वियना फिल्टर

Not to be confused with Wien filter or Wien bridge.

संकेत आगे बढ़ाना में, रैखिक फ़िल्टर एक फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) है जिसका उपयोग ज्ञात स्थिर प्रक्रिया सिग्नल और शोर स्पेक्ट्रा को मानते हुए, एक देखी गई शोर प्रक्रिया के रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (रैखिक फिल्टर) फ़िल्टरिंग द्वारा वांछित या लक्ष्य यादृच्छिक प्रक्रिया का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। , और योगात्मक शोर। वीनर फ़िल्टर अनुमानित यादृच्छिक प्रक्रिया और वांछित प्रक्रिया के बीच माध्य वर्ग त्रुटि को कम करता है।

विवरण

वीनर फ़िल्टर का लक्ष्य इनपुट के रूप में संबंधित सिग्नल का उपयोग करके अज्ञात सिग्नल के अनुमान सिद्धांत की गणना करना और आउटपुट के रूप में अनुमान उत्पन्न करने के लिए उस ज्ञात सिग्नल को फ़िल्टर करना है। उदाहरण के लिए, ज्ञात सिग्नल में रुचि का एक अज्ञात सिग्नल शामिल हो सकता है जो कि योगात्मक शोर से दूषित हो गया है। रुचि के अंतर्निहित सिग्नल का अनुमान प्रदान करने के लिए दूषित सिग्नल से शोर को फ़िल्टर करने के लिए वीनर फ़िल्टर का उपयोग किया जा सकता है। वीनर फ़िल्टर एक सांख्यिकीय दृष्टिकोण पर आधारित है, और सिद्धांत का अधिक सांख्यिकीय विवरण न्यूनतम माध्य वर्ग त्रुटि|न्यूनतम माध्य वर्ग त्रुटि (एमएमएसई) अनुमानक लेख में दिया गया है।

विशिष्ट नियतात्मक फ़िल्टर वांछित आवृत्ति प्रतिक्रिया के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। हालाँकि, वीनर फ़िल्टर का डिज़ाइन एक अलग दृष्टिकोण अपनाता है। माना जाता है कि किसी को मूल सिग्नल और शोर के वर्णक्रमीय गुणों का ज्ञान है, और कोई एलटीआई सिस्टम सिद्धांत | रैखिक समय-अपरिवर्तनीय फ़िल्टर की तलाश करता है जिसका आउटपुट जितना संभव हो सके मूल सिग्नल के करीब आएगा। वीनर फ़िल्टर की विशेषताएँ निम्नलिखित हैं:

1. धारणा: सिग्नल और (एडिटिव) शोर ज्ञात वर्णक्रमीय विशेषताओं या ज्ञात ऑटोसहसंबंध और क्रॉस-सहसंबंध के साथ स्थिर रैखिक स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं हैं
2. आवश्यकता: फ़िल्टर भौतिक रूप से प्राप्य/कारण प्रणाली वाला होना चाहिए (इस आवश्यकता को हटाया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक गैर-कारण समाधान होगा)
3. प्रदर्शन मानदंड: न्यूनतम माध्य-वर्ग त्रुटि (एमएमएसई)

इस फ़िल्टर का उपयोग अक्सर विखंडन की प्रक्रिया में किया जाता है; इस एप्लिकेशन के लिए, वीनर डिकोनवोल्यूशन देखें।

वीनर फ़िल्टर समाधान

होने देना $s(t+\alpha )$ एक अज्ञात संकेत हो जिसका अनुमान माप संकेत से लगाया जाना चाहिए $x(t)$. जहां अल्फा एक ट्यून करने योग्य पैरामीटर है। $\alpha >0$ भविष्यवाणी के रूप में जाना जाता है, $\alpha =0$ फ़िल्टरिंग के रूप में जाना जाता है, और $\alpha <0$ स्मूथिंग के रूप में जाना जाता है (वीनर फ़िल्टरिंग अध्याय देखें)। अधिक जानकारी के लिए)।

