हेनरी लेबेस्गुए

Henri Lebesgue
Henri Lebesgue
जन्म	June 28, 1875; Beauvais, Oise, France
मर गया	July 26, 1941 (aged 66); Paris, France
राष्ट्रीयता	French
अल्मा मेटर	École Normale Supérieure; University of Paris
के लिए जाना जाता है	Lebesgue integration; Lebesgue measure
पुरस्कार	Fellow of the Royal Society; Poncelet Prize for 1914
	Scientific career
खेत	Mathematics
संस्थानों	University of Rennes; University of Poitiers; University of Paris; Collège de France
Doctoral advisor	Émile Borel
डॉक्टरेट के छात्र	Paul Montel; Zygmunt Janiszewski; Georges de Rham

हेनरी लियोन लेब्सग्यू ForMemRS^[1](French: [ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ]; 28 जून, 1875 - 26 जुलाई, 1941) एक फ्रांसीसी गणितज्ञ थे जो अपने लेबेस्ग एकीकरण के लिए जाने जाते थे, जो एकीकरण की 17वीं शताब्दी की अवधारणा का सामान्यीकरण था - एक अक्ष और उस अक्ष के लिए परिभाषित फ़ंक्शन के वक्र के बीच के क्षेत्र का योग। उनका सिद्धांत मूल रूप से 1902 के दौरान नैन्सी विश्वविद्यालय में उनके शोध प्रबंध इंटीग्रल, लॉन्ग्युर, ऐरे (इंटीग्रल, लंबाई, क्षेत्र) में प्रकाशित हुआ था।^[3]^[4]

निजी जीवन

हेनरी लेबेस्गु का जन्म 28 जून 1875 को ब्यूवैस, ओसे में हुआ था। लेबेस्गुए के पिता टाइप बैठना थे और उनकी माँ एक स्कूल अध्यापक थीं। उनके माता-पिता ने घर पर एक पुस्तकालय बनाया जिसका उपयोग युवा हेनरी कर सके। जब लेब्सग्यू अभी बहुत छोटा था तब उसके पिता की तपेदिक से मृत्यु हो गई और उसकी माँ को अकेले ही उसका भरण-पोषण करना पड़ा। चूँकि उन्होंने प्राथमिक विद्यालय में गणित के लिए एक उल्लेखनीय प्रतिभा दिखाई, उनके एक प्रशिक्षक ने कॉलेज डी ब्यूवैस और फिर पेरिस में लीसी सेंट-लुई और लीसी लुइस-ले-ग्रैंड में उनकी शिक्षा जारी रखने के लिए सामुदायिक सहायता की व्यवस्था की।^[5] 1894 में लेबेस्गु को इकोले नॉर्मले सुप्रीयर में स्वीकार कर लिया गया, जहां उन्होंने गणित के अध्ययन पर अपनी ऊर्जा केंद्रित करना जारी रखा, 1897 में स्नातक की उपाधि प्राप्त की। स्नातक होने के बाद वे दो साल तक इकोले नॉर्मले सुप्रीयर में रहे, पुस्तकालय में काम किया, जहां उन्हें जागरूक किया गया उस समय स्कूल के हाल ही में स्नातक रेने-लुई बेयर द्वारा किए गए असंततता (गणित) पर शोध का। उसी समय उन्होंने पेरिस विश्वविद्यालय में अपनी स्नातक की पढ़ाई शुरू की, जहां उन्होंने प्रारंभिक माप सिद्धांत पर एमिल बोरेल के काम और जॉर्डन उपाय पर केमिली जॉर्डन के काम के बारे में सीखा। 1899 में वह अपने डॉक्टरेट पर काम जारी रखते हुए फ्रांस के नैन्सी में लीसी सेंट्रल में एक शिक्षण पद पर चले गए। 1902 में उन्होंने इंटीग्रल, लेंथ, एरिया पर मौलिक थीसिस के साथ सोरबोन से पीएचडी की उपाधि प्राप्त की, जो चार साल बड़े बोरेल के साथ सलाहकार के रूप में प्रस्तुत की गई थी।^[6] लेबेस्गुए ने अपने एक साथी छात्र की बहन से शादी की, और उनके और उनकी पत्नी के दो बच्चे थे, सुज़ैन और जैक्स।

