रीमैन अभिन्न

एक वक्र के नीचे एक क्षेत्र के क्षेत्रफल के रूप में अभिन्न।

रीमैन का एक अनुक्रम एक अंतराल के नियमित विभाजन पर योग करता है। शीर्ष पर मौजूद संख्या आयतों का कुल क्षेत्रफल है, जो फ़ंक्शन के अभिन्न अंग में परिवर्तित होती है।

विभाजन को नियमित होने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि यहां दिखाया गया है। सन्निकटन तब तक काम करता है जब तक प्रत्येक उपविभाजन की चौड़ाई शून्य हो जाती है।

वास्तविक विश्लेषण के रूप में जानी जाने वाली गणित की शाखा में, बर्नहार्ड रीमैन द्वारा निर्मित रीमैन अभिन्न , एक अंतराल (गणित) पर किसी फ़ंक्शन (गणित) के इंटीग्रल की पहली कठोर परिभाषा थी। इसे 1854 में गौटिंगेन विश्वविद्यालय में संकाय के सामने प्रस्तुत किया गया था, लेकिन 1868 तक किसी जर्नल में प्रकाशित नहीं किया गया था। कई कार्यों और व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए, रीमैन इंटीग्रल का मूल्यांकन कैलकुलस के मौलिक प्रमेय द्वारा किया जा सकता है या संख्यात्मक एकीकरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, या मोंटे कार्लो एकीकरण का उपयोग करके अनुकरण किया जा सकता है।

सिंहावलोकन

होने देना f अंतराल पर एक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या-मूल्यवान फ़ंक्शन बनें [a, b], और जाने S फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अंतर्गत समतल का क्षेत्र हो f और अंतराल के ऊपर [a, b]. ऊपर दाईं ओर का चित्र देखें. इस क्षेत्र को सेट-बिल्डर नोटेशन में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$$S=\left\{(x,y)\,:\,a\leq x\leq b\,,\,0<y<f(x)\right\}.$$

हम का क्षेत्रफल मापने में रुचि रखते हैं S. एक बार जब हम इसे माप लेंगे, तो हम क्षेत्र को सामान्य तरीके से निरूपित करेंगे

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$

रीमैन इंटीग्रल का मूल विचार क्षेत्र के लिए बहुत सरल सन्निकटन का उपयोग करना है S. बेहतर से बेहतर सन्निकटन लेकर हम कह सकते हैं कि सीमा में हमें ठीक-ठीक क्षेत्रफल प्राप्त होता है S वक्र के नीचे.

कब f(x) नकारात्मक मान ले सकता है, अभिन्न अंग ग्राफ़ के बीच हस्ताक्षरित क्षेत्र के बराबर होता है f और यह x-अक्ष: अर्थात, के ऊपर का क्षेत्र x-अक्ष शून्य से नीचे का क्षेत्र x-एक्सिस।

परिभाषा

अंतराल का विभाजन

एक अंतराल का विभाजन [a, b] प्रपत्र की संख्याओं का एक सीमित अनुक्रम है

$$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{i}<\dots <x_{n}=b$$

प्रत्येक [x_i, x_{i + 1}] को विभाजन का उप-अंतराल कहा जाता है। विभाजन के जाल या मानदंड को सबसे लंबे उप-अंतराल की लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात,

$$\max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i\in [0,n-1].$$

एक टैग किया गया विभाजन P(x, t) एक अंतराल का [a, b] प्रत्येक उप-अंतराल के भीतर एक नमूना बिंदु के विकल्प के साथ एक विभाजन है: यानी, संख्याएं t₀, ..., t_{n − 1} साथ t_i ∈ [x_i, x_{i + 1}] प्रत्येक के लिए i. टैग किए गए विभाजन का जाल सामान्य विभाजन के समान ही होता है।

मान लीजिए कि दो विभाजन P(x, t) और Q(y, s) अंतराल के दोनों विभाजन हैं [a, b]. हम ऐसा कहते हैं Q(y, s) का परिशोधन है P(x, t) यदि प्रत्येक पूर्णांक के लिए i, साथ i ∈ [0, n], एक पूर्णांक मौजूद है r(i) ऐसा है कि x_i = y_r(i) और ऐसा कि t_i = s_j कुछ के लिए j साथ j ∈ [r(i), r(i + 1)]. यानी, एक टैग किया गया विभाजन कुछ उप-अंतरालों को तोड़ता है और जहां आवश्यक हो, विभाजन की सटीकता को परिष्कृत करते हुए नमूना बिंदु जोड़ता है।

हम यह कहकर सभी टैग किए गए विभाजनों के सेट को एक निर्देशित सेट में बदल सकते हैं कि एक टैग किया गया विभाजन दूसरे से बड़ा या उसके बराबर है यदि पूर्व बाद वाले का परिशोधन है।

रीमैन योग

होने देना f अंतराल पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन बनें [a, b]. रीमैन का योग f टैग किए गए विभाजन के संबंध में x₀, ..., x_n के साथ साथ t₀, ..., t_{n − 1} है

$$\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right).$$

योग में प्रत्येक पद किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान और अंतराल की लंबाई का उत्पाद है। नतीजतन, प्रत्येक पद ऊंचाई के साथ एक आयत के (हस्ताक्षरित) क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है f(t_i) और चौड़ाई x_{i + 1} − x_i. रीमैन योग सभी आयतों का (हस्ताक्षरित) क्षेत्र है।

