रैखिक विभेदक समीकरण

This article is about linear differential equations with one independent variable. For similar equations with two or more independent variables, see Partial differential equation § Linear equations of second order.

गणित में, एक रैखिक [[अंतर समीकरण]] एक अंतर समीकरण है जिसे अज्ञात फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव में एक रैखिक बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो कि फॉर्म का एक समीकरण है

$$a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)$$

कहाँ a₀(x), ..., a_n(x) और b(x) मनमाने ढंग से भिन्न कार्य हैं जिन्हें रैखिक होने की आवश्यकता नहीं है, और y′, ..., y⁽ⁿ⁾ किसी अज्ञात फ़ंक्शन के क्रमिक व्युत्पन्न हैं y चर का x.

ऐसा समीकरण एक साधारण अवकल समीकरण (ODE) है। एक रैखिक अंतर समीकरण एक रैखिक आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) भी हो सकता है, यदि अज्ञात फ़ंक्शन कई चर पर निर्भर करता है, और समीकरण में दिखाई देने वाले व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न हैं।

एक रैखिक अंतर समीकरण या रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली, जैसे कि संबंधित सजातीय समीकरणों में निरंतर गुणांक होते हैं, को चतुर्भुज (गणित) द्वारा हल किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि समाधान को antiderivative के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। यह गैर-स्थिर गुणांक वाले क्रम एक के रैखिक समीकरण के लिए भी सत्य है। गैर-स्थिर गुणांक वाले क्रम दो या उच्चतर का समीकरण, सामान्य तौर पर, चतुर्भुज द्वारा हल नहीं किया जा सकता है। क्रम दो के लिए, कोवासिक का एल्गोरिदम यह तय करने की अनुमति देता है कि क्या इंटीग्रल के संदर्भ में समाधान हैं, और यदि कोई हो तो उनकी गणना करें।

बहुपद गुणांकों वाले सजातीय रैखिक अवकल समीकरणों के समाधानों को होलोनोमिक फ़ंक्शन कहा जाता है। फ़ंक्शंस का यह वर्ग योग, उत्पाद, व्युत्पन्न, एंटीयौगिक के तहत स्थिर है, और इसमें कई सामान्य फ़ंक्शन और विशेष फ़ंक्शंस जैसे घातीय फ़ंक्शन, लघुगणक, उन लोगों के , कोज्या , व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस, त्रुटि फ़ंक्शन, बेसेल फ़ंक्शन और हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन शामिल हैं। परिभाषित अंतर समीकरण और प्रारंभिक स्थितियों द्वारा उनका प्रतिनिधित्व कैलकुलस के अधिकांश संचालन को एल्गोरिदमिक (इन कार्यों पर) बनाने की अनुमति देता है, जैसे कि एंटीडेरिवेटिव्स की गणना, सीमा (गणित), स्पर्शोन्मुख विस्तार, और किसी भी परिशुद्धता के लिए संख्यात्मक मूल्यांकन, प्रमाणित त्रुटि के साथ।

बुनियादी शब्दावली

व्युत्पत्ति का उच्चतम क्रम जो (रैखिक) विभेदक समीकरण में दिखाई देता है वह समीकरण का क्रम है। शब्द b(x), जो अज्ञात फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव पर निर्भर नहीं करता है, कभी-कभी समीकरण का निरंतर पद कहा जाता है (बीजगणितीय समीकरणों के अनुरूप), भले ही यह शब्द एक गैर-स्थिर कार्य हो। यदि अचर पद शून्य फ़ंक्शन है, तो अंतर समीकरण को सजातीय अंतर समीकरण कहा जाता है, क्योंकि यह अज्ञात फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न में एक सजातीय बहुपद है। एक रैखिक अवकल समीकरण में, स्थिर पद को शून्य फलन द्वारा प्रतिस्थापित करके प्राप्त समीकरण हैassociated homogeneous equation. एक विभेदक समीकरण में निरंतर गुणांक होते हैं यदि संबंधित सजातीय समीकरण में केवल निरंतर कार्य गुणांक के रूप में दिखाई देते हैं।

