लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर

Not to be confused with Beltrami operator.

विभेदक ज्यामिति में, लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सबमैनिफोल्ड्स पर परिभाषित कार्यों के लिए लाप्लास ऑपरेटर का एक सामान्यीकरण है और, और भी अधिक सामान्यतः, [[छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड]] और छद्म-रिमैनियन मैनिफोल्ड्स पर। इसका नाम पियरे-साइमन लाप्लास और यूजेनियो बेल्ट्रामी के नाम पर रखा गया है।

यूक्लिडियन स्थान आर पर परिभाषित किसी भी दो-अलग-अलग फ़ंक्शन के वास्तविक-मूल्य वाले फ़ंक्शन एफ के लिएⁿ, लाप्लास ऑपरेटर (जिसे लाप्लासियन के रूप में भी जाना जाता है) अपने ग्रेडियेंट वेक्टर फ़ील्ड के विचलन के लिए f लेता है, जो 'के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार के प्रत्येक वेक्टर के संबंध में f के n शुद्ध दूसरे डेरिवेटिव का योग है। आर'ⁿ. लाप्लासियन की तरह, लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर को ग्रेडिएंट के विचलन के रूप में परिभाषित किया गया है, और यह एक रैखिक ऑपरेटर है जो कार्यों को कार्यों में लेता है। ऑपरेटर को सहसंयोजक व्युत्पन्न के विचलन के रूप में टेंसर पर काम करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, ऑपरेटर को विचलन और बाहरी व्युत्पन्न का उपयोग करके विभेदक रूपों पर काम करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। परिणामी ऑपरेटर को लाप्लास-डी राम ऑपरेटर (जॉर्ज डी. रहम के नाम पर) कहा जाता है।

विवरण

लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर, लाप्लासियन की तरह, (रीमानियन) ग्रेडिएंट का (रीमैनियन) विचलन है:

$\Delta f={\rm {div}}(\nabla f).$

स्थानीय निर्देशांक में एक स्पष्ट सूत्र संभव है।

पहले मान लीजिए कि एम एक उन्मुख अनेक गुना रीमैनियन मैनिफोल्ड है। ओरिएंटेशन किसी को एम पर एक निश्चित वॉल्यूम फॉर्म निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है, जो एक ओरिएंटेड समन्वय प्रणाली एक्स में दिया गया है^मैंद्वारा

$\operatorname {vol} _{n}:={\sqrt {|g|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}$

कहाँ |g| := |det(g_ij)| मीट्रिक टेंसर के निर्धारक और dx का पूर्ण मान है^{मैं फ्रेम में सह-फ़्रेम बनाने वाले 1-रूप हैं}

$\partial _{i}:={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$

स्पर्शरेखा बंडल का $TM$ और $\wedge$ वेज उत्पाद है.

एक सदिश क्षेत्र का विचलन $X$ मैनिफोल्ड पर फिर अदिश फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है $\nabla \cdot X$ संपत्ति के साथ

$(\nabla \cdot X)\operatorname {vol} _{n}:=L_{X}\operatorname {vol} _{n}$

जहां एल_Xवेक्टर फ़ील्ड X के अनुदिश Lie व्युत्पन्न है। स्थानीय निर्देशांक में, कोई प्राप्त करता है

$\nabla \cdot X={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}X^{i}\right)$

जहां यहां और नीचे आइंस्टीन संकेतन निहित है, ताकि दोहराए गए सूचकांक i को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सके।

एक अदिश फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट वेक्टर फ़ील्ड ग्रेड f है जिसे आंतरिक उत्पाद के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ कई गुना पर, जैसे

$\langle \operatorname {grad} f(x),v_{x}\rangle =df(x)(v_{x})$

सभी वैक्टरों के लिए v_xस्पर्शरेखा स्थान T में बिंदु x पर स्थिर_xबिंदु x पर मैनिफ़ोल्ड का M. यहाँ, d˒ फ़ंक्शन का बाहरी व्युत्पन्न है; यह 1-फॉर्म लेने वाला तर्क है_x. स्थानीय निर्देशांक में, एक के पास है

