बाइनरी इकोसाहेड्रल समूह

गणित में, बाइनरी आईकोसाहेड्रल समूह 2आई या ⟨2,3,5⟩ आदेश का एक निश्चित गैर-अबेलियन समूह (समूह सिद्धांत) 120 है। यह ऑर्डर 2 के चक्रीय समूह द्वारा ऑर्डर 60 के आईकोसाहेड्रल समूह I या (2,3,5) का एक समूह विस्तार है, और 2: 1 के तहत होमोमोर्फिज्म को कवर करने वाले इकोसाहेड्रल समूह का preimage है

$\operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {SO} (3)\,$

स्पिन समूह द्वारा [[विशेष ऑर्थोगोनल समूह]] का। यह इस प्रकार है कि बाइनरी आईकोसाहेड्रल ग्रुप ऑर्डर 120 के स्पिन (3) का असतत उपसमूह है।

इसे आईकोसाहेड्रल समरूपता के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए # आम तौर पर भ्रमित समूह, जो क्रम 120 का एक अलग समूह है, और बल्कि ओर्थोगोनल समूह ओ (3) का एक उपसमूह है।

आइसोमोर्फिज्म के तहत बाइनरी आईकोसाहेड्रल ग्रुप को यूनिट चार का समुदाय के असतत उपसमूह के रूप में सबसे आसानी से वर्णित किया गया है। $\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)$ जहाँ Sp(1) इकाई चतुष्कोणों का गुणक समूह है। (इस समरूपता के विवरण के लिए चतुष्कोणों और स्थानिक घुमावों पर लेख देखें।)

तत्व

12 गुना प्रक्षेपण में 120 चतुष्कोणीय तत्व देखे गए। तत्व आदेश दिए गए हैं: 1,2,3,4,5,6,10

स्पष्ट रूप से, बाइनरी आईकोसाहेड्रल समूह को निम्नलिखित वैक्टरों के सभी क्रमपरिवर्तनों के संघ के रूप में दिया गया है:

• 8 के भी क्रमपरिवर्तन $(\pm 1,0,0,0)$
• 16 के भी क्रमपरिवर्तन $(\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2)$
• 96 के क्रमपरिवर्तन भी $(0,\pm 1/2,\pm 1/2\phi ,\pm \phi /2)$

यहाँ $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ सुनहरा अनुपात है।

कुल में 120 तत्व हैं, अर्थात् यूनिट icosian उन सभी में इकाई परिमाण है और इसलिए इकाई चतुर्धातुक समूह Sp(1) में स्थित हैं।

4-आयामी अंतरिक्ष में 120 तत्व 600-सेल, एक नियमित 4-पॉलीटॉप के 120 कोने से मेल खाते हैं।

गुण

केंद्रीय विस्तार

बाइनरी आईकोसाहेड्रल समूह, जिसे 2I द्वारा निरूपित किया गया है, आईकोसाहेड्रल समूह का सार्वभौमिक पूर्ण केंद्रीय विस्तार है, और इस प्रकार अर्धसरल है: यह एक साधारण समूह का एक पूर्ण केंद्रीय विस्तार है।

स्पष्ट रूप से, यह संक्षिप्त सटीक अनुक्रम में फिट बैठता है

$1\to \{\pm 1\}\to 2I\to I\to 1.\,$

यह अनुक्रम सटीक अनुक्रम को विभाजित नहीं करता है, जिसका अर्थ है कि 2I I द्वारा {±1} का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद नहीं है। वास्तव में, I के लिए 2I आइसोमोर्फिक का कोई उपसमूह नहीं है।

2I के एक समूह का केंद्र उपसमूह {±1} है, जिससे कि [[आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म समूह]] I के लिए आइसोमोर्फिक है। पूर्ण ऑटोमोर्फिज्म समूह एस के लिए आइसोमोर्फिक है।₅ (5 अक्षरों पर सममित समूह), जैसे कि के लिए $I\cong A_{5}$ - 2I का कोई भी ऑटोमोर्फिज्म केंद्र के गैर-तुच्छ तत्व को ठीक करता है ($-1$), इसलिए I के एक ऑटोमोर्फिज़्म के लिए उतरता है, और इसके विपरीत, I का कोई भी ऑटोमोर्फिज़्म 2I के एक ऑटोमोर्फिज़्म के लिए लिफ्ट करता है, क्योंकि I के जनरेटर की लिफ्ट 2I के जनरेटर हैं (विभिन्न लिफ्ट एक ही ऑटोमोर्फिज़्म देते हैं)।

=== अति उत्तम समूह बाइनरी आईकोसाहेड्रल समूह पूर्ण समूह है, जिसका अर्थ है कि यह इसके कम्यूटेटर उपसमूह के बराबर है। वास्तव में, 2I क्रम 120 का अद्वितीय पूर्ण समूह है। यह इस प्रकार है कि 2I हल करने योग्य समूह नहीं है।