ए{{visible anchor|solution|Solution of a differential equation}विभेदक समीकरण का } एक ऐसा फलन है जो समीकरण को संतुष्ट करता है। एक सजातीय रैखिक अवकल समीकरण के समाधान एक सदिश समष्टि बनाते हैं। सामान्य स्थिति में, इस सदिश समष्टि का एक परिमित आयाम होता है, जो समीकरण के क्रम के बराबर होता है। एक रैखिक अवकल समीकरण के सभी समाधान किसी विशेष समाधान में संबंधित सजातीय समीकरण के किसी भी समाधान को जोड़कर पाए जाते हैं।

रैखिक अंतर ऑपरेटर

Main article: Differential operator

ऑर्डर का एक बुनियादी अंतर ऑपरेटर i एक मैपिंग है जो किसी भी भिन्न फ़ंक्शन को उसके उच्च व्युत्पन्न में मैप करती है|iवां व्युत्पन्न, या, कई चर के मामले में, इसके क्रम के आंशिक व्युत्पन्न में से एक i. इसे सामान्यतः निरूपित किया जाता है

$${\frac {d^{i}}{dx^{i}}}$$

अविभाज्य कार्यों के मामले में, और

$${\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots \partial x_{n}^{i_{n}}}}$$

के कार्यों के मामले में n चर। बुनियादी अंतर ऑपरेटरों में ऑर्डर 0 का व्युत्पन्न शामिल है, जो पहचान मानचित्रण है।

एक लीनियर डिफरेंशियल ऑपरेटर (संक्षेप में, इस लेख में, लीनियर ऑपरेटर या, बस, ऑपरेटर के रूप में) बुनियादी डिफरेंशियल ऑपरेटरों का एक रैखिक संयोजन है, जिसमें गुणांक के रूप में भिन्न कार्य होते हैं। अविभाज्य मामले में, एक रैखिक ऑपरेटर का रूप इस प्रकार होता है

$$a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},$$

कहाँ a₀(x), ..., a_n(x) अवकलनीय फलन और अऋणात्मक पूर्णांक हैं n ऑपरेटर का आदेश है (यदि a_n(x) शून्य फ़ंक्शन नहीं है)।

होने देना L एक रैखिक अंतर ऑपरेटर बनें। का अनुप्रयोग L किसी फ़ंक्शन के लिए f आमतौर पर दर्शाया जाता है Lf या Lf(X), यदि किसी को चर निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है (इसे गुणन के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए)। एक रैखिक अंतर ऑपरेटर एक रैखिक ऑपरेटर है, क्योंकि यह योगों को योगों और एक अदिश (गणित) द्वारा उत्पाद को एक ही अदिश द्वारा उत्पाद में मैप करता है।

चूंकि दो रैखिक ऑपरेटरों का योग एक रैखिक ऑपरेटर है, साथ ही एक विभेदक फ़ंक्शन द्वारा एक रैखिक ऑपरेटर का उत्पाद (बाईं ओर), रैखिक अंतर ऑपरेटर वास्तविक संख्याओं या जटिल संख्याओं (के आधार पर) पर एक वेक्टर स्थान बनाते हैं जिन कार्यों की प्रकृति पर विचार किया गया है)। वे भिन्न-भिन्न कार्यों के रिंग (गणित) पर एक मुक्त मॉड्यूल भी बनाते हैं।

ऑपरेटरों की भाषा भिन्न-भिन्न समीकरणों के लिए एक संक्षिप्त लेखन की अनुमति देती है: यदि

$$L=a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},$$

एक रैखिक विभेदक संचालिका है, तो समीकरण

$$a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)$$

दोबारा लिखा जा सकता है

$$Ly=b(x).$$

इस संकेतन के कई रूप हो सकते हैं; विशेष रूप से विभेदीकरण का चर स्पष्ट रूप से प्रकट हो सकता है या नहीं y और दाहिना हाथ और समीकरण का, जैसे Ly(x) = b(x) या Ly = b.

एक रैखिक अंतर ऑपरेटर का कर्नेल एक रैखिक मानचित्रण के रूप में इसका कर्नेल (रैखिक बीजगणित) है, जो कि (सजातीय) अंतर समीकरण के समाधान का वेक्टर स्थान है Ly = 0.