अपनी थीसिस प्रकाशित करने के बाद, लेब्सग्यू को 1902 में रेनेस विश्वविद्यालय में एक पद की पेशकश की गई, जहां उन्होंने 1906 तक व्याख्यान दिया, जब वह पोइटियर्स विश्वविद्यालय के विज्ञान संकाय में चले गए। 1910 में लेबेस्गु एक मैत्रे डे कॉन्फ्रेंस के रूप में सोरबोन चले गए, जहां 1919 में उन्हें प्रोफेसर के रूप में पदोन्नत किया गया। 1921 में उन्होंने कॉलेज डी फ्रांस में गणित के प्रोफेसर बनने के लिए सोरबोन छोड़ दिया, जहां उन्होंने जीवन भर व्याख्यान दिया और शोध किया। .^[7] 1922 में उन्हें एकेडेमी डेस साइंसेज का सदस्य चुना गया। हेनरी लेबेस्गुए की मृत्यु 26 जुलाई 1941 को पेरिस में हुई।^[6]

गणितीय कैरियर

फ़ाइल:लेब्सग्यू - लेकन्स सुर ल'इंटीग्रेशन एट ला रीचेर्चे डेस फोन्क्शन्स प्रिमिटिव्स, 1904 - 3900788.tif|thumb|लेकन्स सुर ल'इंटीग्रेशन एट ला रीचेर्चे डेस फोन्क्शन्स प्रिमिटिव्स, 1904 लेबेस्ग्यू का पहला पेपर 1898 में प्रकाशित हुआ था और इसका शीर्षक सुर ल'एप्रोक्सिमेशन डेस फोन्क्शन्स था। यह बहुपदों द्वारा निरंतर कार्यों के सन्निकटन पर विअरस्ट्रास के प्रमेय से निपटता है। मार्च 1899 और अप्रैल 1901 के बीच लेब्सग्यू ने रिपोर्टों में छह नोट प्रकाशित किए। इनमें से पहला, लेबेस्ग एकीकरण के उनके विकास से असंबंधित, दो चर के कार्यों के लिए बेयर के प्रमेय के विस्तार से संबंधित था। अगले पांच में एक विमान पर लागू सतहों, तिरछे बहुभुजों के क्षेत्र, किसी दिए गए सीमा के साथ न्यूनतम क्षेत्र के सतह अभिन्न अंग, और अंतिम नोट ने कुछ फ़ंक्शन एफ (एक्स) के लिए लेबेस्ग एकीकरण की परिभाषा दी। इस कार्य के पूरे विवरण के साथ लेबेस्ग्यू की महान थीसिस, इंटेग्रेल, लॉन्ग्यूअर, ऐरे, 1902 में एनाली डी माटेमेटिका में प्रकाशित हुई। पहला अध्याय माप के सिद्धांत को विकसित करता है (बोरेल माप देखें)। दूसरे अध्याय में वह अभिन्न को ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक दोनों तरह से परिभाषित करता है। अगले अध्याय लंबाई, क्षेत्रफल और लागू सतहों से संबंधित कॉम्पटेस रेंडस नोट्स का विस्तार करते हैं। अंतिम अध्याय मुख्य रूप से पठार की समस्या से संबंधित है। यह शोध प्रबंध किसी गणितज्ञ द्वारा लिखे गए अब तक के सबसे बेहतरीन शोध प्रबंधों में से एक माना जाता है।^[1]

1902 से 1903 तक के उनके व्याख्यानों को एमिल बोरेल ट्रैक्ट लेकन्स सुर ल'इंटीग्रेशन एट ला रीचेर्चे डेस फोंक्शन प्रिमिटिव्स में एकत्र किया गया था। एक आदिम फ़ंक्शन की खोज के रूप में मानी जाने वाली एकीकरण की समस्या पुस्तक का मुख्य भाषण है। लेब्सेग ने ऑगस्टिन-लुई कॉची, पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट और बर्नहार्ड रीमैन को संबोधित करते हुए एकीकरण की समस्या को उसके ऐतिहासिक संदर्भ में प्रस्तुत किया है। लेबेस्ग छह शर्तें प्रस्तुत करता है जिन्हें यह वांछनीय है कि अभिन्न को संतुष्ट करना चाहिए, जिनमें से अंतिम है यदि अनुक्रम एफ_n(x) सीमा f(x) तक बढ़ जाता है, जो कि f का अभिन्न अंग है_n(x) f(x) के समाकलन की ओर प्रवृत्त होता है। लेबेस्ग्यू दर्शाता है कि उनकी स्थितियाँ माप सिद्धांत और मापने योग्य कार्यों और अभिन्न की विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय परिभाषाओं की ओर ले जाती हैं।