इसके अलावा, बाइनरी आईकोसाहेड्रल ग्रुप सुपरउत्तम समूह है, जिसका अर्थ है कि इसके पहले दो समूह समरूपता समूह गायब हो जाते हैं: $H_{1}(2I;\mathbf {Z} )\cong H_{2}(2I;\mathbf {Z} )\cong 0.$ ठोस रूप से, इसका मतलब यह है कि इसका एबेलियनाइजेशन तुच्छ है (इसमें कोई गैर-तुच्छ एबेलियन भागफल नहीं है) और इसका शूर गुणक तुच्छ है (इसमें कोई गैर-तुच्छ पूर्ण केंद्रीय विस्तार नहीं है)। वास्तव में, बाइनरी आईकोसाहेड्रल समूह सबसे छोटा (गैर-तुच्छ) सुपरपरफेक्ट समूह है।

बाइनरी आईकोसाहेड्रल ग्रुप विश्वकोश समूह नहीं है, हालांकि, एच के रूप में_n(2I,'Z') n = 4k+3 के लिए क्रम 120 का चक्रीय है, और n > 0 के लिए तुच्छ है अन्यथा, (Adem & Milgram 1994, p. 279).

समाकृतिकता

ठोस रूप से, बाइनरी इकोसाहेड्रल समूह स्पिन (3) का एक उपसमूह है, और इकोसाहेड्रल समूह को कवर करता है, जो SO (3) का एक उपसमूह है। संक्षेप में, आईकोसाहेड्रल समूह 4-सिंप्लेक्स की समरूपता के लिए आइसोमोर्फिक है, जो एसओ (4) का एक उपसमूह है, और बाइनरी आईकोसाहेड्रल समूह स्पिन (4) में इसके डबल कवर के लिए आइसोमोर्फिक है। ध्यान दें कि सममित समूह $S_{5}$ इसका 4-आयामी प्रतिनिधित्व होता है (इसका सामान्य निम्नतम-आयामी इर्रेड्यूबल प्रतिनिधित्व पूर्ण समरूपता के रूप में होता है $(n-1)$-सिम्प्लेक्स), और यह कि 4-सिम्प्लेक्स की पूर्ण समरूपता इस प्रकार है $S_{5},$ पूर्ण आईकोसाहेड्रल समूह नहीं (ये क्रम 120 के दो अलग-अलग समूह हैं)।

बाइनरी आईकोसाहेड्रल समूह को वैकल्पिक और सममित समूहों के कवरिंग समूह के रूप में माना जा सकता है $A_{5},$ लक्षित $2\cdot A_{5}\cong 2I;$ यह आइसोमोर्फिज्म आईकोसाहेड्रल ग्रुप के आइसोमोर्फिज्म को वैकल्पिक समूह के साथ कवर करता है $A_{5}\cong I,$. जिस प्रकार $I$ का असतत उपसमूह है $\mathrm {SO} (3)$, $2I$ के दोहरे ओवर का एक असतत उपसमूह है $\mathrm {SO} (3)$, अर्थात् $\mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {SU} (2)$. से 2-1 समरूपता $\mathrm {Spin} (3)$ को $\mathrm {SO} (3)$ फिर से 2-1 समरूपता तक सीमित करता है $2I$ को $I$.

कोई दिखा सकता है कि बाइनरी आईकोसाहेड्रल समूह विशेष रैखिक समूह एसएल (2,5) के लिए आइसोमोर्फिक है - सीमित क्षेत्र एफ पर सभी 2 × 2 मैट्रिक्स का समूह₅ इकाई निर्धारक के साथ; यह वैकल्पिक समूह # के असाधारण समरूपताओं को शामिल करता है $I\cong A_{5}$ प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह PSL(2,5) के साथ। असाधारण समरूपता पर भी ध्यान दें $PGL(2,5)\cong S_{5},$ जो ऑर्डर 120 का एक अलग समूह है, जिसमें SL, GL, PSL, PGL के क्रमविनिमेय वर्ग के क्रमविनिमेय वर्ग के समस्थानिक हैं। $2\cdot A_{5},2\cdot S_{5},A_{5},S_{5},$ जो स्पिन (4), पिन (4), SO(4), O(4) के क्रमविनिमेय वर्ग के उपसमूहों के लिए समरूप हैं।

प्रस्तुति

समूह 2I द्वारा दी गई समूह प्रस्तुति है

$\langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{5}=rst\rangle$

या समकक्ष,

$\langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{5}\rangle .$

इन संबंधों वाले जनरेटर द्वारा दिए गए हैं

$s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(\varphi +\varphi ^{-1}i+j).$

उपसमूह

उपसमूह:
• बाइनरी टेट्राहेड्रल समूह: 2T=⟨2,3,3⟩
• 3 बाइनरी डायहेड्रल समूह: Q₂₀=⟨2,2,5⟩, क्यू₁₂=⟨2,2,3⟩, प्र₈=⟨2,2,2⟩
• 3 बाइनरी चक्रीय समूह: Z₁₀=⟨5⟩, जेड₆=⟨3⟩, जेड₄=⟨2⟩<बीआर> • 3 चक्रीय समूह: Z₅= (5), जेड₃= (3), जेड₂=(2)<बीआर> • 1 तुच्छ समूह: ( )