$\left(\operatorname {grad} f\right)^{i}=\partial ^{i}f=g^{ij}\partial _{j}f$

कहाँ जी^{ij मीट्रिक टेंसर के व्युत्क्रम के घटक हैं, इसलिए gijg_jk = δi_k δ के साथमैं_k क्रोनकर डेल्टा.}

ग्रेडिएंट और विचलन की परिभाषाओं को मिलाकर, स्केलर फ़ंक्शन पर लागू लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर का सूत्र, स्थानीय निर्देशांक में है

$\Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}\partial _{j}f\right).$

यदि एम उन्मुख नहीं है, तो उपरोक्त गणना बिल्कुल प्रस्तुत की गई है, सिवाय इसके कि वॉल्यूम फॉर्म को वॉल्यूम तत्व (एक फॉर्म के बजाय कई गुना पर घनत्व) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। न तो ग्रेडिएंट और न ही विचलन वास्तव में अभिविन्यास की पसंद पर निर्भर करता है, और इसलिए लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर स्वयं इस अतिरिक्त संरचना पर निर्भर नहीं होता है।

औपचारिक आत्म-जुड़ाव

बाह्य व्युत्पन्न $d$ और $-\nabla$ औपचारिक जोड़ हैं, इस अर्थ में कि एक सघन रूप से समर्थित फ़ंक्शन के लिए $f$

$\int _{M}df(X)\operatorname {vol} _{n}=-\int _{M}f\nabla \cdot X\operatorname {vol} _{n}$     (proof)

जहां अंतिम समानता स्टोक्स प्रमेय का अनुप्रयोग है। दोहरीकरण देता है

$\int _{M}f\,\Delta h\,\operatorname {vol} _{n}=-\int _{M}\langle df,dh\rangle \,\operatorname {vol} _{n}$

(2)

सभी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित कार्यों के लिए $f$ और $h$. इसके विपरीत, (2) लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर को पूरी तरह से चित्रित करता है, इस अर्थ में कि यह इस संपत्ति वाला एकमात्र ऑपरेटर है।

परिणामस्वरूप, लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर नकारात्मक और औपचारिक रूप से स्व-सहायक है, जिसका अर्थ है कि कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित कार्यों के लिए $f$ और $h$,

$\int _{M}f\,\Delta h\operatorname {vol} _{n}=-\int _{M}\langle df,dh\rangle \operatorname {vol} _{n}=\int _{M}h\,\Delta f\operatorname {vol} _{n}.$

क्योंकि लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर, जैसा कि इस तरीके से परिभाषित किया गया है, सकारात्मक के बजाय नकारात्मक है, अक्सर इसे विपरीत चिह्न के साथ परिभाषित किया जाता है।

लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर के आइगेनवैल्यू (लिचनेरोविक्ज़-ओबाटा प्रमेय)

मान लीजिए कि M बिना किसी सीमा के एक कॉम्पैक्ट रीमैनियन मैनिफोल्ड को दर्शाता है। हम eigenvalue समीकरण पर विचार करना चाहते हैं,

$-\Delta u=\lambda u,$

कहाँ $u$ eigenvalue से जुड़ा eigenfunction है $\lambda$. इसे eigenvalues ​​​​के ऊपर सिद्ध स्व-संयुक्तता का उपयोग करके दिखाया जा सकता है $\lambda$ असली हैं. अनेक गुना की सघनता $M$ किसी को यह दिखाने की अनुमति देता है कि eigenvalues ​​​​अलग-अलग हैं और इसके अलावा, किसी दिए गए eigenvalue से जुड़े eigenfunctions का वेक्टर स्थान $\lambda$, यानी eigenspace सभी परिमित-आयामी हैं। स्थिर फलन को एक eigenfunction के रूप में लेने पर ध्यान दें, हम पाते हैं $\lambda =0$ एक eigenvalue है. इसके अलावा जब से हमने विचार किया है $-\Delta$ भागों द्वारा एकीकरण यह दर्शाता है $\lambda \geq 0$. अधिक सटीक रूप से यदि हम eigenvalue समीकरण को eigenfunction से गुणा करें $u$ और परिणामी समीकरण को एकीकृत करें $M$ हमें (नोटेशन का उपयोग करके) मिलता है $dV=\operatorname {vol} _{n}$):