ऑर्डर के सामान्य अंतर ऑपरेटर के मामले में n, कैराथोडोरी के अस्तित्व प्रमेय का तात्पर्य है कि, बहुत हल्की परिस्थितियों में, का कर्नेल L आयाम का एक सदिश समष्टि है n, और वह समीकरण के समाधान Ly(x) = b(x) फॉर्म है

$$S_{0}(x)+c_{1}S_{1}(x)+\cdots +c_{n}S_{n}(x),$$

कहाँ c₁, ..., c_n मनमानी संख्याएँ हैं। आमतौर पर, कैराथोडोरी के प्रमेय की परिकल्पनाएं एक अंतराल में संतुष्ट होती हैं I, यदि कार्य b, a₀, ..., a_n निरंतर हैं I, और एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है k ऐसा है कि |a_n(x)| > k हरएक के लिए x में I.

निरंतर गुणांकों वाला सजातीय समीकरण

एक सजातीय रैखिक अवकल समीकरण में निरंतर गुणांक होते हैं यदि इसका रूप हो

$$a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0$$

कहाँ a₁, ..., a_n (वास्तविक या सम्मिश्र) संख्याएँ हैं। दूसरे शब्दों में, यदि इसे स्थिर गुणांक वाले रैखिक ऑपरेटर द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो इसमें निरंतर गुणांक होते हैं।

स्थिर गुणांक वाले इन विभेदक समीकरणों का अध्ययन लियोनहार्ड यूलर के समय से हुआ, जिन्होंने घातीय फ़ंक्शन की शुरुआत की थी e^x, जो समीकरण का अद्वितीय समाधान है f′ = f ऐसा है कि f(0) = 1. इससे यह पता चलता है कि nवें का व्युत्पन्न e^cx है cⁿe^cx, और यह सजातीय रैखिक अंतर समीकरणों को आसानी से हल करने की अनुमति देता है।

होने देना

$$a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0$$

स्थिर गुणांकों वाला एक सजातीय रैखिक अवकल समीकरण हो (अर्थात् a₀, ..., a_n वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं)।

इस समीकरण के ऐसे समाधान खोजे जा रहे हैं जिनका स्वरूप हो e^αx स्थिरांकों को खोजने के बराबर है α ऐसा है कि

$$a_{0}e^{\alpha x}+a_{1}\alpha e^{\alpha x}+a_{2}\alpha ^{2}e^{\alpha x}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}e^{\alpha x}=0.$$

फैक्टरिंग आउट e^αx (जो कभी शून्य नहीं होता), यह दर्शाता है α विशेषता बहुपद का मूल होना चाहिए

$$a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}$$

अवकल समीकरण का, जो अभिलक्षणिक समीकरण (कैलकुलस) का बाईं ओर है

$$a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}=0.$$

जब ये सभी जड़ें अलग-अलग जड़ें होती हैं, तो किसी के पास होती है n अलग-अलग समाधान जो जरूरी नहीं कि वास्तविक हों, भले ही समीकरण के गुणांक वास्तविक हों। इन समाधानों के मूल्यों के वेंडरमोंडे निर्धारक पर विचार करके, इन समाधानों को रैखिक रूप से स्वतंत्र दिखाया जा सकता है x = 0, ..., n – 1. साथ में वे अंतर समीकरण (अर्थात, अंतर ऑपरेटर का कर्नेल) के समाधान के वेक्टर स्थान का एक आधार (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं।

Example
$$y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0$$ has the characteristic equation $$z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-2z+1=0.$$ This has zeros, i, −i, and 1 (multiplicity 2). The solution basis is thus $$e^{ix},\;e^{-ix},\;e^{x},\;xe^{x}.$$ A real basis of solution is thus $$\cos x,\;\sin x,\;e^{x},\;xe^{x}.$$