निकट से संबंधित अवधारणाएँ निचले और ऊपरी डार्बौक्स योग हैं। ये रीमैन सम्स के समान हैं, लेकिन टैग को सबसे निचला और उच्चतम (क्रमशः) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है f प्रत्येक उप-अंतराल पर:

$${\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).\end{aligned}}$$

अगर f निरंतर है, तो एक अचिह्नित विभाजन के लिए निचले और ऊपरी डार्बौक्स योग उस विभाजन के लिए रीमैन योग के बराबर होते हैं, जहां टैग को न्यूनतम या अधिकतम (क्रमशः) चुना जाता है f प्रत्येक उपअंतराल पर। (कब f एक उपअंतराल पर असंतत है, ऐसा कोई टैग नहीं हो सकता है जो उस उपअंतराल पर न्यूनतम या सर्वोच्च प्राप्त करता है।) डार्बौक्स इंटीग्रल, जो रीमैन इंटीग्रल के समान है लेकिन डार्बौक्स रकम पर आधारित है, रीमैन इंटीग्रल के बराबर है।

रीमैन इंटीग्रल

शिथिल रूप से कहें तो, रीमैन इंटीग्रल एक फ़ंक्शन के रीमैन योग की सीमा है क्योंकि विभाजन महीन हो जाते हैं। यदि सीमा मौजूद है तो फ़ंक्शन को इंटीग्रेबल (या अधिक विशेष रूप से रीमैन-इंटेग्रेबल) कहा जाता है। विभाजन को पर्याप्त रूप से ठीक करके रीमैन योग को रीमैन इंटीग्रल के जितना चाहें उतना करीब बनाया जा सकता है। एक महत्वपूर्ण आवश्यकता यह है कि विभाजन का जाल छोटा और छोटा होता जाना चाहिए, ताकि सीमा में यह शून्य हो। यदि ऐसा नहीं होता, तो हमें कुछ उपअंतरालों पर फ़ंक्शन का अच्छा अनुमान नहीं मिल पाता। वास्तव में, यह एक अभिन्न को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है। विशिष्ट होने के लिए, हम कहते हैं कि रीमैन का अभिन्न अंग f बराबर है s यदि निम्नलिखित शर्त लागू होती है:

<ब्लॉककोट>सभी के लिए ε > 0, वहां मौजूद δ > 0 ऐसा कि किसी भी विभाजन_के_अंतराल के लिए x₀, ..., x_n और t₀, ..., t_{n − 1}जिसकी जाली कम हो δ, अपने पास

$$\left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .$$

</ब्लॉककोट>

दुर्भाग्य से, इस परिभाषा का उपयोग करना बहुत कठिन है। इससे रीमैन इंटीग्रल की समकक्ष परिभाषा विकसित करने में मदद मिलेगी जिसके साथ काम करना आसान है। हम अब इस परिभाषा को विकसित करते हैं, तुल्यता के प्रमाण के साथ। हमारी नई परिभाषा कहती है कि रीमैन का अभिन्न अंग f बराबर है s यदि निम्नलिखित शर्त लागू होती है:

<ब्लॉककोट>सभी के लिए ε > 0, एक टैग किया गया विभाजन मौजूद है y₀, ..., y_m और r₀, ..., r_{m − 1} जैसे कि किसी भी टैग किए गए विभाजन के लिए x₀, ..., x_n और t₀, ..., t_{n − 1} जो का परिशोधन है y₀, ..., y_m और r₀, ..., r_{m − 1}, अपने पास

$$\left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .$$

</ब्लॉककोट>

इन दोनों का मतलब है कि अंततः, रीमैन का योग fकिसी भी विभाजन के संबंध में करीब फंस जाता है s. चूँकि यह सच है, चाहे हम रकम को कितना भी करीब फंसाने की मांग करें, हम कहते हैं कि रीमैन की रकम आपस में मिलती है s. ये परिभाषाएँ वास्तव में एक अधिक सामान्य अवधारणा, नेट (गणित) का एक विशेष मामला हैं।

जैसा कि हमने पहले कहा, ये दोनों परिभाषाएँ समतुल्य हैं। दूसरे शब्दों में, s पहली परिभाषा में काम करता है यदि और केवल यदि s दूसरी परिभाषा में काम करता है। यह दिखाने के लिए कि पहली परिभाषा का तात्पर्य दूसरे से है, a से प्रारंभ करें ε, और एक चुनें δ जो शर्त को पूरा करता है। कोई भी टैग किया गया विभाजन चुनें जिसका जाल इससे छोटा हो δ. इसका रीमैन योग भीतर है ε का s, और इस विभाजन के किसी भी परिशोधन में जाल भी कम होगा δ, इसलिए शोधन का रीमैन योग भी भीतर होगा ε का s.

