पतन (गणित)

गणित में, एक पतित मामला वस्तुओं के एक वर्ग का एक सीमित मामला (गणित) है जो बाकी वर्ग से गुणात्मक रूप से भिन्न (और आमतौर पर सरल) प्रतीत होता है,^[1] और अध: पतन शब्द पतित मामला होने की स्थिति है।^[2] समग्र या संरचित वस्तुओं के कई वर्गों की परिभाषाओं में अक्सर असमानताएं शामिल होती हैं। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज के कोण और भुजाओं की लंबाई को धनात्मक माना जाता है। सीमित मामले, जहां इनमें से एक या कई असमानताएं समानताएं बन जाती हैं, अध:पतन हैं। त्रिभुजों के मामले में, यदि कम से कम एक भुजा की लंबाई या कोण शून्य हो तो एक पतित त्रिभुज होता है। समान रूप से, यह एक रेखा खंड बन जाता है।^[3] अक्सर, पतित मामले असाधारण मामले होते हैं जहां सामान्य आयाम या वस्तु (या इसके कुछ भाग) की प्रमुखता में परिवर्तन होता है। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज आयाम दो का एक वस्तु है, और एक पतित त्रिभुज एक रेखा (गणित) में समाहित है,^[3]जो इसके आयाम को एक बनाता है। यह एक वृत्त के मामले के समान है, जिसका आयाम दो से शून्य तक सिकुड़ जाता है क्योंकि यह एक बिंदु में पतित हो जाता है।^[1]एक अन्य उदाहरण के रूप में, समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान सेट जो मापदंडों पर निर्भर करता है, आम तौर पर एक निश्चित कार्डिनैलिटी और आयाम होता है, लेकिन कुछ असाधारण मूल्यों के लिए कार्डिनैलिटी और/या आयाम भिन्न हो सकते हैं, जिन्हें पतित मामले कहा जाता है। ऐसे पतित मामले में, समाधान सेट को पतित कहा जाता है।

मिश्रित वस्तुओं के कुछ वर्गों के लिए, पतित मामले उन गुणों पर निर्भर करते हैं जिनका विशेष रूप से अध्ययन किया जाता है। विशेष रूप से, वस्तुओं के वर्ग को अक्सर समीकरणों की प्रणालियों द्वारा परिभाषित या वर्णित किया जा सकता है। अधिकांश परिदृश्यों में, वस्तुओं के एक दिए गए वर्ग को समीकरणों की कई अलग-अलग प्रणालियों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, और समीकरणों की ये अलग-अलग प्रणालियाँ अलग-अलग पतित मामलों को जन्म दे सकती हैं, जबकि एक ही गैर-पतित मामलों की विशेषता होती है। यह वह कारण हो सकता है जिसके लिए पतन की कोई सामान्य परिभाषा नहीं है, इस तथ्य के बावजूद कि प्रत्येक विशिष्ट स्थिति में अवधारणा का व्यापक रूप से उपयोग और परिभाषित (यदि आवश्यक हो) किया जाता है।

एक पतित मामले में विशेष विशेषताएं होती हैं जो इसे सामान्य संपत्ति बनाती हैं | गैर-सामान्य या विशेष मामले। हालांकि, सभी गैर-सामान्य या विशेष मामले पतित नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, समकोण त्रिभुज, समद्विबाहु त्रिभुज और समबाहु त्रिभुज गैर-सामान्य और गैर-पतित हैं। वास्तव में, पतित मामले अक्सर विलक्षणता सिद्धांत के अनुरूप होते हैं, या तो वस्तु में या कुछ विन्यास स्थान (गणित) में। उदाहरण के लिए, एक शांकव खंड पतित होता है यदि और केवल यदि इसमें एकवचन बिंदु हों (जैसे, बिंदु, रेखा, प्रतिच्छेदी रेखाएँ)।^[4]

