विलंब अंतर समीकरण

गणित में, सामान्य अवकल समीकरण (DDEs) एक प्रकार का डिफरेंशियल इक्वेशन है जिसमें एक निश्चित समय पर अज्ञात फ़ंक्शन का डेरिवेटिव पिछले समय में फ़ंक्शन के मानों के संदर्भ में दिया जाता है। डीडीई को टाइम-डिले सिस्टम, आफ्टरइफेक्ट या डेड-टाइम सिस्टम, वंशानुगत सिस्टम, विचलित करने वाले तर्क के साथ समीकरण, या अंतर-अंतर समीकरण भी कहा जाता है। वे कार्यात्मक अंतर समीकरण वाले सिस्टम के वर्ग से संबंधित हैं, यानी आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) जो अनंत आयामी हैं, सामान्य अंतर समीकरणों (ओडीई) के विपरीत परिमित आयामी राज्य वेक्टर हैं। चार बिंदु डीडीई की लोकप्रियता की संभावित व्याख्या दे सकते हैं:

1. आफ्टर इफेक्ट एक लागू समस्या है: यह सर्वविदित है कि, गतिशील प्रदर्शन की बढ़ती अपेक्षाओं के साथ, इंजीनियरों को वास्तविक प्रक्रिया की तरह अधिक व्यवहार करने के लिए अपने मॉडल की आवश्यकता होती है। कई प्रक्रियाओं में उनके आंतरिक गतिकी में परिणामी घटनाएं शामिल होती हैं। इसके अलावा, एक्ट्यूएटर्स, सेंसर और दूरसंचार नेटवर्क जो अब फीडबैक कंट्रोल लूप में शामिल हैं, इस तरह की देरी का परिचय देते हैं। अंत में, वास्तविक देरी के अलावा, बहुत उच्च क्रम वाले मॉडल को सरल बनाने के लिए समय अंतराल का अक्सर उपयोग किया जाता है। फिर, डीडीई के लिए रुचि सभी वैज्ञानिक क्षेत्रों और विशेष रूप से नियंत्रण इंजीनियरिंग में बढ़ती रहती है।
2. विलंब प्रणालियां अभी भी कई शास्त्रीय नियंत्रकों के लिए प्रतिरोधी हैं: कोई सोच सकता है कि सरलतम दृष्टिकोण में उन्हें कुछ परिमित-आयामी सन्निकटनों द्वारा प्रतिस्थापित करना शामिल होगा। दुर्भाग्य से, डीडीई द्वारा पर्याप्त रूप से प्रदर्शित होने वाले प्रभावों की अनदेखी करना एक सामान्य विकल्प नहीं है: सर्वोत्तम स्थिति (निरंतर और ज्ञात देरी) में, यह नियंत्रण डिजाइन में समान स्तर की जटिलता की ओर जाता है। सबसे बुरे मामलों में (उदाहरण के लिए समय-भिन्न देरी), यह स्थिरता और दोलनों के मामले में संभावित रूप से विनाशकारी है।
3. देरी का स्वैच्छिक परिचय नियंत्रण प्रणाली को लाभान्वित कर सकता है।
4. उनकी जटिलता के बावजूद, डीडीई अक्सर आंशिक अंतर समीकरणों (पीडीई) के बहुत ही जटिल क्षेत्र में सरल अनंत-आयामी मॉडल के रूप में दिखाई देते हैं।

के लिए समय-विलंब अवकल समीकरण का एक सामान्य रूप $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ है

$${\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x(t),x_{t}),$$

कहां $x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}$ अतीत में समाधान के प्रक्षेपवक्र का प्रतिनिधित्व करता है। इस समीकरण में, $f$ से एक कार्यात्मक ऑपरेटर है $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\times C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})$ को $\mathbb {R} ^{n}.$

उदाहरण

• लगातार देरी
  $${\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\,d\mu (\tau )\right)$$
• असतत विलंब
  $${\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau _{1}),\dots ,x(t-\tau _{m}))$$
  के लिए $\tau _{1}>\dots >\tau _{m}\geq 0.$
• असतत देरी के साथ रैखिक
  $${\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})$$
  कहां $A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$.
• पैंटोग्राफ समीकरण
  $${\frac {d}{dt}}x(t)=ax(t)+bx(\lambda t),$$
  जहां a, b और λ स्थिरांक हैं और 0 < λ < 1. इस समीकरण और कुछ अन्य सामान्य रूपों को ट्रेनों पर पैंटोग्राफ (रेल)रेल) के नाम पर रखा गया है।

डीडीई को हल करना

डीडीई को ज्यादातर चरणबद्ध तरीके से एक सिद्धांत के साथ हल किया जाता है जिसे चरणों की विधि कहा जाता है। उदाहरण के लिए, DDE पर एक ही देरी से विचार करें

$${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t),x(t-\tau ))$$

दी गई प्रारंभिक स्थिति के साथ $\phi \colon [-\tau ,0]\to \mathbb {R} ^{n}$. फिर अंतराल पर समाधान $[0,\tau ]$ द्वारा दिया गया है $\psi (t)$ जो विषम प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान है

$${\frac {d}{dt}}\psi (t)=f(\psi (t),\phi (t-\tau )),$$

साथ $\psi (0)=\phi (0)$. इसे पिछले अंतराल के समाधान को विषम पद के रूप में उपयोग करके क्रमिक अंतरालों के लिए जारी रखा जा सकता है। व्यवहार में, प्रारंभिक मूल्य समस्या को अक्सर संख्यात्मक रूप से हल किया जाता है।

