केंद्र (समूह सिद्धांत)

Cayley table for D₄ showing elements of the center, {e, a²}, commute with all other elements (this can be seen by noticing that all occurrences of a given center element are arranged symmetrically about the center diagonal or by noticing that the row and column starting with a given center element are transposes of each other).
∘	e	b	a	a²	a³	ab	a²b	a³b
e	e	b	a	a²	a³	ab	a²b	a³b
b	b	e	a³b	a²b	ab	a³	a²	a
a	a	ab	a²	a³	e	a²b	a³b	b
a²	a²	a²b	a³	e	a	a³b	b	ab
a³	a³	a³b	e	a	a²	b	ab	a²b
ab	ab	a	b	a³b	a²b	e	a³	a²
a²b	a²b	a²	ab	b	a³b	a	e	a³
a³b	a³b	a³	a²b	ab	b	a²	a	e

सार बीजगणित में, एक समूह का केंद्र (गणित), $G$ , तत्वों का समुच्चय (गणित) है जो प्रत्येक तत्व के साथ क्रमविनिमेय है $G$ . यह निरूपित है $Z(G)$ , जर्मन से: ज़ेंट्रम के साथ, जिसका अर्थ है केंद्र। सेट-बिल्डर नोटेशन में,

Z(G) = {z \in G | \forall g \in G, zg = gz}

.

केंद्र एक सामान्य उपसमूह है, $Z(G) ⊲ G$ . एक उपसमूह के रूप में, यह हमेशा विशिष्ट उपसमूह होता है, लेकिन जरूरी नहीं कि यह पूरी तरह से विशेषता उपसमूह हो। भागफल समूह , $G / Z(G)$ , आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म समूह के लिए समूह समरूपता है, $Inn(G)$ .

एक समूह $G$ एबेलियन है अगर और केवल अगर $Z(G) = G$ . दूसरे चरम पर, एक समूह को केंद्रहीन कहा जाता है यदि $Z(G)$ तुच्छ समूह है; यानी, केवल पहचान तत्व के होते हैं।

केंद्र के तत्वों को कभी-कभी केंद्रीय कहा जाता है।

एक उपसमूह के रूप में

G का केंद्र हमेशा एक उपसमूह (गणित) होता है $G$ . विशेष रूप से:

$Z(G)$ का पहचान तत्व शामिल है $G$ , क्योंकि यह के हर तत्व के साथ संचार करता है $g$ , परिभाषा से: $eg = g = ge$ , कहां $e$ पहचान है;
यदि $x$ और $y$ में हैं $Z(G)$ , तो ऐसा है $xy$ , साहचर्य द्वारा: $(xy) g = x (yg) = x (gy) = (xg) y = (gx) y = g (xy)$ प्रत्येक के लिए $g \in G$ ; अर्थात।, $Z(G)$ बन्द है;
यदि $x$ में है $Z(G)$ , तो ऐसा है $x -1$ के रूप में, सभी के लिए $g$ में $G$ , $x -1$ के साथ यात्रा करता है $g$ : $(gx = xg) \Rightarrow (x -1 gxx -1 = x -1 xgx -1) \Rightarrow (x -1 g = gx -1)$ .

इसके अलावा, का केंद्र $G$ का हमेशा एक सामान्य उपसमूह होता है $G$ . चूंकि सभी तत्व $Z(G)$ यात्रा, यह संयुग्म बंद के तहत बंद है।

ध्यान दें कि एक समरूपता $f : G \to H$ समूहों के बीच आम तौर पर उनके केंद्रों के बीच समरूपता तक सीमित नहीं होता है। यद्यपि $f (Z (G))$ साथ आवागमन करता है $f (G)$ , जब तक $f$ विशेषण है $f (Z (G))$ सभी के साथ यात्रा करने की आवश्यकता नहीं है $H$ और इसलिए इसका उपसमुच्चय नहीं होना चाहिए $Z (H)$ . दूसरे तरीके से कहें, तो Grp और Ab श्रेणियों के बीच कोई केंद्र फ़ैक्टर नहीं है। भले ही हम वस्तुओं को मैप कर सकते हैं, हम तीरों को मैप नहीं कर सकते।

संयुग्मन वर्ग और केंद्रक

परिभाषा के अनुसार, केंद्र तत्वों का समूह है जिसके लिए प्रत्येक तत्व का संयुग्मन वर्ग स्वयं तत्व है; अर्थात।, $Cl(g) = {g}$ .