यह दिखाने के लिए कि दूसरी परिभाषा का तात्पर्य पहले से है, डार्बौक्स इंटीग्रल का उपयोग करना सबसे आसान है। सबसे पहले, एक से पता चलता है कि दूसरी परिभाषा डार्बौक्स इंटीग्रल की परिभाषा के बराबर है; इसके लिए डार्बौक्स इंटीग्रल लेख देखें। अब हम दिखाएंगे कि डार्बौक्स इंटीग्रेबल फ़ंक्शन पहली परिभाषा को संतुष्ट करता है। हल करना ε, और एक विभाजन चुनें y₀, ..., y_m जैसे कि इस विभाजन के संबंध में निचले और ऊपरी डार्बौक्स योग भीतर हैं ε/2 मान का sडारबौक्स इंटीग्रल का। होने देना

$$r=2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|.$$

अगर r = 0, तब f शून्य फ़ंक्शन है, जो स्पष्ट रूप से डार्बौक्स और रीमैन दोनों अभिन्न शून्य के साथ पूर्णांकित है। इसलिए, हम यह मान लेंगे r > 0. अगर m > 1, तो हम चुनते हैं δ ऐसा है कि

$$\delta <\min \left\{{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},\left(y_{1}-y_{0}\right),\left(y_{2}-y_{1}\right),\cdots ,\left(y_{m}-y_{m-1}\right)\right\}$$

अगर m = 1, तो हम चुनते हैं δ एक से कम होना. टैग किया गया विभाजन चुनें x₀, ..., x_n और t₀, ..., t_{n − 1} से छोटी जाली के साथ δ. हमें यह दिखाना होगा कि रीमैन योग भीतर है ε का s.

इसे देखने के लिए, एक अंतराल चुनें [x_i, x_{i + 1}]. यदि यह अंतराल कुछ के भीतर समाहित है [y_j, y_{j + 1}], तब

$$m_{j}<f(t_{i})<M_{j}$$

कहाँ m_j और M_j क्रमशः, f के अनंत और सर्वोच्च हैं [y_j, y_{j + 1}]. यदि सभी अंतरालों में यह गुण होता, तो इससे प्रमाण समाप्त हो जाता, क्योंकि रीमैन योग में प्रत्येक पद डार्बौक्स योग में संबंधित पद से घिरा होता, और हमने डार्बौक्स योग को निकट होने के लिए चुना s. ये तो तब की बात है जब m = 1, तो उस मामले में सबूत समाप्त हो गया है।

इसलिए, हम ऐसा मान सकते हैं m > 1. इस मामले में, यह संभव है कि इनमें से कोई एक [x_i, x_{i + 1}] किसी में समाहित नहीं है [y_j, y_{j + 1}]. इसके बजाय, यह निर्धारित अंतरालों में से दो में फैल सकता है y₀, ..., y_m. (यह तीन अंतरालों को पूरा नहीं कर सकता क्योंकि δ को किसी एक अंतराल की लंबाई से छोटा माना जाता है।) प्रतीकों में, ऐसा हो सकता है

$$y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}.$$

(हम मान सकते हैं कि सभी असमानताएँ सख्त हैं क्योंकि अन्यथा हम लंबाई पर अपनी धारणा से पिछले मामले में हैं δ.) ज्यादा से ज्यादा ऐसा हो सकता है m − 1 बार.

इस मामले को संभालने के लिए, हम विभाजन को उप-विभाजित करके रीमैन योग और डार्बौक्स योग के बीच अंतर का अनुमान लगाएंगे x₀, ..., x_n पर y_{j + 1}. शब्द f(t_i)(x_{i + 1} − x_i) रीमैन में योग दो शब्दों में विभाजित होता है:

$$f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_{i}\right)\left(y_{j+1}-x_{i}\right).$$

मान लीजिए, व्यापकता की हानि के बिना, वह t_i ∈ [y_j, y_{j + 1}]. तब

$$m_{j}<f(t_{i})<M_{j},$$

इसलिए यह शब्द डार्बौक्स योग में संबंधित शब्द से घिरा हुआ है y_j. दूसरे पद को बांधने के लिए, उस पर ध्यान दें

$$x_{i+1}-y_{j+1}<\delta <{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},$$

यह इस प्रकार है कि, कुछ के लिए (वास्तव में कोई भी) t^*
_i ∈ [y_{j + 1}, x_{i + 1}],

$$\left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i}^{*}\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)<{\frac {\varepsilon }{2(m-1)}}.$$

चूँकि अधिक से अधिक यही होता है m − 1 बार, रीमैन योग और डार्बौक्स योग के बीच की दूरी अधिकतम होती है ε/2. इसलिए, रीमैन योग और के बीच की दूरी s अधिकतम हैε.

उदाहरण

होने देना $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ वह फ़ंक्शन बनें जो प्रत्येक बिंदु पर मान 1 लेता है। किसी भी रीमैन का योग f पर [0, 1] का मान 1 होगा, इसलिए रीमैन इंटीग्रल का f पर [0, 1] 1 है.

होने देना $I_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \mathbb {R}$ में परिमेय संख्याओं का सूचक कार्य हो [0, 1]; वह है, $I_{\mathbb {Q} }$ परिमेय संख्याओं पर मान 1 और अपरिमेय संख्याओं पर 0 लेता है। इस फ़ंक्शन में रीमैन इंटीग्रल नहीं है। इसे साबित करने के लिए, हम दिखाएंगे कि टैग किए गए विभाजनों का निर्माण कैसे किया जाए, जिनके रीमैन योग मनमाने ढंग से शून्य और एक दोनों के करीब आते हैं।

शुरू करने के लिए, आइए x₀, ..., x_n और t₀, ..., t_{n − 1} एक टैग किया गया विभाजन हो (प्रत्येक t_i के बीच है x_i और x_{i + 1}). चुनना ε > 0. वह t_i पहले ही चुना जा चुका है, और हम इसका मान नहीं बदल सकते f उन बिंदुओं पर. लेकिन अगर हम विभाजन को प्रत्येक के चारों ओर छोटे-छोटे टुकड़ों में काट दें t_i, हम इसके प्रभाव को कम कर सकते हैं t_i. फिर, नए टैगों को सावधानीपूर्वक चुनकर, हम रीमैन योग के मूल्य को भीतर ला सकते हैं ε या तो शून्य या एक का।

