मानक संभाव्यता स्थान

संभाव्यता सिद्धांत में, एक मानक संभाव्यता स्थान, जिसे लेबेस्ग्यू-रोख्लिन संभाव्यता स्थान या सिर्फ लेबेस्ग्यू स्थान (बहुविकल्पी) भी कहा जाता है (बाद वाला शब्द अस्पष्ट है) 1940 में व्लादिमीर रोक्लिन (सोवियत गणितज्ञ) द्वारा शुरू की गई कुछ मान्यताओं को संतुष्ट करने वाला एक संभाव्यता स्थान है। अनौपचारिक रूप से, यह एक संभाव्यता स्थान है जिसमें एक अंतराल और/या संभाव्यता स्थान #सामान्य मामलों की एक सीमित या गणनीय संख्या शामिल है।

मानक संभाव्यता रिक्त स्थान का सिद्धांत 1932 में जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा शुरू किया गया था और 1940 में व्लादिमीर रोक्लिन (सोवियत गणितज्ञ) द्वारा आकार दिया गया था। रोक्लिन ने दिखाया कि लेब्सेग माप से संपन्न इकाई अंतराल में सामान्य संभाव्यता रिक्त स्थान पर महत्वपूर्ण फायदे हैं, फिर भी इसे प्रभावी ढंग से प्रतिस्थापित किया जा सकता है संभाव्यता सिद्धांत में इनमें से कई के लिए। इकाई अंतराल का आयाम कोई बाधा नहीं है, जैसा कि नॉर्बर्ट वीनर को पहले से ही स्पष्ट था। उन्होंने यूनिट अंतराल से कार्य स्थान तक मापने योग्य मानचित्र (गणित) के रूप में वीनर प्रक्रिया (जिसे एक प्रकार कि गति भी कहा जाता है) का निर्माण किया।

संक्षिप्त इतिहास

मानक संभाव्यता स्थानों का सिद्धांत 1932 में जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा शुरू किया गया था और 1940 में व्लादिमीर रोक्लिन (सोवियत गणितज्ञ) द्वारा आकार दिया गया। आधुनिक प्रस्तुतियों के लिए देखें (Haezendonck 1973), (de la Rue 1993), (Itô 1984, Sect. 2.4) और (Rudolf 1990, Chapter 2).

आजकल मानक संभाव्यता रिक्त स्थान को मानक बोरेल रिक्त स्थान के माध्यम से वर्णनात्मक सेट सिद्धांत के ढांचे में व्यवहार किया जा सकता है (और अक्सर किया जाता है), उदाहरण के लिए देखें (Kechris 1995, Sect. 17). यह दृष्टिकोण बोरेल सेट#स्टैंडर्ड बोरेल स्पेस और कुराटोस्की प्रमेय पर आधारित है (Kechris 1995, Theorem (15.6)). माप सिद्धांत पर आधारित रोक्लिन का एक वैकल्पिक दृष्टिकोण, वर्णनात्मक सेट सिद्धांत के विपरीत, शून्य सेट की उपेक्षा करता है। एर्गोडिक सिद्धांत में मानक संभाव्यता रिक्त स्थान का नियमित रूप से उपयोग किया जाता है।

परिभाषा

कुछ तैयारियों के बाद, मानकता की कई प्रसिद्ध समकक्ष परिभाषाओं में से एक नीचे दी गई है। सभी संभाव्यता स्थानों को पूर्ण माप माना जाता है।

समरूपता

दो संभाव्यता स्थानों के बीच एक समरूपता $\textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})$, $\textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})$ एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन मानचित्र है $\textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}$ ऐसा है कि $\textstyle f$ और $\textstyle f^{-1}$ दोनों (मापने योग्य और) माप-संरक्षण परिवर्तन हैं।