ऐसे मामले में जहां विशेषता बहुपद में केवल सरल जड़ें होती हैं, पूर्ववर्ती समाधान वेक्टर स्थान का पूर्ण आधार प्रदान करता है। एकाधिक जड़ों के मामले में, आधार के लिए अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान की आवश्यकता होती है। इनका स्वरूप है

$$x^{k}e^{\alpha x},$$

कहाँ k एक अऋणात्मक पूर्णांक है, α बहुलता के विशिष्ट बहुपद का मूल है m, और k < m. यह साबित करने के लिए कि ये फ़ंक्शन समाधान हैं, कोई यह टिप्पणी कर सकता है कि यदि α बहुलता के विशिष्ट बहुपद का मूल है m, विशेषता बहुपद को इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है P(t)(t − α)^m. इस प्रकार, समीकरण के अंतर ऑपरेटर को लागू करना पहले लागू करने के बराबर है m ऑपरेटर का समय ${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$, और फिर वह ऑपरेटर जिसके पास है Pविशेषता बहुपद के रूप में। शिफ्ट प्रमेय द्वारा,

$$\left({\frac {d}{dx}}-\alpha \right)\left(x^{k}e^{\alpha x}\right)=kx^{k-1}e^{\alpha x},$$

और इस प्रकार व्यक्ति को बाद में शून्य प्राप्त होता है k + 1 का आवेदन ${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$.

जैसा कि, बीजगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार, एक बहुपद की जड़ों की बहुलताओं का योग बहुपद की डिग्री के बराबर होता है, उपरोक्त समाधानों की संख्या अंतर समीकरण के क्रम के बराबर होती है, और ये समाधान वेक्टर समष्टि का आधार बनाते हैं समाधानों का.

सामान्य स्थिति में जहां समीकरण के गुणांक वास्तविक होते हैं, आम तौर पर वास्तविक-मूल्य वाले कार्यों से युक्त समाधान का आधार रखना अधिक सुविधाजनक होता है। ऐसा आधार पूर्ववर्ती आधार से यह टिप्पणी करके प्राप्त किया जा सकता है कि, यदि a + ib तो, विशेषता बहुपद का मूल है a – ib भी एक जड़ है, उसी बहुलता का। इस प्रकार यूलर के सूत्र का उपयोग करके और प्रतिस्थापित करके एक वास्तविक आधार प्राप्त किया जाता है $x^{k}e^{(a+ib)x}$ और $x^{k}e^{(a-ib)x}$ द्वारा $x^{k}e^{ax}\cos(bx)$ और $x^{k}e^{ax}\sin(bx)$.

दूसरे क्रम का मामला

दूसरे क्रम का एक सजातीय रैखिक अवकल समीकरण लिखा जा सकता है

$$y''+ay'+by=0,$$

और इसका अभिलक्षणिक बहुपद है

$$r^{2}+ar+b.$$

अगर a और b वास्तविक संख्या हैं, विवेचक के आधार पर समाधान के लिए तीन मामले हैं D = a² − 4b. तीनों मामलों में, सामान्य समाधान दो मनमाने स्थिरांकों पर निर्भर करता है c₁ और c₂.

• अगर D > 0, अभिलक्षणिक बहुपद के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं α, और β. इस मामले में, सामान्य समाधान है
  $$c_{1}e^{\alpha x}+c_{2}e^{\beta x}.$$
• अगर D = 0, विशेषता बहुपद का दोहरा मूल होता है −a/2, और सामान्य समाधान है
  $$(c_{1}+c_{2}x)e^{-ax/2}.$$
• अगर D < 0, विशेषता बहुपद में दो जटिल संयुग्मी जड़ें होती हैं α ± βi, और सामान्य समाधान है
  $$c_{1}e^{(\alpha +\beta i)x}+c_{2}e^{(\alpha -\beta i)x},$$
  जिसे यूलर के सूत्र का उपयोग करके वास्तविक रूप में फिर से लिखा जा सकता है
  $$e^{\alpha x}(c_{1}\cos(\beta x)+c_{2}\sin(\beta x)).$$

समाधान ढूँढना y(x) संतुष्टि देने वाला y(0) = d₁ और y′(0) = d₂, उपरोक्त सामान्य समाधान के मूल्यों को बराबर करता है 0 और इसका व्युत्पन्न वहां है d₁ और d₂, क्रमश। इसके परिणामस्वरूप दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली बनती है c₁ और c₂. इस प्रणाली को हल करने से तथाकथित कॉची सीमा स्थिति का समाधान मिलता है, जिसमें मान 0DEQ के समाधान और उसके व्युत्पन्न के लिए निर्दिष्ट हैं।

निरंतर गुणांकों वाला गैर-सजातीय समीकरण

क्रम का एक गैर-सजातीय समीकरण n निरंतर गुणांक के साथ लिखा जा सकता है

$$y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{n-1}y'(x)+a_{n}y(x)=f(x),$$