हमारा पहला कदम विभाजन को काटना है। वहाँ हैं n की t_i, और हम चाहते हैं कि उनका कुल प्रभाव इससे कम हो ε. यदि हम उनमें से प्रत्येक को लंबाई से कम के अंतराल तक सीमित कर दें ε/n, फिर प्रत्येक का योगदान t_i रीमैन के लिए योग कम से कम होगा 0 · ε/n और अधिक से अधिक 1 · ε/n. इससे कुल योग कम से कम शून्य और अधिकतम हो जाता है ε. तो चलो δ से कम एक धनात्मक संख्या हो ε/n. यदि ऐसा होता है कि दो t_iअंदर हैं δ एक दूसरे का, चुनें δ छोटा. अगर ऐसा होता है कि कुछ t_i भीतर है δ का कुछ x_j, और t_i के बराबर नहीं है x_j, चुनना δ छोटा. चूँकि वहाँ बहुत ही सीमित संख्या में हैं t_i और x_j, हम हमेशा चुन सकते हैं δ पर्याप्त रूप से छोटा.

अब हम प्रत्येक के लिए विभाजन में दो कट जोड़ते हैं t_i. इनमें से एक कट पर होगा t_i − δ/2, और दूसरा पर होगा t_i + δ/2. यदि इनमें से कोई अंतराल [0,1] छोड़ देता है, तो हम उसे छोड़ देते हैं। t_i उपअंतराल के अनुरूप टैग होगा

$$\left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].$$

अगर t_i सीधे इनमें से किसी एक के शीर्ष पर है x_j, फिर हमने जाने दिया t_i दोनों अंतरालों के लिए टैग बनें:

$$\left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},x_{j}\right],\quad {\text{and}}\quad \left[x_{j},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].$$

हमें अभी भी अन्य उपअंतरालों के लिए टैग चुनना है। हम उन्हें दो अलग-अलग तरीकों से चुनेंगे। पहला तरीका हमेशा एक तर्कसंगत बिंदु चुनना है, ताकि रीमैन का योग जितना संभव हो उतना बड़ा हो। इससे रीमैन योग का मूल्य कम से कम हो जाएगा 1 − ε. दूसरा तरीका हमेशा एक अपरिमेय बिंदु चुनना है, ताकि रीमैन योग जितना संभव हो उतना छोटा हो। इससे रीमैन योग का मूल्य अधिकतम हो जाएगा ε.

चूँकि हमने एक मनमाने विभाजन से शुरुआत की और शून्य या एक के जितना करीब आना चाहते थे, पहुँच गए, इसलिए यह कहना ग़लत है कि हम अंततः किसी संख्या के पास फँस गए हैं s, इसलिए यह फ़ंक्शन रीमैन इंटीग्रेबल नहीं है। हालाँकि, यह लेबेस्ग अभिन्न है। लेब्सग्यू अर्थ में इसका अभिन्न अंग शून्य है, क्योंकि फ़ंक्शन लगभग हर जगह शून्य है। लेकिन यह एक ऐसा तथ्य है जो रीमैन इंटीग्रल की पहुंच से परे है।

इससे भी बुरे उदाहरण हैं. $I_{\mathbb {Q} }$ रीमैन इंटीग्रेबल फ़ंक्शन के समतुल्य (अर्थात लगभग हर जगह समान) है, लेकिन गैर-रीमैन इंटीग्रेबल बाउंडेड फ़ंक्शन हैं जो किसी भी रीमैन इंटीग्रेबल फ़ंक्शन के समतुल्य नहीं हैं। उदाहरण के लिए, चलो C स्मिथ-वोल्टेरा-कैंटर सेट बनें, और चलो I_C इसका सूचक कार्य हो। क्योंकि C जॉर्डन उपाय नहीं है, I_C रीमैन अभिन्न नहीं है। इसके अलावा, कोई फ़ंक्शन नहीं g के बराबर I_C रीमैन पूर्णांक है: g, पसंद I_C, घने सेट पर शून्य होना चाहिए, ताकि पिछले उदाहरण में, किसी भी रीमैन का योग हो g एक परिष्कार है जो भीतर है {{mvar|ε}किसी भी धनात्मक संख्या के लिए 0 का }ε. लेकिन अगर रीमैन का अभिन्न अंग g मौजूद है, तो इसे लेबेस्ग इंटीग्रल के बराबर होना चाहिए I_C, जो है 1/2. इसलिए, g रीमैन अभिन्न नहीं है।

समान अवधारणाएँ

रीमैन इंटीग्रल को डार्बौक्स इंटीग्रल के रूप में परिभाषित करना लोकप्रिय है। ऐसा इसलिए है क्योंकि डार्बौक्स इंटीग्रल तकनीकी रूप से सरल है और क्योंकि कोई फ़ंक्शन रीमैन-इंटीग्रेबल है और केवल तभी यदि वह डार्बौक्स-इंटीग्रेबल है।