यदि उनके बीच एक समरूपता मौजूद है तो दो संभाव्यता स्थान समरूपी हैं।

समरूपता मॉड्यूलो शून्य

दो संभाव्यता स्थान $\textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})$, $\textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})$ समरूपी हैं $\textstyle \operatorname {mod} \,0$ यदि शून्य सेट मौजूद हैं $\textstyle A_{1}\subset \Omega _{1}$, $\textstyle A_{2}\subset \Omega _{2}$ इस प्रकार कि संभाव्यता रिक्त स्थान $\textstyle \Omega _{1}\setminus A_{1}$, $\textstyle \Omega _{2}\setminus A_{2}$ समरूपी हैं (स्वाभाविक रूप से सिग्मा-क्षेत्रों और संभाव्यता उपायों से संपन्न हैं)।

मानक संभाव्यता स्थान

एक संभाव्यता स्थान मानक है, यदि यह समरूपी है $\textstyle \operatorname {mod} \,0$ लेबेस्ग माप के साथ एक अंतराल, परमाणुओं का एक सीमित या गणनीय सेट, या दोनों का एक संयोजन (असंयुक्त संघ)।

देखना (Rokhlin 1952, Sect. 2.4 (p. 20)), (Haezendonck 1973, Proposition 6 (p. 249) and Remark 2 (p. 250)), और (de la Rue 1993, Theorem 4-3). यह सभी देखें (Kechris 1995, Sect. 17.F), और (Itô 1984, especially Sect. 2.4 and Exercise 3.1(v)). में (Petersen 1983, Definition 4.5 on page 16) माप को सीमित माना जाता है, जरूरी नहीं कि यह संभाव्य हो। में (Sinai 1994, Definition 1 on page 16) परमाणुओं की अनुमति नहीं है।

गैर-मानक संभाव्यता स्थानों के उदाहरण

एक भोला सफेद शोर

सभी कार्यों का स्थान $\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ उत्पाद के रूप में सोचा जा सकता है $\textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ वास्तविक पंक्ति की प्रतियों की एक निरंतरता $\textstyle \mathbb {R}$. कोई दान कर सकता है $\textstyle \mathbb {R}$ संभाव्यता माप के साथ, मान लीजिए, मानक सामान्य वितरण $\textstyle \gamma =N(0,1)$, और फ़ंक्शंस के स्थान को उत्पाद के रूप में मानें $\textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )^{\mathbb {R} }$ समान संभाव्यता स्थानों की एक सातत्यता का $\textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )$. उत्पाद माप $\textstyle \gamma ^{\mathbb {R} }$ पर एक संभाव्यता माप है $\textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$. भोलेपन से ऐसा लग सकता है $\textstyle \gamma ^{\mathbb {R} }$ श्वेत रव का वर्णन करता है।

हालाँकि, 0 से 1 तक श्वेत शोर फ़ंक्शन का अभिन्न अंग एक यादृच्छिक चर वितरित एन (0, 1) होना चाहिए। इसके विपरीत, का अभिन्न अंग (0 से 1 तक)। $\textstyle f\in \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )^{\mathbb {R} }$ अपरिभाषित है. ƒ भी लगभग निश्चित रूप से मापने योग्य होने में विफल रहता है, और ƒ मापने योग्य होने की संभावना अपरिभाषित है। वास्तव में, यदि

एक छिद्रित अंतराल

होने देना $\textstyle Z\subset (0,1)$ एक सेट बनें जिसका आंतरिक माप लेबेस्ग माप 0 के बराबर है, लेकिन बाहरी माप लेबेस्ग माप 1 के बराबर है (इस प्रकार, $\textstyle Z$ चरम सीमा तक मापनीय नहीं है)। एक संभाव्यता माप मौजूद है $\textstyle m$ पर $\textstyle Z$ ऐसा है कि $\textstyle m(Z\cap A)=\operatorname {mes} (A)$ मापने योग्य प्रत्येक लेब्सग्यू के लिए $\textstyle A\subset (0,1)$. (यहाँ $\textstyle \operatorname {mes}$ लेबेस्ग माप है।) संभाव्यता स्थान पर घटनाएँ और यादृच्छिक चर $\textstyle (Z,m)$ (इलाज किया गया $\textstyle \operatorname {mod} \,0$) संभाव्यता स्थान पर घटनाओं और यादृच्छिक चर के साथ प्राकृतिक एक-से-एक पत्राचार में हैं $\textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )$. ऐसा लग सकता है कि संभाव्यता स्थान $\textstyle (Z,m)$ उतना ही अच्छा है $\textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )$.

