पहला परिमाणीकरण

भौतिक प्रणाली का पहला परिमाणीकरण क्वांटम यांत्रिकी का संभवतः अर्ध-शास्त्रीय भौतिकी उपचार है, जिसमें क्वांटम तरंग क्रिया का उपयोग करके कणों या भौतिक वस्तुओं का इलाज किया जाता है, लेकिन आसपास के वातावरण (उदाहरण के लिए एक संभावित कुआं या एक थोक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र या गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र) का इलाज किया जाता है। शास्त्रीय रूप से।

हालाँकि, ऐसा नहीं होना चाहिए। विशेष रूप से, सिद्धांत का एक पूरी तरह से क्वांटम संस्करण परस्पर क्रिया करने वाले क्षेत्रों और गुणन के संचालकों के रूप में उनकी संबद्ध क्षमता की व्याख्या करके बनाया जा सकता है, बशर्ते क्षमता को कैनोनिकल निर्देशांक में लिखा गया हो जो मानक शास्त्रीय यांत्रिकी के यूक्लिडियन अंतरिक्ष निर्देशांक के साथ संगत हो। एकल क्वांटम-मैकेनिकल प्रणाली का अध्ययन करने के लिए पहला परिमाणीकरण उपयुक्त है (एक कण प्रणाली के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, क्योंकि एक एकल क्वांटम तरंग फ़ंक्शन एकल क्वांटम प्रणाली की स्थिति का वर्णन करता है, जिसमें मनमाने ढंग से कई जटिल घटक भाग हो सकते हैं, और जिसका विकास केवल एक अयुग्मित श्रोडिंगर समीकरण द्वारा दिया जाता है) शास्त्रीय यांत्रिकी द्वारा नियंत्रित प्रयोगशाला उपकरण द्वारा नियंत्रित किया जा रहा है, उदाहरण के लिए एक पुराने फैशन वाल्टमीटर (आधुनिक अर्धचालक उपकरणों से रहित, जो क्वांटम सिद्धांत पर भरोसा करते हैं - हालांकि यह पर्याप्त है, यह है आवश्यक नहीं है), एक साधारण थर्मामीटर, एक चुंबकीय क्षेत्र जनरेटर, और इसी तरह।

इतिहास

1901 में प्रकाशित, मैक्स प्लैंक ने केवल वीन के विस्थापन कानून, सांख्यिकीय यांत्रिकी और विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत पर विचार करने से अब उनके नाम वाले स्थिरांक के अस्तित्व और मूल्य को घटा दिया। चार साल बाद 1905 में, अल्बर्ट आइंस्टीन ने इस स्थिरांक और फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव में उत्सर्जित फोटॉनों की रोक क्षमता से इसके गहरे संबंध को स्पष्ट करने के लिए और आगे बढ़े। फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव में ऊर्जा न केवल घटना फोटॉनों (प्रकाश की तीव्रता) की संख्या पर निर्भर करती है, बल्कि प्रकाश की आवृत्ति पर भी निर्भर करती है, जो उस समय की एक नई घटना थी, जिसके लिए आइंस्टीन को 1921 में भौतिकी का नोबेल पुरस्कार मिला। इसके बाद यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि यह परिमाणीकरण की एक महत्वपूर्ण शुरुआत थी, जो कि मौलिक घटकों में पदार्थ का विवेक है।

लगभग आठ साल बाद 1913 में नील्स बोह्र ने अपनी प्रसिद्ध तीन भाग श्रृंखला प्रकाशित की, जहां, अनिवार्य रूप से फिएट द्वारा, वह हाइड्रोजन और हाइड्रोजन जैसी धातुओं में कोणीय गति के परिमाणीकरण को प्रस्तुत करता है। जहां प्रभाव में, कक्षीय कोणीय गति $L$ (वैलेंस) इलेक्ट्रॉन का रूप लेता है $L=l\hbar$, कहाँ $l$ एक पूर्ण संख्या मानी जाती है $0,\,1,\,2,\,3,\,\ldots \,$. मूल प्रस्तुति में इलेक्ट्रॉन के कक्षीय कोणीय संवेग को नाम दिया गया था $M$, प्लैंक स्थिरांक को दो पाई से विभाजित किया जाता है $M_{0}$, और क्वांटम संख्या या स्थिर बिंदुओं के बीच पास की संख्या की गिनती, जैसा कि मूल रूप से बोह्र द्वारा कहा गया है, $\tau$. अधिक विवरण के लिए उपरोक्त संदर्भ देखें।

