राक्षसी चांदनी

गणित में, मॉन्स्ट्रस मूनशाइन, या मूनशाइन सिद्धांत, राक्षस समूह एम और मॉड्यूलर फ़ंक्शन, विशेष रूप से, जे-इनवेरिएंट|जे फ़ंक्शन के बीच अप्रत्याशित संबंध है। प्रारंभिक संख्यात्मक अवलोकन 1978 में जॉन मैके (गणितज्ञ) द्वारा किया गया था, और यह वाक्यांश 1979 में जॉन हॉर्टन कॉनवे और साइमन पी. नॉर्टन द्वारा गढ़ा गया था। राक्षसी चंद्रमा को अब 1988 में इगोर फ्रेंकेल, जेम्स लेपोव्स्की और अर्ने मेउरमैन द्वारा निर्मित मॉन्स्टर वर्टेक्स बीजगणित (या मॉन्स्टर वर्टेक्स बीजगणित) नामक एक वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित द्वारा रेखांकित किया गया है, जिसमें मॉन्स्टर समूह को समरूपता के समूह के रूप में रखा गया है। अंक शास्त्र। इस शीर्ष संचालक बीजगणित की व्याख्या आमतौर पर दो-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत की अंतर्निहित संरचना के रूप में की जाती है, जो भौतिकी को दो गणितीय क्षेत्रों के बीच एक पुल बनाने की अनुमति देती है। कॉनवे और नॉर्टन द्वारा लगाए गए अनुमानों को 1992 में गोडार्ड-थॉर्न प्रमेय | स्ट्रिंग सिद्धांत से नो-घोस्ट प्रमेय और वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित और सामान्यीकृत केएसी-मूडी बीजगणित के सिद्धांत का उपयोग करके चंद्रमा मॉड्यूल के लिए रिचर्ड बोरचर्ड्स द्वारा सिद्ध किया गया था।

इतिहास

1978 में, जॉन मैके (गणितज्ञ) ने पाया कि सामान्यीकृत जे-अपरिवर्तनीय के फूरियर विस्तार में पहले कुछ शब्द (sequence A014708 in the OEIS),

$$J(\tau )={\frac {1}{q}}+196884{q}+21493760{q}^{2}+864299970{q}^{3}+20245856256{q}^{4}+\cdots$$

साथ ${q}=e^{2\pi i\tau }$ और τ को अर्ध-अवधि अनुपात के रूप में इरेड्यूसबल अभ्यावेदन के आयामों के रैखिक संयोजनों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $r_{n}$ राक्षस समूह के एम (sequence A001379 in the OEIS) छोटे गैर-नकारात्मक गुणांक के साथ। होने देना $r_{n}$ = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ... फिर,

$${\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_{5}+r_{7}=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\end{aligned}}$$

जहां एलएचएस के गुणांक हैं $j(\tau )$ जबकि आरएचएस आयाम हैं $r_{n}$ राक्षस समूह एम के। (चूंकि के बीच कई रैखिक संबंध हो सकते हैं $r_{n}$ जैसे कि $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$, प्रतिनिधित्व एक से अधिक तरीकों से हो सकता है।) मैके ने इसे सबूत के रूप में देखा कि एम का एक स्वाभाविक रूप से होने वाला अनंत-आयामी श्रेणीबद्ध सदिश स्थान है, जिसकी हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला जे के गुणांक द्वारा दी गई है, और जिसका कम वजन है टुकड़े ऊपर बताए अनुसार अघुलनशील अभ्यावेदन में विघटित हो जाते हैं। इस अवलोकन के बारे में जॉन जी. थॉम्पसन को सूचित करने के बाद, थॉम्पसन ने सुझाव दिया कि क्योंकि वर्गीकृत आयाम केवल पहचान तत्व का वर्गीकृत ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है, ऐसे प्रतिनिधित्व पर एम के गैर-तुच्छ तत्वों जी के वर्गीकृत निशान भी दिलचस्प हो सकते हैं .