हालाँकि, ऐसा नहीं है. एक यादृच्छिक चर $\textstyle X$ द्वारा परिभाषित $\textstyle X(\omega )=\omega$ पर समान रूप से वितरित किया जाता है $\textstyle (0,1)$. सशर्त माप, दिया गया $\textstyle X=x$, केवल एक परमाणु है (at $\textstyle x$), उसे उपलब्ध कराया $\textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )$ अंतर्निहित संभाव्यता स्थान है। हालांकि, यदि $\textstyle (Z,m)$ इसके स्थान पर प्रयोग किया जाता है, तब सशर्त माप मौजूद नहीं होता है $\textstyle x\notin Z$.

इसी प्रकार एक छिद्रित वृत्त का निर्माण किया जाता है। इसकी घटनाएँ और यादृच्छिक चर सामान्य वृत्त के समान ही हैं। घूर्णनों का समूह उन पर स्वाभाविक रूप से कार्य करता है। हालाँकि, यह छिद्रित घेरे पर कार्य करने में विफल रहता है।

यह सभी देखें (Rudolph 1990, page 17).

एक अनावश्यक मापनीय सेट

होने देना $\textstyle Z\subset (0,1)$ पिछले उदाहरण की तरह रहें. प्रपत्र के सेट $\textstyle (A\cap Z)\cup (B\setminus Z),$ कहाँ $\textstyle A$ और $\textstyle B$ मनमाने ढंग से लेबेस्ग मापन योग्य सेट हैं, एक σ-बीजगणित हैं $\textstyle {\mathcal {F}};$ इसमें लेब्सग्यू σ-बीजगणित और शामिल है $\textstyle Z.$ सूत्र

$\displaystyle m{\big (}(A\cap Z)\cup (B\setminus Z){\big )}=p\,\operatorname {mes} (A)+(1-p)\operatorname {mes} (B)$

संभाव्यता माप का सामान्य रूप देता है $\textstyle m$ पर $\textstyle {\big (}(0,1),{\mathcal {F}}{\big )}$ जो लेबेस्ग माप का विस्तार करता है; यहाँ $\textstyle p\in [0,1]$ एक पैरामीटर है. विशिष्ट होने के लिए, हम चुनते हैं $\textstyle p=0.5.$ ऐसा लग सकता है कि लेबेस्ग उपाय का ऐसा विस्तार कम से कम हानिरहित है।

हालाँकि, यह भेष में छिद्रित अंतराल है। वो नक्शा

$f(x)={\begin{cases}0.5x&{\text{for }}x\in Z,\\0.5+0.5x&{\text{for }}x\in (0,1)\setminus Z\end{cases}}$

के बीच एक समरूपता है $\textstyle {\big (}(0,1),{\mathcal {F}},m{\big )}$ और सेट के अनुरूप छिद्रित अंतराल

$\displaystyle Z_{1}=\{0.5x:x\in Z\}\cup \{0.5+0.5x:x\in (0,1)\setminus Z\}\,,$

आंतरिक लेब्सेग्यू माप का एक और सेट 0 है लेकिन बाहरी लेब्सेग्यू माप 1 है।

यह सभी देखें (Rudolph 1990, Exercise 2.11 on page 18).