कुछ कैलकुलस पुस्तकें सामान्य टैग किए गए विभाजनों का उपयोग नहीं करती हैं, बल्कि स्वयं को विशिष्ट प्रकार के टैग किए गए विभाजनों तक सीमित रखती हैं। यदि विभाजन का प्रकार बहुत अधिक सीमित है, तो कुछ गैर-अभिन्न कार्य एकीकृत प्रतीत हो सकते हैं।

एक लोकप्रिय प्रतिबंध बाएं हाथ और दाएं हाथ के रीमैन सम्स का उपयोग है। बाएं हाथ के रीमैन योग में, t_i = x_i सभी के लिए i, और दाहिने हाथ के रीमैन योग में, t_i = x_{i + 1} सभी के लिए i. अकेले यह प्रतिबंध कोई समस्या पैदा नहीं करता है: हम किसी भी विभाजन को इस तरह से परिष्कृत कर सकते हैं कि इसे प्रत्येक पर उप-विभाजित करके बाएं हाथ या दाएं हाथ का योग बनाया जा सके। t_i. अधिक औपचारिक भाषा में, सभी बाएं हाथ के रीमैन योगों का सेट और सभी दाएं हाथ के रीमैन योगों का सेट सभी टैग किए गए विभाजनों के सेट में सह-अंतिम (गणित) है।

एक अन्य लोकप्रिय प्रतिबंध अंतराल के नियमित उपविभाजनों का उपयोग है। उदाहरण के लिए, nवाँ नियमित उपविभाजन [0, 1]अंतराल से मिलकर बनता है

$$\left[0,{\frac {1}{n}}\right],\left[{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}}\right],\ldots ,\left[{\frac {n-1}{n}},1\right].$$

फिर, अकेले यह प्रतिबंध कोई समस्या पैदा नहीं करता है, लेकिन इस तथ्य को देखने के लिए आवश्यक तर्क बाएं हाथ और दाएं हाथ के रीमैन योगों की तुलना में अधिक कठिन है।

हालाँकि, इन प्रतिबंधों को संयोजित करना, ताकि कोई नियमित रूप से विभाजित अंतराल पर केवल बाएं हाथ या दाएं हाथ के रीमैन योग का उपयोग कर सके, खतरनाक है। यदि किसी फ़ंक्शन को रीमैन इंटीग्रेबल के रूप में पहले से जाना जाता है, तो यह तकनीक इंटीग्रल का सही मान देगी। लेकिन इन परिस्थितियों में सूचक कार्य करता है $I_{\mathbb {Q} }$ पर एकीकृत प्रतीत होगा [0, 1] एक के बराबर अभिन्न अंग के साथ: प्रत्येक उपअंतराल का प्रत्येक समापन बिंदु एक तर्कसंगत संख्या होगी, इसलिए फ़ंक्शन का मूल्यांकन हमेशा तर्कसंगत संख्याओं पर किया जाएगा, और इसलिए यह हमेशा एक के बराबर प्रतीत होगा। इस परिभाषा के साथ समस्या तब स्पष्ट हो जाती है जब हम अभिन्न को दो टुकड़ों में विभाजित करने का प्रयास करते हैं। निम्नलिखित समीकरण कायम रहना चाहिए:

$$\int _{0}^{{\sqrt {2}}-1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx+\int _{{\sqrt {2}}-1}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx=\int _{0}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx.$$

यदि हम नियमित उपविभाजनों और बाएं हाथ या दाएं हाथ के रीमैन योगों का उपयोग करते हैं, तो बाईं ओर के दो पद शून्य के बराबर हैं, क्योंकि 0 और 1 को छोड़कर प्रत्येक समापन बिंदु अपरिमेय होगा, लेकिन जैसा कि हमने दाईं ओर का पद देखा है। बराबर 1.

जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, रीमैन इंटीग्रल एकीकृत करने से इनकार करके इस समस्या से बचता है $I_{\mathbb {Q} }.$ लेबेस्ग इंटीग्रल को इस तरह परिभाषित किया गया है कि ये सभी इंटीग्रल 0 हैं।

गुण

रैखिकता

रीमैन इंटीग्रल एक रैखिक परिवर्तन है; वह है, यदि f और g रीमैन-अभिन्न पर हैं [a, b] और α और β तो स्थिरांक हैं

$$\int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$$

क्योंकि किसी फ़ंक्शन का रीमैन इंटीग्रल एक संख्या है, यह रीमैन इंटीग्रल को रीमैन-इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस के सदिश स्थल पर एक रैखिक रूप बनाता है।

अभिन्नता

सघन स्थान पर एक परिबद्ध कार्य [a, b] क्या रीमैन पूर्णांक है यदि और केवल यदि यह लगभग हर जगह निरंतर कार्य करता है (लेब्सेग माप के अर्थ में, इसके असंतोष के वर्गीकरण के सेट का माप शून्य है)। यह हैLebesgue-Vitali theorem (रीमैन इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस के लक्षण वर्णन का)। इसे 1907 में ग्यूसेप विटाली और हेनरी लेबेस्गुए द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया है, और यह माप शून्य की धारणा का उपयोग करता है, लेकिन न तो लेब्सग्यू के सामान्य माप या अभिन्न का उपयोग करता है।

अभिन्नता की स्थिति को विभिन्न तरीकों से सिद्ध किया जा सकता है, जिनमें से एक का रेखाचित्र नीचे दिया गया है।