केंद्र प्रत्येक तत्व के सभी केंद्रक और सामान्यक का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) भी है $G$ . चूंकि केंद्रक उपसमूह हैं, यह फिर से दिखाता है कि केंद्र एक उपसमूह है।

संयुग्मन

मानचित्र पर विचार करें, $f : G \to Aut(G)$ , से $G$ ऑटोमोर्फिज्म समूह के लिए $G$ द्वारा परिभाषित $f (g) = ϕ g$ , कहां $ϕ g$ का ऑटोमोर्फिज्म है $G$ द्वारा परिभाषित

f (g)(h) = ϕ g (h) = ghg -1

.

कार्यक्रम, $f$ एक समूह समरूपता है, और इसका कर्नेल (बीजगणित) बिल्कुल केंद्र है $G$ , और इसकी छवि को आंतरिक ऑटोमोर्फिज़्म समूह कहा जाता है $G$ , निरूपित $Inn(G)$ . पहले तुल्याकारिता प्रमेय से हम पाते हैं,

G /Z(G) ≃ Inn(G)

.

इस मानचित्र का cokernel समूह है $Out(G)$ बाहरी ऑटोमोर्फिज्म , और ये सटीक क्रम बनाते हैं

1 ⟶ Z(G) ⟶ G ⟶ Aut(G) ⟶ Out(G) ⟶ 1

.

उदाहरण

एक एबेलियन समूह का केंद्र, $G$ , सभी का है $G$ .
हाइजेनबर्ग समूह का केंद्र, $H$ , फॉर्म के मैट्रिसेस का सेट है: ${\begin{pmatrix}1&0&z\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
एक गैर-अबेलियन समूह सरल समूह का केंद्र तुच्छ है।
डायहेड्रल समूह का केंद्र, $D n$ , विषम के लिए तुच्छ है $n \geq 3$ . एक जैसे के लिए $n \geq 4$ , केंद्र में बहुभुज के 180° घूर्णन के साथ-साथ पहचान तत्व शामिल है।
चतुष्कोण समूह का केंद्र, $Q 8 = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}$ , है ${1, -1}$ .
सममित समूह का केंद्र, $S n$ , के लिए तुच्छ है $n \geq 3$ .
वैकल्पिक समूह का केंद्र, $A n$ , के लिए तुच्छ है $n \geq 4$ .
एक क्षेत्र (गणित) पर सामान्य रेखीय समूह का केंद्र $F$ , $GL n (F)$ , विकर्ण मैट्रिक्स का संग्रह है, ${ sIn ∣ s ∈ F \ {0} }$ .
ऑर्थोगोनल समूह का केंद्र, $O n (F)$ है ${I n, -I n}$ .
विशेष ऑर्थोगोनल समूह का केंद्र, $SO(n)$ पूरा समूह है जब $n = 2$ , और अन्यथा ${I n, -I n}$ जब n सम है, और तुच्छ है जब n विषम है।
एकात्मक समूह का केंद्र, $U(n)$ है $\left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$ .
विशेष एकात्मक समूह का केंद्र, $\operatorname {SU} (n)$ है ${\textstyle \left\lbrace e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta ={\frac {2k\pi }{n}},k=0,1,\dots ,n-1\right\rbrace }$ .
गैर-शून्य चतुष्कोणों के गुणक समूह का केंद्र गैर-शून्य वास्तविक संख्या ओं का गुणक समूह है।
वर्ग समीकरण का प्रयोग करके कोई यह सिद्ध कर सकता है कि किसी भी गैर-तुच्छ परिमित समूह p-समूह का केंद्र गैर-तुच्छ है।
यदि भागफल समूह $G /Z(G)$ चक्रीय समूह है, $G$ एबेलियन समूह है (और इसलिए $G = Z(G)$ , इसलिए $G /Z(G)$ तुच्छ है)।
megaminx समूह का केंद्र क्रम 2 का एक चक्रीय समूह है, और kominx समूह का केंद्र तुच्छ है।