2I का एकमात्र उचित सामान्य उपसमूह केंद्र {±1} है।

तीसरे समरूपता प्रमेय के अनुसार, 2I के उपसमूहों और I के उपसमूहों के बीच एक गाल्वा कनेक्शन है, जहां 2I के उपसमूहों पर बंद ऑपरेटर {±1} से गुणा है।

$-1$ क्रम 2 का एकमात्र तत्व है, इसलिए यह सम क्रम के सभी उपसमूहों में समाहित है: इस प्रकार 2I का प्रत्येक उपसमूह या तो विषम क्रम का है या I के उपसमूह का पूर्व चित्र है।

विभिन्न तत्वों द्वारा उत्पन्न चक्रीय समूहों के अलावा (जिनका विषम क्रम हो सकता है), 2I (संयुग्मन तक) के केवल अन्य उपसमूह हैं:

• बाइनरी डायहेड्रल समूह, डीआईसी₅=Q20=⟨2,2,5⟩, क्रम 20 और Dic₃=Q12=⟨2,2,3⟩ क्रम 12 का
• चतुष्कोणीय समूह, Q8 = ⟨2,2,2⟩, 8 लिप्सचिट्ज़ इकाइयों से मिलकर सूचकांक (समूह सिद्धांत) 15 का एक उपसमूह बनाता है, जो कि डाइसाइक्लिक समूह डीआईसी भी है₂; यह एक किनारे के स्टेबलाइजर को कवर करता है।
• 24 हर्विट्ज़ इकाइयां एक इंडेक्स 5 उपसमूह बनाती हैं जिसे बाइनरी टेट्राहेड्रल समूह कहा जाता है; यह एक चिराल टेट्राहेड्रल समूह को कवर करता है। यह समूह स्व-सामान्यीकरण कर रहा है इसलिए इसके संयुग्मन वर्ग में 5 सदस्य हैं (यह एक नक्शा देता है $2I\to S_{5}$ जिसकी छवि है $A_{5}$).

4-आयामी समरूपता समूहों से संबंध

इकोसाहेड्रल समरूपता I का 4-आयामी एनालॉग_h 600-सेल का समरूपता समूह है (इसके दोहरे, 120-सेल का भी)। जैसा कि पूर्व प्रकार एच का कॉक्सेटर समूह है₃, बाद वाला एच प्रकार का कॉक्सेटर समूह है₄, [3,3,5] को भी निरूपित किया। इसका घूर्णी उपसमूह, कॉक्सेटर अंकन#रैंक चार समूहों को दर्शाता है|[3,3,5]⁺ SO(4) में रहने वाले ऑर्डर 7200 का एक समूह है। SO(4) में एक डबल कवरिंग समूह है जिसे स्पिन समूह कहा जाता है| समरूपता स्पिन (3) = एसपी (1) के समान, समूह स्पिन (4) एसपी (1) × एसपी (1) के लिए आइसोमोर्फिक है।

[3,3,5] की प्रीइमेज⁺ in spin(4) (2I का एक चार-आयामी एनालॉग) क्रम 14400 के समूह 2I × 2I का प्रत्यक्ष उत्पाद है। 600-सेल का घूर्णी समरूपता समूह तब है

[3,3,5]⁺ = (2I × 2I) / {±1}।

2I से कई अन्य 4-आयामी समरूपता समूहों का निर्माण किया जा सकता है। विवरण के लिए, देखें (कॉनवे और स्मिथ, 2003)।

अनुप्रयोग

कोसेट स्पेस स्पिन (3) / 2I = एस³ / 2I एक गोलाकार 3-कई गुना है जिसे पोंकारे समरूपता क्षेत्र कहा जाता है। यह एक समरूपता क्षेत्र का एक उदाहरण है, अर्थात 3-कई गुना जिसका समरूपता समूह 3-क्षेत्र के समान हैं। पॉइंकेयर क्षेत्र का मौलिक समूह बाइनरी आईकोसाहेड्रल समूह के लिए आइसोमोर्फिक है, क्योंकि पॉइंकेयर क्षेत्र बाइनरी आईकोसाहेड्रल समूह द्वारा 3-गोले का भागफल है।

यह भी देखें

• बाइनरी पॉलीहेड्रल समूह
• द्विआधारी चक्रीय समूह, ⟨n⟩, क्रम 2n
• बाइनरी डायहेड्रल ग्रुप, ⟨2,2,n⟩, ऑर्डर 4n
• बाइनरी टेट्राहेड्रल समूह, 2T=⟨2,3,3⟩, क्रम 24
• बाइनरी ऑक्टाहेड्रल समूह, 2O=⟨2,3,4⟩, क्रम 48

संदर्भ

• Adem, Alejandro; Milgram, R. James (1994), Cohomology of finite groups, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 309, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-57025-7, MR 1317096
• Coxeter, H. S. M. & Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups, 4th edition. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. 6.5 The binary polyhedral groups, p. 68
• Conway, John H.; Smith, Derek A. (2003). On Quaternions and Octonions. Natick, Massachusetts: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9.

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