वीनर फ़िल्टर समस्या में तीन संभावित मामलों के समाधान हैं: एक जहां एक गैर-कारण फ़िल्टर स्वीकार्य है (अतीत और भविष्य दोनों डेटा की अनंत मात्रा की आवश्यकता होती है), वह मामला जहां एक कारण प्रणाली फ़िल्टर वांछित है (पिछले डेटा की अनंत मात्रा का उपयोग करके), और परिमित आवेग प्रतिक्रिया (एफआईआर) मामला जहां केवल इनपुट डेटा का उपयोग किया जाता है (यानी परिणाम या आउटपुट को आईआईआर मामले की तरह फ़िल्टर में वापस फीड नहीं किया जाता है)। पहला मामला हल करना आसान है लेकिन वास्तविक समय के अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त नहीं है। वीनर की मुख्य उपलब्धि उस मामले को सुलझाना था जहां कार्य-कारण की आवश्यकता प्रभावी है; नॉर्मन लेविंसन ने वीनर की पुस्तक के परिशिष्ट में एफआईआर समाधान दिया।

अकारण समाधान

$G(s)={\frac {S_{x,s}(s)}{S_{x}(s)}}e^{\alpha s},$

कहाँ $S$ वर्णक्रमीय घनत्व हैं। उसे उपलब्ध कराया $g(t)$ इष्टतम है, तो न्यूनतम माध्य-वर्ग त्रुटि समीकरण कम हो जाता है

$E(e^{2})=R_{s}(0)-\int _{-\infty }^{\infty }g(\tau )R_{x,s}(\tau +\alpha )\,d\tau ,$

और समाधान $g(t)$ का व्युत्क्रम दो-तरफा लाप्लास रूपांतरण है $G(s)$.

कारण समाधान

$G(s)={\frac {H(s)}{S_{x}^{+}(s)}},$

कहाँ

• $H(s)$ के कारण भाग से युक्त है ${\frac {S_{x,s}(s)}{S_{x}^{-}(s)}}e^{\alpha s}$ (अर्थात, इस अंश का वह भाग जिसमें व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन के तहत सकारात्मक समय समाधान होता है)
• $S_{x}^{+}(s)$ का कारक घटक है $S_{x}(s)$ (अर्थात्, का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण $S_{x}^{+}(s)$ केवल के लिए गैर-शून्य है $t\geq 0$)
• $S_{x}^{-}(s)$ का कारण-विरोधी घटक है $S_{x}(s)$ (अर्थात्, का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण $S_{x}^{-}(s)$ केवल के लिए गैर-शून्य है $t<0$)

यह सामान्य सूत्र जटिल है और अधिक विस्तृत व्याख्या का हकदार है। समाधान लिखने के लिए $G(s)$ किसी विशिष्ट मामले में, व्यक्ति को इन चरणों का पालन करना चाहिए:

1. स्पेक्ट्रम से शुरुआत करें $S_{x}(s)$ तर्कसंगत रूप में और इसे कारण और कारण-विरोधी घटकों में बाँटें: $S_{x}(s)=S_{x}^{+}(s)S_{x}^{-}(s)$ कहाँ $S^{+}$ बाएं आधे तल (एलएचपी) में सभी शून्य और ध्रुव शामिल हैं $S^{-}$ दाहिने आधे तल (आरएचपी) में शून्य और ध्रुव शामिल हैं। इसे वीनर-हॉपफ़ विधि|वीनर-हॉपफ़ फ़ैक्टराइज़ेशन कहा जाता है।
2. विभाजित करना $S_{x,s}(s)e^{\alpha s}$ द्वारा $S_{x}^{-}(s)$ और परिणाम को आंशिक भिन्न अपघटन के रूप में लिखें।
3. इस विस्तार में केवल उन्हीं शब्दों का चयन करें जिनमें एलएचपी में ध्रुव हों। इन शर्तों को कॉल करें $H(s)$.
4. विभाजित करना $H(s)$ द्वारा $S_{x}^{+}(s)$. परिणाम वांछित फ़िल्टर स्थानांतरण फ़ंक्शन है $G(s)$.

