स्थानीयकरण (क्रमविनिमेय बीजगणित)

क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में, स्थानीयकरण हर को किसी दिए गए रिंग (गणित) या मॉड्यूल (गणित) से परिचित कराने का एक औपचारिक तरीका है। अर्थात्, यह मौजूदा रिंग/मॉड्यूल आर में से एक नया रिंग/मॉड्यूल पेश करता है, ताकि इसमें बीजगणितीय अंश शामिल हो। ${\frac {m}{s}},$ ऐसा है कि हर एस, आर के दिए गए सबसेट एस से संबंधित है। यदि एस एक अभिन्न डोमेन के गैर-शून्य तत्वों का सेट है, तो स्थानीयकरण अंशों का क्षेत्र है: यह मामला क्षेत्र के निर्माण को सामान्य बनाता है $\mathbb {Q}$ रिंग से परिमेय संख्याओं का $\mathbb {Z}$ पूर्णांकों का.

तकनीक मौलिक बन गई है, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में, क्योंकि यह शीफ (गणित) सिद्धांत के लिए एक प्राकृतिक लिंक प्रदान करती है। वास्तव में, स्थानीयकरण शब्द की उत्पत्ति बीजगणितीय ज्यामिति में हुई है: यदि आर कुछ ज्यामितीय वस्तु (बीजीय विविधता) वी पर परिभाषित फ़ंक्शन (गणित) की एक अंगूठी है, और कोई बिंदु पी के पास स्थानीय रूप से इस विविधता का अध्ययन करना चाहता है, तो वह इस पर विचार करता है उन सभी फ़ंक्शंस का S सेट करें जो p पर शून्य नहीं हैं और S के संबंध में R को स्थानीयकृत करता है। परिणामी रिंग $S^{-1}R$ इसमें पी के पास वी के व्यवहार के बारे में जानकारी शामिल है, और ऐसी जानकारी शामिल नहीं है जो स्थानीय नहीं है, जैसे किसी फ़ंक्शन का शून्य जो वी के बाहर है (स्थानीय रिंग पर दिए गए उदाहरण की तुलना करें)।

वलय का स्थानीयकरण

क्रमविनिमेय वलय का स्थानीयकरण R गुणात्मक रूप से बंद सेट द्वारा S एक नई अंगूठी है $S^{-1}R$ जिनके अवयव अंश सहित भिन्न हैं R और हर में S.

यदि वलय एक अभिन्न डोमेन है तो निर्माण सामान्यीकृत होता है और भिन्नों के क्षेत्र का बारीकी से अनुसरण करता है, और, विशेष रूप से, पूर्णांकों के भिन्नों के क्षेत्र के रूप में तर्कसंगत संख्याओं का। उन रिंगों के लिए जिनमें शून्य विभाजक होते हैं, निर्माण समान होता है लेकिन अधिक देखभाल की आवश्यकता होती है।

गुणक समुच्चय

स्थानीयकरण आमतौर पर गुणात्मक रूप से बंद सेट के संबंध में किया जाता है S (एक रिंग के तत्वों का गुणक समुच्चय या गुणक प्रणाली भी कहा जाता है)। R, यह का एक उपसमुच्चय है R वह गुणन के अंतर्गत समापन (गणित) है, और सम्मिलित है 1.

आवश्यकता यह है कि S एक गुणक समुच्चय होना स्वाभाविक है, क्योंकि इसका तात्पर्य यह है कि स्थानीयकरण द्वारा प्रस्तुत सभी हर का संबंध है S. एक सेट द्वारा स्थानीयकरण U जो गुणात्मक रूप से बंद नहीं है, उसे भी परिभाषित किया जा सकता है, संभव हर के रूप में तत्वों के सभी उत्पादों को लेकर U. हालाँकि, समान स्थानीयकरण गुणात्मक रूप से बंद सेट का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है Sतत्वों के सभी उत्पादों का U. चूँकि यह अक्सर तर्क और अंकन को सरल बनाता है, गुणात्मक सेटों द्वारा केवल स्थानीयकरण पर विचार करना मानक अभ्यास है।

उदाहरण के लिए, किसी एक तत्व द्वारा स्थानीयकरण s प्रपत्र के भिन्नों का परिचय देता है ${\tfrac {a}{s}},$ लेकिन ऐसे भिन्नों के उत्पाद भी, जैसे ${\tfrac {ab}{s^{2}}}.$ तो, हर गुणक समुच्चय से संबंधित होंगे $\{1,s,s^{2},s^{3},\ldots \}$ की शक्तियों का s. इसलिए, कोई आम तौर पर किसी तत्व द्वारा स्थानीयकरण के बजाय किसी तत्व की शक्तियों द्वारा स्थानीयकरण की बात करता है।