वह अपने 1903 के पेपर सुर लेस सीरीज़ ट्राइगोनोमेट्रिक्स के साथ त्रिकोणमिति कार्यों की ओर मुड़ गए। उन्होंने इस कार्य में तीन प्रमुख प्रमेय प्रस्तुत किये: वह एक त्रिकोणमितीय श्रृंखला एक बंधे हुए फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करना एक फूरियर श्रृंखला है, जो कि n है^वें फूरियर गुणांक शून्य (रीमैन-लेब्सग्यू लेम्मा) की ओर जाता है, और यह कि फूरियर श्रृंखला शब्द दर शब्द पूर्णांक है। 1904-1905 में लेबेस्ग्यू ने कॉलेज डी फ्रांस में एक बार फिर व्याख्यान दिया, इस बार त्रिकोणमितीय श्रृंखला पर और वह बोरेल ट्रैक्ट्स में से एक में अपने व्याख्यान प्रकाशित करने के लिए आगे बढ़े। इस ट्रैक्ट में वह एक बार फिर विषय को उसके ऐतिहासिक संदर्भ में मानते हैं। वह फूरियर श्रृंखला, कैंटर-रीमैन सिद्धांत, पॉइसन अभिन्न और डिरिचलेट समस्या की व्याख्या करते हैं।

1910 के एक पेपर में, रिप्रजेंटेशन ट्रिगोनोमेट्रिक एप्रोची डेस फोंक्शन सैटिस्फैसेंट ए यूने कंडीशन डी लिप्सचिट्ज़, लिप्सचिट्ज़ स्थिति स्थिति को संतुष्ट करने वाले कार्यों की फूरियर श्रृंखला से संबंधित है, जिसमें शेष अवधि के परिमाण के क्रम का मूल्यांकन किया गया है। वह यह भी साबित करता है कि रीमैन-लेब्सेग लेम्मा निरंतर कार्यों के लिए सर्वोत्तम संभव परिणाम है, और लेब्सेग स्थिरांक (इंटरपोलेशन) को कुछ उपचार देता है।

लेबेस्ग्यू ने एक बार लिखा था, रेडुइट्स ए डेस थ्योरीज़ जेनरल, लेस मैथमैटिक्स सेराएंट यूने बेले फॉर्मे सेन्स कॉन्टेनु। (सामान्य सिद्धांतों तक सीमित, सामग्री के बिना गणित एक सुंदर रूप होगा।)

माप-सैद्धांतिक विश्लेषण और गणित की संबंधित शाखाओं में, लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस इंटीग्रल रीमैन-स्टिल्टजेस और लेब्सग एकीकरण को सामान्यीकृत करता है, बाद के कई फायदों को अधिक सामान्य माप-सैद्धांतिक ढांचे में संरक्षित करता है।

अपने करियर के दौरान, लेब्सेग ने जटिल विश्लेषण और टोपोलॉजी के क्षेत्र में भी कदम रखा। उनका एमिल बोरेल से भी मतभेद था कि किसका अभिन्न अंग अधिक सामान्य था।^[8]^[9]^[10]^[11] हालाँकि, वास्तविक विश्लेषण में उनके योगदान की तुलना में ये छोटे प्रयास फीके हैं; इस क्षेत्र में उनके योगदान का आज इस क्षेत्र के आकार पर जबरदस्त प्रभाव पड़ा और उनके तरीके आधुनिक विश्लेषण का एक अनिवार्य हिस्सा बन गए हैं। मौलिक भौतिकी के लिए इनके महत्वपूर्ण व्यावहारिक निहितार्थ हैं जिनसे लेबेस्गु पूरी तरह से अनभिज्ञ रहा होगा, जैसा कि नीचे बताया गया है।