कहाँ a₁, ..., a_n वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं, f का एक दिया गया कार्य है x, और y अज्ञात फ़ंक्शन है (सरलता के लिए,(x) निम्नलिखित में छोड़ दिया जाएगा)।

ऐसे समीकरण को हल करने की कई विधियाँ हैं। सर्वोत्तम विधि फ़ंक्शन की प्रकृति पर निर्भर करती है f जो समीकरण को गैर-सजातीय बनाता है। अगर f घातीय और साइनसॉइडल कार्यों का एक रैखिक संयोजन है, तो घातीय प्रतिक्रिया सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। यदि, अधिक सामान्यतः, f प्रपत्र के कार्यों का एक रैखिक संयोजन है xⁿe^ax, xⁿ cos(ax), और xⁿ sin(ax), कहाँ n एक अऋणात्मक पूर्णांक है, और a एक स्थिरांक (जिसे प्रत्येक पद में समान होना आवश्यक नहीं है), तो अनिर्धारित गुणांक की विधि का उपयोग किया जा सकता है। फिर भी अधिक सामान्यतः, विनाशक विधि कब लागू होती है f एक सजातीय रैखिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है, आमतौर पर, एक होलोनोमिक फ़ंक्शन।

सबसे सामान्य विधि स्थिरांकों की भिन्नता है, जिसे यहां प्रस्तुत किया गया है।

संबद्ध सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान

$$y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}y'+a_{n}y=0$$

है

$$y=u_{1}y_{1}+\cdots +u_{n}y_{n},$$

कहाँ (y₁, ..., y_n) समाधानों के सदिश समष्टि का एक आधार है और u₁, ..., u_n मनमाना स्थिरांक हैं। स्थिरांकों की भिन्नता की विधि का नाम निम्नलिखित विचार से लिया गया है। विचार करने के बजाय u₁, ..., u_n स्थिरांक के रूप में, उन्हें अज्ञात कार्यों के रूप में माना जा सकता है जिन्हें बनाने के लिए निर्धारित किया जाना है y गैर-सजातीय समीकरण का एक समाधान। इस प्रयोजन के लिए, कोई प्रतिबंध जोड़ता है

$${\begin{aligned}0&=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+\cdots +u'_{n}y_{n}\\0&=u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+\cdots +u'_{n}y'_{n}\\&\;\;\vdots \\0&=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-2)},\end{aligned}}$$

जिसका अर्थ है (उत्पाद नियम और गणितीय प्रेरण द्वारा)

$$y^{(i)}=u_{1}y_{1}^{(i)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(i)}$$

के लिए i = 1, ..., n – 1, और

$$y^{(n)}=u_{1}y_{1}^{(n)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(n)}+u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.$$

मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना y और इन अभिव्यक्तियों द्वारा इसके व्युत्पन्न, और इस तथ्य का उपयोग करते हुए y₁, ..., y_n मूल सजातीय समीकरण के समाधान हैं, कोई भी प्राप्त कर सकता है

$$f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.$$

यह समीकरण और उपरोक्त वाले 0 बायीं ओर की एक प्रणाली बनाते हैं n में रैखिक समीकरण u′₁, ..., u′_n जिनके गुणांक ज्ञात फलन हैं (f, द y_i, और उनके डेरिवेटिव)। इस प्रणाली को रैखिक बीजगणित की किसी भी विधि से हल किया जा सकता है। प्रतिअवकलजों की गणना से पता चलता है u₁, ..., u_n, और तब y = u₁y₁ + ⋯ + u_ny_n.

चूंकि प्रतिअवकलन को एक स्थिरांक के योग तक परिभाषित किया जाता है, इसलिए एक बार फिर यह पता चलता है कि गैर-सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान एक मनमाना समाधान और संबंधित सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का योग है।

