परिमित मात्रा विधि

सीमित मात्रा विधि (एफवीएम) एल्जेब्राइक समीकरणों के रूप में अद्यायी विभेदी समीकरणों की प्रतिष्ठापन और मूल्यांकन के लिए एक विधि है। सीमित मात्रा विधि में, एक अद्यायी विभेदी समीकरण में विपर्यास शब्द को समावेशित करने वाले मात्रा समावेशकों को सततता समाप्ति का उपयोग करके पृष्ठीय समावेशों में परिवर्तित किया जाता है,इन शब्दों को पुनः हर सीमित मात्रा की सतहों पर फ्लक्स के रूप में मूल्यांकन किया जाता है। क्योंकि दिए गए मात्रा में प्रवेश करने वाले प्रवाह निकटतम मात्रा से निकलने वाले प्रवाह के समान होता है, इसलिए ये विधियाँ संरक्षणात्मक होती हैं, परिमित प्रवाह विधि का एक और लाभ यह है कि इसे असंरचित पाश को संरचित करने के लिए सरलता से तैयार किया जा सकता है। इस विधि का उपयोग कई संगणनात्मक द्रव गतिकी संपुटों में किया जाता है। "परिमित मात्रा" जाल पर प्रत्येक नोड बिंदु के आस-पास की छोटी मात्रा को संदर्भित करता है। परिमित मात्रा विधियों के सापेक्ष, परिमित अंतर विधि से की जा सकती है, जो नोड, या परिमित तत्व विधि का उपयोग करके व्युत्पन्न का अनुमान लगाती है, जो स्थानीय डेटा का उपयोग करके एक समाधान के स्थानीय सन्निकटन का निर्माण करती है, और उन्हें एक साथ सिलाई करके एक वैश्विक सन्निकटन का निर्माण करती है। इसके विपरीत एक परिमित मात्रा विधि कुछ मात्रा पर समाधान के औसत मूल्य के लिए सटीक भावों का मूल्यांकन करती है, और इस डेटा का उपयोग कोशिकाओं के भीतर समाधान के सन्निकटन के निर्माण के लिए करती है।

उदाहरण

एक साधारण 1D संवहन समस्या पर विचार करें:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}=0,\quad t\geq 0.$

(1)

यहाँ, $\rho =\rho \left(x,t\right)$ स्थिति मापक को प्रदर्शित करता है और $f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)$ स्राव या प्रवाह को प्रदर्शित करता है, पारंपरिक रूप से, सकारात्मक $f$ दाएं की ओर प्रवाह को प्रदर्शित करता है जबकि ऋणात्मक $f$ बाएं की ओर प्रवाह को प्रदर्शित करता है।यदि हम मान लें कि समीकरण (1) एक स्थिर क्षेत्र के वाली फ्लोइंग माध्यम को प्रदर्शित करता है, तो हम दूरी संवेदी $x$, को अंतिम मात्रा या समुच्चय में विभाजित कर सकते हैं जिनके सेंटर को (i) के रूप में सूचीत किया जाता है। एक विशेष समुच्चय (i), के लिए हम समय पर ${\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)$ की मात्रा औसत मान को परिभाषित कर सकते हैं।

${t=t_{1}}$ और ${x\in \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}$, जैसा

${\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx,$

(2)

और समय पर $t=t_{2}$ जैसा,

${\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{2}\right)\,dx,$

(3)

जहाँ $x_{i-{\frac {1}{2}}}$ और $x_{i+{\frac {1}{2}}}$ प्रत्येक आयाम के प्रावाहिक और अप्रावाहिक मुखों या किनारों की स्थानों को प्रतिष्ठित करते हैं। समीकरण $i^{\text{th}}$ को समय में एकीकृत करते हुए, हमारे पास निम्नलिखित होता है:

एकीकृत समीकरण (1) समय में, हमारे पास है:

$\rho \left(x,t_{2}\right)=\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)\,dt,$

(4)

यहाँ $f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}$.

समय $\rho \left(x,t\right)$ पर $t=t_{2}$, की मात्रा औसत प्राप्त करने के लिए, हम समुच्चय आयाम को इंटीग्रेट करते हैं अर्थात $\rho \left(x,t_{2}\right)$ कोशिका मात्रा से अधिक, $\left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]$ और परिणाम को $\Delta x_{i}=x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}$,से विभाजित करते हैं।

${\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)dt\right\}dx.$

(5)

हम मान लेते हैं कि $f\$अच्छी तरह से व्यवहारिक है और हम इंटीग्रेशन के क्रम को उलटा सकते हैं। इसके अतिरिक्त, ध्यान दें कि प्रवाह को समुच्चय की इकाई क्षेत्र के लिए सामान्य होता है। अब, एक आयाम में $f_{x}\triangleq \nabla \cdot f$, एक आयाम में, हम विभाजन सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं, अर्थात $\oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS$, और घटाव की आयाम की घटाव अवलोकन के साथ संपूर्ण आयतन के लिए, हम समुच्चय सतह $f(x)$ कोशिका की सतह पर मूल्यांकन $x_{i-{\frac {1}{2}}}$ और $x_{i+{\frac {1}{2}}}$) निर्धारित आयाम के मानों से प्रतिस्थापित करते हैं इस प्रकार:

${\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+{\frac {1}{2}}}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-{\frac {1}{2}}}dt\right).$

(6)

जहाँ $f_{i\pm {\frac {1}{2}}}=f\left(x_{i\pm {\frac {1}{2}}},t\right)$.

