फिनिटिज्म

फ़िनिटिज़्म गणित का एक दर्शन है जो केवल परिमित सेट गणितीय वस्तु ओं के अस्तित्व को स्वीकार करता है। यह गणित के मुख्यधारा के दर्शन की तुलना में सबसे अच्छी तरह से समझा जाता है जहां अनंत गणितीय वस्तुओं (जैसे, अनंत सेट ) को वैध माना जाता है।

मुख्य विचार

परिमित गणित का मुख्य विचार अनंत वस्तुओं जैसे अनंत सेटों के अस्तित्व को स्वीकार नहीं कर रहा है। जबकि सभी प्राकृतिक संख्या ओं को विद्यमान के रूप में स्वीकार किया जाता है, सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को गणितीय वस्तु के रूप में अस्तित्व में नहीं माना जाता है। इसलिए अनंत डोमेन पर परिमाणक (तर्क) सार्थक नहीं माना जाता है। फ़िनिटिज़्म से जुड़ा गणितीय सिद्धांत थोराल्फ़ स्कोलेम का आदिम पुनरावर्ती अंकगणित है।

इतिहास

अनंत गणितीय वस्तुओं का परिचय कुछ शताब्दियों पहले हुआ जब अनंत वस्तुओं का उपयोग पहले से ही गणितज्ञों के बीच एक विवादास्पद विषय था। इस मुद्दे ने एक नए चरण में प्रवेश किया जब 1874 में जॉर्ज कैंटर ने जो अब भोला सेट सिद्धांत कहा जाता है उसे पेश किया और इसे अनंत संख्या पर अपने काम के लिए आधार के रूप में इस्तेमाल किया। जब रसेल के विरोधाभास, बेरी के विरोधाभास और बुराली-फोर्टी विरोधाभास जैसे विरोधाभास कैंटर के सहज सेट सिद्धांत में खोजे गए, तो यह मुद्दा गणितज्ञों के बीच एक गर्म विषय बन गया।

गणितज्ञों द्वारा लिए गए विभिन्न पद थे। सभी परिमित गणितीय वस्तुओं जैसे कि प्राकृतिक संख्या के बारे में सहमत हैं। हालाँकि अनंत गणितीय वस्तुओं के संबंध में असहमति थी। एक स्थिति इंट्यूशनिस्टिक गणित थी जिसकी वकालत एल. ई. जे. ब्रोवर ने की थी, जिसने अनंत वस्तुओं के अस्तित्व को तब तक खारिज कर दिया था जब तक कि उनका निर्माण नहीं हो जाता।

डेविड हिल्बर्ट द्वारा एक अन्य स्थिति का समर्थन किया गया था: परिमित गणितीय वस्तुएँ ठोस वस्तुएँ हैं, अनंत गणितीय वस्तुएँ आदर्श वस्तुएँ हैं, और आदर्श गणितीय वस्तुओं को स्वीकार करने से परिमित गणितीय वस्तुओं के संबंध में कोई समस्या नहीं होती है। अधिक औपचारिक रूप से, हिल्बर्ट का मानना ​​था कि यह दिखाना संभव है कि परिमित गणितीय वस्तुओं के बारे में कोई भी प्रमेय जो आदर्श अनंत वस्तुओं का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, उनके बिना भी प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए अनंत गणितीय वस्तुओं को अनुमति देने से परिमित वस्तुओं के संबंध में कोई समस्या नहीं होगी। इसने हिल्बर्ट के प्रोग्राम को सेट थ्योरी की निरंतरता और पूर्णता (तर्क) दोनों को परिमित साधनों का उपयोग करके साबित करने के लिए प्रेरित किया क्योंकि इसका अर्थ यह होगा कि आदर्श गणितीय वस्तुओं को जोड़ना परिमित भाग पर रूढ़िवादी विस्तार है। हिल्बर्ट के विचार औपचारिकतावाद (गणित) से भी जुड़े हुए हैं। कर्ट गोडेल के अपूर्णता प्रमेय के कारण हिल्बर्ट का सेट सिद्धांत की निरंतरता और पूर्णता या यहां तक ​​​​कि अंकगणित को परिमित साधनों के माध्यम से साबित करने का लक्ष्य एक असंभव कार्य बन गया। हालांकि, हार्वे फ्रीडमैन के फ्रीडमैन के भव्य अनुमान का अर्थ यह होगा कि अधिकांश गणितीय परिणाम परिमित साधनों का उपयोग करके सिद्ध किए जा सकते हैं।

हिल्बर्ट ने इस बात की कठोर व्याख्या नहीं की कि उन्होंने क्या परिमित माना और प्राथमिक के रूप में संदर्भित किया। हालांकि, पॉल बर्नेज़ के साथ उनके काम के आधार पर विलियम डब्ल्यू. टैट जैसे कुछ विशेषज्ञों ने तर्क दिया है कि आदिम पुनरावर्ती अंकगणित को एक ऊपरी सीमा माना जा सकता है जिसे हिल्बर्ट परिमित गणित मानते थे।

गोडेल के प्रमेय के परिणामस्वरूप, जैसा कि यह स्पष्ट हो गया कि गणित की स्थिरता और पूर्णता दोनों को साबित करने की कोई उम्मीद नहीं है, और ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत जैसे प्रतीत होने वाले सुसंगत स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के विकास के साथ, अधिकांश आधुनिक गणितज्ञ ध्यान केंद्रित नहीं करते हैं इस विषय पर। आज, अधिकांश गणितज्ञों को प्लेटो माना जाता है और वे आसानी से अनंत गणितीय वस्तुओं और एक सेट-सैद्धांतिक ब्रह्मांड का उपयोग करते हैं।