परिवर्तनीय गुणांकों के साथ प्रथम-क्रम समीकरण

के गुणांक को विभाजित करने के बाद, क्रम 1 के रैखिक साधारण अंतर समीकरण का सामान्य रूप y′(x), है:

$$y'(x)=f(x)y(x)+g(x).$$

यदि समीकरण सजातीय है, अर्थात g(x) = 0, कोई फिर से लिख सकता है और एकीकृत कर सकता है:

$${\frac {y'}{y}}=f,\qquad \log y=k+F,$$

कहाँ k एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक है और $F=\textstyle \int f\,dx$ का कोई प्रतिव्युत्पन्न है f. इस प्रकार, सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान है

$$y=ce^{F},$$

कहाँ c = e^k एक मनमाना स्थिरांक है।

सामान्य गैर-सजातीय समीकरण के लिए, कोई इसे गुणात्मक व्युत्क्रम से गुणा कर सकता है e^−F सजातीय समीकरण के समाधान का। यह देता है

$$y'e^{-F}-yfe^{-F}=ge^{-F}.$$

जैसा $-fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),$ उत्पाद नियम समीकरण को फिर से लिखने की अनुमति देता है

$${\frac {d}{dx}}\left(ye^{-F}\right)=ge^{-F}.$$

इस प्रकार, सामान्य समाधान है

$$y=ce^{F}+e^{F}\int ge^{-F}dx,$$

कहाँ c एकीकरण का एक स्थिरांक है, और F का कोई प्रतिव्युत्पन्न है f (एकीकरण के स्थिरांक को बदलने के लिए प्रतिअवकलन मात्राओं को बदलना)।

उदाहरण

समीकरण हल करना

$$y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=3x.$$

संबद्ध सजातीय समीकरण $y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=0$ देता है

$${\frac {y'}{y}}=-{\frac {1}{x}},$$

वह है

$$y={\frac {c}{x}}.$$

मूल समीकरण को इनमें से किसी एक समाधान से विभाजित करने पर प्राप्त होता है

$$xy'+y=3x^{2}.$$

वह है

$$(xy)'=3x^{2},$$
 

$$xy=x^{3}+c,$$

और

$$y(x)=x^{2}+c/x.$$

प्रारंभिक स्थिति के लिए

$$y(1)=\alpha ,$$

व्यक्ति को विशेष समाधान मिलता है

$$y(x)=x^{2}+{\frac {\alpha -1}{x}}.$$

रैखिक अवकल समीकरणों की प्रणाली

Main article: Matrix differential equation

रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली में कई रैखिक अंतर समीकरण होते हैं जिनमें कई अज्ञात कार्य शामिल होते हैं। सामान्य तौर पर कोई अध्ययन को ऐसी प्रणालियों तक सीमित रखता है कि अज्ञात कार्यों की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर हो।

एक मनमाना रैखिक साधारण अंतर समीकरण और ऐसे समीकरणों की एक प्रणाली को उच्चतम क्रम डेरिवेटिव को छोड़कर सभी के लिए चर जोड़कर रैखिक अंतर समीकरणों की पहली क्रम प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है। अर्थात यदि $y',y'',\ldots ,y^{(k)}$ एक समीकरण में दिखाई देते हैं, कोई उन्हें नए अज्ञात कार्यों से प्रतिस्थापित कर सकता है $y_{1},\ldots ,y_{k}$ जो समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए $y'=y_{1}$ और $y_{i}'=y_{i+1},$ के लिए i = 1, ..., k – 1.

प्रथम क्रम की एक रैखिक प्रणाली, जिसमें है n अज्ञात कार्य और nअज्ञात फलनों के अवकलजों के लिए विभेदक समीकरण सामान्यतः हल किये जा सकते हैं। यदि ऐसा नहीं है तो यह समीकरणों की एक अंतर-बीजीय प्रणाली है | अंतर-बीजगणितीय प्रणाली, और यह एक अलग सिद्धांत है। इसलिए, जिन प्रणालियों पर यहां विचार किया गया है उनका स्वरूप है

$${\begin{aligned}y_{1}'(x)&=b_{1}(x)+a_{1,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{1,n}(x)y_{n}\\[1ex]&\;\;\vdots \\[1ex]y_{n}'(x)&=b_{n}(x)+a_{n,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{n,n}(x)y_{n},\end{aligned}}$$

कहाँ $b_{n}$ और यह $a_{i,j}$ के कार्य हैं x. मैट्रिक्स नोटेशन में, इस प्रणाली को लिखा जा सकता है (छोड़कर)।(x) )

$$\mathbf {y} '=A\mathbf {y} +\mathbf {b} .$$

समाधान विधि एकल प्रथम क्रम रैखिक अंतर समीकरणों के समान है, लेकिन मैट्रिक्स गुणन की गैर-अनुवांशिकता से उत्पन्न जटिलताओं के साथ।