वलय का स्थानीयकरण R गुणक समुच्चय द्वारा S को आम तौर पर दर्शाया जाता है $S^{-1}R,$ लेकिन अन्य संकेतन आमतौर पर कुछ विशेष मामलों में उपयोग किए जाते हैं: यदि $S=\{1,t,t^{2},\ldots \}$ एक ही तत्व की शक्तियों से युक्त है, $S^{-1}R$ अक्सर निरूपित किया जाता है $R_{t};$ अगर $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ एक प्रमुख आदर्श का पूरक (सेट सिद्धांत) है ${\mathfrak {p}}$, तब $S^{-1}R$ निरूपित किया जाता है $R_{\mathfrak {p}}.$ इस लेख के शेष भाग में, केवल गुणक समुच्चय द्वारा स्थानीयकरण पर विचार किया गया है।

इंटीग्रल डोमेन

जब अंगूठी R एक अभिन्न डोमेन है और S शामिल नहीं है 0, अंगूठी $S^{-1}R$ के भिन्नों के क्षेत्र का एक उपरिंग है R. इस प्रकार, एक डोमेन का स्थानीयकरण एक डोमेन है।

अधिक सटीक रूप से, यह भिन्नों के क्षेत्र का उप-वलय है R, जिसमें भिन्न शामिल हैं ${\tfrac {a}{s}}$ ऐसा है कि $s\in S.$ यह योग के बाद से एक उपरिंग है ${\tfrac {a}{s}}+{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {at+bs}{st}},$ और उत्पाद ${\tfrac {a}{s}}\,{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {ab}{st}}$ के दो तत्वों का $S^{-1}R$ में हैं $S^{-1}R.$ यह गुणक समुच्चय की परिभाषित संपत्ति से उत्पन्न होता है, जिसका तात्पर्य यह भी है $1={\tfrac {1}{1}}\in S^{-1}R.$ इस मामले में, R का एक उपरिंग है $S^{-1}R.$ यह नीचे दिखाया गया है कि यह अब सामान्य रूप से सच नहीं है, आमतौर पर जब S में शून्य विभाजक हैं।

उदाहरण के लिए, दशमलव अंश दस की शक्तियों के गुणक सेट द्वारा पूर्णांकों की अंगूठी का स्थानीयकरण है। इस मामले में, $S^{-1}R$ इसमें परिमेय संख्याएँ शामिल हैं जिन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है ${\tfrac {n}{10^{k}}},$ कहाँ n एक पूर्णांक है, और k एक अऋणात्मक पूर्णांक है.

सामान्य निर्माण

सामान्य स्थिति में, शून्य भाजक के साथ एक समस्या उत्पन्न होती है। होने देना S क्रमविनिमेय वलय में एक गुणक समुच्चय बनें R. लगता है कि $s\in S,$ और $0\neq a\in R$ के साथ एक शून्य भाजक है $as=0.$ तब ${\tfrac {a}{1}}$ में छवि है $S^{-1}R$ का $a\in R,$ और एक के पास है ${\tfrac {a}{1}}={\tfrac {as}{s}}={\tfrac {0}{s}}={\tfrac {0}{1}}.$ इस प्रकार कुछ अशून्य तत्व R शून्य होना चाहिए $S^{-1}R.$ इसके बाद का निर्माण इसे ध्यान में रखकर बनाया गया है।

दिया गया R और S जैसा कि ऊपर बताया गया है, कोई तुल्यता संबंध पर विचार करता है $R\times S$ जिसे परिभाषित किया गया है $(r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})$ यदि कोई मौजूद है $t\in S$ ऐसा है कि $t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.$ स्थानीयकरण $S^{-1}R$ इस संबंध के लिए समतुल्य वर्गों के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है। की कक्षा (r, s) के रूप में दर्शाया गया है ${\frac {r}{s}},$ $r/s,$ या $s^{-1}r.$ तो, एक के पास है ${\tfrac {r_{1}}{s_{1}}}={\tfrac {r_{2}}{s_{2}}}$ यदि और केवल यदि कोई है $t\in S$ ऐसा है कि $t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.$ का कारण $t$ उपरोक्त जैसे मामलों को संभालना है ${\tfrac {a}{1}}={\tfrac {0}{1}},$ कहाँ $s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1}$ अशून्य है भले ही भिन्नों को बराबर माना जाना चाहिए।

स्थानीयकरण $S^{-1}R$ जोड़ के साथ एक क्रमविनिमेय वलय है

${\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}},$

गुणा

${\frac {r_{1}}{s_{1}}}\,{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}},$

जोड़ने योग्य पहचान ${\tfrac {0}{1}},$ और गुणात्मक पहचान ${\tfrac {1}{1}}.$ फ़ंक्शन (गणित)

$r\mapsto {\frac {r}{1}}$

से एक वलय समरूपता को परिभाषित करता है $R$ में $S^{-1}R,$ जो इंजेक्शन समारोह है यदि और केवल यदि S में कोई शून्य भाजक नहीं है।

अगर $0\in S,$ तब $S^{-1}R$ वह शून्य वलय है जो है 0 अद्वितीय तत्व के रूप में।

अगर S के सभी शून्य विभाजक का समुच्चय है R (अर्थात् वे तत्व जो शून्य भाजक नहीं हैं), $S^{-1}R$ के भिन्नों का कुल वलय कहलाता है R.