कॉनवे और नॉर्टन ने ऐसे श्रेणीबद्ध निशानों के निचले क्रम के शब्दों की गणना की, जिन्हें अब मैके-थॉम्पसन श्रृंखला टी के रूप में जाना जाता है।_g, और पाया कि वे सभी हॉन्टमैन का विस्तार प्रतीत होते हैं। दूसरे शब्दों में, जी का_g SL2(R)|SL का उपसमूह है₂(आर) जो टी को ठीक करता है_g, फिर जी द्वारा जटिल विमान के ऊपरी आधे तल का भागफल समूह_g एक गोला है जिसमें सीमित संख्या में अंक हटा दिए गए हैं, और इसके अलावा, टी_g इस क्षेत्र पर मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन का क्षेत्र (गणित) उत्पन्न करता है।

अपनी गणनाओं के आधार पर, कॉनवे और नॉर्टन ने हौप्टमोडुलन की एक सूची तैयार की, और एम के एक अनंत आयामी श्रेणीबद्ध प्रतिनिधित्व के अस्तित्व का अनुमान लगाया, जिसका श्रेणीबद्ध निशान टी_g उनकी सूची में सटीक रूप से कार्यों का फूरियर विस्तार है।

1980 में, ए. ओलिवर एल. एटकिन, पॉल फोंग और स्टीफ़न डी. स्मिथ ने बड़ी संख्या में J के गुणांकों को M के निरूपण में विघटित करके मजबूत कम्प्यूटेशनल साक्ष्य प्रस्तुत किया कि ऐसा श्रेणीबद्ध प्रतिनिधित्व मौजूद है। एक श्रेणीबद्ध प्रतिनिधित्व जिसका श्रेणीबद्ध आयाम J है , जिसे मूनशाइन मॉड्यूल कहा जाता है, स्पष्ट रूप से इगोर फ्रेनकेल, जेम्स लेपोव्स्की और अर्ने मेउरमैन द्वारा निर्मित किया गया था, जो मैके-थॉम्पसन अनुमान का एक प्रभावी समाधान देता है, और उन्होंने एम के समावेशन के केंद्रीकरण में सभी तत्वों के लिए वर्गीकृत निशान भी निर्धारित किए, कॉनवे-नॉर्टन अनुमान को आंशिक रूप से सुलझाना। इसके अलावा, उन्होंने दिखाया कि जिस सदिश स्थल का उन्होंने निर्माण किया, उसे मूनशाइन मॉड्यूल कहा जाता है $V^{\natural }$, एक वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित की अतिरिक्त संरचना है, जिसका ऑटोमोर्फिज्म समूह बिल्कुल एम है।

1985 में, जॉन हॉर्टन कॉनवे सहित गणितज्ञों के एक समूह द्वारा फिनाईट ग्रुप्स का एटलस प्रकाशित किया गया था। एटलस, जो सभी छिटपुट समूहों की गणना करता है, ने मॉन्स्टर समूह की उल्लेखनीय संपत्तियों की सूची में मूनशाइन को एक अनुभाग के रूप में शामिल किया। बोरचर्ड्स ने 1992 में मूनशाइन मॉड्यूल के लिए कॉनवे-नॉर्टन अनुमान को साबित किया। अनुमान के समाधान के लिए उन्होंने 1998 में फील्ड्स मेडल जीता।

चंद्रमा मॉड्यूल

फ्रेनकेल-लेपोव्स्की-मेउरमैन निर्माण दो मुख्य उपकरणों से शुरू होता है:

1. एक जाली शीर्ष ऑपरेटर बीजगणित वी का निर्माण_L रैंक n की एक सम जाली (समूह) L के लिए। भौतिक दृष्टि से, यह टोरस्र्स 'आर' पर बोसोनिक स्ट्रिंग संघनन (भौतिकी)भौतिकी) के लिए शीर्ष बीजगणित है।ⁿ/L. इसे मोटे तौर पर एन आयामों में थरथरानवाला प्रतिनिधित्व के साथ एल के समूह रिंग के टेंसर उत्पाद के रूप में वर्णित किया जा सकता है (जो स्वयं अनगिनत जनरेटर मैट्रिक्स में एक बहुपद रिंग के लिए आइसोमोर्फिक है)। विचाराधीन मामले के लिए, कोई L को जोंक जाली के रूप में सेट करता है, जिसकी रैंक 24 है।
2. कक्षीय निर्माण. भौतिक शब्दों में, यह एक कक्षा में फैलने वाली बोसोनिक स्ट्रिंग का वर्णन करता है। फ्रेनकेल-लेपोव्स्की-मेउरमैन का निर्माण पहली बार अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में ऑर्बिफॉल्ड्स दिखाई दिया था। इनवोलुशन (गणित) से जुड़ा हुआ|-जोंक जाली का 1 इनवोलुशन, वी का एक इनवोलुशन एच है_L, और एक इरेड्यूसिबल एच-ट्विस्टेड वी_L-मॉड्यूल, जो इनवोल्यूशन लिफ्टिंग एच प्राप्त करता है। मूनशाइन मॉड्यूल प्राप्त करने के लिए, V के सीधे योग में h का निश्चित बिंदु (गणित) लिया जाता है_L और इसका शीर्ष संचालिका बीजगणित।