मानकता की एक कसौटी

किसी दिए गए संभाव्यता स्थान की मानकता $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ मापने योग्य मानचित्र की एक निश्चित संपत्ति के बराबर है $\textstyle f$ से $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ मापने योग्य स्थान पर $\textstyle (X,\Sigma ).$ उत्तर (मानक, या नहीं) की पसंद पर निर्भर नहीं करता है $\textstyle (X,\Sigma )$ और $\textstyle f$. यह तथ्य काफी उपयोगी है; कोई भी अपनी पसंद को अनुकूलित कर सकता है $\textstyle (X,\Sigma )$ और $\textstyle f$ दिए गए को $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P).$ सभी मामलों की जांच करने की आवश्यकता नहीं है. किसी यादृच्छिक चर की जांच करना सुविधाजनक हो सकता है $\textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ,$ एक यादृच्छिक वेक्टर $\textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n},$ एक यादृच्छिक क्रम $\textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{\infty },$ या घटनाओं का क्रम $\textstyle (A_{1},A_{2},\dots )$ दो-मूल्यवान यादृच्छिक चर के अनुक्रम के रूप में माना जाता है, $\textstyle f:\Omega \to \{0,1\}^{\infty }.$ दो शर्तें लगाई जाएंगी $\textstyle f$ (इंजेक्शन समारोह होना, और उत्पन्न करना)। नीचे यह माना गया है कि ऐसा $\textstyle f$ दिया हुआ है। इसके अस्तित्व के प्रश्न पर बाद में विचार किया जाएगा।

संभाव्यता स्थान $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ पूर्ण माप माना जाता है (अन्यथा यह मानक नहीं हो सकता)।

एक एकल यादृच्छिक चर

एक मापने योग्य कार्य $\textstyle f:\Omega \to \mathbb {R}$ आगे बढ़ने के उपाय को प्रेरित करता है $f_{*}P$, - संभाव्यता माप $\textstyle \mu$ पर $\textstyle \mathbb {R} ,$ द्वारा परिभाषित

$\displaystyle \mu (B)=(f_{*}P)(B)=P{\big (}f^{-1}(B){\big )}$ बोरेल सेट के लिए $\textstyle B\subset \mathbb {R} .$

यानी यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण $f$. छवि $\textstyle f(\Omega )$ हमेशा पूर्ण बाहरी माप का एक सेट होता है,

$\displaystyle \mu ^{*}{\big (}f(\Omega ){\big )}=\inf _{B\supset f(\Omega )}\mu (B)=\inf _{B\supset f(\Omega )}P(f^{-1}(B))=P(\Omega )=1,$

लेकिन इसका आंतरिक माप भिन्न हो सकता है (एक छिद्रित अंतराल देखें)। दूसरे शब्दों में, $\textstyle f(\Omega )$ लगभग हर जगह का एक सेट होने की आवश्यकता नहीं है $\textstyle \mu .$ एक मापने योग्य कार्य $\textstyle f:\Omega \to \mathbb {R}$ यदि उत्पन्न करना कहलाता है $\textstyle {\mathcal {F}}$ के संबंध में संपूर्ण माप है $P$ व्युत्क्रम छवियों के σ-बीजगणित का $\textstyle f^{-1}(B),$ कहाँ $\textstyle B\subset \mathbb {R}$ सभी बोरेल सेटों पर चलता है।

सावधानी। निम्नलिखित शर्त पर्याप्त नहीं है $\textstyle f$ उत्पन्न करना: प्रत्येक के लिए $\textstyle A\in {\mathcal {F}}$ वहाँ एक बोरेल सेट मौजूद है $\textstyle B\subset \mathbb {R}$ ऐसा है कि $\textstyle P(A\mathbin {\Delta } f^{-1}(B))=0.$ ($\textstyle \Delta$ मतलब सममित अंतर)।

प्रमेय. एक मापने योग्य कार्य करें $\textstyle f:\Omega \to \mathbb {R}$ इंजेक्टिव और जेनरेटिंग हो, तो निम्नलिखित दो स्थितियाँ समतुल्य हैं:

• $\mu (\textstyle f(\Omega ))=1$ (अर्थात आंतरिक माप में भी पूर्ण माप है, और छवि भी है $\textstyle f(\Omega )$ पूर्णता के संबंध में मापने योग्य है);
• $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\,$ एक मानक संभाव्यता स्थान है।

यह सभी देखें (Itô 1984, Sect. 3.1).