Proof

The proof is easiest using the Darboux integral definition of integrability (formally, the Riemann condition for integrability) – a function is Riemann integrable if and only if the upper and lower sums can be made arbitrarily close by choosing an appropriate partition. One direction can be proven using the oscillation definition of continuity: For every positive ε, Let Xε be the set of points in [a, b] with oscillation of at least ε. Since every point where f is discontinuous has a positive oscillation and vice versa, the set of points in [a, b], where f is discontinuous is equal to the union over {X1/n} for all natural numbers n. If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure. Thus there is some positive number c such that every countable collection of open intervals covering X1/n has a total length of at least c. In particular this is also true for every such finite collection of intervals. This remains true also for X1/n less a finite number of points (as a finite number of points can always be covered by a finite collection of intervals with arbitrarily small total length). For every [[partition of an interval|partition of [a, b]]], consider the set of intervals whose interiors include points from X1/n. These interiors consist of a finite open cover of X1/n, possibly up to a finite number of points (which may fall on interval edges). Thus these intervals have a total length of at least c. Since in these points f has oscillation of at least 1/n, the infimum and supremum of f in each of these intervals differ by at least 1/n. Thus the upper and lower sums of f differ by at least c/n. Since this is true for every partition, f is not Riemann integrable. We now prove the converse direction using the sets Xε defined above. For every ε, Xε is compact, as it is bounded (by a and b) and closed: For every series of points in Xε that is converging in [a, b], its limit is in Xε as well. This is because every neighborhood of the limit point is also a neighborhood of some point in Xε, and thus f has an oscillation of at least ε on it. Hence the limit point is in Xε. Now, suppose that f is continuous almost everywhere. Then for every ε, Xε has zero Lebesgue measure. Therefore, there is a countable collections of open intervals in [a, b] which is an open cover of Xε, such that the sum over all their lengths is arbitrarily small. [[Compact space#Open cover definition|Since Xε is compact]], there is a finite subcover – a finite collections of open intervals in [a, b] with arbitrarily small total length that together contain all points in Xε. We denote these intervals {I(ε)i}, for 1 ≤ i ≤ k, for some natural k. The complement of the union of these intervals is itself a union of a finite number of intervals, which we denote {J(ε)i} (for 1 ≤ i ≤ k − 1 and possibly for i = k, k + 1 as well). We now show that for every ε > 0, there are upper and lower sums whose difference is less than ε, from which Riemann integrability follows. To this end, we construct a [[partition of an interval|partition of [a, b]]] as follows: Denote ε1 = ε / 2(b − a) and ε2 = ε / 2(M − m), where m and M are the infimum and supremum of f on [a, b]. Since we may choose intervals {I(ε1)i} with arbitrarily small total length, we choose them to have total length smaller than ε2. Each of the intervals {J(ε1)i} has an empty intersection with Xε1, so each point in it has a neighborhood with oscillation smaller than ε1. These neighborhoods consist of an open cover of the interval, and since the interval is compact there is a finite subcover of them. This subcover is a finite collection of open intervals, which are subintervals of J(ε1)i (except for those that include an edge point, for which we only take their intersection with J(ε1)i). We take the edge points of the subintervals for all J(ε1)i − s, including the edge points of the intervals themselves, as our partition. Thus the partition divides [a, b] to two kinds of intervals: Intervals of the latter kind (themselves subintervals of some J(ε1)i). In each of these, f oscillates by less than ε1. Since the total length of these is not larger than b − a, they together contribute at most ε∗ 1(b − a) = ε/2 to the difference between the upper and lower sums of the partition. The intervals {I(ε)i}. These have total length smaller than ε2, and f oscillates on them by no more than M − m. Thus together they contribute less than ε∗ 2(M − m) = ε/2 to the difference between the upper and lower sums of the partition. In total, the difference between the upper and lower sums of the partition is smaller than ε, as required.

विशेष रूप से, कोई भी सेट जो अधिकतम गणनीय सेट पर होता है, उसमें लेबेस्ग का माप शून्य होता है, और इस प्रकार एक सीमित फ़ंक्शन (एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर) केवल सीमित या गणनीय रूप से कई असंतोषों के साथ रीमैन पूर्णांक होता है। रीमैन की पूर्णता के लिए एक और पर्याप्त मानदंड [a, b], लेकिन जिसमें माप की अवधारणा शामिल नहीं है, प्रत्येक बिंदु पर दाएं हाथ (या बाएं हाथ) की सीमा का अस्तित्व है [a, b) (या (a, b]). एक परिबद्ध सेट का एक संकेतक फ़ंक्शन रीमैन-अभिन्न है यदि और केवल यदि सेट जॉर्डन माप है। रीमैन इंटीग्रल की व्याख्या माप सिद्धांत|माप-सैद्धांतिक रूप से जॉर्डन माप के संबंध में इंटीग्रल के रूप में की जा सकती है।

यदि कोई वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन अंतराल पर मोनोटोन फ़ंक्शन है [a, b] यह रीमैन पूर्णांक है, क्योंकि इसके असंततताओं का सेट अधिकतम गणनीय है, और इसलिए लेबेस्ग का माप शून्य है। यदि कोई वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन चालू है [a, b] रीमैन इंटीग्रेबल है, यह लेबेसेग इंटीग्रल है। अर्थात्, रीमैन-अभिन्नता, लेबेस्ग-अभिन्नता की तुलना में अधिक मजबूत (अर्थात् संतुष्ट करना अधिक कठिन) स्थिति है। बातचीत कायम नहीं रहती; सभी लेब्सग्यू-अभिन्न कार्य रीमैन पूर्णांक नहीं हैं।