हालांकि यह बाद में दिखाया जाएगा कि यह धारणा पूरी तरह से सही नहीं है, वास्तव में यह क्वांटम संख्या के बड़े मूल्यों के लिए कक्षीय कोणीय संवेग संचालिका (ईजेनवेल्यू) क्वांटम संख्या के लिए सही अभिव्यक्ति के करीब होने के बजाय समाप्त होता है। $l$, और वास्तव में यह बोह्र की अपनी धारणा का हिस्सा था। बोह्र की धारणा के परिणाम के संबंध में $L^{2}=l^{2}\hbar ^{2}$, और इसकी तुलना आज के रूप में ज्ञात सही संस्करण से करें $L^{2}=l(l+1)\hbar ^{2}$. स्पष्ट रूप से बड़े के लिए $l$थोड़ा अंतर है, साथ ही के लिए भी $l=0$, समानता सटीक है। आगे के ऐतिहासिक विवरण में जाने के बिना, यहां रुकना पर्याप्त है और परिमाणीकरण के इतिहास के इस युग को पुराना क्वांटम सिद्धांत मानते हैं, जिसका अर्थ भौतिकी के इतिहास में एक अवधि है जहां उप-परमाणु कणों की कोरपसकुलर प्रकृति ने तेजी से महत्वपूर्ण भूमिका निभानी शुरू की। भौतिक प्रयोगों के परिणामों को समझने में, जिसका अनिवार्य निष्कर्ष प्रमुख भौतिक अवलोकन योग्य मात्राओं का विवेक था। हालांकि, पहले परिमाणीकरण के युग के रूप में वर्णित युग के विपरीत, यह युग विशुद्ध रूप से शास्त्रीय तर्कों पर आधारित था जैसे कि वीन के विस्थापन कानून, ऊष्मप्रवैगिकी, सांख्यिकीय यांत्रिकी और विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत। वास्तव में, स्पेक्ट्रोस्कोपी के इतिहास में हाइड्रोजन की बाल्मर श्रृंखला का अवलोकन 1885 से शुरू होता है। बहरहाल, वाटरशेड घटनाएँ, जो पहले परिमाणीकरण के युग को दर्शाने के लिए आएंगी, 1925-1928 में फैले महत्वपूर्ण वर्षों में हुईं। इसके साथ ही लेखक बॉर्न एंड जॉर्डन इन दिसंबर 1925, 1925 के दिसंबर में डिराक के साथ भी, उसके बाद जनवरी 1926 में श्रोडिंगर, उसके बाद, अगस्त 1926 में जन्मे, हाइजेनबर्ग और जॉर्डन, और अंत में 1928 में डिराक। इन प्रकाशनों के परिणाम 3 सैद्धांतिक औपचारिकताएं थीं जिनमें से 2 समकक्ष साबित हुईं, बॉर्न, हाइजेनबर्ग और जॉर्डन के परिणाम श्रोडिंगर के समकक्ष थे, जबकि डिराक के 1928 के सिद्धांत को पहले के दो के सापेक्षवादी संस्करण के रूप में माना जाने लगा। अंत में, यह 1929 में हाइजेनबर्ग और पाउली के प्रकाशन का उल्लेख करने योग्य है, जिसे दूसरे परिमाणीकरण के पहले प्रयास के रूप में माना जा सकता है, अमेरिकन फिजिकल सोसायटी के 1943 के प्रकाशन में पाउली द्वारा शब्दशः प्रयोग किया गया शब्द। शब्दावली के स्पष्टीकरण और समझ के उद्देश्यों के रूप में यह इतिहास में विकसित हुआ, यह प्रमुख प्रकाशन के साथ समाप्त होने के लिए पर्याप्त है जिसने 1926 में श्रोडिंगर के तरंग समीकरण के साथ बॉर्न, हाइजेनबर्ग और जॉर्डन 1925-1926 के मैट्रिक्स यांत्रिकी की समानता को पहचानने में मदद की। जॉन वॉन न्यूमैन के एकत्रित और विस्तारित कार्यों ने दिखाया कि दो सिद्धांत गणितीय रूप से समकक्ष थे, और यही वह बोध है जिसे आज प्रथम परिमाणीकरण के रूप में समझा जाता है।