फ्रेनकेल, लेपोव्स्की और मेउरमैन ने तब दिखाया कि वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित के रूप में मूनशाइन मॉड्यूल का ऑटोमोर्फिज्म समूह एम है। इसके अलावा, उन्होंने निर्धारित किया कि उपसमूह 2 में तत्वों के वर्गीकृत निशान¹⁺²⁴.Co₁ कॉनवे और नॉर्टन द्वारा अनुमानित कार्यों से मेल खाते हैं (Frenkel, Lepowsky & Meurman (1988)).

बोरचर्ड्स का प्रमाण

कॉनवे और नॉर्टन के अनुमान के रिचर्ड बोरचर्ड्स के प्रमाण को निम्नलिखित प्रमुख चरणों में विभाजित किया जा सकता है:

1. एक शीर्ष ऑपरेटर बीजगणित वी के साथ एक अपरिवर्तनीय द्विरेखीय रूप के साथ शुरू होता है, ऑटोमोर्फिज्म द्वारा एम की एक क्रिया, और इरेड्यूसबल एम-प्रतिनिधित्व में सात निम्नतम डिग्री के सजातीय रिक्त स्थान के ज्ञात अपघटन के साथ। यह फ्रेनकेल-लेपोव्स्की-मेउरमैन के मूनशाइन मॉड्यूल के निर्माण और विश्लेषण द्वारा प्रदान किया गया था।
2. एक झूठ बीजगणित ${\mathfrak {m}}$, जिसे मॉन्स्टर लाई बीजगणित कहा जाता है, का निर्माण परिमाणीकरण फ़ंक्टर का उपयोग करके V से किया गया है। यह एक सामान्यीकृत केएसी-मूडी बीजगणित है | ऑटोमोर्फिज्म द्वारा एक राक्षस कार्रवाई के साथ सामान्यीकृत केएसी-मूडी लाई बीजगणित। स्ट्रिंग सिद्धांत से गोडार्ड-थॉर्न प्रमेय|गोडार्ड-थॉर्न नो-घोस्ट प्रमेय का उपयोग करते हुए, मूल गुणन को जे के गुणांक के रूप में पाया जाता है।
3. जनरेटर और संबंधों द्वारा सामान्यीकृत केएसी-मूडी लाई बीजगणित का निर्माण करने के लिए कोइके-नॉर्टन-ज़ैगियर अनंत उत्पाद पहचान का उपयोग किया जाता है। पहचान इस तथ्य का उपयोग करके सिद्ध की जाती है कि हेज ऑपरेटर ने J पर लागू होकर J में बहुपद उत्पन्न किए।
4. मूल गुणन की तुलना करने पर, कोई पाता है कि दो लाई बीजगणित समरूपी हैं, और विशेष रूप से, वेइल विभाजक सूत्र के लिए ${\mathfrak {m}}$ यह बिल्कुल कोइके-नॉर्टन-ज़ैगियर पहचान है।
5. झूठ बीजगणित समरूपता और एडम्स ऑपरेशन का उपयोग करते हुए, प्रत्येक तत्व के लिए एक मुड़ी हुई हर पहचान दी गई है। ये पहचान मैके-थॉम्पसन श्रृंखला टी से संबंधित हैं_g बिल्कुल उसी तरह जैसे कोइके-नॉर्टन-ज़ैगियर पहचान जे से संबंधित है।
6. मुड़े हुए हर की पहचान टी के गुणांकों पर पुनरावर्तन संबंध दर्शाती है_g, और कोइके के अप्रकाशित काम से पता चला कि कॉनवे और नॉर्टन के उम्मीदवार कार्यों ने इन पुनरावृत्ति संबंधों को संतुष्ट किया। ये संबंध इतने मजबूत हैं कि किसी को केवल यह जांचने की आवश्यकता है कि पहले सात पद कॉनवे और नॉर्टन द्वारा दिए गए कार्यों से सहमत हैं या नहीं। निम्नतम पद पहले चरण में दिए गए सात निम्नतम डिग्री सजातीय स्थानों के अपघटन द्वारा दिए गए हैं।