सार्वभौम संपत्ति

(ऊपर परिभाषित) वलय समरूपता $j\colon R\to S^{-1}R$ एक सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है जिसका वर्णन नीचे किया गया है। यह विशेषता है $S^{-1}R$ एक समरूपता तक। इसलिए स्थानीयकरण के सभी गुणों को सार्वभौमिक संपत्ति से, उनके निर्माण के तरीके से स्वतंत्र रूप से निकाला जा सकता है। इसके अलावा, स्थानीयकरण के कई महत्वपूर्ण गुण सार्वभौमिक गुणों के सामान्य गुणों से आसानी से निकाले जा सकते हैं, जबकि उनका प्रत्यक्ष प्रमाण एक साथ तकनीकी, सीधा और उबाऊ हो सकता है।

सार्वभौम संपत्ति से संतुष्ट $j\colon R\to S^{-1}R$ निम्नलखित में से कोई:

अगर $f\colon R\to T$ एक रिंग होमोमोर्फिज्म है जो प्रत्येक तत्व को मैप करता है S एक इकाई (रिंग सिद्धांत) (उलटा तत्व) में T, एक अद्वितीय वलय समरूपता मौजूद है $g\colon S^{-1}R\to T$ ऐसा है कि $f=g\circ j.$

श्रेणी सिद्धांत का उपयोग करते हुए, इसे यह कहकर व्यक्त किया जा सकता है कि स्थानीयकरण एक फ़नकार है जिसे एक भुलक्कड़ फ़नकार के साथ छोड़ दिया जाता है। अधिक सटीक रूप से, चलो ${\mathcal {C}}$ और ${\mathcal {D}}$ वे श्रेणियां हों जिनकी वस्तुओं को एक क्रमविनिमेय वलय और एक [[सबमोनोइड]] की जोड़ी का क्रम दिया गया हो, क्रमशः, गुणक मोनॉइड या वलय की इकाइयों का समूह। इन श्रेणियों के आकारिकी रिंग होमोमोर्फिज्म हैं जो पहली वस्तु के सबमोनॉइड को दूसरे ऑब्जेक्ट के सबमोनॉइड में मैप करते हैं। अंत में, चलो ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$ भुलक्कड़ फ़ंक्टर बनें जो भूल जाता है कि जोड़ी के दूसरे तत्व के तत्व उलटे हैं।

फिर गुणनखंडीकरण $f=g\circ j$ सार्वभौमिक संपत्ति एक आक्षेप को परिभाषित करती है

$\hom _{\mathcal {C}}((R,S),{\mathcal {F}}(T,U))\to \hom _{\mathcal {D}}((S^{-1}R,j(S)),(T,U)).$

यह सार्वभौमिक संपत्ति को व्यक्त करने का एक पेचीदा तरीका लग सकता है, लेकिन यह इस तथ्य का उपयोग करके कई गुणों को आसानी से दिखाने के लिए उपयोगी है कि दो बाएं सहायक फ़ंक्शनक्टर की संरचना एक बाएं सहायक फ़ैक्टर है।

उदाहरण

• अगर $R=\mathbb {Z}$ पूर्णांकों का वलय है, और $S=\mathbb {Z} \setminus \{0\},$ तब $S^{-1}R$ मैदान है $\mathbb {Q}$ तर्कसंगत संख्याओं का.
• अगर R एक अभिन्न डोमेन है, और $S=R\setminus \{0\},$ तब $S^{-1}R$ के भिन्नों का क्षेत्र है R. पिछला उदाहरण इसका एक विशेष मामला है।
• अगर R एक क्रमविनिमेय वलय है, और यदि S इसके तत्वों का उपसमुच्चय है जो शून्य विभाजक नहीं है $S^{-1}R$ के भिन्नों का कुल वलय है R. इस मामले में, S समरूपता जैसा सबसे बड़ा गुणन समुच्चय है $R\to S^{-1}R$ इंजेक्शन है. पिछला उदाहरण इसका एक विशेष मामला है।
• अगर x क्रमविनिमेय वलय का एक तत्व है R और $S=\{1,x,x^{2},\ldots \},$ तब $S^{-1}R$ पहचाना जा सकता है (विहित समरूपता है) $R[x^{-1}]=R[s]/(xs-1).$ (प्रमाण में यह दर्शाया गया है कि यह वलय उपरोक्त सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है।) इस प्रकार का स्थानीयकरण एक एफ़िन योजना की परिभाषा में एक मौलिक भूमिका निभाता है।
• अगर ${\mathfrak {p}}$ क्रमविनिमेय वलय का एक प्रमुख आदर्श है R, सेट पूरक $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ का ${\mathfrak {p}}$ में R एक गुणक समुच्चय है (मुख्य आदर्श की परिभाषा के अनुसार)। अंगूठी $S^{-1}R$ एक स्थानीय वलय है जिसे आम तौर पर दर्शाया जाता है $R_{\mathfrak {p}},$ और स्थानीय रिंग को बुलाया R पर ${\mathfrak {p}}.$ इस प्रकार का स्थानीयकरण क्रमविनिमेय बीजगणित में मौलिक है, क्योंकि एक क्रमविनिमेय वलय के कई गुणों को उसके स्थानीय वलय पर पढ़ा जा सकता है। ऐसी संपत्ति को अक्सर स्थानीय संपत्ति कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक वलय नियमित वलय है यदि और केवल तभी जब इसके सभी स्थानीय वलय नियमित हों।