लेब्सग्यू का एकीकरण का सिद्धांत

आयताकार क्षेत्रों द्वारा रीमैन इंटीग्रल का अनुमान।

समाकलन गणित गणितीय ऑपरेशन है जो किसी फ़ंक्शन (गणित) के ग्राफ़ (फ़ंक्शन) के तहत क्षेत्र खोजने के अनौपचारिक विचार से मेल खाता है। एकीकरण का पहला सिद्धांत आर्किमिडीज़ द्वारा तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में चतुर्भुज (गणित) की अपनी पद्धति के साथ विकसित किया गया था, लेकिन इसे केवल उच्च स्तर की ज्यामितीय समरूपता के साथ सीमित परिस्थितियों में ही लागू किया जा सकता था। 17वीं शताब्दी में, आइजैक न्यूटन और गॉटफ्राइड लीबनिज ने इस विचार की खोज की कि एकीकरण आंतरिक रूप से व्युत्पन्न से जुड़ा हुआ था, बाद वाला यह मापने का एक तरीका था कि ग्राफ़ पर किसी भी बिंदु पर कोई फ़ंक्शन कितनी जल्दी बदल गया। कैलकुलस में दो प्रमुख ज्यामितीय संक्रियाओं, विभेदन और एकीकरण के बीच यह आश्चर्यजनक संबंध, अब कैलकुलस के मौलिक प्रमेय के रूप में जाना जाता है। इसने गणितज्ञों को पहली बार अभिन्नों के व्यापक वर्ग की गणना करने की अनुमति दी है। हालाँकि, आर्किमिडीज़ की पद्धति के विपरीत, जो यूक्लिडियन ज्यामिति पर आधारित थी, गणितज्ञों ने महसूस किया कि न्यूटन और लीबनिज़ के अभिन्न कलन का कोई कठोर आधार नहीं था।

19वीं सदी में, ऑगस्टिन कॉची ने एक फ़ंक्शन की एप्सिलॉन-डेल्टा सीमा विकसित की, और बर्नहार्ड रीमैन ने इसे औपचारिक रूप दिया जिसे अब रीमैन इंटीग्रल कहा जाता है। इस अभिन्न को परिभाषित करने के लिए, ग्राफ़ के नीचे के क्षेत्र को छोटे और छोटे आयतों से भरें और प्रत्येक चरण में आयतों के क्षेत्रफलों के योग की सीमा लें। हालाँकि, कुछ कार्यों के लिए, इन आयतों का कुल क्षेत्रफल एक संख्या तक नहीं पहुँचता है। इस प्रकार, उनके पास कोई रीमैन अभिन्न अंग नहीं है।

इस समस्या को हल करने के लिए लेब्सग्यू ने एकीकरण की एक नई विधि का आविष्कार किया। आयतों के क्षेत्रों का उपयोग करने के बजाय, जो फ़ंक्शन के डोमेन (फ़ंक्शन) पर ध्यान केंद्रित करता है, लेबेस्ग्यू ने क्षेत्र की अपनी मौलिक इकाई के लिए फ़ंक्शन के कोडोमेन पर ध्यान दिया। लेबेस्ग्यू का विचार पहले सेट और उन सेटों पर कार्यों दोनों के लिए माप को परिभाषित करना था। इसके बाद वह जिसे सरल कार्य कहते थे, उसके लिए इंटीग्रल का निर्माण करने के लिए आगे बढ़े; मापने योग्य कार्य जो केवल परिमित होते हैं वे कई मान निर्धारित करते हैं। फिर उन्होंने इसे अधिक जटिल कार्यों के लिए प्रश्न में दिए गए फ़ंक्शन से छोटे सरल कार्यों के सभी अभिन्नों के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया।

लेबेस्ग एकीकरण में यह गुण होता है कि रीमैन इंटीग्रल के साथ एक सीमित अंतराल पर परिभाषित प्रत्येक फ़ंक्शन में एक लेबेस्ग इंटीग्रल भी होता है, और उन कार्यों के लिए दोनों इंटीग्रल सहमत होते हैं। इसके अलावा, एक बंद परिबद्ध अंतराल पर प्रत्येक परिबद्ध फ़ंक्शन में एक लेबेस्ग इंटीग्रल होता है और लेबेस्ग इंटीग्रल के साथ कई फ़ंक्शन होते हैं जिनमें कोई रीमैन इंटीग्रल नहीं होता है।