इस प्रकार, प्रमाण पूरा हो गया है (Borcherds (1992)). बाद में बोरचर्ड्स को यह कहते हुए उद्धृत किया गया कि जब मैंने चांदनी के अनुमान को साबित किया तो मैं चंद्रमा पर था, और मुझे कभी-कभी आश्चर्य होता है कि जब आप कुछ दवाएं लेते हैं तो क्या आपको यही एहसास होता है। मैं वास्तव में नहीं जानता, क्योंकि मैंने अपने इस सिद्धांत का परीक्षण नहीं किया है। (Roberts 2009, p. 361)

हाल के कार्य ने प्रमाण के अंतिम चरणों को सरल और स्पष्ट कर दिया है। ज्यूरिसिच (Jurisich (1998), Jurisich, Lepowsky & Wilson (1995)) पाया गया कि मॉन्स्टर लाई बीजगणित के सामान्य त्रिकोणीय अपघटन को gl के योग में अपघटन के साथ प्रतिस्थापित करके होमोलॉजी गणना को काफी हद तक छोटा किया जा सकता है₂ और दो मुक्त लाई बीजगणित। कमिंस और गैनन ने दिखाया कि रिकर्सन संबंध स्वचालित रूप से यह दर्शाते हैं कि मैके थॉम्पसन श्रृंखला या तो हॉन्टमॉडलन है या अधिकतम 3 शब्दों के बाद समाप्त हो जाती है, इस प्रकार अंतिम चरण में गणना की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।

सामान्यीकृत चन्द्रमा

कॉनवे और नॉर्टन ने अपने 1979 के पेपर में सुझाव दिया कि शायद चांदनी राक्षस तक ही सीमित नहीं है, बल्कि अन्य समूहों के लिए भी इसी तरह की घटनाएं पाई जा सकती हैं। जबकि कॉनवे और नॉर्टन के दावे बहुत विशिष्ट नहीं थे, 1980 में लारिसा क्वीन द्वारा की गई गणना ने दृढ़ता से सुझाव दिया कि छिटपुट समूहों के अघुलनशील प्रतिनिधित्व के आयामों के सरल संयोजनों से कई हाउप्टमोडुलन के विस्तार का निर्माण किया जा सकता है। विशेष रूप से, उसने निम्नलिखित मामलों में मैके-थॉम्पसन श्रृंखला के गुणांकों को मॉन्स्टर के उप-भागों के प्रतिनिधित्व में विघटित कर दिया:

• टी_2B और टी_4A कॉनवे समूह कंपनी के अभ्यावेदन में₀
• टी_3B और टी_6B सुजुकी समूह (गणित) 3.2.सुज के अभ्यावेदन में
• टी_3C थॉम्पसन समूह (गणित) Th = F के निरूपण में₃
• टी_5A हरदा-नॉर्टन समूह एचएन = एफ के प्रतिनिधित्व में₅
• टी_5B और टी_10D हॉल-जंको समूह 2.HJ के अभ्यावेदन में
• टी_7A हेल्ड समूह के अभ्यावेदन में He = F₇
• टी_7B और टी_14C 2.ए के अभ्यावेदन में₇
• टी_11A मैथ्यू समूह 2.एम के अभ्यावेदन में₁₂

क्वीन ने पाया कि गैर-पहचान वाले तत्वों के निशान से हाउप्टमोडुलन के क्यू-विस्तार भी प्राप्त हुए, जिनमें से कुछ मॉन्स्टर की मैके-थॉम्पसन श्रृंखला नहीं थे। 1987 में, नॉर्टन ने सामान्यीकृत मूनशाइन अनुमान तैयार करने के लिए क्वीन के परिणामों को अपनी गणनाओं के साथ जोड़ा। यह अनुमान दावा करता है कि एक नियम है जो राक्षस के प्रत्येक तत्व जी को एक वर्गीकृत वेक्टर स्पेस वी (जी) प्रदान करता है, और तत्वों की प्रत्येक आने वाली जोड़ी (जी, एच) को एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन एफ (जी, एच, τ) प्रदान करता है। ऊपरी आधे तल पर, जैसे कि:

1. प्रत्येक वी(जी) एम में जी के केंद्रीकरण का एक वर्गीकृत प्रक्षेप्य प्रतिनिधित्व है।
2. प्रत्येक f(g, h, τ) या तो एक स्थिर फलन है, या एक Hauptmodul है।
3. प्रत्येक f(g, h, τ) एक अदिश अस्पष्टता तक, M में g और h के एक साथ संयुग्मन (समूह सिद्धांत) के तहत अपरिवर्तनीय है।
4. प्रत्येक (जी, एच) के लिए, वी (जी) पर एक रैखिक परिवर्तन के लिए एच की लिफ्ट होती है, जैसे कि एफ (जी, एच, τ) का विस्तार ग्रेडेड ट्रेस द्वारा दिया जाता है।
5. किसी के लिए ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {Z} )$, $f\left(g,h,{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)$ के लिए आनुपातिक है $f\left(g^{a}h^{c},g^{b}h^{d},\tau \right)$.
6. f(g, h, τ) J के समानुपाती है यदि और केवल यदि g = h = 1.

यह कॉनवे-नॉर्टन अनुमान का सामान्यीकरण है, क्योंकि बोरचर्ड्स का प्रमेय उस मामले से संबंधित है जहां जी को पहचान पर सेट किया गया है।

कॉनवे-नॉर्टन अनुमान की तरह, सामान्यीकृत मूनशाइन की भी भौतिकी में एक व्याख्या है, जिसे 1988 में डिक्सन-गिन्सपर्ग-हार्वे द्वारा प्रस्तावित किया गया था (Dixon, Ginsparg & Harvey (1989)). उन्होंने वेक्टर स्पेस वी(जी) की व्याख्या राक्षस समरूपता के साथ एक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के मुड़ क्षेत्रों के रूप में की, और फ़ंक्शन एफ(जी, एच, τ) को जीनस (गणित) एक विभाजन फ़ंक्शन (गणित) के रूप में व्याख्या की, जहां एक टोरस बनता है मुड़ी हुई सीमा स्थितियों के साथ चिपकाकर। गणितीय भाषा में, मुड़े हुए क्षेत्र अपरिवर्तनीय मुड़ मॉड्यूल हैं, और विभाजन कार्यों को प्रमुख राक्षस बंडलों के साथ अण्डाकार वक्रों को सौंपा गया है, जिनके समरूपता प्रकार को मोनोड्रोमी द्वारा होमोलॉजी (गणित) | 1-चक्र के एक समूह के जेनरेटिंग सेट के साथ वर्णित किया गया है। यानी, आने-जाने वाले तत्वों की एक जोड़ी।

मॉड्यूलर चांदनी

1990 के दशक की शुरुआत में, समूह सिद्धांतकार ए.जे.ई. रयबा ने राक्षस की चरित्र तालिका के कुछ हिस्सों और कुछ उपसमूहों के मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत के बीच उल्लेखनीय समानताएं खोजीं। विशेष रूप से, मॉन्स्टर में प्राइम ऑर्डर पी के एक तत्व जी के लिए, ऑर्डर केपी के एक तत्व के कई अपरिवर्तनीय वर्ण जिनकी केटी शक्ति जी है, जी के सेंट्रलाइज़र में ऑर्डर के एक तत्व के लिए ब्रौयर वर्णों के सरल संयोजन हैं। यह राक्षसी चांदनी के समान घटना के लिए संख्यात्मक साक्ष्य था, लेकिन सकारात्मक विशेषता में प्रतिनिधित्व के लिए। विशेष रूप से, रयबा ने 1994 में अनुमान लगाया कि राक्षस के क्रम में प्रत्येक अभाज्य कारक पी के लिए, परिमित क्षेत्र 'एफ' पर एक श्रेणीबद्ध शीर्ष बीजगणित मौजूद है।_p एक आदेश पी तत्व जी के केंद्रीकरण की कार्रवाई के साथ, जैसे कि किसी भी पी-नियमित ऑटोमोर्फिज्म एच का वर्गीकृत ब्रौअर चरित्र जीएच के लिए मैके-थॉम्पसन श्रृंखला के बराबर है (Ryba (1996)).