उदाहरण

मान लीजिए $f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )$ और $\phi (t)=1$. फिर प्रारंभिक मूल्य समस्या को एकीकरण के साथ हल किया जा सकता है,

$$x(t)=x(0)+\int _{s=0}^{t}{\frac {d}{dt}}x(s)\,ds=1+a\int _{s=0}^{t}\phi (s-\tau )\,ds,$$

अर्थात।, $x(t)=at+1$, जहां प्रारंभिक स्थिति द्वारा दी गई है $x(0)=\phi (0)=1$. इसी तरह, अंतराल के लिए $t\in [\tau ,2\tau ]$ हम प्रारंभिक स्थिति को एकीकृत और फिट करते हैं,

$${\begin{aligned}x(t)=x(\tau )+\int _{s=\tau }^{t}{\frac {d}{dt}}x(s)\,ds&=(a\tau +1)+a\int _{s=\tau }^{t}\left(a(s-\tau )+1\right)ds\\&=(a\tau +1)+a\int _{s=0}^{t-\tau }\left(as+1\right)ds,\end{aligned}}$$

अर्थात।, ${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$

ओडीई में कमी

कुछ मामलों में, अंतर समीकरणों को एक प्रारूप में प्रदर्शित किया जा सकता है जो विलंबित अंतर समीकरणों की तरह दिखता है।

• उदाहरण 1 एक समीकरण पर विचार कीजिए
  $${\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,d\tau \right).$$
  परिचय देना $y(t)=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,d\tau$ ODEs की एक प्रणाली प्राप्त करने के लिए
  $${\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {d}{dt}}y(t)=x-\lambda y.$$
• उदाहरण 2 एक समीकरण
  $${\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,d\tau \right)$$
  के बराबर है
  $${\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {d}{dt}}y(t)=\cos(\beta )x+\alpha z,\quad {\frac {d}{dt}}z(t)=\sin(\beta )x-\alpha y,$$
  कहां
  $$y=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,d\tau ,\quad z=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\sin(\alpha \tau +\beta )\,d\tau .$$

विशेषता समीकरण

साधारण अंतर समीकरणों के समान, रैखिक DDE के कई गुणों को विशेषता समीकरण (कैलकुलस) का उपयोग करके चित्रित और विश्लेषित किया जा सकता है। असतत देरी के साथ रैखिक डीडीई से जुड़े विशेषता समीकरण

$${\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})$$

है

$$\det(-\lambda I+A_{0}+A_{1}e^{-\tau _{1}\lambda }+\dotsb +A_{m}e^{-\tau _{m}\lambda })=0.$$

अभिलाक्षणिक समीकरण के मूल λ को अभिलाक्षणिक मूल या आइगेनमान कहा जाता है और समाधान समुच्चय को अक्सर मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम के रूप में संदर्भित किया जाता है। विशेषता समीकरण में घातांक के कारण, DDE में, ODE मामले के विपरीत, अनंत संख्या में eigenvalues ​​​​होते हैं, जिससे एक वर्णक्रमीय सिद्धांत अधिक शामिल हो जाता है। स्पेक्ट्रम में हालांकि कुछ गुण होते हैं जिनका विश्लेषण में फायदा उठाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भले ही आइगेनवैल्यू की अनंत संख्या हो, कॉम्प्लेक्स प्लेन में किसी भी वर्टिकल लाइन के दाईं ओर आइगेनवैल्यू की केवल एक सीमित संख्या होती है। यह अभिलाक्षणिक समीकरण एक अरैखिक ईजेन समस्या है और स्पेक्ट्रम की संख्यात्मक रूप से गणना करने के लिए कई विधियाँ हैं। कुछ विशेष स्थितियों में अभिलाक्षणिक समीकरण को स्पष्ट रूप से हल करना संभव है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित डीडीई पर विचार करें:

$${\frac {d}{dt}}x(t)=-x(t-1).$$

विशेषता समीकरण है

$$-\lambda -e^{-\lambda }=0.$$

जटिल λ के लिए इस समीकरण के अनंत समाधान हैं। द्वारा दिए गए हैं

$$\lambda =W_{k}(-1),$$

जहां डब्ल्यू_k लैम्बर्ट डब्ल्यू समारोह की केथ शाखा है।

अनुप्रयोग

• मधुमेह की गतिशीलता
• महामारी विज्ञान
• जनसंख्या में गतिशीलता
• शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स

यह भी देखें

• कार्यात्मक अंतर समीकरण
• हलाने असमानता

आगे की पढाई

• Bellen, Alfredo; Zennaro, Marino (2003). Numerical Methods for Delay Differential Equations. Numerical Mathematics and Scientific Computation. Oxford, UK: Oxford University Press. ISBN 978-0198506546.
• Bellman, Richard; Cooke, Kenneth L. (1963). Differential-Difference Equations (PDF). Mathematics in Science and Engineering. New York, NY: Academic Press. ISBN 978-0120848508.
• Briat, Corentin (2015). Linear Parameter-Varying and Time-Delay Systems: Analysis, Observation, Filtering & Control. Advances in Delays and Dynamics. Heidelberg, DE: Springer-Verlag. ISBN 978-3662440490.
• Driver, Rodney D. (1977). Ordinary and Delay Differential Equations. Applied Mathematical Sciences. Vol. 20. New York, NY: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4684-9467-9. ISBN 978-0387902319.
• Erneux, Thomas (2009). Applied Delay Differential Equations. Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences. Vol. 3. New York, NY: Springer Science+Business Media. doi:10.1007/978-0-387-74372-1. ISBN 978-0387743714.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• गति देनेवाला
• विशेषता समीकरण (पथरी)
• एक मैट्रिक्स का स्पेक्ट्रम
• अरैखिक ईजेनसमस्या
• हम असमानता से नफरत करते हैं

बाहरी कड़ियाँ

• Skip Thompson (ed.). "Delay-Differential Equations". Scholarpedia.