असतत श्रृंखला के लिए परिमित आवेग प्रतिक्रिया वीनर फ़िल्टर

असतत श्रृंखला के लिए एफआईआर वीनर फ़िल्टर का ब्लॉक आरेख दृश्य। एक इनपुट सिग्नल w[n] को वीनर फ़िल्टर g[n] के साथ जोड़ा जाता है और फ़िल्टरिंग त्रुटि e[n] प्राप्त करने के लिए परिणाम की तुलना संदर्भ सिग्नल s[n] से की जाती है।

कारण परिमित आवेग प्रतिक्रिया (एफआईआर) वीनर फ़िल्टर, कुछ दिए गए डेटा मैट्रिक्स एक्स और आउटपुट वेक्टर वाई का उपयोग करने के बजाय, इनपुट और आउटपुट सिग्नल के आंकड़ों का उपयोग करके इष्टतम टैप वजन पाता है। यह इनपुट मैट्रिक्स

वीनर फ़िल्टर के गुणांक प्राप्त करने के लिए, सिग्नल w[n] को ऑर्डर के वीनर फ़िल्टर को खिलाया जा रहा है (पिछले नल की संख्या) एन और गुणांक के साथ $\{a_{0},\cdots ,a_{N}\}$. फ़िल्टर का आउटपुट x[n] दर्शाया गया है जो अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है

$x[n]=\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i].$

अवशिष्ट त्रुटि को e[n] दर्शाया गया है और इसे e[n] = x[n] − s[n] के रूप में परिभाषित किया गया है (संबंधित ब्लॉक आरेख देखें)। वीनर फ़िल्टर को माध्य वर्ग त्रुटि (न्यूनतम माध्य वर्ग त्रुटि मानदंड) को कम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, जिसे संक्षेप में निम्नानुसार बताया जा सकता है:

$a_{i}=\arg \min E\left[e^{2}[n]\right],$

कहाँ $E[\cdot ]$ अपेक्षा ऑपरेटर को दर्शाता है। सामान्य स्थिति में, गुणांक $a_{i}$ जटिल हो सकता है और उस मामले के लिए व्युत्पन्न किया जा सकता है जहां w[n] और s[n] भी जटिल हैं। एक जटिल संकेत के साथ, हल किया जाने वाला मैट्रिक्स सममित मैट्रिक्स टोएप्लिट्ज़ मैट्रिक्स के बजाय एक हर्मिटियन मैट्रिक्स टोप्लिट्ज़ मैट्रिक्स है। सरलता के लिए, निम्नलिखित केवल उस मामले पर विचार करता है जहां ये सभी मात्राएँ वास्तविक हैं। माध्य वर्ग त्रुटि (MSE) को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

${\begin{aligned}E\left[e^{2}[n]\right]&=E\left[(x[n]-s[n])^{2}\right]\\&=E\left[x^{2}[n]\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E[x[n]s[n]]\\&=E\left[\left(\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i]\right)^{2}\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E\left[\sum _{i=0}^{N}a_{i}w[n-i]s[n]\right]\end{aligned}}$

वेक्टर खोजने के लिए $[a_{0},\,\ldots ,\,a_{N}]$ जो उपरोक्त अभिव्यक्ति को न्यूनतम करता है, प्रत्येक के संबंध में इसके व्युत्पन्न की गणना करें $a_{i}$

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a_{i}}}E\left[e^{2}[n]\right]&={\frac {\partial }{\partial a_{i}}}\left\{E\left[\left(\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]\right)^{2}\right]+E\left[s^{2}[n]\right]-2E\left[\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]s[n]\right]\right\}\\&=2E\left[\left(\sum _{j=0}^{N}a_{j}w[n-j]\right)w[n-i]\right]-2E[w[n-i]s[n]]\\&=2\left(\sum _{j=0}^{N}E[w[n-j]w[n-i]]a_{j}\right)-2E[w[n-i]s[n]]\end{aligned}}$

यह मानते हुए कि w[n] और s[n] प्रत्येक स्थिर और संयुक्त रूप से स्थिर हैं, अनुक्रम $R_{w}[m]$ और $R_{ws}[m]$ क्रमशः w[n] के स्वत:सहसंबंध के रूप में जाना जाता है और w[n] और s[n] के बीच क्रॉस-सहसंबंध को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

${\begin{aligned}R_{w}[m]&=E\{w[n]w[n+m]\}\\R_{ws}[m]&=E\{w[n]s[n+m]\}\end{aligned}}$

इसलिए MSE के व्युत्पन्न को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

${\frac {\partial }{\partial a_{i}}}E\left[e^{2}[n]\right]=2\left(\sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}\right)-2R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.$