एक यादृच्छिक वेक्टर

यही प्रमेय किसी के लिए भी लागू होता है $\mathbb {R} ^{n}\,$ (की जगह $\mathbb {R} \,$). एक मापने योग्य कार्य $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}\,$ इसे यादृच्छिक चरों के एक सीमित अनुक्रम के रूप में माना जा सकता है $X_{1},\dots ,X_{n}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,$ और $f\,$ यदि और केवल यदि उत्पन्न कर रहा है ${\mathcal {F}}\,$ द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित का पूरा होना है $X_{1},\dots ,X_{n}.\,$

एक यादृच्छिक अनुक्रम

यह प्रमेय अभी भी अंतरिक्ष के लिए लागू है $\mathbb {R} ^{\infty }\,$ अनंत अनुक्रमों का. एक मापने योग्य कार्य $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{\infty }\,$ इसे यादृच्छिक चरों के अनंत अनुक्रम के रूप में सोचा जा सकता है $X_{1},X_{2},\dots :\Omega \to \mathbb {R} ,\,$ और $f\,$ यदि और केवल यदि उत्पन्न कर रहा है ${\mathcal {F}}\,$ द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित का पूरा होना है $X_{1},X_{2},\dots .\,$

घटनाओं का क्रम

विशेष रूप से, यदि यादृच्छिक चर $X_{n}\,$ केवल दो मान 0 और 1 लें, हम एक मापने योग्य फ़ंक्शन से निपटते हैं $f:\Omega \to \{0,1\}^{\infty }\,$ और सेटों का एक क्रम $A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.\,$ कार्यक्रम $f\,$ यदि और केवल यदि उत्पन्न कर रहा है ${\mathcal {F}}\,$ द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित का पूरा होना है $A_{1},A_{2},\dots .\,$ अग्रणी कार्य में (Rokhlin 1952) क्रम $A_{1},A_{2},\ldots \,$ जो इंजेक्शन, उत्पन्न करने के अनुरूप है $f\,$ संभाव्यता स्थान के आधार कहलाते हैं $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\,$ (देखना Rokhlin 1952, Sect. 2.1). एक आधार को पूर्ण मॉड 0 कहा जाता है, यदि $f(\Omega )\,$ पूर्ण माप का है $\mu ,\,$ देखना (Rokhlin 1952, Sect. 2.2). उसी खंड में रोक्लिन ने साबित किया कि यदि कोई संभाव्यता स्थान किसी आधार के संबंध में पूर्ण मॉड 0 है, तो यह हर दूसरे आधार के संबंध में पूर्ण मॉड 0 है, और इस पूर्णता संपत्ति द्वारा लेबेसेग रिक्त स्थान को परिभाषित करता है। यह सभी देखें (Haezendonck 1973, Prop. 4 and Def. 7) और (Rudolph 1990, Sect. 2.3, especially Theorem 2.2).

अतिरिक्त टिप्पणियाँ

ऊपर दिए गए चार मामले परस्पर समतुल्य हैं, और मापने योग्य स्थानों के बाद से इन्हें एकजुट किया जा सकता है $\mathbb {R} ,\,$ $\mathbb {R} ^{n},\,$ $\mathbb {R} ^{\infty }\,$ और $\{0,1\}^{\infty }\,$ परस्पर समरूपी हैं; वे सभी मानक बोरेल स्थान हैं (दूसरे शब्दों में, मानक बोरेल स्थान)।

से एक इंजेक्शन मापने योग्य कार्य का अस्तित्व $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ एक मानक मापने योग्य स्थान के लिए $\textstyle (X,\Sigma )$ की पसंद पर निर्भर नहीं करता $\textstyle (X,\Sigma ).$ ले रहा $\textstyle (X,\Sigma )=\{0,1\}^{\infty }$ हमें संपत्ति को गणनीय रूप से अलग होने के रूप में जाना जाता है (लेकिन इसे अलग करने योग्य कहा जाता है)। Itô 1984).

से एक उत्पन्न करने योग्य मापन योग्य फ़ंक्शन का अस्तित्व $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ एक मानक मापने योग्य स्थान के लिए $\textstyle (X,\Sigma )$ की पसंद पर भी निर्भर नहीं करता $\textstyle (X,\Sigma ).$ ले रहा $\textstyle (X,\Sigma )=\{0,1\}^{\infty }$ हमें वह संपत्ति प्राप्त होती है जिसे गणनीय रूप से उत्पन्न होने के रूप में जाना जाता है (मॉड 0), देखें (Durrett 1996, Exer. I.5).