$-\int _{M}\Delta u\ u\ dV=\lambda \int _{M}u^{2}\ dV$

भागों द्वारा एकीकरण करना या बाईं ओर के पद पर विचलन प्रमेय का उपयोग करने जैसा ही है, और तब से $M$ हमें कोई सीमा नहीं मिलती

$-\int _{M}\Delta u\ u\ dV=\int _{M}|\nabla u|^{2}\ dV$

अंतिम दो समीकरणों को एक साथ रखने पर हम पहुंचते हैं

$\int _{M}|\nabla u|^{2}\ dV=\lambda \int _{M}u^{2}\ dV$

हम अंतिम समीकरण से यह निष्कर्ष निकालते हैं $\lambda \geq 0$.

आंद्रे लिचनेरोविक्ज़ का एक मौलिक परिणाम कहा गया है कि: बिना किसी सीमा के एक कॉम्पैक्ट एन-डायमेंशनल रीमैनियन मैनिफोल्ड दिया गया है $n\geq 2$. मान लें कि रिक्की वक्रता निचली सीमा को संतुष्ट करती है:

$\operatorname {Ric} (X,X)\geq \kappa g(X,X),\kappa >0,$

कहाँ $g(\cdot ,\cdot )$ मीट्रिक टेंसर है और $X$ मैनिफोल्ड पर कोई स्पर्शरेखा सदिश है $M$. फिर पहला सकारात्मक eigenvalue $\lambda _{1}$ eigenvalue समीकरण निम्न सीमा को संतुष्ट करता है:

$\lambda _{1}\geq {\frac {n}{n-1}}\kappa .$

यह निचली सीमा तीक्ष्ण है और गोले पर प्राप्त की जाती है $\mathbb {S} ^{n}$. वास्तव में पर $\mathbb {S} ^{2}$ के लिए eigenspace $\lambda _{1}$ त्रि-आयामी है और समन्वय कार्यों के प्रतिबंध द्वारा फैला हुआ है $x_{1},x_{2},x_{3}$ से $\mathbb {R} ^{3}$ को $\mathbb {S} ^{2}$. गोलाकार निर्देशांक का उपयोग करना $(\theta ,\phi )$, पर $\mathbb {S} ^{2}$ दो आयामी क्षेत्र, सेट

$x_{3}=\cos \phi =u_{1},$

हम नीचे प्रदर्शित गोलाकार लाप्लासियन के सूत्र से आसानी से देख सकते हैं

$-\Delta _{\mathbb {S} ^{2}}u_{1}=2u_{1}$

इस प्रकार लिचनेरोविक्ज़ के प्रमेय में निचली सीमा कम से कम दो आयामों में प्राप्त की जाती है।

इसके विपरीत यह मोरियो ओबाटा द्वारा सिद्ध किया गया था, यदि सीमा के बिना एन-आयामी कॉम्पैक्ट रीमैनियन मैनिफोल्ड ऐसा था जो पहले सकारात्मक आइगेनवैल्यू के लिए था $\lambda _{1}$ किसी के पास,

$\lambda _{1}={\frac {n}{n-1}}\kappa ,$

तब मैनिफोल्ड एन-आयामी क्षेत्र के लिए आइसोमेट्रिक है $\mathbb {S} ^{n}(1/{\sqrt {\kappa }})$, त्रिज्या का क्षेत्र $1/{\sqrt {\kappa }}$. इन सभी कथनों के प्रमाण इसहाक चैवेल की पुस्तक में मिल सकते हैं। अनुरूप तीक्ष्ण सीमाएँ अन्य ज्यामितियों और इन ज्यामितियों से जुड़े कुछ विकृत लाप्लासियों के लिए भी लागू होती हैं, जैसे सीआर कई गुना #एक कॉम्पैक्ट सीआर मैनिफोल्ड पर टेंगेंशियल कॉची-रीमैन कॉम्प्लेक्स (कोह्न लाप्लासियन, कोह्न-रॉसी कॉम्प्लेक्स) (जोसेफ जे. कोह्न के बाद)। ऐसे सीआर मैनिफोल्ड्स के वैश्विक एम्बेडिंग के लिए वहां अनुप्रयोग हैं $\mathbb {C} ^{n}.$