1996 में, बोरचर्ड्स और रयबा ने स्व-दोहरे अभिन्न रूप के टेट कोहोमोलॉजी के बारे में एक बयान के रूप में अनुमान की पुनर्व्याख्या की। $V^{\natural }$. इस अभिन्न रूप के अस्तित्व के बारे में पता नहीं था, लेकिन उन्होंने Z[1/2] पर एक स्व-दोहरे रूप का निर्माण किया, जिसने उन्हें विषम अभाज्य संख्याओं p के साथ काम करने की अनुमति दी। प्राइम ऑर्डर के एक तत्व के लिए टेट कोहोमोलॉजी में स्वाभाविक रूप से एफ पर एक सुपर वर्टेक्स बीजगणित की संरचना होती है_p, और उन्होंने समस्या को मैके-थॉम्पसन श्रृंखला के साथ ग्रेडेड ब्राउर सुपर-ट्रेस की बराबरी करते हुए एक आसान कदम में तोड़ दिया, और एक कठिन कदम दिखाया कि टेट कोहोमोलॉजी विषम डिग्री में गायब हो जाती है। उन्होंने जोंक जाली से लुप्त हो रहे परिणाम को स्थानांतरित करके, छोटे विषम अभाज्य संख्याओं के लिए लुप्त होने वाले कथन को सिद्ध किया (Borcherds & Ryba (1996)). 1998 में, हॉज सिद्धांत के संयोजन और गोडार्ड-थॉर्न प्रमेय | नो-घोस्ट प्रमेय (Borcherds (1998), Borcherds (1999)).

आदेश 2 के मामले में एक फॉर्म के अस्तित्व की आवश्यकता होती है $V^{\natural }$ 2-एडिक रिंग के ऊपर, यानी, एक ऐसा निर्माण जो 2 से विभाजित नहीं होता है, और उस समय इसका अस्तित्व ज्ञात नहीं था। कई अतिरिक्त अनुत्तरित प्रश्न बने हुए हैं, जैसे कि रायबा के अनुमान को समग्र क्रम के तत्वों के टेट कोहोलॉजी के लिए कैसे सामान्यीकृत किया जाना चाहिए, और सामान्यीकृत चंद्रमा और अन्य चंद्रमा की घटनाओं के साथ किसी भी संबंध की प्रकृति।

क्वांटम गुरुत्व के साथ अनुमानित संबंध

2007 में, एडवर्ड विटेन|ई. विटन ने सुझाव दिया कि AdS/CFT पत्राचार (2+1)-आयामी एंटी-डी सिटर स्पेस और चरम होलोमोर्फिक सीएफटी में शुद्ध क्वांटम गुरुत्वाकर्षण के बीच द्वंद्व उत्पन्न करता है। 2 + 1 आयामों में शुद्ध गुरुत्वाकर्षण में स्वतंत्रता की कोई स्थानीय डिग्री नहीं होती है, लेकिन जब ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक नकारात्मक होता है, तो बीटीजेड ब्लैक होल समाधान के अस्तित्व के कारण, सिद्धांत में गैर-तुच्छ सामग्री होती है। जी. होहन द्वारा पेश किए गए एक्सट्रीमल सीएफटी, कम ऊर्जा में विरासोरो प्राथमिक क्षेत्रों की कमी से प्रतिष्ठित हैं, और मूनशाइन मॉड्यूल इसका एक उदाहरण है।

