परिमित मात्रा विधि

परिमित आयतन विधि (FVM) बीजगणितीय समीकरणों के रूप में आंशिक अंतर समीकरणों का प्रतिनिधित्व और मूल्यांकन करने की एक विधि है। परिमित आयतन विधि में, आंशिक अवकल समीकरण में आयतन समाकल जिसमें विचलन शब्द होता है, विचलन प्रमेय का उपयोग करके सतही समाकलन में परिवर्तित हो जाते हैं। इन शर्तों का मूल्यांकन तब प्रत्येक परिमित मात्रा की सतहों पर फ्लक्स के रूप में किया जाता है। चूँकि दिए गए आयतन में प्रवेश करने वाला प्रवाह निकटवर्ती आयतन को छोड़ने के समान है, ये विधियाँ संरक्षण नियम (भौतिकी) हैं। परिमित आयतन विधि का एक अन्य लाभ यह है कि यह असंरचित जालों की अनुमति देने के लिए आसानी से तैयार किया जाता है। विधि का उपयोग कई कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी पैकेजों में किया जाता है।

परिमित मात्रा जाल पर प्रत्येक नोड बिंदु के आस-पास की छोटी मात्रा को संदर्भित करती है।

परिमित मात्रा विधियों की तुलना परिमित अंतर विधि से की जा सकती है, जो नोडल मानों, या परिमित तत्व विधि का उपयोग करके डेरिवेटिव का अनुमान लगाती है, जो स्थानीय डेटा का उपयोग करके एक समाधान के स्थानीय सन्निकटन का निर्माण करती है, और उन्हें एक साथ सिलाई करके एक वैश्विक सन्निकटन का निर्माण करती है। इसके विपरीत एक परिमित आयतन विधि कुछ आयतन पर समाधान के औसत मूल्य के लिए सटीक भावों का मूल्यांकन करती है, और इस डेटा का उपयोग कोशिकाओं के भीतर समाधान के सन्निकटन के निर्माण के लिए करती है।

उदाहरण

एक साधारण 1D संवहन समस्या पर विचार करें:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}=0,\quad t\geq 0.$

(1)

यहाँ, $\rho =\rho \left(x,t\right)$ राज्य चर का प्रतिनिधित्व करता है और $f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)$ प्रवाह या प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है $\rho$. परंपरागत रूप से, सकारात्मक $f$ नकारात्मक होते हुए दाईं ओर प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है $f$ बाईं ओर प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है। यदि हम मान लें कि समीकरण (1) निरंतर क्षेत्र के बहने वाले माध्यम का प्रतिनिधित्व करता है, हम स्थानिक डोमेन को उप-विभाजित कर सकते हैं, $x$, परिमित मात्रा में या सेल केंद्रों के रूप में अनुक्रमित कोशिकाओं के रूप में $i$. किसी विशेष सेल के लिए, $i$, हम के आयतन औसत मान को परिभाषित कर सकते हैं ${\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)$ समय पर ${t=t_{1}}$ और ${x\in \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}$, जैसा

${\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx,$

(2)

और समय पर $t=t_{2}$ जैसा,

${\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{2}\right)\,dx,$

(3)

कहाँ $x_{i-{\frac {1}{2}}}$ और $x_{i+{\frac {1}{2}}}$ के क्रमशः अपस्ट्रीम और डाउनस्ट्रीम चेहरों या किनारों के स्थानों का प्रतिनिधित्व करते हैं $i^{\text{th}}$ कक्ष।

एकीकृत समीकरण (1) समय में, हमारे पास है:

$\rho \left(x,t_{2}\right)=\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)\,dt,$

(4)

कहाँ $f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}$.

की मात्रा औसत प्राप्त करने के लिए $\rho \left(x,t\right)$ समय पर $t=t_{2}$, हम एकीकृत करते हैं $\rho \left(x,t_{2}\right)$ सेल वॉल्यूम से अधिक, $\left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]$ और परिणाम को विभाजित करें $\Delta x_{i}=x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}$, अर्थात।

${\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)dt\right\}dx.$

(5)

हम मानते हैं कि $f\$ अच्छा व्यवहार किया जाता है और हम एकीकरण के क्रम को उलट सकते हैं। साथ ही, याद रखें कि प्रवाह सेल के इकाई क्षेत्र के लिए सामान्य है। अब, चूंकि एक आयाम में $f_{x}\triangleq \nabla \cdot f$, हम विचलन प्रमेय लागू कर सकते हैं, अर्थात $\oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS$, और के मूल्यों के साथ विचलन के आयतन अभिन्न के लिए स्थानापन्न करें $f(x)$ सेल की सतह पर मूल्यांकन (किनारे $x_{i-{\frac {1}{2}}}$ और $x_{i+{\frac {1}{2}}}$) परिमित मात्रा इस प्रकार है:

${\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+{\frac {1}{2}}}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-{\frac {1}{2}}}dt\right).$

(6)

कहाँ $f_{i\pm {\frac {1}{2}}}=f\left(x_{i\pm {\frac {1}{2}}},t\right)$.