गुणात्मक गणितीय प्रारंभिक

पहले क्वांटिज़ेशन शब्द को समझने के लिए सबसे पहले यह समझना चाहिए कि किसी चीज़ के पहले स्थान पर क्वांटम होने का क्या मतलब है। न्यूटन का शास्त्रीय सिद्धांत एक दूसरा क्रम अरैखिक अंतर समीकरण है जो द्रव्यमान की एक प्रणाली का नियतात्मक प्रक्षेपवक्र देता है, $m$. त्वरण, $a$न्यूटन के गति के दूसरे नियम में, $F=ma$, समय के कार्य के रूप में सिस्टम की स्थिति का दूसरा व्युत्पन्न है। इसलिए, न्यूटन समीकरण के ऐसे समाधानों की तलाश करना स्वाभाविक है जो कम से कम दूसरे क्रम के अवकलनीय हों।

क्वांटम यांत्रिकी इस मायने में नाटकीय रूप से भिन्न है कि यह भौतिक वेधशालाओं को प्रतिस्थापित करता है जैसे कि प्रणाली की स्थिति, वह समय जिस पर अवलोकन किया जाता है, द्रव्यमान, और प्रेक्षण के तुरंत बाद प्रणाली की गति ऑपरेटर अवलोकनों की धारणा के साथ। ऑब्जर्वेबल्स के रूप में ऑपरेटर्स इस धारणा को बदल देते हैं कि क्या मापा जा सकता है और मैक्स बोर्न प्रायिकता सिद्धांत के अपरिहार्य निष्कर्ष को सामने लाता है। गैर-नियतत्ववाद के इस ढांचे में, एक विशेष अवलोकनीय स्थिति में प्रणाली को खोजने की संभावना गतिशील संभाव्यता घनत्व द्वारा दी जाती है जिसे श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के पूर्ण मूल्य वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है। तथ्य यह है कि संभाव्यता घनत्व पूर्णांकीय हैं और एकता के लिए सामान्य हैं, इसका अर्थ है कि श्रोडिंगर समीकरण का समाधान वर्ग पूर्णांक होना चाहिए। अनंत अनुक्रमों का सदिश स्थान, जिसका वर्ग योग एक अभिसारी श्रृंखला है, के रूप में जाना जाता है $\ell ^{2}$ (उच्चारण थोड़ा ईएल दो)। यह स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस के अनंत आयामी वेक्टर स्पेस के साथ एक-से-एक पत्राचार में है, $L^{2}(\mathbb {R} ^{d})$, यूक्लिडियन अंतरिक्ष से $\mathbb {R} ^{d}$ जटिल विमान के लिए, $\mathbb {C}$. इस कारण से, $\ell ^{2}$ और $L^{2}(\mathbb {R} ^{d})$ अक्सर हिल्बर्ट स्पेस के रूप में अंधाधुंध रूप से संदर्भित किया जाता है। यह बल्कि भ्रामक है क्योंकि $\mathbb {R} ^{d}$ एक हिल्बर्ट स्पेस भी है जब यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद स्थान के तहत सुसज्जित और पूर्ण मीट्रिक स्थान होता है, यद्यपि एक परिमित आयामी स्थान।