विटन के प्रस्ताव के तहत (Witten (2007)), अधिकतम नकारात्मक ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक के साथ AdS अंतरिक्ष में गुरुत्वाकर्षण AdS/CFT है जो केंद्रीय चार्ज c = 24 के साथ एक होलोमोर्फिक CFT के बराबर है, और CFT का विभाजन कार्य ठीक j-744 है, अर्थात, चंद्रमा मॉड्यूल का श्रेणीबद्ध चरित्र . फ्रेनकेल-लेपोव्स्की-मेउरमैन के अनुमान को मानते हुए कि मूनशाइन मॉड्यूल केंद्रीय चार्ज 24 और चरित्र जे-744 के साथ अद्वितीय होलोमोर्फिक वीओए है, विटन ने निष्कर्ष निकाला कि अधिकतम नकारात्मक ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक के साथ शुद्ध गुरुत्वाकर्षण राक्षस सीएफटी के लिए दोहरा है। विटन के प्रस्ताव का एक हिस्सा यह है कि विरासोरो प्राथमिक क्षेत्र ब्लैक-होल बनाने वाले ऑपरेटरों के लिए दोहरे हैं, और एक स्थिरता जांच के रूप में, उन्होंने पाया कि बड़े पैमाने पर सीमा में, ब्लैक होल थर्मोडायनामिक्स | किसी दिए गए ब्लैक के लिए बेकेंस्टीन-हॉकिंग अर्धशास्त्रीय एन्ट्रॉपी अनुमान छेद का द्रव्यमान मूनशाइन मॉड्यूल में संबंधित विरासोरो प्राथमिक बहुलता के लघुगणक से सहमत है। कम द्रव्यमान वाले शासन में, एन्ट्रापी में एक छोटा सा क्वांटम सुधार होता है, उदाहरण के लिए, सबसे कम ऊर्जा प्राथमिक क्षेत्र उपज ln(196883) ~ 12.19, जबकि बेकेंस्टीन-हॉकिंग अनुमान 4 देता हैπ ~ 12.57.

बाद के काम ने विटन के प्रस्ताव को परिष्कृत किया है। विटन ने अनुमान लगाया था कि बड़े ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक वाले चरम सीएफटी में न्यूनतम मामले की तरह राक्षस समरूपता हो सकती है, लेकिन गैओटो और होहन के स्वतंत्र कार्य द्वारा इसे तुरंत खारिज कर दिया गया था। विटन और मैलोनी द्वारा कार्य (Maloney & Witten (2007)) ने सुझाव दिया कि शुद्ध क्वांटम गुरुत्व इसके विभाजन फ़ंक्शन से संबंधित कुछ स्थिरता जांच को संतुष्ट नहीं कर सकता है, जब तक कि जटिल सैडल के कुछ सूक्ष्म गुण अनुकूल रूप से काम नहीं करते। हालाँकि, ली-सॉन्ग-स्ट्रोमिंगर (Li, Song & Strominger (2008)) ने सुझाव दिया है कि 2007 में मैनशॉट द्वारा प्रस्तावित एक चिरल क्वांटम गुरुत्व सिद्धांत में बेहतर स्थिरता गुण हो सकते हैं, जबकि राक्षस सीएफटी के चिरल भाग, यानी, राक्षस शीर्ष बीजगणित के लिए दोहरी हो सकती है। डंकन-फ्रेनकेल (Duncan & Frenkel (2009)) ने वैश्विक टोरस-आइसोजेनी ज्यामिति पर एक नियमित योग द्वारा मैके-थॉम्पसन श्रृंखला को (2 + 1)-आयामी गुरुत्वाकर्षण विभाजन कार्यों के रूप में तैयार करने के लिए रेडमेकर योगों का उपयोग करके इस द्वंद्व के लिए अतिरिक्त सबूत तैयार किए। इसके अलावा, उन्होंने राक्षस के तत्वों द्वारा पैरामीट्रिज़ किए गए मुड़ चिरल गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों के एक परिवार के अस्तित्व का अनुमान लगाया, जो सामान्यीकृत चांदनी और गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन रकम के साथ संबंध का सुझाव देता है। वर्तमान में, ये सभी विचार अभी भी कुछ हद तक काल्पनिक हैं, क्योंकि 3डी क्वांटम गुरुत्व का कोई कठोर गणितीय आधार नहीं है।

मैथ्यू मूनशाइन

2010 में, तोहर एगुची, हिरोशी ओगुरी और युजी ताचिकावा ने देखा कि K3 सतह के अण्डाकार जीनस को के पात्रों में विघटित किया जा सकता है। N = (4,4) सुपरकॉन्फॉर्मल बीजगणित, जैसे कि सुपर विरासोरो बीजगणित की बहुलताएं मैथ्यू समूह एम24 के अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन के सरल संयोजन प्रतीत होती हैं। इससे पता चलता है कि K3 लक्ष्य के साथ एक सिग्मा-मॉडल अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत है जो M24 समरूपता रखता है। हालाँकि, मुकाई-कोन्डो वर्गीकरण के अनुसार, लक्षणरूपता द्वारा और गेबरडील-होहेनेगर-वोल्पाटो के काम से, किसी भी K3 सतह पर इस समूह की कोई वफादार कार्रवाई नहीं होती है। किसी भी K3 सिग्मा-मॉडल अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत पर कोई विश्वसनीय कार्रवाई नहीं है, इसलिए अंतर्निहित हिल्बर्ट स्थान पर एक कार्रवाई की उपस्थिति अभी भी एक रहस्य है।