उच्च केंद्र

एक समूह के केंद्र द्वारा भाग लेने से समूहों का एक क्रम उत्पन्न होता है जिसे ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला कहा जाता है:

(G 0 = G) ⟶ (G 1 = G 0 /Z(G 0)) ⟶ (G 2 = G 1 /Z(G 1)) ⟶ \dots

मानचित्र का कर्नेल $G \to G i$ है $i$ वें केंद्र^[1] का $G$ (दूसरा केंद्र, तीसरा केंद्र, आदि) और निरूपित किया जाता है $Z i (G)$ .^[2] ठोस रूप से, ( $i + 1$ )-पहला केंद्र वे शब्द हैं जो सभी तत्वों के साथ एक तत्व तक संप्रेषित होते हैं $i$ वें केंद्र। इस परिभाषा के बाद, एक समूह के 0 वें केंद्र को पहचान उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। इसे ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा ट्रांसफिनिट ऑर्डिनल्स तक जारी रखा जा सकता है; सभी उच्च केंद्रों के मिलन को hypercenter कहा जाता है।^{[note 1]} कुल आदेश# उपसमूहों की शृंखला

1 \leq Z(G) \leq Z 2 (G) \leq \dots

i पर स्थिर हो जाता है (समान रूप से, $Z i (G) = Z i+1 (G)$ ) अगर और केवल अगर $G i$ केंद्रविहीन है।

उदाहरण

एक केंद्रविहीन समूह के लिए, सभी उच्च केंद्र शून्य होते हैं, जो कि मामला है $Z 0 (G) = Z 1 (G)$ स्थिरीकरण की।
ग्रुन के लेम्मा द्वारा, इसके केंद्र द्वारा एक पूर्ण समूह का अंश केंद्र रहित होता है, इसलिए सभी उच्च केंद्र केंद्र के बराबर होते हैं। यह स्थिरीकरण का मामला है $Z 1 (G) = Z 2 (G)$ .

यह भी देखें

केंद्र (बीजगणित)
केंद्र (रिंग थ्योरी)
सेंट्रलाइज़र और नॉर्मलाइज़र
संयुग्मी वर्ग

संदर्भ

Fraleigh, John B. (2014). A First Course in Abstract Algebra (7 ed.). Pearson. ISBN 978-1-292-02496-7.

बाहरी कड़ियाँ

"Centre of a group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]श्रेणी: कार्यात्मक उपसमूह

↑ Ellis, Graham (February 1, 1998). "On groups with a finite nilpotent upper central quotient". Archiv der Mathematik. 70 (2): 89–96. doi:10.1007/s000130050169. ISSN 1420-8938.
↑ Ellis, Graham (February 1, 1998). "On groups with a finite nilpotent upper central quotient". Archiv der Mathematik. 70 (2): 89–96. doi:10.1007/s000130050169. ISSN 1420-8938.

[3] This union will include transfinite terms if the UCS does not stabilize at a finite stage.

[1] Ellis, Graham (February 1, 1998). "On groups with a finite nilpotent upper central quotient". Archiv der Mathematik. 70 (2): 89–96. doi:10.1007/s000130050169. ISSN 1420-8938.

[2] Ellis, Graham (February 1, 1998). "On groups with a finite nilpotent upper central quotient". Archiv der Mathematik. 70 (2): 89–96. doi:10.1007/s000130050169. ISSN 1420-8938.

[1]

[2]

[note 1]

केंद्र (समूह सिद्धांत)

Contents

एक उपसमूह के रूप में

संयुग्मन वर्ग और केंद्रक

संयुग्मन

उदाहरण

उच्च केंद्र

उदाहरण

यह भी देखें

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