लेबेस्गु एकीकरण के विकास के भाग के रूप में, लेब्सेग माप लेबेस्गु माप की अवधारणा का आविष्कार किया, जो अंतराल से लंबाई के विचार को सेट के एक बहुत बड़े वर्ग तक विस्तारित करता है, जिसे मापने योग्य सेट कहा जाता है (इसलिए, अधिक सटीक रूप से, सरल कार्य ऐसे कार्य होते हैं जो एक परिमित लेते हैं मानों की संख्या, और प्रत्येक मान को मापने योग्य सेट पर लिया जाता है)। एक माप (गणित) को एक अभिन्न अंग में बदलने के लिए लेबेसेग की तकनीक कई अन्य स्थितियों के लिए आसानी से सामान्यीकरण करती है, जिससे माप सिद्धांत के आधुनिक क्षेत्र की ओर अग्रसर होता है।

लेबेस्ग इंटीग्रल एक मामले में अपर्याप्त है। रीमैन इंटीग्रल उन कार्यों को मापने के लिए अनुचित रीमैन इंटीग्रल का सामान्यीकरण करता है जिनकी परिभाषा का क्षेत्र एक बंद अंतराल नहीं है। लेबेस्ग इंटीग्रल इनमें से कई कार्यों को एकीकृत करता है (ऐसा होने पर हमेशा एक ही उत्तर को पुन: प्रस्तुत करता है), लेकिन सभी को नहीं। वास्तविक लाइन पर कार्यों के लिए, हेनस्टॉक इंटीग्रल इंटीग्रल की एक और भी अधिक सामान्य धारणा है (लेब्सग्यू के बजाय रीमैन के सिद्धांत पर आधारित) जो लेब्सग्यू एकीकरण और अनुचित रीमैन एकीकरण दोनों को समाहित करता है। हालाँकि, हेनस्टॉक इंटीग्रल वास्तविक लाइन की विशिष्ट ऑर्डरिंग विशेषताओं पर निर्भर करता है और इसलिए अधिक में एकीकरण की अनुमति देने के लिए सामान्यीकरण नहीं करता है सामान्य स्थान (कहते हैं, कई गुना ), जबकि लेबेस्ग इंटीग्रल ऐसे स्थानों तक स्वाभाविक रूप से फैला हुआ है।

यह भी देखें

लेबेस्ग्यू कवरिंग आयाम
लेब्सेग स्थिरांक (प्रक्षेप)|लेब्सेग स्थिरांक
लेब्सग्यू का अपघटन प्रमेय
लेब्सग्यू का घनत्व प्रमेय
लेब्सेग विभेदन प्रमेय
लेब्सेग एकीकरण
लेब्सग्यू की लेम्मा
लेबेस्ग्यू उपाय
लेबेस्ग्यू की संख्या प्रमेयिका
लेबेस्ग्यू बिंदु
एलपी स्पेस
लेबेस्ग्यू रीढ़
लेबेस्गुए की सार्वभौमिक आवरण समस्या
लेबेस्गुए-रोख्लिन संभाव्यता स्थान
लेबेस्गुए-स्टिल्टजेस एकीकरण
रीमैन इंटीग्रल#इंटेग्रेबिलिटी|लेब्सग्यू-विटाली प्रमेय
ब्लास्च्के-लेब्सग्यू प्रमेय
चचेरा भाई प्रमेय|बोरेल-लेब्सग्यू प्रमेय
फ़तौ-लेबेस्ग्यू प्रमेय
रीमैन-लेब्सग्यू लेम्मा
वॉल्श-लेब्सग्यू प्रमेय
प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय
ओसगुड वक्र
टिट्ज़ विस्तार प्रमेय
हेनरी लेबेस्गुए के नाम पर रखी गई चीज़ों की सूची