Probability space	Countably separated	Countably generated	Standard
Interval with Lebesgue measure	Yes	Yes	Yes
Naive white noise	No	No	No
Perforated interval	Yes	Yes	No

मानक संभाव्यता स्थान से मानक मापन योग्य स्थान तक प्रत्येक इंजेक्शन मापने योग्य फ़ंक्शन उत्पन्न हो रहा है। देखना (Rokhlin 1952, Sect. 2.5), (Haezendonck 1973, Corollary 2 on page 253), (de la Rue 1993, Theorems 3-4 and 3-5). यह संपत्ति उपरोक्त उपधारा ए अतिश्योक्तिपूर्ण मापनीय सेट में वर्णित गैर-मानक संभाव्यता स्थान के लिए मान्य नहीं है।

सावधानी। गणनीय रूप से उत्पन्न होने की संपत्ति मॉड 0 आइसोमोर्फिज्म के तहत अपरिवर्तनीय है, लेकिन गणनीय रूप से अलग होने की संपत्ति नहीं है। वास्तव में, एक मानक संभाव्यता स्थान $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ गणनात्मक रूप से अलग किया जाता है यदि और केवल यदि की प्रमुखता $\textstyle \Omega$ सातत्य की प्रमुखता से अधिक नहीं है (देखें) Itô 1984, Exer. 3.1(v)). एक मानक संभाव्यता स्थान में किसी भी कार्डिनैलिटी का शून्य सेट हो सकता है, इस प्रकार, इसे गणनीय रूप से अलग करने की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, इसमें हमेशा पूर्ण माप का गणनीय रूप से पृथक उपसमूह होता है।

समतुल्य परिभाषाएँ

होने देना $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ एक पूर्ण संभाव्यता स्थान बनें जैसे कि कार्डिनैलिटी $\textstyle \Omega$ सातत्य से अधिक नहीं होता है (सामान्य मामले को इस विशेष मामले में घटा दिया जाता है, ऊपर दी गई सावधानी देखें)।

पूर्ण मापनीयता के माध्यम से

परिभाषा। $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ मानक है यदि यह गणनीय रूप से अलग किया गया है, गणनीय रूप से उत्पन्न किया गया है, और बिल्कुल मापने योग्य है।

देखना (Rokhlin 1952, the end of Sect. 2.3) और (Haezendonck 1973, Remark 2 on page 248). बिल्कुल मापने योग्य साधन: प्रत्येक गणनीय रूप से अलग किए गए, गणनीय रूप से उत्पन्न संभाव्यता स्थान में मापने योग्य।

पूर्णता के माध्यम से

परिभाषा। $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ मानक है यदि यह गणनीय रूप से अलग और परिपूर्ण है।

देखना (Itô 1984, Sect. 3.1). परफेक्ट का मतलब है कि प्रत्येक मापने योग्य फ़ंक्शन के लिए $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ को $\mathbb {R} \,$ छवि माप नियमित माप है. (यहां छवि माप उन सभी सेटों पर परिभाषित किया गया है जिनकी उलटी छवियां संबंधित हैं $\textstyle {\mathcal {F}}$, बोरेल संरचना के बावजूद $\mathbb {R} \,$).

टोपोलॉजी के माध्यम से

परिभाषा। $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ यदि कोई टोपोलॉजिकल स्पेस मौजूद है तो यह मानक है $\textstyle \tau$ पर $\textstyle \Omega$ ऐसा है कि

• टोपोलॉजिकल स्पेस $\textstyle (\Omega ,\tau )$ मेट्रिज़ेबल है;
• $\textstyle {\mathcal {F}}$ द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित का पूरा होना है $\textstyle \tau$ (अर्थात, सभी खुले सेटों द्वारा);
• हरएक के लिए $\textstyle \varepsilon >0$ वहाँ एक कॉम्पैक्ट सेट मौजूद है $\textstyle K$ में $\textstyle (\Omega ,\tau )$ ऐसा है कि $\textstyle P(K)\geq 1-\varepsilon .$

देखना (de la Rue 1993, Sect. 1).