टेन्सर लाप्लासियन

लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर को लेवी-सिविटा कनेक्शन से जुड़े पुनरावृत्त सहसंयोजक व्युत्पन्न के टेन्सर संकुचन | ट्रेस (या संकुचन) का उपयोग करके लिखा जा सकता है। हेसियन मैट्रिक्स#रिमैनियन मैनिफोल्ड्स का सामान्यीकरण|एक फ़ंक्शन का हेसियन (टेंसर) $f$ सममित 2-टेंसर है

$\displaystyle {\mbox{Hess}}f\in \mathbf {\Gamma } ({\mathsf {T}}^{*}M\otimes {\mathsf {T}}^{*}M)$, ${\mbox{Hess}}f:=\nabla ^{2}f\equiv \nabla \nabla f\equiv \nabla \mathrm {d} f$,

जहां df किसी फ़ंक्शन f के बाहरी व्युत्पन्न#परिभाषा|(बाहरी) व्युत्पन्न को दर्शाता है।

चलो एक्स_i स्पर्शरेखा सदिश क्षेत्रों का आधार बनें (जरूरी नहीं कि एक समन्वय प्रणाली द्वारा प्रेरित हो)। फिर हेस एफ के घटक दिए गए हैं

$({\mbox{Hess}}f)_{ij}={\mbox{Hess}}f(X_{i},X_{j})=\nabla _{X_{i}}\nabla _{X_{j}}f-\nabla _{\nabla _{X_{i}}X_{j}}f$

इसे आसानी से टेंसरीली रूपांतरित होते देखा जा सकता है, क्योंकि यह प्रत्येक तर्क X में रैखिक है_i, एक्स_j. लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर मीट्रिक के संबंध में हेसियन का ट्रेस (या टेन्सर संकुचन) है:

$\displaystyle \Delta f:=\mathrm {tr} \nabla \mathrm {d} f\in {\mathsf {C}}^{\infty }(M)$.

अधिक सटीक रूप से, इसका मतलब है

$\displaystyle \Delta f(x)=\sum _{i=1}^{n}\nabla \mathrm {d} f(X_{i},X_{i})$,

या मीट्रिक के संदर्भ में

$\Delta f=\sum _{ij}g^{ij}({\mbox{Hess}}f)_{ij}.$

अमूर्त सूचकांकों में, ऑपरेटर को अक्सर लिखा जाता है

$\Delta f=\nabla ^{a}\nabla _{a}f$

बशर्ते यह स्पष्ट रूप से समझा जाए कि यह निशान वास्तव में हेसियन टेन्सर का निशान है।

क्योंकि सहसंयोजक व्युत्पन्न विहित रूप से मनमाने टेंसरों तक विस्तारित होता है, लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर को टेंसर टी पर परिभाषित किया जाता है

$\Delta T=g^{ij}\left(\nabla _{X_{i}}\nabla _{X_{j}}T-\nabla _{\nabla _{X_{i}}X_{j}}T\right)$

अच्छी तरह से परिभाषित है.

लाप्लास-डी राम ऑपरेटर

अधिक आम तौर पर, कोई छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड पर अंतर रूपों के बंडल के अनुभागों पर एक लाप्लासियन अंतर ऑपरेटर को परिभाषित कर सकता है। रीमैनियन मैनिफोल्ड पर यह एक अण्डाकार ऑपरेटर है, जबकि लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड पर यह अतिपरवलयिक संचालिका है। लाप्लास-डी राम ऑपरेटर द्वारा परिभाषित किया गया है

$\Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} =(\mathrm {d} +\delta )^{2},\;$