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Burkill, J. C. (1944). "Henri Lebesgue. 1875-1941". Obituary Notices of Fellows of the Royal Society. 4 (13): 483–490. doi:10.1098/rsbm.1944.0001. JSTOR 768841. S2CID 122854745.
↑ "Prizes Awarded by the Paris Academy of Sciences for 1914". Nature. 94 (2358): 518–519. 7 January 1915. doi:10.1038/094518a0.
↑ हेनरी लेबेस्गुए at the Mathematics Genealogy Project
↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "हेनरी लेबेस्गुए", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
↑ Hawking, Stephen W. (2005). God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history. Running Press. pp. 1041–87. ISBN 978-0-7624-1922-7.
↑ ^6.0 ^6.1 McElroy, Tucker (2005). गणितज्ञों का ए टू जेड. Infobase Publishing. pp. 164. ISBN 978-0-8160-5338-4.
↑ Perrin, Louis (2004). "Henri Lebesgue: Renewer of Modern Analysis". In Le Lionnais, François (ed.). गणितीय विचार की महान धाराएँ. Vol. 1 (2nd ed.). Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-49578-1.
↑ Pesin, Ivan N. (2014). Birnbaum, Z. W.; Lukacs, E. (eds.). शास्त्रीय और आधुनिक एकीकरण सिद्धांत. Academic Press. p. 94. ISBN 9781483268699. Borel's assertion that his integral was more general compared to Lebesgue's integral was the cause of the dispute between Borel and Lebesgue in the pages of Annales de l'École Supérieure 35 (1918), 36 (1919), 37 (1920)
↑ Lebesgue, Henri (1918). "Remarques sur les théories de la mesure et de l'intégration" (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 35: 191–250. doi:10.24033/asens.707. Archived (PDF) from the original on 2009-09-16.
↑ Borel, Émile (1919). "L'intégration des fonctions non bornées" (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 36: 71–92. doi:10.24033/asens.713. Archived (PDF) from the original on 2014-08-05.
↑ Lebesgue, Henri (1920). "Sur une définition due à M. Borel (lettre à M. le Directeur des Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure)" (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 37: 255–257. doi:10.24033/asens.725. Archived (PDF) from the original on 2009-09-16.

बाहरी संबंध

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Henri Léon Lebesgue (28 juin 1875 [Rennes] - 26 juillet 1941 [Paris]) (in French)

[frs-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Burkill, J. C. (1944). "Henri Lebesgue. 1875-1941". Obituary Notices of Fellows of the Royal Society. 4 (13): 483–490. doi:10.1098/rsbm.1944.0001. JSTOR 768841. S2CID 122854745.

[2] "Prizes Awarded by the Paris Academy of Sciences for 1914". Nature. 94 (2358): 518–519. 7 January 1915. doi:10.1038/094518a0.

[3] हेनरी लेबेस्गुए at the Mathematics Genealogy Project

[4] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "हेनरी लेबेस्गुए", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews

[Hawking-5] Hawking, Stephen W. (2005). God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history. Running Press. pp. 1041–87. ISBN 978-0-7624-1922-7.

[McElroy-6] 6.0 ^6.1 McElroy, Tucker (2005). गणितज्ञों का ए टू जेड. Infobase Publishing. pp. 164. ISBN 978-0-8160-5338-4.

[Perrin-7] Perrin, Louis (2004). "Henri Lebesgue: Renewer of Modern Analysis". In Le Lionnais, François (ed.). गणितीय विचार की महान धाराएँ. Vol. 1 (2nd ed.). Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-49578-1.

[8] Pesin, Ivan N. (2014). Birnbaum, Z. W.; Lukacs, E. (eds.). शास्त्रीय और आधुनिक एकीकरण सिद्धांत. Academic Press. p. 94. ISBN 9781483268699. Borel's assertion that his integral was more general compared to Lebesgue's integral was the cause of the dispute between Borel and Lebesgue in the pages of Annales de l'École Supérieure 35 (1918), 36 (1919), 37 (1920)

[9] Lebesgue, Henri (1918). "Remarques sur les théories de la mesure et de l'intégration" (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 35: 191–250. doi:10.24033/asens.707. Archived (PDF) from the original on 2009-09-16.

[10] Borel, Émile (1919). "L'intégration des fonctions non bornées" (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 36: 71–92. doi:10.24033/asens.713. Archived (PDF) from the original on 2014-08-05.

[11] Lebesgue, Henri (1920). "Sur une définition due à M. Borel (lettre à M. le Directeur des Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure)" (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 37: 255–257. doi:10.24033/asens.725. Archived (PDF) from the original on 2009-09-16.

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