लेबेस्ग्यू-विटाली प्रमेय का अर्थ यह नहीं है कि सभी प्रकार के असंततताओं का रुकावट पर समान भार होता है, जिस पर वास्तविक-मूल्यवान बंधा हुआ फ़ंक्शन रीमैन को एकीकृत करता है। [a, b]. वास्तव में, फ़ंक्शन की रीमैन इंटीग्रेबिलिटी पर कुछ असंततताओं की बिल्कुल कोई भूमिका नहीं होती है - जो किसी फ़ंक्शन के असंततताओं के वर्गीकरण के परिणामस्वरूप होता है।

अगर f_n पर एक समान अभिसरण अनुक्रम है [a, b] सीमा के साथ f, फिर रीमैन सभी की अभिन्नता f_n का तात्पर्य रीमैन इंटीग्रेबिलिटी से है f, और

$$\int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.$$

हालाँकि, लेबेस्ग मोनोटोन अभिसरण प्रमेय (एक मोनोटोन बिंदुवार सीमा पर) रीमैन इंटीग्रल्स के लिए मान्य नहीं है। इस प्रकार, रीमैन एकीकरण में, अभिन्न चिह्न के तहत सीमाएं लेना लेबेस्ग एकीकरण की तुलना में तार्किक रूप से उचित ठहराना कहीं अधिक कठिन है।

सामान्यीकरण

यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस में मूल्यों के साथ कार्यों के लिए रीमैन इंटीग्रल का विस्तार करना आसान है $\mathbb {R} ^{n}$ किसी के लिए n. अभिन्न को घटक-वार परिभाषित किया गया है; दूसरे शब्दों में, यदि f = (f₁, ..., f_n) तब

$$\int \mathbf {f} =\left(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n}\right).$$

विशेष रूप से, चूंकि जटिल संख्याएं एक वास्तविक वेक्टर स्थान हैं, यह जटिल मूल्यवान कार्यों के एकीकरण की अनुमति देता है।

रीमैन इंटीग्रल को केवल सीमित अंतरालों पर परिभाषित किया गया है, और यह असीमित अंतरालों तक अच्छी तरह से विस्तारित नहीं होता है। सबसे सरल संभव विस्तार ऐसे इंटीग्रल को किसी फ़ंक्शन की सीमा#Multiple_limits_at_infinity के रूप में परिभाषित करना है, दूसरे शब्दों में, एक अनुचित इंटीग्रल के रूप में:

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty \atop b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$

यह परिभाषा अपने साथ कुछ सूक्ष्मताएँ लेकर आती है, जैसे यह तथ्य कि यह हमेशा कॉची प्रमुख मूल्य की गणना के बराबर नहीं होती है

$$\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx.$$

उदाहरण के लिए, साइन फ़ंक्शन पर विचार करें f(x) = sgn(x) जो कि 0 बजे है x = 0, 1 के लिए x > 0, और −1 के लिए x < 0. समरूपता से,

$$\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0$$

हमेशा, चाहे कुछ भी हो a. लेकिन वास्तविक रेखा को भरने के लिए एकीकरण के अंतराल का विस्तार करने के कई तरीके हैं, और अन्य तरीके अलग-अलग परिणाम उत्पन्न कर सकते हैं; दूसरे शब्दों में, बहुभिन्नरूपी सीमा हमेशा मौजूद नहीं होती है। हम गणना कर सकते हैं

$${\begin{aligned}\int _{-a}^{2a}f(x)\,dx&=a,\\\int _{-2a}^{a}f(x)\,dx&=-a.\end{aligned}}$$

सामान्य तौर पर, यह अनुचित रीमैन इंटीग्रल अपरिभाषित है। यहां तक ​​कि अंतराल के लिए वास्तविक रेखा तक पहुंचने के तरीके को मानकीकृत करना भी काम नहीं करता है क्योंकि इससे परेशान करने वाले विपरीत परिणाम सामने आते हैं। यदि हम सहमत हैं (उदाहरण के लिए) कि अनुचित अभिन्न अंग हमेशा होना चाहिए

$$\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx,$$

फिर अनुवाद का अभिन्न अंग f(x − 1) −2 है, इसलिए यह परिभाषा शिफ्ट के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है, एक अत्यधिक अवांछनीय संपत्ति है। वास्तव में, न केवल इस फ़ंक्शन में अनुचित रीमैन इंटीग्रल नहीं है, बल्कि इसका लेबेसेग इंटीग्रल भी अपरिभाषित है (यह बराबर है) ∞ − ∞).

दुर्भाग्य से, अनुचित रीमैन इंटीग्रल पर्याप्त शक्तिशाली नहीं है। सबसे गंभीर समस्या यह है कि कार्यों की सीमाओं के साथ अनुचित रीमैन इंटीग्रल्स को कम करने के लिए कोई व्यापक रूप से लागू प्रमेय नहीं हैं। फूरियर श्रृंखला जैसे अनुप्रयोगों में फ़ंक्शन के सन्निकटन के इंटीग्रल्स का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के इंटीग्रल का अनुमान लगाने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। उचित रीमैन इंटीग्रल्स के लिए, एक मानक प्रमेय बताता है कि यदि f_n फ़ंक्शंस का एक क्रम है जो समान रूप से अभिसरण करता है f एक कॉम्पैक्ट सेट पर [a, b], तब

$$\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$

वास्तविक रेखा जैसे गैर-कॉम्पैक्ट अंतराल पर, यह गलत है। उदाहरण के लिए, लीजिए f_n(x) होना n⁻¹ पर [0, n] और अन्यत्र शून्य। सभी के लिए n अपने पास:

$$\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx=1.$$

क्रम (f_n) समान रूप से शून्य फ़ंक्शन में परिवर्तित होता है, और स्पष्ट रूप से शून्य फ़ंक्शन का अभिन्न अंग शून्य है। फलस्वरूप,

$$\int _{-\infty }^{\infty }f\,dx\neq \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx.$$