ज्यामिति में

शांकव खंड

एक पतित शंकु एक शंकु खंड (एक दूसरी डिग्री का समतल वक्र, दो डिग्री के बहुपद समीकरण द्वारा परिभाषित) है जो एक अलघुकरणीय किस्म होने में विफल रहता है।

एक बिंदु (ज्यामिति) एक पतित वृत्त है, जिसका नाम त्रिज्या 0 है।^[1]* रेखा (गणित) एक परवलय का पतित मामला है यदि परवलय एक स्पर्शरेखा तल पर रहता है। व्युत्क्रमणीय ज्यामिति में, एक रेखा अनंत त्रिज्या वाले एक वृत्त का पतित मामला है।
दो समानांतर (ज्यामिति) रेखाएँ भी पतित परवलय बनाती हैं।
एक रेखा खंड को दीर्घवृत्त के पतित मामले के रूप में देखा जा सकता है जिसमें अर्ध-लघु अक्ष शून्य हो जाता है, फोकस (ज्यामिति) अंतिम बिंदुओं पर जाता है, और विलक्षणता (गणित) एक पर जाती है।
एक वृत्त को पतित दीर्घवृत्त के रूप में माना जा सकता है, क्योंकि विलक्षणता (गणित) 0 तक पहुँचती है और foci विलय हो जाती है।^[1]* दीर्घवृत्त भी एक बिंदु में पतित हो सकता है।
एक अतिशयोक्ति एक बिंदु पर पार करने वाली दो रेखाओं में पतित हो सकता है, हाइपरबोले के एक परिवार के माध्यम से उन पंक्तियों को सामान्य स्पर्शोन्मुख के रूप में।

त्रिभुज

तीन प्रकार के पतित त्रिभुज, जिनमें से सभी का क्षेत्रफल शून्य है।

* एक पतित त्रिभुज के शीर्ष संरेख होते हैं^[3]और शून्य क्षेत्र, और इस प्रकार दो बार कवर किए गए खंड के साथ मेल खाता है (यदि तीन शीर्ष बराबर नहीं हैं, अन्यथा, त्रिकोण एक बिंदु पर पतित हो जाता है)। यदि तीन शीर्ष जोड़े में अलग-अलग हैं, तो इसमें दो 0° कोण और एक 180° कोण हैं। यदि दो शीर्ष बराबर हों, तो इसमें एक 0° कोण और दो अपरिभाषित कोण होते हैं।

आयत

एक रेखा खंड एक आयत का पतित मामला है जिसकी लंबाई 0 है।
किसी भी गैर-खाली सबसेट के लिए $S\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}$ , एक घिरा हुआ, अक्ष-संरेखित पतित आयत है $R\triangleq \left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:x_{i}=c_{i}\ ({\text{for }}i\in S){\text{ and }}a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\ ({\text{for }}i\notin S)\right\}$ कहाँ पे $\mathbf {x} \triangleq \left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]$ तथा $a i$ , $b i$ , $c i$ स्थिर हैं (के साथ $a i \leq b i$ सभी के लिए $i$ ). पतित पक्षों की संख्या $R$ उपसमुच्चय के तत्वों की संख्या है $S$ . इस प्रकार, एक पतित पक्ष के रूप में कम या अधिक हो सकते हैं $n$ (कौनसे मामलेमें $R$ एक सिंगलटन बिंदु तक कम हो जाता है)।

उत्तल बहुभुज

एक उत्तल बहुभुज पतित होता है यदि कम से कम दो क्रमागत भुजाएँ कम से कम आंशिक रूप से संपाती हों, या कम से कम एक भुजा की लंबाई शून्य हो, या कम से कम एक कोण 180° हो। इस प्रकार n भुजाओं वाला एक पतित उत्तल बहुभुज कम भुजाओं वाले बहुभुज जैसा दिखता है। त्रिभुजों के मामले में, यह परिभाषा ऊपर दी गई परिभाषा से मेल खाती है।