वास्तव में ध्यान दें $w[n]$, स्वसहसंबंध सममित है:

$$R_{w}[j-i]=R_{w}[i-j]$$

व्युत्पन्न को शून्य के बराबर मानने से परिणाम मिलता है:

$\sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}=R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.$

जिसे मैट्रिक्स रूप में (उपरोक्त सममित संपत्ति का उपयोग करके) फिर से लिखा जा सकता है

$\underbrace {\begin{bmatrix}R_{w}[0]&R_{w}[1]&\cdots &R_{w}[N]\\R_{w}[1]&R_{w}[0]&\cdots &R_{w}[N-1]\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\R_{w}[N]&R_{w}[N-1]&\cdots &R_{w}[0]\end{bmatrix}} _{\mathbf {T} }\underbrace {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{bmatrix}} _{\mathbf {a} }=\underbrace {\begin{bmatrix}R_{ws}[0]\\R_{ws}[1]\\\vdots \\R_{ws}[N]\end{bmatrix}} _{\mathbf {v} }$

इन समीकरणों को वीनर-हॉप समीकरण के रूप में जाना जाता है। समीकरण में प्रदर्शित होने वाला मैट्रिक्स T एक सममित Toeplitz मैट्रिक्स है। उपयुक्त परिस्थितियों में $R$, इन मैट्रिक्स को सकारात्मक निश्चित माना जाता है और इसलिए गैर-एकवचन वीनर फ़िल्टर गुणांक वेक्टर के निर्धारण के लिए एक अद्वितीय समाधान प्रदान करते हैं, $\mathbf {a} =\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {v}$. इसके अलावा, ऐसे वीनर-हॉप समीकरणों को हल करने के लिए एक कुशल एल्गोरिदम मौजूद है जिसे लेविंसन रिकर्सन|लेविंसन-डर्बिन एल्गोरिदम के रूप में जाना जाता है, इसलिए टी के स्पष्ट व्युत्क्रम की आवश्यकता नहीं है।

कुछ लेखों में, क्रॉस सहसंबंध फ़ंक्शन को विपरीत तरीके से परिभाषित किया गया है:

$$R_{sw}[m]=E\{w[n]s[n+m]\}$$

फिर $\mathbf {v}$ मैट्रिक्स शामिल होगा $R_{sw}[0]\ldots R_{sw}[N]$; यह केवल संकेतन का अंतर है।

जो भी संकेतन प्रयोग किया जाए, उसे वास्तविक रूप से नोट करें $w[n],s[n]$:

$$R_{sw}[k]=R_{ws}[-k]$$

न्यूनतम वर्ग फ़िल्टर से संबंध

सिग्नल प्रोसेसिंग डोमेन को छोड़कर, कारण वीनर फ़िल्टर की प्राप्ति कम से कम वर्ग अनुमान के समाधान की तरह दिखती है। इनपुट मैट्रिक्स के लिए न्यूनतम वर्ग समाधान $\mathbf {X}$ और आउटपुट वेक्टर $\mathbf {y}$ है

${\boldsymbol {\hat {\beta }}}=(\mathbf {X} ^{\mathbf {T} }\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} ^{\mathbf {T} }{\boldsymbol {y}}.$

एफआईआर वीनर फ़िल्टर न्यूनतम माध्य वर्ग फ़िल्टर से संबंधित है, लेकिन बाद के त्रुटि मानदंड को न्यूनतम करना क्रॉस-सहसंबंध या ऑटो-सहसंबंध पर निर्भर नहीं करता है। इसका समाधान वीनर फ़िल्टर समाधान में परिवर्तित हो जाता है।

जटिल संकेत

जटिल संकेतों के लिए, जटिल वीनर फ़िल्टर की व्युत्पत्ति न्यूनतम करके की जाती है $E\left[|e[n]|^{2}\right]$ =$E\left[e[n]e^{*}[n]\right]$. इसमें वास्तविक और काल्पनिक दोनों भागों के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न की गणना करना शामिल है $a_{i}$, और उन दोनों को शून्य होना आवश्यक है।

परिणामी वीनर-हॉप समीकरण हैं:

$\sum _{j=0}^{N}R_{w}[j-i]a_{j}^{*}=R_{ws}[i]\qquad i=0,\cdots ,N.$

जिसे मैट्रिक्स फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है:

$\underbrace {\begin{bmatrix}R_{w}[0]&R_{w}^{*}[1]&\cdots &R_{w}^{*}[N-1]&R_{w}^{*}[N]\\R_{w}[1]&R_{w}[0]&\cdots &R_{w}^{*}[N-2]&R_{w}^{*}[N-1]\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\R_{w}[N-1]&R_{w}[N-2]&\cdots &R_{w}[0]&R_{w}^{*}[1]\\R_{w}[N]&R_{w}[N-1]&\cdots &R_{w}[1]&R_{w}[0]\end{bmatrix}} _{\mathbf {T} }\underbrace {\begin{bmatrix}a_{0}^{*}\\a_{1}^{*}\\\vdots \\a_{N-1}^{*}\\a_{N}^{*}\end{bmatrix}} _{\mathbf {a^{*}} }=\underbrace {\begin{bmatrix}R_{ws}[0]\\R_{ws}[1]\\\vdots \\R_{ws}[N-1]\\R_{ws}[N]\end{bmatrix}} _{\mathbf {v} }$

यहां ध्यान दें कि:

$${\begin{aligned}R_{w}[-k]&=R_{w}^{*}[k]\\R_{sw}[k]&=R_{ws}^{*}[-k]\end{aligned}}$$

फिर वीनर गुणांक वेक्टर की गणना इस प्रकार की जाती है:

$$\mathbf {a} ={(\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {v} )}^{*}$$

अनुप्रयोग

वीनर फ़िल्टर में सिग्नल प्रोसेसिंग, इमेज प्रोसेसिंग, में विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोग हैं। नियंत्रण प्रणाली, और डिजिटल संचार। ये एप्लिकेशन आम तौर पर चार मुख्य श्रेणियों में से एक में आते हैं:

• सिस्टम पहचान
• विखंडन
• शोर में कमी
• पता लगाने का सिद्धांत

Noisy image of an astronaut

The image after a Wiener filter is applied (full-view recommended)

उदाहरण के लिए, किसी चित्र से शोर हटाने के लिए छवि प्रसंस्करण में वीनर फ़िल्टर का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, Mathematica फ़ंक्शन का उपयोग करना: WienerFilter[image,2] दाईं ओर की पहली छवि पर, उसके नीचे फ़िल्टर की गई छवि उत्पन्न होती है।

इसका उपयोग आमतौर पर वाक् पहचान से पहले प्रीप्रोसेसर के रूप में ऑडियो संकेतों, विशेष रूप से वाक् को निरूपित करने के लिए किया जाता है।

इतिहास

फ़िल्टर को 1940 के दशक के दौरान नॉर्बर्ट वीनर द्वारा प्रस्तावित किया गया था और 1949 में प्रकाशित किया गया था। वीनर के काम का असतत-समय समकक्ष एंड्री कोलमोगोरोव द्वारा स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया गया था और 1941 में प्रकाशित किया गया था। इसलिए इस सिद्धांत को अक्सर वीनर-कोलमोगोरोव फ़िल्टरिंग सिद्धांत (सीएफ. युद्ध ) कहा जाता है। वीनर फ़िल्टर प्रस्तावित किया जाने वाला पहला सांख्यिकीय रूप से डिज़ाइन किया गया फ़िल्टर था और बाद में कलमन फ़िल्टर सहित कई अन्य को जन्म दिया।

यह भी देखें

• वीनर डीकोनवोल्यूशन
• न्यूनतम माध्य वर्ग फ़िल्टर
• वीनर और एलएमएस के बीच समानताएं
• रेखीय भविष्यवाणी
• न्यूनतम माध्य वर्ग त्रुटि
• कलमन फ़िल्टर
• सामान्यीकृत वीनर फ़िल्टर
• मिलान फ़िल्टर
• सूचना क्षेत्र सिद्धांत

अग्रिम पठन

• Thomas Kailath, Ali H. Sayed, and Babak Hassibi, Linear Estimation, Prentice-Hall, NJ, 2000, ISBN 978-0-13-022464-4.

बाहरी संबंध

• Mathematica WienerFilter function