सिस्टम के प्रकार

न्यूटन सिद्धांत और श्रोडिंगर सिद्धांत दोनों में एक द्रव्यमान पैरामीटर है और वे इस प्रकार जनता के संग्रह या एकल कुल द्रव्यमान के साथ एक एकल घटक प्रणाली के साथ-साथ आदर्श एकल द्रव्यमान प्रणाली के साथ एक आदर्श एकल कण के विकास का वर्णन कर सकते हैं। नीचे विभिन्न प्रकार की प्रणालियों के उदाहरण दिए गए हैं।

एक-कण प्रणाली

सामान्य तौर पर, एक-कण अवस्था को क्वांटम संख्याओं के एक पूर्ण सेट द्वारा निरूपित किया जा सकता है $\nu$. उदाहरण के लिए, तीन क्वांटम संख्याएँ $n,l,m$ कूलम्ब के नियम में एक इलेक्ट्रॉन से जुड़े, हाइड्रोजन परमाणु की तरह, एक पूर्ण सेट (स्पिन को अनदेखा करते हुए) बनाते हैं। इसलिए राज्य कहा जाता है $|\nu \rangle$ और हैमिल्टनियन ऑपरेटर का एक आइजनवेक्टर है। कोई राज्य का उपयोग करके राज्य का एक राज्य समारोह प्रतिनिधित्व प्राप्त कर सकता है $\psi _{\nu }(\mathbf {r} )=\langle \mathbf {r} |\nu \rangle$. एक हर्मिटियन ऑपरेटर के सभी eigenvectors एक पूर्ण आधार बनाते हैं, इसलिए कोई भी राज्य का निर्माण कर सकता है ${\textstyle |\psi \rangle =\sum _{\nu }|\nu \rangle \langle \nu |\psi \rangle }$ पूर्णता संबंध प्राप्त करना:

$\sum _{\nu }|\nu \rangle \langle \nu |=\mathbf {I}$

कई लोगों ने महसूस किया है कि इस वेक्टर आधार का उपयोग करके कण के सभी गुणों को जाना जा सकता है, जिसे यहां डायराक ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करके व्यक्त किया गया है। हालांकि यह सच नहीं होना चाहिए।

अनेक-कण प्रणालियाँ

एन-कण प्रणालियों की ओर मुड़ते समय, यानी, एन समान कणों वाले सिस्टम यानी द्रव्यमान, बिजली का आवेश और स्पिन (भौतिकी) जैसे समान भौतिक पैरामीटर वाले कण, एकल-कण राज्य फ़ंक्शन का विस्तार $\psi (\mathbf {r} )$ एन-कण राज्य समारोह के लिए $\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})$ आवश्यक है। शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी के बीच मूलभूत अंतर समान कणों के समान कणों की अवधारणा से संबंधित है। इस प्रकार क्वांटम भौतिकी में कणों की केवल दो प्रजातियाँ संभव हैं, तथाकथित बोसोन और फरमिओन्स जो नियमों का पालन करते हैं:

$\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=+\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{N})$ (बोसॉन),

$\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=-\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{N})$ (फर्मन)।

जहां हमने दो निर्देशांकों को आपस में बदल दिया है $(\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})$ राज्य समारोह का। सामान्य तरंग फलन स्लेटर निर्धारक और समान कण सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। इस आधार का उपयोग करते हुए, किसी भी बहु-कण समस्या को हल करना संभव है जिसे एकल तरंग फ़ंक्शन एकल सिस्टम-वाइड विकर्ण राज्य द्वारा स्पष्ट रूप से और सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है। इस दृष्टिकोण से, पहला परिमाणीकरण वास्तव में बहु-कण सिद्धांत नहीं है, लेकिन सिस्टम की धारणा में एक कण भी शामिल नहीं है।

यह भी देखें

• विहित परिमाणीकरण
• ज्यामितीय परिमाणीकरण
• परिमाणीकरण (भौतिकी)
• दूसरा परिमाणीकरण