रिंग गुण

स्थानीयकरण एक समृद्ध निर्माण है जिसमें कई उपयोगी गुण हैं। इस खंड में, केवल छल्ले और एकल स्थानीयकरण से संबंधित गुणों पर विचार किया जाता है। आदर्श (रिंग सिद्धांत), मॉड्यूल (गणित), या कई गुणक सेटों से संबंधित गुणों पर अन्य अनुभागों में विचार किया जाता है।

• $S^{-1}R=0$ अगर और केवल अगर S रोकना 0.
• वलय समरूपता $R\to S^{-1}R$ इंजेक्शन है यदि और केवल यदि S में कोई शून्य भाजक नहीं है।
• वलय समरूपता $R\to S^{-1}R$ छल्लों की श्रेणी में एक प्रतीकवाद है, जो सामान्य तौर पर विशेषण नहीं है।
• अंगूठी $S^{-1}R$ एक फ्लैट मॉड्यूल है|फ्लैट R-मॉड्यूल (देखें § Localization of a module जानकारी के लिए)।
• अगर $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ एक प्रमुख आदर्श का पूरक (सेट सिद्धांत) है ${\mathfrak {p}}$, तब $S^{-1}R,$ लक्षित $R_{\mathfrak {p}},$ एक स्थानीय वलय है; अर्थात् इसका केवल एक अधिकतम आदर्श है।

संपत्तियों को दूसरे अनुभाग में ले जाया जाना है

• स्थानीयकरण परिमित योगों, उत्पादों, प्रतिच्छेदनों और मूलांकों के निर्माण के साथ चलता है; उदाहरण के लिए, यदि ${\sqrt {I}}$ फिर, R में एक आदर्श I के मूलांक को निरूपित करें

${\sqrt {I}}\cdot S^{-1}R={\sqrt {I\cdot S^{-1}R}}\,.$

विशेष रूप से, आर कम रिंग है यदि और केवल तभी जब इसके अंशों की कुल रिंग कम हो जाती है।

• माना कि R भिन्न K के क्षेत्र के साथ एक अभिन्न डोमेन है। फिर इसका स्थानीयकरण $R_{\mathfrak {p}}$ एक प्रमुख आदर्श पर ${\mathfrak {p}}$ K के उपरिंग के रूप में देखा जा सकता है। इसके अलावा,

$R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}$

जहां पहला प्रतिच्छेदन सभी प्रमुख आदर्शों पर है और दूसरा अधिकतम आदर्शों पर है।

• एस के प्रमुख आदर्शों के सेट के बीच एक आपत्ति है⁻¹R और R के अभाज्य आदर्शों का समुच्चय जो S को प्रतिच्छेद नहीं करता है। यह आक्षेप दिए गए समरूपता R → S से प्रेरित है⁻¹आर.

गुणक समुच्चय की संतृप्ति

होने देना $S\subseteq R$ एक गुणक समुच्चय हो. संतृप्ति ${\hat {S}}$ का $S$ सेट है

${\hat {S}}=\{r\in R\colon \exists s\in R,rs\in S\}.$

गुणक समुच्चय S संतृप्त है यदि यह उसकी संतृप्ति के बराबर है, अर्थात यदि ${\hat {S}}=S$, या समकक्ष, यदि $rs\in S$ इसका आशय है r और s में हैं S.

अगर S संतृप्त नहीं है, और $rs\in S,$ तब ${\frac {s}{rs}}$ की छवि का गुणात्मक व्युत्क्रम है r में $S^{-1}R.$ तो, के तत्वों की छवियाँ ${\hat {S}}$ सभी उलटे हैं $S^{-1}R,$ और सार्वभौमिक संपत्ति का तात्पर्य यह है $S^{-1}R$ और ${\hat {S}}{}^{-1}R$ विहित समरूपता हैं, अर्थात्, उनके बीच एक अद्वितीय समरूपता है जो तत्वों की छवियों को ठीक करती है R.