होने देना

$$\mathbf {u} '=A\mathbf {u} .$$

उपरोक्त मैट्रिक्स समीकरण से संबद्ध सजातीय समीकरण बनें। इसके समाधान आयाम का एक सदिश स्थान बनाते हैं n, और इसलिए फ़ंक्शंस के वर्ग मैट्रिक्स के कॉलम हैं $U(x)$, जिसका निर्धारक शून्य फलन नहीं है। अगर n = 1, या A स्थिरांकों का एक मैट्रिक्स है, या, अधिक सामान्यतः, यदि A अपने प्रतिअवकलन के साथ आवागमन करता है $\textstyle B=\int Adx$, तो कोई भी चुन सकता है U मैट्रिक्स घातांक के बराबर B. वास्तव में, इन मामलों में, किसी के पास है

$${\frac {d}{dx}}\exp(B)=A\exp(B).$$

सामान्य स्थिति में सजातीय समीकरण के लिए कोई बंद-रूप समाधान नहीं होता है, और किसी को या तो संख्यात्मक विधि, या मैग्नस विस्तार जैसी सन्निकटन विधि का उपयोग करना पड़ता है।

मैट्रिक्स को जानना U, गैर-सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान है

$$\mathbf {y} (x)=U(x)\mathbf {y_{0}} +U(x)\int U^{-1}(x)\mathbf {b} (x)\,dx,$$

जहां कॉलम मैट्रिक्स $\mathbf {y_{0}}$ एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक है।

यदि प्रारंभिक शर्तें इस प्रकार दी गई हैं

$$\mathbf {y} (x_{0})=\mathbf {y} _{0},$$

वह समाधान जो इन प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है

$$\mathbf {y} (x)=U(x)U^{-1}(x_{0})\mathbf {y_{0}} +U(x)\int _{x_{0}}^{x}U^{-1}(t)\mathbf {b} (t)\,dt.$$

परिवर्तनीय गुणांकों के साथ उच्च क्रम

चर गुणांकों वाले क्रम एक के एक रैखिक सामान्य समीकरण को चतुर्भुज (गणित) द्वारा हल किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि समाधानों को प्रतिअवकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। कम से कम दो ऑर्डर के मामले में ऐसा नहीं है। यह पिकार्ड-वेसियोट सिद्धांत का मुख्य परिणाम है जिसे एमिल पिकार्ड और अर्नेस्ट वेसियोट द्वारा शुरू किया गया था, और जिसके हालिया विकास को डिफरेंशियल गैलोज़ सिद्धांत कहा जाता है।

चतुर्भुज द्वारा हल करने की असंभवता की तुलना एबेल-रफिनी प्रमेय से की जा सकती है, जिसमें कहा गया है कि कम से कम पांच डिग्री का बीजगणितीय समीकरण, सामान्य तौर पर, रेडिकल द्वारा हल नहीं किया जा सकता है। यह सादृश्य प्रमाण विधियों तक फैला हुआ है और विभेदक गैलोज़ सिद्धांत के संप्रदाय को प्रेरित करता है।

बीजगणितीय मामले के समान, सिद्धांत यह तय करने की अनुमति देता है कि कौन से समीकरण चतुर्भुज द्वारा हल किए जा सकते हैं, और यदि संभव हो तो उन्हें हल करना भी संभव है। हालाँकि, दोनों सिद्धांतों के लिए, सबसे शक्तिशाली कंप्यूटरों के साथ भी आवश्यक गणनाएँ बेहद कठिन हैं।

फिर भी, तर्कसंगत गुणांक वाले क्रम दो का मामला कोवासिक के एल्गोरिदम द्वारा पूरी तरह से हल कर दिया गया है।