मानकता का सत्यापन

अंतरिक्ष पर प्रत्येक संभाव्यता वितरण $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ इसे एक मानक संभाव्यता स्थान में बदल देता है। (यहां, संभाव्यता वितरण का अर्थ बोरेल सिग्मा-बीजगणित पर शुरू में परिभाषित और पूरा किया गया संभाव्यता माप है।)

यही बात हर पोलिश स्थान पर लागू होती है, देखिए (Rokhlin 1952, Sect. 2.7 (p. 24)), (Haezendonck 1973, Example 1 (p. 248)), (de la Rue 1993, Theorem 2-3), और (Itô 1984, Theorem 2.4.1).

उदाहरण के लिए, वीनर माप पोलिश स्थान को बदल देता है $\textstyle C[0,\infty )$ (सभी निरंतर कार्यों में से $\textstyle [0,\infty )\to \mathbb {R} ,$ एक मानक संभाव्यता स्थान में स्थानीय समान अभिसरण के टोपोलॉजिकल स्थान से संपन्न)।

एक अन्य उदाहरण: यादृच्छिक चर के प्रत्येक अनुक्रम के लिए, उनका संयुक्त वितरण पोलिश स्थान को बदल देता है $\textstyle \mathbb {R} ^{\infty }$ (अनुक्रमों का; उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न) एक मानक संभाव्यता स्थान में।

(इस प्रकार, आयाम का विचार, टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के लिए बहुत स्वाभाविक है, मानक संभाव्यता रिक्त स्थान के लिए पूरी तरह से अनुपयुक्त है।)

दो मानक संभाव्यता स्थानों का उत्पाद माप एक मानक संभाव्यता स्थान है।

यही बात असंख्य स्थानों के गुणनफल के लिए भी लागू होती है, देखिए (Rokhlin 1952, Sect. 3.4), (Haezendonck 1973, Proposition 12), और (Itô 1984, Theorem 2.4.3).

मानक संभाव्यता स्थान का एक मापने योग्य उपसमुच्चय एक मानक संभाव्यता स्थान है। यह माना जाता है कि सेट एक शून्य सेट नहीं है, और सशर्त माप से संपन्न है। देखना (Rokhlin 1952, Sect. 2.3 (p. 14)) और (Haezendonck 1973, Proposition 5).

मानक बोरेल स्थान पर प्रत्येक संभाव्यता माप इसे मानक संभाव्यता स्थान में बदल देता है।

मानकता का उपयोग करना

नियमित सशर्त संभावनाएँ

असतत सेटअप में, सशर्त संभाव्यता एक और संभाव्यता माप है, और सशर्त अपेक्षा को सशर्त माप के संबंध में (सामान्य) अपेक्षा के रूप में माना जा सकता है, सशर्त अपेक्षा देखें। गैर-अलग-अलग सेटअप में, कंडीशनिंग को अक्सर अप्रत्यक्ष रूप से व्यवहार किया जाता है, क्योंकि स्थिति की संभावना 0 हो सकती है, सशर्त अपेक्षा देखें। परिणामस्वरूप, कई प्रसिद्ध तथ्यों में विशेष 'सशर्त' समकक्ष होते हैं। उदाहरण के लिए: अपेक्षा की रैखिकता; जेन्सेन की असमानता (सशर्त अपेक्षा देखें); होल्डर की असमानता; मोनोटोन अभिसरण प्रमेय#लेब्सग्यू मोनोटोन अभिसरण प्रमेय, आदि।

एक यादृच्छिक चर दिया गया $\textstyle Y$ संभाव्यता स्थान पर $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$, एक सशर्त माप बनाने का प्रयास करना स्वाभाविक है $\textstyle P_{y}$, अर्थात्, का सशर्त वितरण $\textstyle \omega \in \Omega$ दिया गया $\textstyle Y(\omega )=y$. सामान्य तौर पर यह असंभव है (देखें)। Durrett 1996, Sect. 4.1(c)). हालाँकि, एक मानक संभाव्यता स्थान के लिए $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ यह संभव है, और इसे उपायों की विहित प्रणाली के रूप में जाना जाता है (देखें)। Rokhlin 1952, Sect. 3.1), जो मूल रूप से सशर्त संभाव्यता उपायों के समान है (देखें)। Itô 1984, Sect. 3.5), विघटन प्रमेय (देखें Kechris 1995, Exercise (17.35)), और नियमित सशर्त संभाव्यता (देखें Durrett 1996, Sect. 4.1(c)).