इसलिए हम उपरोक्त समस्या के लिए अनुक्रमित सेल केंद्रों के साथ अर्ध-असतत संख्यात्मक योजना प्राप्त कर सकते हैं $i$, और सेल एज फ्लक्स के रूप में अनुक्रमित $i\pm {\frac {1}{2}}$, अंतर करके (6) प्राप्त करने के लिए समय के संबंध में:

${\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+{\frac {1}{2}}}-f_{i-{\frac {1}{2}}}\right]=0,$

(7)

जहां किनारे के प्रवाह के लिए मान, $f_{i\pm {\frac {1}{2}}}$, सेल औसत के प्रक्षेप या एक्सट्रपलेशन द्वारा पुनर्निर्मित किया जा सकता है। समीकरण (7) वॉल्यूम औसत के लिए सटीक है; यानी, इसकी व्युत्पत्ति के दौरान कोई सन्निकटन नहीं किया गया है।

इस पद्धति को एक नोड के चारों ओर पूर्व और पश्चिम के चेहरों के साथ उत्तर और दक्षिण चेहरों पर विचार करके दो आयामी प्रसार समस्या की स्थिति के लिए परिमित मात्रा विधि पर भी लागू किया जा सकता है।

सामान्य संरक्षण कानून

हम सामान्य संरक्षण कानून (भौतिकी) समस्या पर भी विचार कर सकते हैं, जिसे निम्नलिखित आंशिक अंतर समीकरण द्वारा दर्शाया गया है,

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)={\mathbf {0} }.$

(8)

यहाँ, $\mathbf {u}$ राज्यों के एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है और $\mathbf {f}$ इसी फ्लक्स टेंसर का प्रतिनिधित्व करता है। फिर से हम स्थानिक डोमेन को परिमित मात्रा या कोशिकाओं में उप-विभाजित कर सकते हैं। किसी विशेष सेल के लिए, $i$, हम सेल के कुल आयतन पर वॉल्यूम इंटीग्रल लेते हैं, $v_{i}$, जो देता है,

$\int _{v_{i}}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\,dv+\int _{v_{i}}\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\,dv={\mathbf {0} }.$

(9)

आयतन औसत प्राप्त करने के लिए पहले पद को समाकलित करने पर और दूसरे पर विचलन प्रमेय लागू करने पर, यह प्राप्त होता है

$v_{i}{{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over dt}+\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} },$

(10)

कहाँ $S_{i}$ सेल के कुल सतह क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है और ${\mathbf {n} }$ एक इकाई वेक्टर है जो सतह के लिए सामान्य है और बाहर की ओर इशारा करता है। तो, अंत में, हम सामान्य परिणाम के बराबर प्रस्तुत करने में सक्षम हैं (8), अर्थात।

${{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+{{1} \over {v_{i}}}\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} }.$

(11)

फिर से, एज फ्लक्स के मूल्यों को सेल औसत के इंटरपोलेशन या एक्सट्रपलेशन द्वारा पुनर्निर्मित किया जा सकता है। वास्तविक संख्यात्मक योजना समस्या ज्यामिति और जाल निर्माण पर निर्भर करेगी। MUSCL योजना पुनर्निर्माण का उपयोग अक्सर उच्च रिज़ॉल्यूशन योजनाओं में किया जाता है जहाँ समाधान में झटके या रुकावटें मौजूद होती हैं।

परिमित मात्रा योजनाएँ रूढ़िवादी हैं क्योंकि किनारे के प्रवाह के माध्यम से सेल औसत में परिवर्तन होता है। दूसरे शब्दों में, एक कोशिका का नुकसान हमेशा दूसरे कोशिका का लाभ होता है!

यह भी देखें

• सीमित तत्व विधि
• फ्लक्स सीमक
• गोडुनोव की योजना
• गोडुनोव की प्रमेय
• उच्च-रिज़ॉल्यूशन योजना
• कीवा (सॉफ्टवेयर)
• एमआईटी जनरल सर्कुलेशन मॉडल
• MUSCL योजना
• सर्गेई के. गोडुनोव
• कुल भिन्नता ह्रासमान
• अस्थिर प्रवाह के लिए परिमित मात्रा विधि

अग्रिम पठन

• Eymard, R. Gallouët, T. R., Herbin, R. (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
• Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, Wiley.
• Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
• LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws, ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
• LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
• Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere.
• Tannehill, John C., et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2nd Ed., Taylor and Francis.
• Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.
• Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

बाहरी संबंध

• Finite volume methods by R. Eymard, T Gallouët and R. Herbin, update of the article published in Handbook of Numerical Analysis, 2000
• Rübenkönig, Oliver. "The Finite Volume Method (FVM) – An introduction". Archived from the original on 2009-10-02. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help), available under the GFDL.
• FiPy: A Finite Volume PDE Solver Using Python from NIST.
• CLAWPACK: a software package designed to compute numerical solutions to hyperbolic partial differential equations using a wave propagation approach