अगर S और T तो फिर दो गुणात्मक समुच्चय हैं $S^{-1}R$ और $T^{-1}R$ समरूपी हैं यदि और केवल यदि उनकी संतृप्ति समान है, या, समकक्ष, यदि s गुणक समुच्चय में से किसी एक से संबंधित है, तो अस्तित्व में है $t\in R$ ऐसा है कि st दूसरे का है.

संतृप्त गुणक सेटों का व्यापक रूप से स्पष्ट रूप से उपयोग नहीं किया जाता है, क्योंकि, यह सत्यापित करने के लिए कि एक सेट संतृप्त है, किसी को रिंग की सभी इकाई (रिंग सिद्धांत) को जानना चाहिए।

संदर्भ द्वारा समझाई गई शब्दावली

स्थानीयकरण शब्द की उत्पत्ति आधुनिक गणित की ज्यामिति और टोपोलॉजी वस्तुओं का स्थानीय स्तर पर अध्ययन करने की सामान्य प्रवृत्ति से हुई है, जो कि प्रत्येक बिंदु के पास उनके व्यवहार के संदर्भ में है। इस प्रवृत्ति के उदाहरण कई गुना ्स, जर्म (गणित) और शीफ (गणित) की मूलभूत अवधारणाएँ हैं। बीजीय ज्यामिति में, एक एफ़िन बीजगणितीय सेट को बहुपद रिंग के भागफल रिंग के साथ इस तरह से पहचाना जा सकता है कि बीजगणितीय सेट के बिंदु रिंग के अधिकतम आदर्शों के अनुरूप हों (यह हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसट्ज़ है)। इस पत्राचार को एक कम्यूटेटिव रिंग के प्रमुख आदर्शों के सेट को ज़ारिस्की टोपोलॉजी से सुसज्जित एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनाने के लिए सामान्यीकृत किया गया है; इस टोपोलॉजिकल स्पेस को रिंग का स्पेक्ट्रम कहा जाता है।

इस संदर्भ में, गुणक सेट द्वारा स्थानीयकरण को रिंग के स्पेक्ट्रम के प्रमुख आदर्शों (बिंदुओं के रूप में देखे गए) के उप-स्थान पर प्रतिबंध के रूप में देखा जा सकता है जो गुणक सेट को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

स्थानीयकरण के दो वर्गों पर अधिक सामान्यतः विचार किया जाता है:

• गुणात्मक समुच्चय एक प्रधान आदर्श का पूरक (समुच्चय सिद्धांत) है ${\mathfrak {p}}$ एक अंगूठी का R. इस मामले में, कोई स्थानीयकरण की बात करता है ${\mathfrak {p}}$, या एक बिंदु पर स्थानीयकरण . परिणामी अंगूठी, निरूपित $R_{\mathfrak {p}}$ एक स्थानीय वलय है, और एक रोगाणु (गणित)#कीटाणुओं का बीजगणितीय एनालॉग है।
• गुणक समुच्चय में एक तत्व की सभी शक्तियाँ शामिल होती हैं t एक अंगूठी का R. परिणामी वलय को सामान्यतः निरूपित किया जाता है $R_{t},$ और इसका स्पेक्ट्रम प्रमुख आदर्शों का ज़ारिस्की खुला सेट है जिसमें शामिल नहीं है t. इस प्रकार स्थानीयकरण एक बिंदु के पड़ोस में टोपोलॉजिकल स्पेस के प्रतिबंध का एनालॉग है (प्रत्येक प्रमुख आदर्श में पड़ोस का आधार होता है जिसमें इस फॉर्म के ज़ारिस्की खुले सेट शामिल होते हैं)।

संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय टोपोलॉजी में, रिंग पर काम करते समय $\mathbb {Z}$ पूर्णांकों में से एक पूर्णांक के सापेक्ष किसी गुण को संदर्भित करता है n एक संपत्ति के रूप में सच है n या दूर n, उस स्थानीयकरण पर निर्भर करता है जिस पर विचार किया गया है। से दूर n का अर्थ है कि संपत्ति की शक्तियों द्वारा स्थानीयकरण के बाद विचार किया जाता है n, और अगर p एक अभाज्य संख्या है, पर p का अर्थ है कि संपत्ति को स्थानीयकरण के बाद मुख्य आदर्श पर माना जाता है $p\mathbb {Z}$. इस शब्दावली को इस तथ्य से समझाया जा सकता है कि, यदि p अभाज्य है, स्थानीयकरण का गैर-शून्य अभाज्य आदर्श $\mathbb {Z}$ या तो सिंगलटन सेट हैं {p} या अभाज्य संख्याओं के समुच्चय में इसका पूरक।