क्लासिकल फ़िनिटिज़्म बनाम सख्त फ़िनिटिज़्म

अपनी पुस्तक द फिलॉसफी ऑफ सेट थ्योरी में, मैरी टाइलें उन लोगों की विशेषता बताती हैं जो संभावित रूप से अनंत वस्तुओं को 'क्लासिकल फ़िनिटिस्ट्स' के रूप में अनुमति देते हैं, और जो संभावित रूप से अनंत वस्तुओं को 'सख्त फ़िनिटिस्ट्स' के रूप में अनुमति नहीं देते हैं: उदाहरण के लिए, एक क्लासिकल फ़िनिटिस्ट जैसे बयानों की अनुमति देगा प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का एक उत्तराधिकारी कार्य होता है और परिमित आंशिक योगों की सीमा (गणित) के अर्थ में अनंत श्रृंखला की सार्थकता को स्वीकार करेगा, जबकि एक सख्त परिमितवादी नहीं होगा। ऐतिहासिक रूप से, गणित का लिखित इतिहास इस प्रकार शास्त्रीय रूप से परिमितवादी था जब तक कि कैंटर ने 19वीं शताब्दी के अंत में ट्रांसफिनिट नंबर बुनियादी संख्या का पदानुक्रम नहीं बनाया।

अनंत गणितीय वस्तुओं के बारे में विचार

लियोपोल्ड क्रोनकर कैंटर के सेट सिद्धांत के लिए एक कट्टर विरोधी बने रहे:

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

God created the integers; all else is the work of man.

— 1886 lecture at the Berliner Naturforscher-Versammlung

रूबेन गुडस्टीन वित्तवाद के एक अन्य प्रस्तावक थे। उनके कुछ कार्यों में फिनिटिस्ट फाउंडेशन से गणितीय विश्लेषण तक का निर्माण शामिल था।

हालांकि उन्होंने इसका खंडन किया, गणित पर लुडविग विट्गेन्स्टाइन के अधिकांश लेखन का परिमितवाद के साथ एक मजबूत संबंध है। यदि परिमितवादियों की ट्रांसफिनिट संख्या के साथ तुलना की जाती है (उदाहरण के लिए जॉर्ज कैंटर के अनन्तताओं के पदानुक्रम के प्रस्तावक), तो अरस्तू को भी परिमितवादी के रूप में चित्रित किया जा सकता है। अरस्तू ने विशेष रूप से सख्त अनंतवाद और वास्तविक अनंत ता के बीच एक मध्य विकल्प के रूप में संभावित अनंत को बढ़ावा दिया (उत्तरार्द्ध प्रकृति में कभी न खत्म होने वाली किसी चीज का वास्तविक रूप है, इसके विपरीत कैन्टोरिस्ट वास्तविक अनंतता में ट्रांसफिनिट क्रमसूचक संख्या और क्रमिक संख्या संख्या शामिल है, जिसमें प्रकृति की चीजों से कोई लेना-देना नहीं):

But on the other hand to suppose that the infinite does not exist in any way leads obviously to many impossible consequences: there will be a beginning and end of time, a magnitude will not be divisible into magnitudes, number will not be infinite. If, then, in view of the above considerations, neither alternative seems possible, an arbiter must be called in.

— Aristotle, Physics, Book 3, Chapter 6

गणित के अन्य संबंधित दर्शन

अल्ट्राफिनिटिज्म (अल्ट्राफिनिटिज्म के रूप में भी जाना जाता है) का फिनिटिज्म की तुलना में गणितीय वस्तुओं के प्रति और भी अधिक रूढ़िवादी रवैया है, और जब वे बहुत बड़े होते हैं तो परिमित गणितीय वस्तुओं के अस्तित्व पर आपत्तियां होती हैं।

20वीं शताब्दी के अंत में जॉन पेन मेबेरी ने अंतिम गणित की एक प्रणाली विकसित की जिसे उन्होंने यूक्लिडियन अंकगणित कहा। उनकी प्रणाली का सबसे हड़ताली सिद्धांत विशेष आधारभूत स्थिति की पूर्ण और कठोर अस्वीकृति है, जो आम तौर पर पुनरावृत्त प्रक्रियाओं को दी जाती है, जिसमें विशेष रूप से पुनरावृत्ति +1 द्वारा प्राकृतिक संख्याओं का निर्माण शामिल है। नतीजतन, मेबेरी उन लोगों से तीखी असहमति में हैं, जो परिमित गणित को पीनो एक्सिओम्स # अंकगणित के प्रथम-क्रम सिद्धांत या इसके किसी भी टुकड़े जैसे कि आदिम पुनरावर्ती अंकगणित के साथ समान करने की कोशिश करेंगे।

यह भी देखें

• टेम्पोरल फ़िनिटिज़्म
• ट्रांसकंप्यूटेशनल समस्या
• फिनिटिस्ट सेट सिद्धांत
• वाजिब त्रिकोणमिति

आगे की पढाई

• Feng Ye (2011). Strict Finitism and the Logic of Mathematical Applications. Springer. ISBN 978-94-007-1347-5.

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• गणित का दर्शन
• गाढ़ापन
• अंतर्ज्ञानवादी गणित
• औपचारिकता (गणित)
• उत्तराधिकारी समारोह
• तर्कसंगत त्रिकोणमिति
• ट्रांसकम्प्यूटेशनल समस्या

बाहरी कड़ियाँ

• "Finitism in Geometry". Stanford Encyclopedia of Philosophy.