मैके-थॉम्पसन श्रृंखला के अनुरूप, मिरांडा चेंग ने सुझाव दिया कि बहुलता कार्य और एम24 के गैर-तुच्छ तत्वों के श्रेणीबद्ध निशान दोनों नकली मॉड्यूलर रूप बनाते हैं। 2012 में, गैनन ने साबित किया कि गुणकों में से पहले को छोड़कर सभी M24 के अभ्यावेदन के गैर-नकारात्मक रैखिक संयोजन हैं, और गेबर्डिएल-पर्सन-रोनेलेनफिट्सच-वोल्पाटो ने सामान्यीकृत चंद्रमा कार्यों के सभी एनालॉग्स की गणना की, दृढ़ता से सुझाव देते हुए कि मैथ्यू मूनशाइन के पीछे होलोमोर्फिक कंफर्मल फील्ड सिद्धांत का कुछ एनालॉग निहित है। इसके अलावा 2012 में, चेंग, डंकन और जेफरी ए. हार्वे ने एक छायादार चांदनी घटना के संख्यात्मक साक्ष्य एकत्र किए, जहां नकली मॉड्यूलर रूपों के परिवार नीमीयर जाली से जुड़े हुए प्रतीत होते हैं। ए का विशेष मामला²⁴
₁ जाली मैथ्यू मूनशाइन उत्पन्न करती है, लेकिन सामान्य तौर पर इस घटना की ज्यामिति के संदर्भ में अभी तक कोई व्याख्या नहीं है।

शब्द की उत्पत्ति

मॉन्स्ट्रस मूनशाइन शब्द कॉनवे द्वारा गढ़ा गया था, जब 1970 के दशक के अंत में जॉन मैके (गणितज्ञ) ने बताया था कि का गुणांक ${q}$ (अर्थात् 196884) वास्तव में राक्षस समूह (अर्थात् 196883) के सबसे छोटे वफादार जटिल प्रतिनिधित्व की डिग्री से एक अधिक था, ने उत्तर दिया कि यह विकट: मूनशाइन (एक पागल या मूर्ख विचार होने के अर्थ में) था। इस प्रकार, यह शब्द न केवल राक्षस समूह एम को संदर्भित करता है; यह एम और मॉड्यूलर फ़ंक्शंस के सिद्धांत के बीच जटिल संबंध की कथित पागलपन को भी संदर्भित करता है।

संबंधित अवलोकन

राक्षस समूह की जांच 1970 के दशक में गणितज्ञ जीन-पियरे सेरे, एंड्रयू ऑग और जॉन जी. थॉम्पसन द्वारा की गई थी; उन्होंने एसएल के उपसमूहों द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के भागफल समूह का अध्ययन किया₂(आर), विशेष रूप से, सामान्यीकरणकर्ता Γ₀(पी)⁺मॉड्यूलर समूह का Gamma0|हेके सर्वांगसमता उपसमूह Γ₀(पी) एसएल(2,'आर') में। उन्होंने पाया कि रीमैन सतह अतिशयोक्तिपूर्ण विमान के भागफल को Γ द्वारा लेने के परिणामस्वरूप उत्पन्न हुई₀(पी)⁺ में जीनस (गणित) शून्य है यदि और केवल यदि p 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 या 71 है। जब ऑग ने सुना राक्षस समूह के बारे में बाद में, और देखा कि ये वास्तव में एम के आकार के प्रमुख कारक थे, उन्होंने एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें किसी को भी जैक डैनियल की व्हिस्की की एक बोतल की पेशकश की गई जो इस तथ्य को समझा सके (Ogg (1974)).

स्रोत

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बाहरी संबंध

• Moonshine Bibliography at the Wayback Machine (archived December 5, 2006)