आदर्शों का स्थानीयकरण और संतृप्ति

होने देना S क्रमविनिमेय वलय में एक गुणक समुच्चय बनें R, और $j\colon R\to S^{-1}R$ विहित वलय समरूपता हो। एक आदर्श दिया गया (रिंग सिद्धांत) I में R, होने देना $S^{-1}I$ भिन्नों का समुच्चय $S^{-1}R$ जिसका अंश है I. यह एक आदर्श है $S^{-1}R,$ जिससे उत्पन्न होता है j(I), और का स्थानीयकरण कहा जाता है I द्वारा S.

की संतृप्ति I द्वारा S है $j^{-1}(S^{-1}I);$ यह एक आदर्श है R, जिसे तत्वों के समुच्चय के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है $r\in R$ ऐसा कि वहां मौजूद है $s\in S$ साथ $sr\in I.$ आदर्शों के कई गुण या तो संतृप्ति और स्थानीयकरण द्वारा संरक्षित होते हैं, या स्थानीयकरण और संतृप्ति के सरल गुणों द्वारा चित्रित किए जा सकते हैं। जो आगे हुआ, S एक वलय में गुणक समुच्चय है R, और I और J के आदर्श हैं R; एक आदर्श की संतृप्ति I गुणक समुच्चय द्वारा S दर्शाया गया है $\operatorname {sat} _{S}(I),$ या, जब गुणक समुच्चय S प्रसंग से स्पष्ट है, $\operatorname {sat} (I).$ * $1\in S^{-1}I\quad \iff \quad 1\in \operatorname {sat} (I)\quad \iff \quad S\cap I\neq \emptyset$

• $I\subseteq J\quad \ \implies \quad \ S^{-1}I\subseteq S^{-1}J\quad \ {\text{and}}\quad \ \operatorname {sat} (I)\subseteq \operatorname {sat} (J)$
  (यह सख्त उपसमुच्चय के लिए हमेशा सत्य नहीं है)
• $S^{-1}(I\cap J)=S^{-1}I\cap S^{-1}J,\qquad \,\operatorname {sat} (I\cap J)=\operatorname {sat} (I)\cap \operatorname {sat} (J)$
• $S^{-1}(I+J)=S^{-1}I+S^{-1}J,\qquad \operatorname {sat} (I+J)=\operatorname {sat} (I)+\operatorname {sat} (J)$
• $S^{-1}(I\cdot J)=S^{-1}I\cdot S^{-1}J,\qquad \quad \operatorname {sat} (I\cdot J)=\operatorname {sat} (I)\cdot \operatorname {sat} (J)$
• अगर ${\mathfrak {p}}$ ऐसा एक प्रमुख आदर्श है ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset ,$ तब $S^{-1}{\mathfrak {p}}$ एक प्रमुख आदर्श है और ${\mathfrak {p}}=\operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})$; यदि चौराहा खाली नहीं है, तो $S^{-1}{\mathfrak {p}}=S^{-1}R$ और $\operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})=R.$

मॉड्यूल का स्थानीयकरण

होने देना R एक क्रमविनिमेय वलय बनें, S एक गुणात्मक सेट बनें R, और M सेम R-मॉड्यूल (गणित)। मॉड्यूल का स्थानीयकरण M द्वारा S, निरूपित S⁻¹M, एक S⁻¹R-मॉड्यूल जिसका निर्माण बिल्कुल स्थानीयकरण के अनुसार किया गया है R, सिवाय इसके कि अंशों के अंश संबंधित हैं M. अर्थात्, एक समुच्चय के रूप में, इसमें समतुल्य वर्ग दर्शाए गए हैं ${\frac {m}{s}}$, जोड़ियों का (m, s), कहाँ $m\in M$ और $s\in S,$ और दो जोड़े (m, s) और {{math|(n, t)}यदि कोई तत्व है तो } समतुल्य हैं u में S ऐसा है कि

$u(sn-tm)=0.$

जोड़ और अदिश गुणन को सामान्य भिन्नों के लिए परिभाषित किया गया है (निम्न सूत्र में, $r\in R,$ $s,t\in S,$ और $m,n\in M$):

${\frac {m}{s}}+{\frac {n}{t}}={\frac {tm+sn}{st}},$

${\frac {r}{s}}{\frac {m}{t}}={\frac {rm}{st}}.$

इसके अतिरिक्त, S⁻¹M भी एक है R-अदिश गुणन के साथ मॉड्यूल

$r\,{\frac {m}{s}}={\frac {r}{1}}{\frac {m}{s}}={\frac {rm}{s}}.$

यह जांचना सीधा है कि ये ऑपरेशन अच्छी तरह से परिभाषित हैं, यानी, वे भिन्नों के प्रतिनिधियों के विभिन्न विकल्पों के लिए समान परिणाम देते हैं।

मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का उपयोग करके मॉड्यूल के स्थानीयकरण को समकक्ष रूप से परिभाषित किया जा सकता है:

$S^{-1}M=S^{-1}R\otimes _{R}M.$

तुल्यता का प्रमाण (विहित समरूपता तक) यह दिखाकर किया जा सकता है कि दोनों परिभाषाएँ समान सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करती हैं।

मॉड्यूल गुण

अगर M एक का एक सबमॉड्यूल है R-मापांक N, और S एक गुणक समुच्चय है R, किसी के पास $S^{-1}M\subseteq S^{-1}N.$ इसका तात्पर्य यह है कि, यदि $f\colon M\to N$ तो, एक इंजेक्शन मॉड्यूल समरूपता है

$S^{-1}R\otimes _{R}f:\quad S^{-1}R\otimes _{R}M\to S^{-1}R\otimes _{R}N$

एक इंजेक्शन समरूपता भी है।

चूँकि टेंसर उत्पाद एक सही सटीक फ़नकारक है, इसका तात्पर्य यह है कि स्थानीयकरण S के सटीक अनुक्रमों को मैप करता है R-सटीक अनुक्रमों के लिए मॉड्यूल $S^{-1}R$-मॉड्यूल. दूसरे शब्दों में, स्थानीयकरण एक सटीक फ़ैक्टर है, और $S^{-1}R$ एक फ्लैट मॉड्यूल है|फ्लैट R-मापांक।

यह सपाटता और यह तथ्य कि स्थानीयकरण एक सार्वभौमिक संपत्ति को हल करता है, स्थानीयकरण मॉड्यूल और रिंगों के कई गुणों को संरक्षित करता है, और अन्य सार्वभौमिक गुणों के समाधान के साथ संगत है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक परिवर्तन

$S^{-1}(M\otimes _{R}N)\to S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N$

एक समरूपता है. अगर $M$ एक सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत मॉड्यूल, प्राकृतिक मानचित्र है

$S^{-1}\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\to \operatorname {Hom} _{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N)$

यह भी एक समरूपता है। यदि एक मॉड्यूल एम, आर के ऊपर एक अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है, तो किसी के पास है

$S^{-1}(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Ann} _{S^{-1}R}(S^{-1}M),$

कहाँ $\operatorname {Ann}$ विनाशक (रिंग सिद्धांत) को दर्शाता है, जो कि रिंग के तत्वों का आदर्श है जो मॉड्यूल के सभी तत्वों को शून्य करने के लिए मैप करता है। विशेष रूप से,

$S^{-1}M=0\quad \iff \quad S\cap \operatorname {Ann} _{R}(M)\neq \emptyset ,$ वह है, यदि $tM=0$ कुछ के लिए $t\in S.$

अभाज्य संख्याओं पर स्थानीयकरण

एक प्रमुख आदर्श की परिभाषा का तात्पर्य यह है कि सेट पूरक है $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ एक प्रमुख आदर्श का ${\mathfrak {p}}$ एक क्रमविनिमेय वलय में R एक गुणक समुच्चय है। इस मामले में, स्थानीयकरण $S^{-1}R$ सामान्यतः निरूपित किया जाता है $R_{\mathfrak {p}}.$ अंगूठी $R_{\mathfrak {p}}$ एक स्थानीय वलय है, जिसे स्थानीय वलय कहते हैं R पर ${\mathfrak {p}}.$ इस का मतलब है कि ${\mathfrak {p}}\,R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}$ वलय का अद्वितीय अधिकतम आदर्श है $R_{\mathfrak {p}}.$ ऐसे स्थानीयकरण कई कारणों से क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति के लिए मौलिक हैं। एक यह है कि सामान्य कम्यूटेटिव रिंगों की तुलना में स्थानीय रिंगों का अध्ययन करना अक्सर आसान होता है, विशेष रूप से एम्मा नाकायमा के कारण। हालाँकि, मुख्य कारण यह है कि किसी अंगूठी के लिए कई गुण तभी सत्य होते हैं जब वे उसके सभी स्थानीय छल्लों के लिए सत्य हों। उदाहरण के लिए, एक वलय नियमित वलय है यदि और केवल तभी जब इसके सभी स्थानीय वलय नियमित स्थानीय वलय हों।

किसी वलय के गुण जिन्हें उसके स्थानीय छल्लों पर चित्रित किया जा सकता है, स्थानीय गुण कहलाते हैं, और अक्सर बीजगणितीय किस्मों की ज्यामितीय स्थानीय संपत्ति के बीजगणितीय समकक्ष होते हैं, जो ऐसे गुण होते हैं जिनका अध्ययन विविधता के प्रत्येक बिंदु के एक छोटे से पड़ोस तक सीमित करके किया जा सकता है। . (स्थानीय संपत्ति की एक और अवधारणा है जो ज़ारिस्की खुले सेटों के स्थानीयकरण को संदर्भित करती है; देखें § Localization to Zariski open sets, नीचे।)