जहां d बाहरी व्युत्पन्न या अंतर है और δ सह-अंतर है, के रूप में कार्य करता है (−1)^kn+n+1∗d∗ k-फॉर्म पर, जहां ∗ हॉज तारा है। पहला ऑर्डर ऑपरेटर $\mathrm {d} +\delta$ हॉज-डिराक ऑपरेटर है। स्केलर फ़ंक्शन f पर लाप्लास-डी राम ऑपरेटर की गणना करते समय, हमारे पास है δf = 0, ताकि

$\Delta f=\delta \,\mathrm {d} f.$

समग्र चिह्न तक, स्केलर फ़ंक्शन पर कार्य करते समय लाप्लास-डी राम ऑपरेटर लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर की पिछली परिभाषा के बराबर होता है; विवरण के लिए प्रमाण देखें. कार्यों पर, लाप्लास-डी राम ऑपरेटर वास्तव में लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर का नकारात्मक है, क्योंकि कोडडिफरेंशियल का पारंपरिक सामान्यीकरण यह आश्वासन देता है कि लाप्लास-डी राम ऑपरेटर (औपचारिक रूप से) सकारात्मक निश्चित है, जबकि लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर आम तौर पर है नकारात्मक। संकेत महज़ एक परिपाटी है और दोनों ही साहित्य में आम हैं। लाप्लास-डी राम ऑपरेटर तिरछा-सममित टेंसर पर कार्य करने के लिए प्रतिबंधित टेंसर लाप्लासियन से अधिक महत्वपूर्ण रूप से भिन्न है। आकस्मिक संकेत के अलावा, दोनों ऑपरेटर वेइट्ज़ेनबॉक पहचान से भिन्न होते हैं जिसमें स्पष्ट रूप से रिक्की वक्रता टेंसर शामिल होता है।

उदाहरण

लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर के कई उदाहरणों पर स्पष्ट रूप से काम किया जा सकता है।

यूक्लिडियन स्थान

सामान्य (ऑर्थोनॉर्मल) कार्टेशियन निर्देशांक x में^{यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, मीट्रिक क्रोनकर डेल्टा तक कम हो गया है, और इसलिए एक है $|g|=1$. नतीजतन, इस मामले में}

$\Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}{\sqrt {|g|}}\partial ^{i}f=\partial _{i}\partial ^{i}f$

जो साधारण लाप्लासियन है। वक्रीय निर्देशांक में, जैसे गोलाकार निर्देशांक या बेलनाकार निर्देशांक, कोई लाप्लासियन#निर्देशांक अभिव्यक्ति प्राप्त करता है।

इसी प्रकार, लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर मीट्रिक हस्ताक्षर के साथ मिन्कोवस्की मीट्रिक के अनुरूप है (− + + +) डी'अलेम्बर्टियन है।

गोलाकार लाप्लासियन

गोलाकार लाप्लासियन लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर है (n − 1)-निरंतर अनुभागीय वक्रता के अपने विहित मीट्रिक के साथ -गोला 1. गोले को सममितीय रूप से आर में एम्बेडेड मानना ​​​​सुविधाजनक हैⁿ चूंकि इकाई क्षेत्र मूल पर केन्द्रित है। फिर S पर एक फ़ंक्शन f के लिएⁿ⁻¹, गोलाकार लाप्लासियन द्वारा परिभाषित किया गया है

$\Delta _{S^{n-1}}f(x)=\Delta f(x/|x|)$

जहां f(x/|x|) फ़ंक्शन f से 'R' का डिग्री शून्य सजातीय विस्तार हैⁿ − {0}, और $\Delta$ परिवेशी यूक्लिडियन अंतरिक्ष का लाप्लासियन है। सीधे तौर पर, यह गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक में यूक्लिडियन लाप्लासियन के प्रसिद्ध सूत्र द्वारा निहित है:

$\Delta f=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{n-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}f.$

अधिक आम तौर पर, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के हाइपरसर्फेस के रूप में आइसोमेट्रिक रूप से एम्बेडेड किसी भी रीमैनियन मैनिफोल्ड के लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर को परिभाषित करने के लिए सामान्य बंडल का उपयोग करके एक समान चाल तैयार की जा सकती है।

