बनाता है। इस बिंदु पर - लगभग 1964 - बीजगणितीय ज्यामिति द्वारा संचालित विकास ने काफी हद तक अपना पाठ्यक्रम चलाया था। 'ओपन सेट' चर्चा को प्रभावी ढंग से इस निष्कर्ष पर अभिव्यक्त किया गया था कि किस्मों में उनके (साधारण) जरिस्की टोपोलॉजी | ज़रिस्की-ओपन सेट के रैमिफिकेशन (गणित) कवर में ओपन सेट की पर्याप्त समृद्ध साइट थी।

== शुद्ध श्रेणी सिद्धांत से श्रेणीबद्ध तर्क == तक

Further information: categorical logic

टोपोस की वर्तमान परिभाषा विलियम लॉवरे और माइल्स टियरनी के पास वापस जाती है। जबकि समय ऊपर वर्णित से निकटता से अनुसरण करता है, इतिहास की बात के रूप में, दृष्टिकोण अलग है, और परिभाषा अधिक समावेशी है। अर्थात्, ऐसे टोपोज़ के उदाहरण हैं जो ग्रोथेंडिक टोपोस नहीं हैं। क्या अधिक है, ये कई गणितीय तर्क विषयों के लिए रुचिकर हो सकते हैं।

Lawvere और Tierney की परिभाषा उप-ऑब्जेक्ट क्लासिफायरियर के टोपोस सिद्धांत में केंद्रीय भूमिका को चुनती है। सेट की सामान्य श्रेणी में, यह बूलियन सत्य-मूल्यों का दो-तत्व सेट है, सत्य और असत्य। यह कहना लगभग गलत है कि किसी दिए गए सेट X के उपसमुच्चय के समान (जैसे ही अच्छे हैं) X पर ऐसे किसी भी दो-तत्व सेट के कार्य हैं: ठीक करें 'पहला' तत्व और एक उपसमुच्चय Y बनाते हैं जो वहां Y भेजने वाले फ़ंक्शन के अनुरूप होता है और इसका पूरक X दूसरे तत्व में होता है।

अब उप-वस्तु वर्गीकारक को शीफ (गणित) सिद्धांत में पाया जा सकता है। अभी भी tautologously, हालांकि निश्चित रूप से अधिक सारगर्भित रूप से, एक टोपोलॉजिकल स्पेस X के लिए X पर एक शीफ का सीधा विवरण है जो X पर सेट के सभी ढेरों के संबंध में भूमिका निभाता है। 'X' के एक खुले सेट 'U' पर इसके खंडों का सेट 'U' के खुले उपसमुच्चय का सेट है। इसके लिए शीफ (गणित) का वर्णन करना अधिक कठिन है।

Lawvere और Tierney इसलिए एक उप-ऑब्जेक्ट क्लासिफायरियर और कुछ सीमा शर्तों (कार्टेशियन-बंद श्रेणी बनाने के लिए, कम से कम) को ग्रहण करने वाले टॉपोज़ के लिए सिद्धांतों को तैयार किया। कुछ समय के लिए टोपोस की इस धारणा को 'प्राथमिक टोपोस' कहा जाता था।

एक बार तर्क के साथ संबंध का विचार तैयार हो जाने के बाद, नए सिद्धांत का 'परीक्षण' करने के लिए कई विकास हुए:

• समुच्चय सिद्धान्त के मॉडल पॉल कोहेन की फोर्सिंग (गणित) की विधि द्वारा पसंद के स्वयंसिद्ध और निरंतरता की परिकल्पना की स्वतंत्रता के प्रमाण के अनुरूप हैं।
• क्रिपके शब्दार्थ के साथ संबंध की मान्यता, अंतर्ज्ञानवादी तर्क अस्तित्वगत परिमाणक और अंतर्ज्ञानवादी प्रकार सिद्धांत।
• इन्हें मिलाकर, शीफ मॉडल द्वारा वास्तविक संख्याओं के अंतर्ज्ञानवादी सिद्धांत की चर्चा।

टोपोस सिद्धांत की स्थिति

इसमें कुछ विडंबना थी कि डेविड हिल्बर्ट के लंबी दूरी के कार्यक्रम को आगे बढ़ाने में अंतर्ज्ञानवादी तर्क के केंद्रीय विचारों के लिए एक प्राकृतिक घर पाया गया था: हिल्बर्ट ने एल.ई.जे. ब्रोवर के स्कूल से घृणा की थी। शेफ-सैद्धांतिक अर्थों में 'स्थानीय' अस्तित्व के रूप में अस्तित्व, जिसे अब क्रिप्के-जॉयल वाक्य - विन्यास के नाम से जाना जाता है, एक अच्छा मेल है। दूसरी ओर ब्रोवर के 'प्रजाति' पर लंबे प्रयास, जैसा कि उन्होंने वास्तविकताओं के अंतर्ज्ञानवादी सिद्धांत को कहा, संभवतः किसी तरह से ऐतिहासिक से परे की स्थिति से वंचित और वंचित हैं। प्रत्येक टोपोस में वास्तविक संख्याओं का एक सिद्धांत है, और इसलिए कोई भी अंतर्ज्ञानवादी सिद्धांत का स्वामी नहीं है।