कई स्थानीय संपत्तियाँ इस तथ्य का परिणाम हैं कि मॉड्यूल

$\bigoplus _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$

एक विश्वसनीय रूप से सपाट मॉड्यूल है जब सभी प्रमुख आदर्शों (या सभी अधिकतम आदर्शों) पर सीधा योग लिया जाता है R). ईमानदारी से सपाट उतराई भी देखें।

स्थानीय संपत्तियों के उदाहरण

एक संपत्ति P की एक R-मापांक M एक स्थानीय संपत्ति है यदि निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं:

• P के लिए रखता है M.
• P सभी के लिए धारण करता है $M_{\mathfrak {p}},$ कहाँ ${\mathfrak {p}}$ का एक प्रमुख आदर्श है R.
• P सभी के लिए धारण करता है $M_{\mathfrak {m}},$ कहाँ ${\mathfrak {m}}$ का एक अधिकतम आदर्श है R.

निम्नलिखित स्थानीय संपत्तियाँ हैं:

• Mशून्य है.
• M मरोड़-मुक्त है (उस मामले में जहां R एक क्रमविनिमेय डोमेन है)।
• M एक फ्लैट मॉड्यूल है.
• M एक उलटा मॉड्यूल है (उस मामले में जहां R एक क्रमविनिमेय डोमेन है, और M के भिन्नों के क्षेत्र का एक उपमॉड्यूल है R).
• $f\colon M\to N$ विशेषण (सम्मान विशेषण) है, जहाँ N दूसरा है R-मापांक।

दूसरी ओर, कुछ संपत्तियाँ स्थानीय संपत्तियाँ नहीं हैं। उदाहरण के लिए, फ़ील्ड (गणित) का एक अनंत प्रत्यक्ष उत्पाद एक अभिन्न डोमेन नहीं है और न ही नोथेरियन अंगूठी है, जबकि इसके सभी स्थानीय रिंग फ़ील्ड हैं, और इसलिए नोथेरियन इंटीग्रल डोमेन हैं।

गैर क्रमविनिमेय वलय

गैर-कम्यूटेटिव रिंगों को स्थानीय बनाना अधिक कठिन है। जबकि संभावित इकाइयों के प्रत्येक सेट एस के लिए स्थानीयकरण मौजूद है, यह ऊपर वर्णित एक से भिन्न रूप ले सकता है। एक शर्त जो यह सुनिश्चित करती है कि स्थानीयकरण अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है वह अयस्क की स्थिति है।

गैर-कम्यूटेटिव रिंगों के लिए एक मामला जहां स्थानीयकरण में स्पष्ट रुचि है, अंतर ऑपरेटरों के रिंगों के लिए है। इसकी व्याख्या है, उदाहरण के लिए, एक औपचारिक व्युत्क्रम डी से सटे होने की⁻¹एक विभेदन ऑपरेटर डी के लिए। यह विभेदक समीकरणों के तरीकों में कई संदर्भों में किया जाता है। अब इसके बारे में एक बड़ा गणितीय सिद्धांत है, जिसे माइक्रोलोकल विश्लेषण नाम दिया गया है, जो कई अन्य शाखाओं से जुड़ता है। माइक्रो-टैग का संबंध विशेष रूप से फूरियर सिद्धांत से है।

यह भी देखें

• स्थानीय विश्लेषण
• किसी श्रेणी का स्थानीयकरण
• टोपोलॉजिकल स्पेस का स्थानीयकरण

संदर्भ

• Atiyah and MacDonald. Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley.
• Borel, Armand. Linear Algebraic Groups (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97370-2.
• Cohn, P. M. (1989). "§ 9.3". Algebra. Vol. 2 (2nd ed.). Chichester: John Wiley & Sons Ltd. pp. xvi+428. ISBN 0-471-92234-X. MR 1006872.
• Cohn, P. M. (1991). "§ 9.1". Algebra. Vol. 3 (2nd ed.). Chichester: John Wiley & Sons Ltd. pp. xii+474. ISBN 0-471-92840-2. MR 1098018.
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
• Matsumura. Commutative Algebra. Benjamin-Cummings
• Stenström, Bo (1971). Rings and modules of quotients. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 237. Berlin: Springer-Verlag. pp. vii+136. ISBN 978-3-540-05690-4. MR 0325663.
• Serge Lang, "Algebraic Number Theory," Springer, 2000. pages 3–4.

बाहरी संबंध

• Localization from MathWorld.