कोई सामान्य निर्देशांक में गोले पर लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर का आंतरिक विवरण भी दे सकता है। होने देना (ϕ, ξ) गोले के एक विशेष बिंदु p (उत्तरी ध्रुव) के संबंध में गोले पर गोलाकार निर्देशांक हों, जो कि p के संबंध में भूगणितीय ध्रुवीय निर्देशांक हैं। यहां ϕ पी से एक इकाई गति जियोडेसिक के साथ अक्षांश माप का प्रतिनिधित्व करता है, और ξ एस में जियोडेसिक की दिशा की पसंद का प्रतिनिधित्व करने वाला एक पैरामीटर हैⁿ⁻¹. तब गोलाकार लाप्लासियन का रूप होता है:

$\Delta _{S^{n-1}}f(\xi ,\phi )=(\sin \phi )^{2-n}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left((\sin \phi )^{n-2}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)+(\sin \phi )^{-2}\Delta _{\xi }f$

कहाँ $\Delta _{\xi }$ साधारण इकाई पर लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर है (n − 2)-गोला। विशेष रूप से, ध्रुवीय निर्देशांक के लिए मानक संकेतन का उपयोग करने वाले सामान्य 2-गोले के लिए हमें यह मिलता है:

$\Delta _{S^{2}}f(\theta ,\phi )=(\sin \phi )^{-1}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left(\sin \phi {\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)+(\sin \phi )^{-2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}f$

अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान

एक समान तकनीक हाइपरबोलिक स्पेस में काम करती है। यहाँ अतिपरवलयिक स्थान Hⁿ⁻¹ को n आयामी मिन्कोवस्की स्थान में एम्बेड किया जा सकता है, जो द्विघात रूप से सुसज्जित एक वास्तविक वेक्टर स्पेस है

$q(x)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}.$

फिर एचⁿ द्वारा दिए गए मिन्कोव्स्की स्पेस में भविष्य के शून्य शंकु का उपसमुच्चय है

$H^{n}=\{x\mid q(x)=1,x_{1}>1\}.\,$

तब

$\Delta _{H^{n-1}}f=\left.\Box f\left(x/q(x)^{1/2}\right)\right|_{H^{n-1}}$

यहाँ $f(x/q(x)^{1/2})$ भविष्य के शून्य शंकु के आंतरिक भाग में f का डिग्री शून्य सजातीय विस्तार है □ तरंग संचालिका है

$\Box ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}-\cdots -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}.$

ऑपरेटर को ध्रुवीय निर्देशांक में भी लिखा जा सकता है। होने देना (t, ξ) H के किसी विशेष बिंदु p के संबंध में गोले पर गोलाकार निर्देशांक होंⁿ⁻¹ (कहें, पोंकारे डिस्क का केंद्र)। यहां t, p और ξ से हाइपरबोलिक दूरी को दर्शाता है, जो S में जियोडेसिक की दिशा की पसंद का प्रतिनिधित्व करने वाला एक पैरामीटर है।ⁿ⁻². तब अतिशयोक्तिपूर्ण लाप्लासियन का रूप होता है:

$\Delta _{H^{n-1}}f(t,\xi )=\sinh(t)^{2-n}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\sinh(t)^{n-2}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right)+\sinh(t)^{-2}\Delta _{\xi }f$

कहाँ $\Delta _{\xi }$ साधारण इकाई (n − 2)-क्षेत्र पर लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर है। विशेष रूप से, ध्रुवीय निर्देशांक के लिए मानक संकेतन का उपयोग करने वाले हाइपरबोलिक विमान के लिए हमें यह मिलता है:

$\Delta _{H^{2}}f(r,\theta )=\sinh(r)^{-1}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(\sinh(r){\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+\sinh(r)^{-2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}f$

यह भी देखें

• सहसंयोजक व्युत्पन्न
• विभेदक ज्यामिति में लाप्लासियन ऑपरेटर
• लाप्लास ऑपरेटर

संदर्भ

• Flanders, Harley (1989), Differential forms with applications to the physical sciences, Dover, ISBN 978-0-486-66169-8
• Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
• Solomentsev, E.D.; Shikin, E.V. (2001) [1994], "Laplace–Beltrami equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press