ईटेल कोहोलॉजी पर बाद के काम ने सुझाव दिया है कि पूर्ण, सामान्य टोपोस सिद्धांत की आवश्यकता नहीं है। दूसरी ओर, अन्य साइटों का उपयोग किया जाता है, और ग्रोथेंडिक टोपोस ने होमोलॉजिकल बीजगणित के भीतर अपना स्थान ले लिया है।

Lawvere प्रोग्राम को श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में उच्च-क्रम तर्क लिखना था। जोआचिम लैम्बेक और पी.जे. स्कॉट की पुस्तक उपचार द्वारा यह स्पष्ट रूप से किया जा सकता है। क्या परिणाम अनिवार्य रूप से एक अंतर्ज्ञानवादी (यानी रचनात्मक तर्क) सिद्धांत है, इसकी सामग्री को मुक्त टोपोस के अस्तित्व से स्पष्ट किया जा रहा है। यह एक व्यापक अर्थ में एक निर्धारित सिद्धांत है, लेकिन शुद्ध वाक्य रचना के दायरे से संबंधित भी है। इसके सब-ऑब्जेक्ट क्लासिफायर की संरचना एक हेटिंग बीजगणित की है। एक अधिक शास्त्रीय सेट सिद्धांत प्राप्त करने के लिए कोई भी टॉपोज को देख सकता है जिसमें यह एक बूलियन बीजगणित (संरचना) है, या इससे भी आगे विशेषज्ञता, केवल दो सत्य-मूल्यों के साथ। उस पुस्तक में रचनावाद (गणित) के बारे में बात की गई है; लेकिन वास्तव में इसे आधारभूत कंप्यूटर विज्ञान (जिसका उल्लेख नहीं किया गया है) के रूप में पढ़ा जा सकता है। यदि कोई सेट-थ्योरिटिक ऑपरेशंस पर चर्चा करना चाहता है, जैसे किसी फ़ंक्शन की छवि (रेंज) का निर्माण, तो एक टॉपोज़ को पूरी तरह से रचनात्मक रूप से व्यक्त करने में सक्षम होने की गारंटी है।

इसने व्यर्थ टोपोलॉजी में एक अधिक सुलभ स्पिन-ऑफ का भी उत्पादन किया, जहां लोकेल (गणित) अवधारणा टोपोस को टोपोलॉजिकल स्पेस के एक महत्वपूर्ण विकास के रूप में मानते हुए कुछ अंतर्दृष्टि को अलग करती है। नारा है 'बिंदु बाद में आते हैं': यह इस पृष्ठ पर चर्चा को पूर्ण चक्र में लाता है। देखने का बिंदु पीटर जॉनस्टोन (गणितज्ञ) के स्टोन स्पेसेस में लिखा गया है, जिसे कंप्यूटर विज्ञान के क्षेत्र में एक नेता द्वारा 'विस्तारता पर एक ग्रंथ' कहा गया है। विस्तारणीय को गणित में परिवेश के रूप में माना जाता है - यह ऐसा कुछ नहीं है जिसके बारे में गणितज्ञ वास्तव में एक सिद्धांत की अपेक्षा करते हैं। शायद इसीलिए टोपोस सिद्धांत को एक विषमता के रूप में माना गया है; यह पारंपरिक रूप से ज्यामितीय तरीके से सोचने की अनुमति से परे जाता है। अनटाइप्ड लैम्ब्डा कैलकुलस जैसे पूरी तरह से गहन सिद्धांतों की ज़रूरतों को सांकेतिक शब्दार्थ में पूरा किया गया है। टोपोस सिद्धांत लंबे समय से इस क्षेत्र में संभावित 'मास्टर सिद्धांत' की तरह दिखता है।

सारांश

श्रेणीबद्ध संक्रियाओं के तहत शीफ और क्लोजर की अवधारणा के संयोजन के परिणामस्वरूप, बीजगणितीय ज्यामिति में टॉपोस अवधारणा उत्पन्न हुई। यह कोहोलॉजी सिद्धांतों में एक निश्चित निश्चित भूमिका निभाता है। एक 'किलर एप्लिकेशन' étale cohomology है।

तर्क से जुड़े बाद के विकास अधिक अंतःविषय हैं। उनमें होमोटॉपी सिद्धांत (टॉपोज़ को वर्गीकृत करना) पर आरेखण के उदाहरण शामिल हैं। वे श्रेणी सिद्धांत और गणितीय तर्क के बीच संबंध शामिल करते हैं, और श्रेणी सिद्धांत और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के बीच (एक उच्च-स्तरीय, संगठनात्मक चर्चा के रूप में) प्रकार सिद्धांत पर आधारित होते हैं। अवधारणाओं की सर्वव्यापकता के बारे में सॉन्डर्स मैक लेन के सामान्य दृष्टिकोण को देखते हुए, यह उन्हें एक निश्चित स्थिति देता है। ओलिविया कारमेल ने अपनी 2017 की पुस्तक में गणित में एकीकृत पुलों के रूप में टोपोस के उपयोग का बीड़ा उठाया है।

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संदर्भ

• http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/