Difference between revisions of "सजातीय अंतर समीकरण"

Latest revision as of 17:14, 28 July 2023

एक विभेदक समीकरण दो स्थितियों में से किसी एक में सजातीय हो सकता है।

प्रथम कोटि अवकल समीकरण को सजातीय कहा जाता है यदि इसे लिखा जा सके

f(x,y)\,dy=g(x,y)\,dx,

कहाँ $f$ और $g$ , $x$ और $y$ समान डिग्री के सजातीय फलन हैं ^[1] इस स्थितियों में, चर का परिवर्तन $y = ux$ के परिवर्तन से फॉर्म का एक समीकरण बनता है

{\frac {dx}{x}}=h(u)\,du,

जिसे दोनों सदस्यों के एकीकरण द्वारा हल करना आसान है।

अन्यथा, एक अंतर समीकरण सजातीय होता है यदि यह अज्ञात फलन और उसके डेरिवेटिव का एक सजातीय कार्य है। रैखिक अवकल समीकरणों की स्थितियों में, इसका कारण है कि कोई स्थिर पद नहीं हैं। किसी भी क्रम के किसी भी रैखिक साधारण अंतर समीकरण का समाधान स्थिर पद को हटाकर प्राप्त सजातीय समीकरण के समाधान से एकीकरण द्वारा निकाला जा सकता है।

इतिहास

सजातीय शब्द को सबसे पहले जोहान बर्नौली ने अपने 1726 के लेख डी इंटेग्रेओनिबस एक्वेशनम डिफरेंशियलियम (अंतर समीकरणों के एकीकरण पर) के खंड 9 में अंतर समीकरणों पर क्रियान्वित किया था।^[2]

सजातीय प्रथम कोटि अवकल समीकरण

प्रथम-क्रम साधारण अवकल समीकरण के रूप में:

M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0

यदि दोनों कार्य करते हैं तब यह एक सजातीय प्रकार है $M (x, y)$ और $N (x, y)$ समान डिग्री के सजातीय कार्य हैं $n$ .^[3] अर्थात्, प्रत्येक वेरिएबल को एक पैरामीटर से गुणा करना $λ$ , हम देखतें है

M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\quad {\text{and}}\quad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.

इस प्रकार,

{\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.

समाधान विधि

भागफल में ${\textstyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}$ , हम दे सकते हैं $t = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/x$ इस भागफल को किसी फलन में सरल बनाने के लिए $f$ एकल चर का $y / x$ :

{\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.

वह है

{\frac {dy}{dx}}=-f(y/x).

चरों के परिवर्तन का परिचय दें $y = ux$ ; उत्पाद नियम का उपयोग करके अंतर करें:

{\frac {dy}{dx}}={\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u.

यह मूल अंतर समीकरण को चर पृथक्करण रूप में बदल देता है

x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u,

या

{\frac {1}{x}}{\frac {dx}{du}}={\frac {-1}{f(u)+u}},

जिसे अभी सीधे एकीकृत किया जा सकता है: $ln x$ दाहिनी ओर के प्रतिअवकलन के सामान्तर है (साधारण अंतर समीकरण देखें)।

विशेष मामला

प्रपत्र का प्रथम कोटि अवकल समीकरण ( $a$ , $b$ , $c$ , $e$ , $f$ , $g$ सभी स्थिरांक हैं)

\left(ax+by+c\right)dx+\left(ex+fy+g\right)dy=0

कहाँ $af \neq be$ दोनों चर के रैखिक परिवर्तन द्वारा एक सजातीय प्रकार में परिवर्तित किया जा सकता है ( $α$ और $β$ स्थिरांक हैं):

t=x+\alpha ;\;\;z=y+\beta \,.

सजातीय रैखिक अवकल समीकरण

एक रैखिक अंतर समीकरण सजातीय होता है यदि यह अज्ञात फलन और उसके डेरिवेटिव में एक सजातीय रैखिक समीकरण है। यह इस प्रकार है, यदि $φ (x)$ एक समाधान है, इसलिए है $cφ (x)$ , किसी भी (गैर-शून्य) स्थिरांक के लिए $c$ . इस स्थिति को बनाए रखने के लिए, रैखिक अंतर समीकरण के प्रत्येक गैर-शून्य पद को अज्ञात फलन या उसके किसी व्युत्पन्न पर निर्भर होना चाहिए। एक रैखिक अवकल समीकरण जो इस स्थिति को विफल करता है उसे अमानवीय कहा जाता है।

एक रेखीय अवकल समीकरण को एक रेखीय ऑपरेटर के रूप में दर्शाया जा सकता है $y (x)$ कहाँ $x$ सामान्यतः स्वतंत्र चर है और $y$ आश्रित चर है. अत: रैखिक समांगी अवकल समीकरण का सामान्य रूप है

L(y)=0

कहाँ $L$ विभेदक ऑपरेटर है, डेरिवेटिव का योग (0 वें डेरिवेटिव को मूल, गैर-विभेदित फलन के रूप में परिभाषित करना), प्रत्येक को एक फलन द्वारा गुणा किया जाता है $f i$ का $x$ :

L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,,

कहाँ $f i$ स्थिरांक हो सकते हैं, किन्तु सभी नहीं $f i$ शून्य हो सकता है.

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित रैखिक अंतर समीकरण सजातीय है:

\sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,,

जबकि निम्नलिखित दो अमानवीय हैं:

2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,;

2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,.

किसी समीकरण के अमानवीय होने के लिए एक स्थिर पद का अस्तित्व एक पर्याप्त शर्त है, जैसा कि उपरोक्त उदाहरण में है।

यह भी देखें

चरों का पृथक्करण

↑ Dennis G. Zill (15 March 2012). मॉडलिंग अनुप्रयोगों के साथ विभेदक समीकरणों में पहला कोर्स. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.
↑ "विभेदक समीकरणों के एकीकरण पर". Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 1: 167–184. June 1726.
↑ Ince 1956, p. 18

संदर्भ

बोयस, विलियम ई.; डिप्रिमा, रिचर्ड सी. (2012), प्राथमिक अंतर समीकरण और सीमा मूल्य समस्याएं (10th ed.), विले, ISBN 978-0470458310. (This is a good introductory reference on differential equations.)
इन्स, ई. एल. (1956), सामान्य अवकल समीकरण, न्यूयॉर्क: डोवर प्रकाशन, ISBN 0486603490. (यह ओडीई पर एक उत्कृष्ट संदर्भ है, जो पहली बार 1926 में प्रकाशित हुआ था।)
आंद्रेई डी. पॉलियानिन; वैलेन्टिन एफ. जैतसेव (15 नवंबर 2017). साधारण विभेदक समीकरणों की पुस्तिका: सटीक समाधान, विधियाँ और समस्याएँ. सीआरसी प्रेस. ISBN 978-1-4665-6940-9. {{cite book}}: Check date values in: |date= (help)
मैथ्यू आर. बोल्किंस; जैक एल गोल्डबर्ग; मेरले सी. पॉटर (5 नवंबर 2009). रैखिक बीजगणित के साथ विभेदक समीकरण. ऑक्सफोर्ड यूनिवरसिटि प्रेस. pp. 274–. ISBN 978-0-19-973666-9. {{cite book}}: Check date values in: |date= (help)

बाहरी संबंध

[Zill2012-1] Dennis G. Zill (15 March 2012). मॉडलिंग अनुप्रयोगों के साथ विभेदक समीकरणों में पहला कोर्स. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.

[2] "विभेदक समीकरणों के एकीकरण पर". Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 1: 167–184. June 1726.

[3] Ince 1956, p. 18

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