सशर्त जेन्सेन की असमानता सशर्त माप पर लागू (सामान्य) जेन्सेन की असमानता है। यही बात कई अन्य तथ्यों पर भी लागू होती है।

परिवर्तनों को संरक्षित करने का उपाय

दो संभाव्यता स्थान दिए गए हैं $\textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})$, $\textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})$ और मानचित्र को संरक्षित करने वाला एक उपाय $\textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}$, छवि $\textstyle f(\Omega _{1})$ संपूर्ण को कवर करने की आवश्यकता नहीं है $\textstyle \Omega _{2}$, यह एक शून्य सेट छूट सकता है। ऐसा लग सकता है $\textstyle P_{2}(f(\Omega _{1}))$ 1 के बराबर होना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। का बाहरी माप $\textstyle f(\Omega _{1})$ 1 के बराबर है, लेकिन आंतरिक माप भिन्न हो सकता है। हालाँकि, यदि संभावना रिक्त है $\textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})$, $\textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})$ तो फिर मानक हैं $\textstyle P_{2}(f(\Omega _{1}))=1$, देखना (de la Rue 1993, Theorem 3-2). अगर $\textstyle f$ प्रत्येक की तुलना में एक-से-एक भी है $\textstyle A\in {\mathcal {F}}_{1}$ संतुष्ट $\textstyle f(A)\in {\mathcal {F}}_{2}$, $\textstyle P_{2}(f(A))=P_{1}(A)$. इसलिए, $\textstyle f^{-1}$ मापने योग्य है (और माप संरक्षण)। देखना (Rokhlin 1952, Sect. 2.5 (p. 20)) और (de la Rue 1993, Theorem 3-5). यह सभी देखें (Haezendonck 1973, Proposition 9 (and Remark after it)).

माप स्थान में माप 0 के सेट को अनदेखा करने का एक सुसंगत तरीका है (Petersen 1983, page 15). शून्य सेटों से छुटकारा पाने का प्रयास करते हुए, गणितज्ञ अक्सर मापने योग्य सेटों या फ़ंक्शंस के समतुल्य वर्गों का उपयोग करते हैं। संभाव्यता स्थान के मापने योग्य उपसमुच्चय के समतुल्य वर्ग एक मानक पूर्ण बूलियन बीजगणित बनाते हैं जिसे माप बीजगणित (या मीट्रिक संरचना) कहा जाता है। हर उपाय मानचित्र को संरक्षित करता है $\textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}$ एक समरूपता की ओर ले जाता है $\textstyle F$ माप बीजगणित का; मूल रूप से, $\textstyle F(B)=f^{-1}(B)$ के लिए $\textstyle B\in {\mathcal {F}}_{2}$.

ऐसा प्रतीत हो सकता है कि माप बीजगणित की प्रत्येक समरूपता को कुछ माप संरक्षित मानचित्र के अनुरूप होना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। हालाँकि, मानक संभाव्यता स्थानों के लिए प्रत्येक $\textstyle F$ कुछ से मेल खाता है $\textstyle f$. देखना (Rokhlin 1952, Sect. 2.6 (p. 23) and 3.2), (Kechris 1995, Sect. 17.F), (Petersen 1983, Theorem 4.7 on page 17).

यह भी देखें

"Standard probability space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

संदर्भ

• Rokhlin, V. A. (1952), On the fundamental ideas of measure theory (PDF), Translations, vol. 71, American Mathematical Society, pp. 1–54. Translated from Russian: Рохлин, В. А. (1949), "Об основных понятиях теории меры", Математический Сборник (Новая Серия), 25 (67): 107–150.
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