उत्तल बहुफलक

एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन पतित होता है यदि या तो दो आसन्न फलक समतलीय हों या दो किनारे संरेखित हों। चतुर्पाश्वीय के मामले में, यह कहने के बराबर है कि इसके सभी शीर्ष (ज्यामिति) एक ही विमान (ज्यामिति) में स्थित हैं, जो इसे शून्य का आयतन देता है।

मानक टोरस

उन संदर्भों में जहां स्व-चौराहे की अनुमति है, एक डबल-कवर क्षेत्र एक पतित मानक टोरस है जहां क्रांति की धुरी इसके बाहर की बजाय जनरेटिंग सर्कल के केंद्र से गुजरती है।
एक टोरस एक वृत्त में पतित हो जाता है जब इसकी मामूली त्रिज्या 0 हो जाती है।

क्षेत्र

जब एक गोले की त्रिज्या शून्य हो जाती है, तो शून्य आयतन का परिणामी पतित गोला एक बिंदु (ज्यामिति) होता है।

अन्य

अन्य उदाहरणों के लिए सामान्य स्थिति देखें।

कहीं और

एकल बिंदु वाला एक समुच्चय पतित रेखीय सातत्य है।
डिगॉन और मोनोगोन जैसी वस्तुओं को बहुभुजों के पतित मामलों के रूप में देखा जा सकता है: एक सामान्य सार गणितीय अर्थ में मान्य है, लेकिन बहुभुजों की मूल यूक्लिडियन अवधारणा का हिस्सा नहीं है।
एक यादृच्छिक चर जो केवल एक मान ले सकता है, उसका अपभ्रंश वितरण होता है; यदि वह मान वास्तविक संख्या 0 है, तो इसका प्रायिकता घनत्व Dirac डेल्टा फ़ंक्शन है।
किसी बहुपद के किसी फलन की जड़ को कभी-कभी पतित कहा जाता है यदि वह एक बहुमूल है, क्योंकि सामान्य रूप से $n$ एक की जड़ें $n$ वें डिग्री बहुपद सभी अलग हैं।^[1]यह प्रयोग eigenproblems तक ले जाता है: एक पतित eigenvalue विशेषता बहुपद का एक बहुमूल है।
क्वांटम यांत्रिकी में, हैमिल्टनियन ऑपरेटर के eigenvalues में ऐसी कोई भी बहुलता (गणित) पतित ऊर्जा स्तरों को जन्म देती है। आमतौर पर इस तरह की कोई भी अध: पतन प्रणाली में कुछ अंतर्निहित समरूपता को इंगित करता है।

यह भी देखें

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

अंक शास्त्र
त्रिकोण
समभुज त्रिकोण
सही त्रिकोण
समद्विबाहु त्रिकोण
विशेष मामला
शंकु खंड
समीकरणों की प्रणाली
पैरामीटर
घेरा
अंडाकार
स्पर्शरेखा विमान
उलटा ज्यामिति
सेमीमाइनर अक्ष
अनंतस्पर्शी
समरेख
शिखर (ज्यामिति)
समतल ज्यामिति)
मात्रा
विकृत वितरण
रैखिक सातत्य
डिराक डेल्टा समारोह
एकाधिक जड़
पर्याप्त
एक समारोह की जड़
अनियमित चर
बिगड़ा हुआ ऊर्जा स्तर

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 Weisstein, Eric W. "पतित". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-29.
↑ "अध:पतन की परिभाषा". www.merriam-webster.com. Retrieved 2019-11-29.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 "गणित: पतित". www.mathwords.com. Retrieved 2019-11-29.
↑ "गणित: पतित शांकव खंड". www.mathwords.com. Retrieved 2019-11-29.

[:1-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 Weisstein, Eric W. "पतित". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-29.

[2] "अध:पतन की परिभाषा". www.merriam-webster.com. Retrieved 2019-11-29.

[:2-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 "गणित: पतित". www.mathwords.com. Retrieved 2019-11-29.

[4] "गणित: पतित शांकव खंड". www.mathwords.com. Retrieved 2019-11-29.

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