यह दर्शाता है कि असीमित अंतराल पर इंटीग्रल्स के लिए, किसी फ़ंक्शन का एक समान अभिसरण इतना मजबूत नहीं है कि एक इंटीग्रल चिह्न के माध्यम से एक सीमा को पारित करने की अनुमति दी जा सके। यह रीमैन इंटीग्रल को अनुप्रयोगों में अव्यवहारिक बनाता है (भले ही रीमैन इंटीग्रल दोनों पक्षों को सही मान प्रदान करता है), क्योंकि सीमा और रीमैन इंटीग्रल के आदान-प्रदान के लिए कोई अन्य सामान्य मानदंड नहीं है, और ऐसे मानदंड के बिना इंटीग्रल का अनुमान लगाना मुश्किल है उनके एकीकृतों का अनुमान लगाना।

लेबेस्ग इंटीग्रल के लिए रीमैन इंटीग्रल को त्यागना एक बेहतर मार्ग है। लेबेस्ग इंटीग्रल की परिभाषा स्पष्ट रूप से रीमैन इंटीग्रल का सामान्यीकरण नहीं है, लेकिन यह साबित करना मुश्किल नहीं है कि प्रत्येक रीमैन-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन लेबेस्ग-इंटीग्रेबल है और जब भी वे दोनों परिभाषित होते हैं तो दोनों इंटीग्रल्स के मान सहमत होते हैं। इसके अलावा, एक समारोह f एक बंधे हुए अंतराल पर परिभाषित रीमैन-अभिन्न है यदि और केवल अगर यह घिरा हुआ है और बिंदुओं का सेट जहां f असंतुलित है, लेबेस्ग का माप शून्य है।

एक इंटीग्रल जो वास्तव में रीमैन इंटीग्रल का प्रत्यक्ष सामान्यीकरण है, हेनस्टॉक-कुर्जवील इंटीग्रल है।

रीमैन इंटीग्रल को सामान्य बनाने का दूसरा तरीका कारकों को प्रतिस्थापित करना है x_{k + 1} − x_k किसी अन्य चीज़ द्वारा रीमैन योग की परिभाषा में; मोटे तौर पर कहें तो, यह एकीकरण के अंतराल को लंबाई की एक अलग धारणा देता है। यह रीमैन-स्टिल्टजेस इंटीग्रल द्वारा अपनाया गया दृष्टिकोण है।

बहुचरीय कलन में, रीमैन फ़ंक्शंस के लिए इंटीग्रल करता है $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ एकाधिक अभिन्न अंग हैं.

एकीकरण के अन्य सिद्धांतों के साथ तुलना

रीमैन इंटीग्रल कई सैद्धांतिक उद्देश्यों के लिए अनुपयुक्त है। रीमैन एकीकरण में कुछ तकनीकी कमियों को रीमैन-स्टिल्टजेस इंटीग्रल के साथ ठीक किया जा सकता है, और अधिकांश लेबेस्ग इंटीग्रल के साथ गायब हो जाते हैं, हालांकि बाद वाले में अनुचित इंटीग्रल का संतोषजनक उपचार नहीं होता है। गेज अभिन्न, लेबेस्ग इंटीग्रल का एक सामान्यीकरण है जो तुरंत रीमैन इंटीग्रल के करीब है। ये अधिक सामान्य सिद्धांत अधिक अनियमित या अत्यधिक दोलन वाले कार्यों के एकीकरण की अनुमति देते हैं जिनका रीमैन इंटीग्रल मौजूद नहीं है; लेकिन सिद्धांत रीमैन इंटीग्रल के अस्तित्व में होने पर उसके समान ही मूल्य देते हैं।

शैक्षिक सेटिंग्स में, डार्बौक्स इंटीग्रल एक सरल परिभाषा प्रदान करता है जिसके साथ काम करना आसान है; इसका उपयोग रीमैन इंटीग्रल को पेश करने के लिए किया जा सकता है। डार्बौक्स इंटीग्रल को जब भी रीमैन इंटीग्रल परिभाषित किया जाता है, और हमेशा एक ही परिणाम देता है। इसके विपरीत, गेज इंटीग्रल रीमैन इंटीग्रल का एक सरल लेकिन अधिक शक्तिशाली सामान्यीकरण है और इसने कुछ शिक्षकों को इस बात की वकालत करने के लिए प्रेरित किया है कि इसे परिचयात्मक कैलकुलस पाठ्यक्रमों में रीमैन इंटीग्रल को प्रतिस्थापित करना चाहिए।

यह भी देखें

• क्षेत्र
• प्रतिव्युत्पन्न
• लेब्सेग एकीकरण

संदर्भ

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
• Apostol, Tom (1974), Mathematical Analysis, Addison-Wesley

बाहरी संबंध

• Media related to रीमैन अभिन्न at Wikimedia Commons
• "Riemann integral", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]