इसलिए हम ऊपरी समस्या के लिए एक अर्ध-विकासी गणितीय योजना प्राप्त कर सकते हैं, जिसमें सेल केंद्रों को $i$, के रूप में चिह्नित किया जाता है, और सेल किनारे के प्रवाहों को $i\pm {\frac {1}{2}}$, के रूप में चिह्नित किया जाता है, समीकरण (6) को समय के साथ भिन्न करके उपलब्ध करते हुए

${\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+{\frac {1}{2}}}-f_{i-{\frac {1}{2}}}\right]=0,$

(7)

जहां, किनारे के प्रवाहों के लिए मान,, $f_{i\pm {\frac {1}{2}}}$,को सेल माध्य के अंतर्गत अंतर्वलापन या अतिप्रसारण द्वारा पुनर्निर्माण किया जा सकता है।

समीकरण (7) आयाम माध्यों के लिए सटीक है; अर्थात्, उसके प्राप्ति के दौरान कोई अनुमान नहीं लिए गए हैं।

यह विधि एक 2D स्थिति में भी लागू की जा सकती है, जहां एक नोड के चारों ओर उत्तर और दक्षिण मुख, साथ ही पूर्व और पश्चिम मुख को ध्यान में रखकर उपयोग किया जाता है।।

सामान्य संरक्षण कानून

हम सामान्य संरक्षण कानून (भौतिकी) समस्या पर भी विचार कर सकते हैं, जिसे निम्नलिखित आंशिक अंतर समीकरण द्वारा दर्शाया गया है,

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)={\mathbf {0} }.$

(8)

यहाँ, $\mathbf {u}$ राज्यों के एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है और $\mathbf {f}$ इसी प्रवाह टेंसर का प्रतिनिधित्व करता है। फिर से हम स्थानिक क्षेत्र को परिमित मात्रा या कोशिकाओं में उप-विभाजित कर सकते हैं। किसी विशेष कोशिका के लिए, हम $i$,कोशिका के कुल मात्रा पर मात्रासंपूर्ण लेते हैं,

$\int _{v_{i}}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\,dv+\int _{v_{i}}\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\,dv={\mathbf {0} }.$

(9)

मात्रा औसत प्राप्त करने के लिए पहले पद को समाकलित करने पर और दूसरे पर विचलन प्रमेय लागू करने पर, यह प्राप्त होता है

$v_{i}{{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over dt}+\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} },$

(10)

जहाँ $S_{i}$ कोशिका के कुल सतह क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है और ${\mathbf {n} }$ एक इकाई सदिश है, जो सतह के लिए सामान्य है और बाहर की ओर संकेत करता है। तो, अंत में, हम सामान्य परिणाम के बराबर प्रस्तुत करने में सक्षम हैं (8), अर्थात।

${{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+{{1} \over {v_{i}}}\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} }.$

(11)

पुनः, एज प्रवाह के मूल्यों को कोशिक औसत के प्रक्षेप या विस्तार द्वारा पुनर्निर्मित किया जा सकता है। वास्तविक संख्यात्मक योजना समस्या ज्यामिति और जाल निर्माण पर निर्भर करेगी।

एम.यू.एस.सी.एल. योजना पुनर्निर्माण का उपयोग प्रायः उच्च समाधान योजनाओं में किया जाता है जहाँ समाधान में झटके या रुकावटें उपस्थित होती हैं।

परिमित मात्रा योजनाएँ रूढ़िवादी हैं क्योंकि किनारे के प्रवाह के माध्यम से कोशिका औसत में परिवर्तन होता है। दूसरे शब्दों में, एक कोशिका का हानि सदैव दूसरे कोशिका का लाभ होता है!

यह भी देखें

• सीमित तत्व विधि
• प्रवाह सीमक
• गोडुनोव की योजना
• गोडुनोव की प्रमेय
• उच्च-रिज़ॉल्यूशन योजना
• कीवा (सॉफ्टवेयर)
• एमआईटी जनरल सर्कुलेशन मॉडल
• MUSCL योजना
• सर्गेई के. गोडुनोव
• कुल भिन्नता ह्रासमान
• अस्थिर प्रवाह के लिए परिमित मात्रा विधि

अग्रिम पठन

• Eymard, R. Gallouët, T. R., Herbin, R. (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
• Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, Wiley.
• Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
• LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws, ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
• LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
• Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere.
• Tannehill, John C., et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2nd Ed., Taylor and Francis.
• Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.
• Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

बाहरी संबंध

• Finite volume methods by R. Eymard, T Gallouët and R. Herbin, update of the article published in Handbook of Numerical Analysis, 2000
• Rübenkönig, Oliver. "The Finite Volume Method (FVM) – An introduction". Archived from the original on 2009-10-02. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help), available under the GFDL.
• FiPy: A Finite Volume PDE Solver Using Python from NIST.
• CLAWPACK: a software package designed to compute numerical solutions to hyperbolic partial differential equations using a wave propagation approach