कॉची-यूलर समीकरण

कॉची-यूलर समीकरण चर गुणांक वाले किसी भी क्रम के समीकरणों के उदाहरण हैं, जिन्हें स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है। ये फॉर्म के समीकरण हैं

$$x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0,$$

कहाँ $a_{0},\ldots ,a_{n-1}$ स्थिर गुणांक हैं।

होलोनोमिक फ़ंक्शंस

Main article: holonomic function

एक होलोनोमिक फ़ंक्शन, जिसे डी-परिमित फ़ंक्शन भी कहा जाता है, एक फ़ंक्शन है जो बहुपद गुणांक के साथ एक सजातीय रैखिक अंतर समीकरण का समाधान है।

गणित में आमतौर पर माने जाने वाले अधिकांश फ़ंक्शन होलोनोमिक या होलोनोमिक फ़ंक्शंस के भागफल हैं। वास्तव में, होलोनोमिक फ़ंक्शंस में बहुपद, बीजगणितीय फ़ंक्शन, लघुगणक, घातीय फ़ंक्शन, साइन, कोसाइन, अतिपरवलयिक ज्या , अतिशयोक्तिपूर्ण कोज्या , व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन और व्युत्क्रम हाइपरबोलिक फ़ंक्शन और कई विशेष फ़ंक्शन जैसे बेसेल फ़ंक्शंस और हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शंस शामिल हैं।

होलोनोमिक फ़ंक्शंस में कई समापन संपत्ति होती हैं; विशेष रूप से, होलोनोमिक कार्यों के योग, उत्पाद, व्युत्पन्न और प्रतिअवकलन होलोनोमिक हैं। इसके अलावा, ये क्लोजर गुण इस अर्थ में प्रभावी हैं कि इनमें से किसी भी ऑपरेशन के परिणाम के अंतर समीकरण की गणना करने के लिए इनपुट के अंतर समीकरणों को जानने के लिए कलन विधि हैं। होलोनोमिक फ़ंक्शंस की अवधारणा की उपयोगिता ज़िल्बर्गर के प्रमेय के परिणाम, जो इस प्रकार है।

होलोनोमिक अनुक्रम संख्याओं का एक अनुक्रम है जो बहुपद गुणांकों के साथ पुनरावृत्ति संबंध द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। होलोनोमिक फ़ंक्शन के एक बिंदु पर टेलर श्रृंखला के गुणांक एक होलोनोमिक अनुक्रम बनाते हैं। इसके विपरीत, यदि किसी शक्ति श्रृंखला के गुणांकों का क्रम होलोनोमिक है, तो श्रृंखला एक होलोनोमिक फ़ंक्शन को परिभाषित करती है (भले ही अभिसरण की त्रिज्या शून्य हो)। दोनों रूपांतरणों के लिए कुशल एल्गोरिदम हैं, यानी अंतर समीकरण से पुनरावृत्ति संबंध की गणना करने के लिए, और इसके विपरीत।

इसका तात्पर्य यह है कि, यदि कोई (कंप्यूटर में) होलोनोमिक कार्यों को उनके परिभाषित अंतर समीकरणों और प्रारंभिक स्थितियों द्वारा दर्शाता है, तो अधिकांश कैलकुलस ऑपरेशन इन कार्यों पर स्वचालित रूप से किए जा सकते हैं, जैसे व्युत्पन्न, अनिश्चित अभिन्न और निश्चित अभिन्न, टेलर श्रृंखला की तेज़ गणना ( इसके गुणांकों पर पुनरावृत्ति संबंध के लिए धन्यवाद), सन्निकटन त्रुटि, सीमा (गणित), विलक्षणता (गणित) के स्थानीयकरण, अनंत और निकट विलक्षणताओं पर स्पर्शोन्मुख व्यवहार, पहचान का प्रमाण, आदि की प्रमाणित सीमा के साथ उच्च परिशुद्धता का मूल्यांकन।

यह भी देखें

• सतत-चुकौती बंधक#साधारण समय अंतर समीकरण|निरंतर-चुकौती बंधक
• फूरियर रूपांतरण
• लाप्लास परिवर्तन
• रैखिक अंतर समीकरण
• मापदंडों का परिवर्तन

संदर्भ

• Birkhoff, Garrett & Rota, Gian-Carlo (1978), Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-07411-X
• Gershenfeld, Neil (1999), The Nature of Mathematical Modeling, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57095-4
• Robinson, James C. (2004), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 0-521-82650-0

बाहरी संबंध

• http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm
• Dynamic Dictionary of Mathematical Function. Automatic and interactive study of many holonomic functions.